最新初中数学的几何最值问题
1. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O
的最大距离为【 】
A ．21+
B ．5
C ．1455 5
D ．52
2.在锐角三角形ABC 中，BC=24，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，
M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是 。
3.如图，圆柱底面半径为2cm ，高为9cm π，点A 、B 分别是圆柱两底
面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕
3圈到B ，求棉线最短为 cm 。
4. 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是BC 边上的中线，则AD 的取值范
围是 ．
5.如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm .若一只蚂蚁从
P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为
【 】
A.13cm
B.12cm
C.10cm
D.8cm
6.如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC
的中点，点P 为线段EF 上一个动点，连接BP 、GP ，则△BPG 的周长的最
小值是 ．
7.如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，
CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为 A ． 1 B ．3
C ． 2
D ．3＋1
8. 如图，点A 的坐标为（-1，0），点B 在直线y x =上运动，当线段
AB 最短时，点B 的坐标为【 】A.（0，0） B.（2
1-，21-） C.（2
2，22-） D.（22-，22-）
9. 如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D是线
段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连
接EF，则线段EF长度的最小值为．
10.已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，
问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？
问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)，以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
11. 如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．
（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
12. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）
答：结论一：；结论二：；结论三：．
（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）
13.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．
（1）求证：△MDC是等边三角形；
（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD 交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．
14.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切
⊙O于点Q，则PQ的最小值为【】
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，
当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．
（1）求AC、BC的长；
（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y
（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并
写出自变量x的取值范围；
（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q
为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；
（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．
16. 如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯
底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上
沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为
cm．
17. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、
CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度
数为【】
A．130° B．120° C．110° D．100°
18. 点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点
上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得
-的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最
PA PB
?＝．
小的点，则OP OQ
19. 阅读材料： 例：说明代数式 22x 1(x 3)4++-＋的几何意义，并求它的最小值．
解： 222222x 1(x 3) 4 (x 0)1(x 3)2++-+=-++-+，如图，建立平面直角坐标系，点P （x ，0）是x 轴上一点，则22(x 0)1-+可以看成点P 与点A （0，1）的距离，22(x 3)2-+可以看成点P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA ＋PB 的最小值．
设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA ＋PB 的最小值，只需求PA′＋PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，所以PA′＋PB 的最小值为线段A′B 的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=32，即原式的最小值为32。
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）代数式22(x 1)1(x 2)9-++-+的值可以看成平面直角坐
标系中点P （x ，0）与点A （1，1）、点B 的距离之和．（填
写点B 的坐标）
（2）代数式 22x 49x 12x 37++-+的最小值为 ．
20.如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、
BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE，
那么DE 长的最小值是 ▲ ．
21.如图，在平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=10，F 为AD 的中点，CE⊥AB 于E ，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．
（1）当α=60°时，求CE 的长；
（2）当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k ，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求
出k 的值；若不存在，请说明理由．
②连接CF ，当CE 2﹣CF 2
取最大值时，求tan∠DCF 的值．
22.等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。
（1）求证：AM=AN；
（2）设BP=x。
①若，BM=
3
8
，求x的值；
②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；
③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。
23.如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过
点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为()
x2x4
<<.
