回归教材经典例题和练习题

第一章常用逻辑用语 1判断下列语句是不是命题 （1）12>5

（2）若a 为正无理数，则a 也是无理数： （3）x ∈{1,2,3,4,5} （4）正弦函数是周期函数吗？

2 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假： （1）若是偶数都是偶数，则b a b a +, （2）若m >0，则方程有实数根02

=-+m x x 3证明：0,02

2

===+y x y x 则若 4 下列各题中，那些q p 是的充要条件？

().

:,:)3(;0:,0,0:)2(:,0:)1(2c b c a q b a p xy q y x p c bx ax x f q b p +>+>>>>++==是偶函数

函数 5下列各题中，那些q p 是的充要条件？

.

0:01:)4()0(0:),0(04:)3(;

0)4)(3(:,03:)2(;

43:,43:)1(22

2

2=++=++=≠=++≠≥-=--=-+=+=c b a q c bx ax x p a c bx ax q a ac b p x x q x p x x q x x p 的一个根，是方程有实数根；

6下列各题中，那些q p 是的充要条件？

.

:,:)4(;

33:,2:)3(;51:,32:)2(;

11:,1:)1(三角形是等腰三角形三角形是等边三角形q p x x q x p x q x p x x q x p -=-=≤≤-≤--=-=

7 求圆()()22

2

r b y a x =-+-经过原点的充要条件。

}{}{;

,)3(;,)2(;,)1(.q x |x ,p x |x 8的什么条件是那么的什么条件是那么的什么条件是那么满足条件满足条件已知q p B A q p A B q p B A B A =??==

9 写出下列命题，并判断真假：

}{}{}{}{不是素数，

是偶数这里不是素数是偶数这里这里这里3:,2:,)4(;3:,2:,)3(;3,22:,3,24:,)2(;3,22:,3,24:,)1(q p q p q p q p q p q p q p q p ∧∨∈∈∧∈∈∨

10 判断下列命题的真假；

8

7)3(4343)2(3725)1(≥<>>>或且 11 判断下列命题的真假，并说明理由

，

这里这里是实数是无理数这里是实数是无理数这里1578:,32:,)4(;1578:,32:,)3(;:,:,)2(;:,:,)1(≠+>∧≠+>∨∧∨q p q p q p q p q p q p q p q p ππππ

12 写出下列全称命题的否定：

3

,:)3(:)2(3:)1(2的个位数字不等于对任意点共圆；每一个四边形的四个顶整除的数都是奇数；所有能被x Z x p p p ∈

13写出下列特称命题的否定

.

:)3(:)2(022,:)1(02

00数有一个素数含三个正因形；有的三角形是等边三角；p p x x R x p ≤++∈? 14写出下列命题的否定

.

)4(01,)3(05)2(,)1(02

0023对角线互相垂直存在一个四边行，它的；

；都是整除的整数，末尾数字所有可以被；

≤+-∈?>∈?x x R x x x N x

15

”的充要条件；

”是“）“（”的充分条件；”是“）“（”的必要条件；”是“）“（”的充分条件；”是“）“（的真假：是实数，判断下列命题已知b a b a bc ac b a b a b a b a b a c b a >>>>>>>>4321,,222222 第二章 圆锥曲线与方程

1已知椭圆两焦点坐标分别是（-2,0），（2,0）并经过点)2

3,25

(-，求它的标准方程。 2.如图，在圆42

2

=+y x 上任取一点P ，经过P 做x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么?

如图，设点A,B 的坐标分别是（-5,0），（5,0）直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是

9

4

-

，求点M 的轨迹方程。

Y

4

的距离是

到另一个焦点，那么点的距离等于到焦点上一点如果椭圆212

26136

100F P F P y x =+-----------------------

5 已知经过椭圆

116

252

2=+y x 的右焦点2F 作垂直于x 轴的直线AB ，交椭圆于A,B 两点，1F 是椭圆的左焦点. (1)求B AF 1?的周长

(2)如果AB 不垂直于x 轴，B AF 1?的周长有变化吗？为什么？

6 求椭圆40025162

2

=+y x 的长轴和短轴长，离心率，焦点和顶点坐标. 7 点M ),(y x 与定点F （4，0）的距离和它到直线5

4

425:的距离的比是常数=x l ，求点M 的轨迹。

8如果点M(y x ,)在运动过程中，总满足关系式

10)3()3(2222=-++++y x y x

点M 的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程. 9 写出适合下列条件的 椭圆的标准方程：

（1）焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点P )62,3(-； （2）焦点坐标分别是（0,-4），（0,4），a =5； （3）4,10=-=+c a c a

