初中数学动态几何问题

MC NC

EC CD

(这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键)

中考数学专题 动态几何问题

第一部分真题精讲

【例1】如图，在梯形 ABCD 中，AD II BC , AD 3 , DC 5 , BC 10,梯形的高为4 ?动 点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点 C 运动；动点N 同时从C 点 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点 D 运动?设运动的时间为t (秒)?

(1 )当MN I AB 时，求t 的值；

(2)试探究：t 为何值时，△ MNC 为等腰三角形.

【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同 学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析 动态条件和静态条件之间的关系求解。

对于大多数题目来说， 都有一个由动转静的瞬间，

就

本题而言，M , N 是在动，意味着 BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和 这些动态的条件密切相关的条件

DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。

所以当题中设定 MN//AB 时，就变成了一个静止问题。 由此，从这些条件出发，列出方程，

自然得出结果。 【解析】

解：(1 )由题意知，当 M 、N 运动到t 秒时，如图①，过 D 作DE II AB 交BC 于E 点，则 四边形

ABED 是平行四边形.

??? AB II DE , AB II MN ? ??? DE II MN ?

(根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将

MN 放在三角形

内，将动态问题转化成平行时候的静态问题)

25 8 △MNC为等腰三角形.

??? t 1 ?解得t 50 .

10 3 5 17

【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是

MN=NC 即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN 这两种情况。在中考中如果在动态问题

当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解

【解析】

（2）分三种情况讨论：

①当MN NC时，如图②作NF BC交BC于F ,则有MC 2FC即.（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）

DF4

sin C—

CD5

C

3

?cos

5，

3t

?102t 2 —

5

解得t

8

②当MN MC时，如图③，过M作MH CD于H . 贝U CN 2CH ,

???t 2 10 2t 3.

5

?t 60.

17

③当MC CN时,

则10 2t t .

10

3

综上所述，当t

【例2】在△ABC中，/ACB=45 o .点D (与点B、C不重合)为射线BC上一动点，连接

AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF .

(1)如果AB=AC .如图①，且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系，

并证明你的结论.

(2)如果AB #AC,如图②，且点D在线段BC上运动.(1 )中结论是否成立，为什么？

(3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC = 4.2 ,

BC 3, CD= x，求线段CP的长.(用含x的式子表示)

【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。

由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递, 就可以得解。

【解析】：

(1)结论：CF与BD位置关系是垂直；

证明如下：AB=AC , /ACB=45 o ,「.Z ABC=45 o .

由正方形ADEF 得AD=AF ,T/DAF= ZBAC =90 o,

???ZDAB= /FAC,「.A)AB 也zEAC , ???厶CF= /ABD .

???ZBCF= ZACB+ /ACF= 90 o .即CF丄BD .

【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑

一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找一

样求解。

(2) CF 丄BD . (1)中结论成立.

理由是：过点 A 作AG 丄AC 交BC 于点G ,「.AC=AG 可证：△ GAD 也/CAF

???厶CF= ZAGD=45 o

ZBCF= ZACB+ ZACF= 90 o . 即 CF 丄 BD

【思路分析3】这一问有点棘手，D 在BC 之间运动和它在 BC 延长线上运动时的位置是不 一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是 4+X 还是4-X 。分类讨论之后利

用相似三角形的比例关系即可求出

CP.

(3)过点 A 作AQ 丄BC 交CB 的延长线于点 Q , ①点D 在线段BC 上运动时,

【例3】已知如图，在梯形ABCD 中，AD // BC , AD 2, BC 4,点M 是AD 的中点,

△ MBC 是等边三角形.

(1) 求证：梯形 ABCD 是等腰梯形；

易证△AQD s/DCP , ?

CP CD

,

? CP x

DQ AQ

4x4

2

x CP

x .

4

②点

D 在线段BC 延长线上运动时，

过A 作AG AC 交CB 延长线于点

G ,则

AGD

ACF

△AQD S /DCP , ? CP CD

,

? CP x

DQ AQ

4 x

4

2

x

CP

x .

4

■//BCA=45 o ，可求出 AQ= CQ=4 . ? DQ=4-x , ■//BCA=45 o ，可求出 AQ= CQ=4 , ? DQ=4+x

(2) 动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且/ MPQ 60保持不变.设

PC x, MQ y,求y与x的函数关系式；

(3) 在(2)中，当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由. M

【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察

几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例

1 一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定/

MPQ=60 。这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来?因为最终求两条线段的关系，所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系?怎么证相似三角形呢？当然是利用角度咯?于是就有了思路?

【解析】

(1)证明：??? △ MBC是等边三角形

???MB MC,Z MBC / MCB 60

???M是AD中点

?AM MD

?/ AD // BC

???/AMB / MBC 60 ,

/ DMC / MCB 60 ???△ AMB DMC

?AB DC

?梯形ABCD是等腰梯形.