⑴当
5
x=
2
时，求弦PA、PB的长度；
⑵当x为何值时，PD PC
?的值最大？最大值是多少？
l
P
D
B
O
A
24.如图，正三角形ABC的边长为3+3．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E'F'P'N'，且使正方形E'F'P'N'的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E'F'P'N'的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．
25.如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．
初中数学常用几何模型及构造方法大全
初中数学常用几何模型及构造方法大全几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间… 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型 角分线模型 往角两边作垂线 往角两边截取等线段 过角分线某点作垂线 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形 遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等 遇中点旋180度，造中心对称 共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。
模型变换 说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
初中数学几何最值问题典型例题
初中数学几何最值问题 典型例题 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 1．如图：点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =PMN 的周长的最小值为 ． 【分析】作P 关于OA ，OB 的对称点C ，D ．连接OC ，OD ．则当M ，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD 的长．根据对称的性质可以证得：△COD 是等腰直角三角形，据此即可求解． 【解答】解：作P 关于OA ，OB 的对称点C ，D ．连接OC ，OD ．则当M ，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD 的长． ∵PC 关于OA 对称， ∴∠COP =2∠AOP ，OC =OP 同理，∠DOP =2∠BOP ，OP =OD ∴∠COD =∠COP +∠DOP =2（∠AOP +∠BOP ）=2∠AOB =90°，OC =OD ． ∴△COD 是等腰直角三角形． 则CD OC ． 【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN 周长最小的条件是解题的关键． 2．如图，当四边形PABN 的周长最小时，a = ．
初中数学几何最值问题综合测试卷(含答案)
初中数学几何最值问题综合测试卷 一、单选题(共6道，每道16分) 1.如图,已知∠MON=40°,P为∠MON内一定点,OM上有一点A,ON上有一点B,当△PAB的周长取最小值时,求∠APB的度数为( ) A.100° B.110° C.140° D.80° 答案：A 解题思路：作定点P关于直线OM，ON的对称点，然后利用两点之间线段最短解题． 试题难度：三颗星知识点：最值问题 2.如图,当四边形PABN的周长最小时,a的值为( ) A. B.1 C.2 D. 答案：A 解题思路：先平移AP或BN使P，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点，然后利用两点之间线段最短解题． 试题难度：三颗星知识点：最值问题 3.如图,已知两点A,B在直线l的异侧,A到直线l的距离AC=6,B到直线l的距离BD=2,CD=3,点
P在直线l上运动,则的最大值为( ) A. B.3 C.1 D.5 答案：D 解题思路：作其中一个定点关于定直线l的对称点，然后利用三角形三边关系解题． 试题难度：三颗星知识点：最值问题 4.如图,直角梯形纸片ABCD中,AD⊥AB,AB=4,AD=2,CD=3,点E,F分别在线段AB,AD上,将△AEF 沿EF翻折,点A的落点记为P.当点P落在直角梯形ABCD内部时,PD的最小值为( ) A.2 B.1 C. D.3 答案：C 解题思路：找运动过程中的不变特征进行转化，转化成求DP+PE+EB的最大值，减少变量，然后利用两点之间线段最短来解题． 试题难度：三颗星知识点：最值问题 5.如图,∠MON=90°,等腰Rt△ABC的顶点A,B分别在OM,ON上,当点B在ON上运动时,点A
初中：数学几何模型大全
全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题
旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 自旋转模型构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称
共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。
模型变形 说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转： 说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
(完整)初中数学“最值问题”_集锦
“最值问题”集锦 ●平面几何中的最值问题 (01) ●几何的定值与最值 (07) ●最短路线问题 (14) ●对称问题 (18) ●巧作“对称点”妙解最值题 (22) ●数学最值题的常用解法 (26) ●求最值问题 (29) ●有理数的一题多解 (34) ●4道经典题 (37) ●平面几何中的最值问题 在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例． 在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 最值问题的解决方法通常有两种： （1）应用几何性质： ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④定圆中的所有弦中，直径最长。 ⑵运用代数证法： ①运用配方法求二次三项式的最值； ②运用一元二次方程根的判别式。 例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。 分析：在直线L上任取一点P’，连结A P’，BP’，
在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段AB上，而线段AB 与直线L无交点，所以这种思路错误。 取点A关于直线L的对称点A’，则AP’＝ AP， 在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时 A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+PB最小。 1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？ 分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．解作DE⊥AB于E，则x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry， 所以 所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可． -x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2， 上式只有当x=R时取等号，这时有 所以2y=R=x． 所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D， 这时，梯形的底角恰为60°和120°． 2 .如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出 最大面积，使得窗户透光最好？ 分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有2x+2y+πx=8，
初中数学《几何最值问题》典型例题
初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD
2018中考数学专题复习 几何最值问题综合课(pdf,无答案)
知识板块 考点一：几何图形中的最小值问题 方法： 1.找对称点求线段的最小值； 步骤：①找已知点的对称点，动点在哪条线上动，就是对称轴； ②连接对称点与另一个已知点； ③与对称轴的交点即是要找的点；通常用勾股定理求线段长； 2.利用三角形三边关系：两边之差小于第三边； 3.转化成其他线段，间接求线段的最小值；例如：用点到直线的距离最短，通过作垂线求最值； 4.用二次函数中开口向上的函数有最小值； 考点二：几何图形中的最大值问题 方法： 1.当两点位于直线的同侧时，与动点所在的直线的交点，这三点在同一直线时，线段差有最大值； 2.当两点位于直线的异侧时，先找对称点，同样三点位于同一直线时，线段差有最大值； 3.利用三角形三边关系：两边之和大于第三边； 4.用二次函数中开口向下的函数有最大值； 例题板块 考点一：几何图形中的最小值问题 例1.如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE=2，AE=3BE ，P 是AC 上一动点，则PB+PE 的最小值是 _________ ． 图1 图2 图3 例2.如图2，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 ． 例3.如图3，点P 是Rt △ABC 斜边AB 上的一点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，BC=6，AC=8，则线段EF 长的最小值为 ； 第一节 几何最值问题专项
例4.如图，在Rt △ABC 中，AB=BC=6，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，AE=3，CF=1，P 是斜边AC 上的一个动点，则△PEF 周长的最小值为 . 图4 图5 例5.如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 的坐标为（9，0），点C 的坐标为（2，0），tan ∠BOA= A ．67 B ．231 C. 6 D ．193+ 例6．如图6，等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C 的半径为1，点P 在斜边AB 上，PQ 切⊙O 于点Q ，则切线长PQ 长度的最小值为（ ） 图6 图7 图8 例7.如图7，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 上两个动点，且PQ=3，当CQ= _________ 时，四边形APQE 的周长最小． 考点二：几何图形中的最大值问题 例1.已知点A （1，2）、B （4，-4），P 为x 轴上一动点． （1）若|PA |+|PB |有最小值时，求点P 的坐标； （2）若|PB |-|PA |有最大值时，求点P 的坐标． 例2.如图8所示，已知A 11 (,y )2，B 2(2,y )为反比例函数1y x =图像上的两点，动点P (x,0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是 .