10求下列椭圆的长轴和短轴长，离心率，焦点坐标，顶点坐标；

81

9)2(164)1(2

2

22=+=+y x y x

11 已知点P 是椭圆14

52

2=+y x 上的一点，且以点P 及交点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，求P 点的坐标。

12 如图圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内的一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么,为什么？

l

O

A

P

Q

13 点P与定点F（2,0）的距离和它到定直线8

=

x的距离之比是1:2求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。

14 已知双曲线的两个焦点分别为F1（-5,0），F2（5,0），双曲线上一点P到F1 ，F2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

15 已知A，B两地相距800米，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s，

求炮弹爆炸点的轨迹方程。

16 如图，点A，B的坐标分别是（-5,0），（5,0）直线AM，BM交于M，且它们斜率之积是

9

4

，试求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状。

17 求双曲线144

16

92

2=

-x

y的实半轴长和虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程。

18 点M ),(y x 到定点F （5，0）的距离和它到定直线

4

5516:的距离的比是常数=x l ，求点M 的轨迹

19 求以椭圆15

82

2=+y x 的焦点为顶点，一椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。 20 等轴双曲线的一个焦点是F 1（-6,0），求它的标准方程和渐近线方程。

21 双曲线06442

2

=+-y x 上一点P 到它一个焦点的距离等于1，那么点P 到另一个焦点的距离--------------------

22 求适合下列条件的双曲线飞标准方程

()

.

3,72)267(22,5-,52)1(B A A a x ，，）经过两点（）（经过点轴上，焦点在--=

23 已知下列双曲线的方程，求它的焦点坐标，离心率，渐近线方程。

144

916)2(144916)1(2

2

22-=-=-y x y x

24 如图圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 外的一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么,为什么？

25 求经过点A （3，-1），并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程。

26 求与椭圆

1244922=+y x 有公共焦点，且离心率4

5

=e 的双曲线方程。 27求到定点F )1(:)0,(2>=a

c

a c c a x l c 的距离之比是与到定直线的点M 的轨迹。 28 填空

（1）抛物线）（到焦点的距离是上一点2

)0(22

p

a a M p px y >

>=，则点M 到准线的距离是----------------------，点M 的横坐标是-------------------；

（2）抛物线x y 122

=上与焦点的距离等于9的点的坐标是-------------------- 29 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程。

30 斜率为1的直线l 经过抛物线x y 42

=的焦点，切与抛物线相交于A,B 两点，求线段

AB 的长。

31 已知抛物线方程x y 42

=，直线l 过定点P （-2,1）斜率为k ，当k 为何值时，直线l 与

抛物线：只有一个交点；两个交点；没有交点。 32 选择题

准线方程为2=x 的抛物线的标准方程是（ ）

x y A 4)(2-= x y B 8)(2-= x y C 4)(2= x y D 8)(2=

33 抛物线p F M F M p px y 2)0(22=>=的距离到焦点上一点，求点M 的坐标。 34 图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m ，水面宽4m ，水面下降1m 后，水

面宽多少？

35 正三角形的一个顶点位于原点，另两个顶点在抛物线上上)0(22

>=p px y ，求这个正三角形的边长。

36 人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球的半径为R ，卫星近地点，远地点离地面的距离分别为11,r r ，求卫星轨道的离心率。 37 选择题

曲线

)9(19-2519252

222<=-+=+k k

y k x y x 与曲线的 长轴长相等)(A （B ）短轴长相等 (C)l 离心率相等 （D ）焦距相等

38 双曲线的离心率等于2

5

，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，求此双曲线的方程。 39 当α从1cos 18002