Z MPQ 60

???/ BMP Z BPM Z BPM Z QPC 120

（这个角度传递非常重要,大家要仔细揣

摩）

? Z BMP Z QPC ? △ BMP CQP ?竺 CQ "BM BP

? y -x 2 x 4 4 (设元以后得出比例关系，轻松化成二次函数的样子)

【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很 轻易就

可以求出当 X 取对称轴的值时Y 有最小值。接下来就变成了 “给定PC=2，求APQC 形状”的问题了。由已知的

BC=4，自然看出P 是中点，于是问题轻松求解。

(3)解： △ PQC 为直角三角形

1 2

??? y - x 2

3

4

???当y 取最小值时，x PC 2

? P 是 BC 的中点，MP BC ,而 Z MPQ 60 , ? Z CPQ 30 , ?Z PQC 90

以上三类题目都是动点问题， 这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件， 例如某

边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研

(2)解：在等边△ MBC 中，MB MC

BC 4,/ MBC / MCB 60 ,

??? PC x , MQ

y ??BP 4 x , QC 4 y

究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不

是一样呢？接下来我们看另外两道题.

【例4】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG,CG .

(1)直接写出线段EG与CG的数量关系；

(2)将图1中BEF绕B点逆时针旋转45，如图2所示，取DF中点G ,连接EG , CG , 你在(1 )

中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.

(3)将图1中BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问(1 )中

的结论是否仍然成立？(不要求证明)

D

C C

【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45。到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线

自然相等。第二问将△ BEF旋转45。之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE ,

我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G 点

做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。

（1）CG EG

（2）（ 1 ）中结论没有发生变化，即CG EG .

证明：连接AG，过G点作MN AD于M，与EF的延长线交于N点.

在DAG与DCG中，

?/ AD CD, ADG CDG , DG DG ,

??? DAG 也DCG .

二AG CG .

在DMG与FNG中，

?/ DGM FGN , FG DG , MDG NFG ,

?DMG 也FNG .

?MG NG

在矩形AENM中，AM EN

在Rt AMG 与Rt ENG 中，

?/ AM EN , MG NG ,

?- AMG 也ENG .

? AG EG .

?EG CG

D

C

【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是

我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△ BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己

研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在△BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G 点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF 这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角

形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。

（3）（ 1 ）中的结论仍然成立.

C

【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE 交射线DC于点F,将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B'处.

BE

(1 )当---- =1 时，CF= cm ,

CE

BE

(2)当=2 时，求sin /DAB '的值;

CE

BE

（3 ）当——=x时（点C与点E不重合），请写出厶ABE翻折后与正方形ABCD公共CE

部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）

【思路分析】 动态问题未必只有点的平移， 图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。 这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为 1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以 也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。 同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发 生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图

形也意味着大量全等或者相似关系， 所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。 尤其注意

的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，

E 在BC 上和E 在延长线上都是可能的，所以

?/ AB //CF ,.?.ZBAE= ZF. 又Z BAE= ZB ' AE ,

? ZB ' AE= /F .「. MA=MF .

设 MA=MF=k ，贝U MC=k -3 , DM=9-k . 在Rt △KDM 中，由勾股定理得：

13

5

k 2=(9-k) 2+6 2 ,解得k=MA= .

? DM=.(设元求解是这类题型中比较重要

2

2

的方法）

【解析】

（1） CF= 6 cm ；（延长之后一眼看出，

EAZY ）

（2） ①如图1，当点E 在BC 上时，延长AB '交DC 于点M ,

?/ AB //CF ,

△\BE S /FCE .

BE CE

AB FC

BE

CE

=2 ,

??? CF=3 .

图1

②如图2 ,当点E 在BC 延长线上时，延长AD 交B ' E 于点N , 同

①可得NA=NE .

设 NA=NE=m ，贝U B ' N=12-m . 在Rt △KB ' N 中，由勾股定理，得

15

9 m 2=(12-m) 2+6 2, 解得 m=AN= .

? B ' N= - .

2

2

(所求A A B ' E 的面积即为△ ABE 的面积，再由相似表示出边长)

【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形 动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出

，所以难度不言而喻，但是希望考

生拿到题以后不要慌张，因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那 些不变的量。只要条分缕析，一个个将条件抽出来，将大问题化成若干个小问题去解决 ，就很

轻

松了 .为更好的帮助考生，笔者总结这种问题的一般思路如下：

第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要

??? sin /DAB =

DM AM

5 13

sin /DAB '

BN AN

(3)①当点E 在BC 上时,

y= 18x

厂；

\

/ \

\

B /

\F

'一 D

C

\

N

\\

E

②当点E 在BC 延长线上时,

18x 18 y=

x

2

分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们

和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。

第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的 关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。 第三、做题过程中时刻注意分类讨论， 不同的情况下题目是否有不同的表现，

很多同学丢

分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式， 如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。

第二部分发散思考

【思考1】已知：如图（1），射线AM //射线BN ，AB 是它们的公垂线，点 D 、C 分别 在

AM 、BN 上运动（点D 与点A 不重合、点C 与点B 不重合），E 是AB 边上的动 点（点E

与A 、B 不重合），在运动过程中始终保持 DE EC ，且AD DE AB a . （1） 求证： ADE s BEC ；

（2） 如图（2），当点E 为AB 边的中点时，求证：AD BC CD ;

（3） 设AE m ，请探究： BEC 的周长是否与 m 值有关？若有关，请用含有 m 的代

数式表示 BEC 的周长；若无关，请说明理由.