200=+αy x 变化时，方程到表示的曲线形状怎么变化？ 40 设抛物线的顶点为O ，经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点B,C,经过抛物线上一点P 垂直于轴的直线和轴交于点Q ，求证：线段Q O C B Q P 和是的比例中项。 41 正三角形的一个顶点位于抛物线)0(22

>=p px y 的焦点，另两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长。

42 点P 是椭圆160025162

2

=++y x 上一点，F 1，F 2 是椭圆的两个焦点，又知点P 在x 轴上方，F 2为椭圆的右焦点，直线PF 2的斜率为?-求,34PF 1F 2 的面积。

43 从椭圆)0(22

22>>=+b a b

y a x 上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与

x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 正半轴的交点，且510,1+=A F OP AB ，求此椭

圆的方程。

第三章 导数及其应用

1 将原油精炼为汽油，柴油，塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，如果

第

x h 时，原油的温度（单位：C ?）为()80157)(2≤≤+-==x x x x f y ，计算第2h,和

第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。

2 国家环保总局对长期超标准排放污物，污染严重而又未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理。右图是国家环保总局在规定的排污达标日期前，对甲乙两家企业连续监测的结果（W 表示排污量），哪个企业治理的效率比较高？为什么？

3 在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度（单位：m ）是

105.69.4)(2++-=t t t h ，求运动员在t =1s 时的瞬时速度，并解释此时运动的状况。

4 已知函数)(x f 的图像，试画出其导函数f ')(x 的图像大致形状。

5 求描述气球的膨胀状态的函数343)(π

V

V r =的导数 6 求下列函数的导数

x

x y

e x y x x y x n sin cos )3()2(;log )1(23=

=+=

7 已知函数,2813)(2x x x f +-=f ')(0x =4，求0x

8 已知函数x x y ln = （1）求这个函数的导数；

（2）求这个函数的图像在点x =1处的切线方程 9 求曲线）（在点0,sin πM x

x

y =

处的切线方程 10 设函数x e x f x

的图像与-=1)(轴相交于点P ，求曲线在点P 处的切线的方程。 11 判断下列函数的单调性，并求出单调区间

;

12432)()4();,0(,sin )()3(;

32)()2(;

3)()1(2323+-+=∈-=--=+=x x x x f x x x x f x x x f x x x f π

12 如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像。

13 函数)(x f y =的图像如图所示，试画出导函数f ')(x 图像的大致形状

14 讨论二次函数)0()(2

≠++=a c bx ax x f 的单调区间 15 求证:函数762)(2

3

+-=x x x f 在（0,2）内是减函数。 16 求函数443

1)(23

+-=

x x x f 的极值, 17 右图是导函数=y f ')(x 的图像，试找出函数)(x f y =的极值点，并指出哪些是极

大值点，哪些是极小值点。

18 求函数443

1)(23

+-=

x x x f 在[]3,0上的最大值与最小值 19 如图是导函数=y f ')(x 的图像，在标记的点中，在哪一点处 （1）导函数=y f ')(x 有极大值？ （2）导函数=y f ')(x 有极小值？ （3）函数)(x f y =有极大值？

（4）函数)(x f y =有极小值？

20 已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系C=100+4q,单价p 与产量q 的函数关系 q p 8

1

25-

=,求产量q 为何值时，利润L 最大？ 21 已知点p 和点Q 是曲线322

--=x x y 上的两点，且点P 的横坐标是1，点Q 的横坐标是4，求（1）各显PQ 的斜率 （2）点P 的切线方程 22 求下列函数的导数

x

e y x x y x

ln )2(tan 2)1(==

23 求函数32)(x x f =的单调区间

24 已知函数1,2

=++=x q p q px x y 的值，使当试确定时，)(x f 有最小值4 25 已知函数的值处有极大值，求在c x c x x x f 2)()(2

=-=

26 如图，过点P(1,1)作直线AB ，分别与x 正半轴，y 正半轴交于A,B 两点，当AB 在什

么位置时，AOB ?的面积最小，最小面积是多少？

27 如图，直线l 和圆C ，当l 从0l 开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过0

90）时，它扫过的园内阴影部分的面积S 与时间t 的函数，这个函数的大致图像是