【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个

直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要

D M

B

第25题（1） D M

B C N

第25题（2）

将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于 就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。

【思考2】△KBC 是等边三角形，P 为平面内的一个动点， BP=BA ，若0 v/PBC v 180 且/PBC

平分线上的一点 D 满足DB=DA ,

(1 )当BP 与BA 重合时(如图1), Z BPD= __________ ° ; (2) 当BP 在/ABC 的内部时(如图 2),求/ BPD 的度数；

(3) 当BP 在/ABC 的外部时，请你直接写出/ BPD 的度数，并画出相应的图形.

【思路分析】本题中，和动点 P 相关的动量有/ PBC ，以及D 点的位置，但是不动的量就 是BD 是平分线并且 DB=DA ,从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、

全等三角形。

事实上，P 点的轨迹就是以B 为圆心，BA 为半径的一个圆，那D 点是什么呢？留给大家思 考一下?

3 【思考3】如图：已知，四边形 ABCD 中，AD//BC , DC 丄BC,已知AB=5 , BC=6 , cosB= - .

5

点0为BC 边上的一个动点，连结 0D ，以0为圆心，BO 为半径的O O 分别交边AB 于点 P ,交线段0D 于点M ，交射线BC 于点N ，连结MN . (1 )当BO=AD 时，求BP 的长； (2 )点0运动的过程中，是否存在 BP=MN 的情况？若存在，请求出当

B0为多长时

BP=MN ;若不存在，请说明理由;

M 的函数，那么

【思路分析】 这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。 在和圆有关的 问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。 本题第一问比较 简单，等腰梯形中的计算问题。 第二问则需要用设元的方法表示出 MN 和BP ，从而讨论他 们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。

【思考4】在YABCD 中，过点C 作CE 丄CD 交AD 于点E,将线段EC 绕点E 逆时针旋转90° 得到线段EF(如图1)

C 存在时,

(1)在图1中画图探究：

① 当P 为射线CD 上任意一点(P i 不与C 重合)时，连结EP i 绕点E 逆时针旋转90° 得到线段EC i .判断直线FC i 与直线CD 的位置关系，并加以证明；

② 当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结 EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转

90°得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的

结论?

的函数关系式，并写出自变量

x 的取值范围

【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。 事实上就在于如何把握这个旋转

90 °的条件。旋转90。自然就是垂直关系，于是又出现了一

堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，但 是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，

漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议

大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。

(2 )右 AD=6,tanB=

4

,AE=1,在①的条件下，设

3

CP 1= x , S VRFG = y ，求 y 与 x 之间

AED EDA

90

?

1 1 (AD BC) CD

2

2

AD BC CD ?

设 AD x ，贝U DE

2 2 2 2

AE AD .即 a 2 ax x

2a

(1 )知 ADE s BEC ,

第三部分 思考题解析

【思考1解析】 (1)证明：???

DE EC DEC 90 ???

AED BEC 90 .

BEC EDA

?

ADE s BEC

?

(2)证明：如图，过点

E 作E

F II BC ，交CD 于点 ??? E 是AB 的中点，容易证明

EF

在 Rt DEC 中，??? DF CF

A

F

B

第25题

1(AD BC)?

(3) 解： AED 的周长

AE AD DE am , BE

又???

A

B 90

A 90 ,? DE 2

ADE 的周长

2 2 a m

AD2a a m

BEC的周长BE am 2a

BEC的周长

2a

ADE的周长2a a m

BEC的周长与m值无关

【思考2答案】

解：(1 )/BPD= 30 ° ;

(2)如图8，连结CD .

解一：???点D在/PBC的平分线上，

??? Z1= Z2 .

??? △ABC是等边三角形，

??? BA=BC=AC，/ACB= 60 ° .

??? BP=BA ,

?BP=BC.

?/ BD= BD ,

△PBD^zCBD .

?ZBPD= Z3 . -------------------------------3

?/ DB=DA , BC=AC , CD=CD ,

:.△BCDSCD .

1

3 4 ACB 30 .

2

?/BPD =30 ° .

解二：??? △ABC是等边三角形，

?BA =BC=AC .

?/ DB=DA ,

?CD垂直平分AB.

图8

1

3 4 ACB 30 .

2