初中数学最值问题集锦 几何地定值与最值
几何的定值与最值 几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或 几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本 方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法， 先探求出定值，再给出证明． 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量 (如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基 本方法有： 1．特殊位置与极端位置法； 2．几何定理(公理)法； 3．数形结合法等． 注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这 是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数 形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法． 【例题就解】 【例1】 如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以 AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ． 思路点拨 如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′， DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=2 1AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小， 本例也可设AP=x ，则PB=x 10，从代数角度探求CD 的最小值． 注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特 殊位置与极端位置是指： (1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等． 【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度 数（ ） ⌒
初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A C D E 图 2 O A B C D E O A B C D E 图 1 图 2
二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③ ===OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22 22CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21 S △BCD ?= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2 1 S S S =+= 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21 S S =- O B C O A C D E O B C D E O A C D A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4
(完整版)初中数学常用几何模型及构造方法大全
g a t a t i m e a n d A l l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o 初中数学常用几何模型及构造方法大全， 掌握它轻松搞定压轴题！ 几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~全等变换 平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题
g a t a t i m e a n d A l l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。自旋转模型构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形; 遇90度旋90度，造等腰直角;遇等腰旋顶点，造旋转全等; 遇中点旋180度，造中心对称. 共旋转模型
初中数学几何经典模型
初中数学几何模型 【模型1】倍长 1、 倍长中线； 2、倍长类中线； 3、中点遇平行延长相交 E D A B C F D A B C E ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【模型2】遇多个中点，构造中位线 1、 直接连接中点； 2、连对角线取中点再相连 【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC =60°，G 是DF 的中点，连接GC 、GE ． （1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB =10，BF =4，求GE 的长； （2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GC 、GE 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明； （3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明. 图3 图2图1G F D C G F D C G F D C A B E E B A E B A 【例2】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE =AF ， 中点模型
BAF DAE∠ = ∠． (1)求证：CE=CF； (2)若? = ∠120 ABC，点G是线段AF的中点，连接DG，EG．求证：DG上GE． 【例3】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别为BC、AD中点，BA交EF延长线于G，CD交EF于H．求证：∠BGE=∠CHE． H G E F A B D C 【模型1】构造轴对称 【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【例4】如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于F，交AD边于H，延长BA到点G，使AG=CF，连接GF．若BC=7，DF=3，EH=3AE，则GF 的长为. 角平分线模型
初中数学——最全：初中数学几何模型
最全：初中数学几何模型 几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，小编整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~ 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形；遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等；遇中点旋180度，造中心对称
共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。
模型变形 说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
初中数学最值问题专题分类讲解全书
初中数学最值问题专题分类讲解全书 ●平面几何中的最值问题 ●几何的定值与最值 ●最短路线问题 ●对称问题 ●巧作―对称点‖妙解最值题 ●数学最值题的常用解法 ●求最值问题 ●有理数的一题多解
●平面几何中的最值问题 在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例． 在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 最值问题的解决方法通常有两种： （1）应用几何性质： ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④定圆中的所有弦中，直径最长。 ⑵运用代数证法： ①运用配方法求二次三项式的最值； ②运用一元二次方程根的判别式。 例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。 分析：在直线L上任取一点P’，连结A P’，BP’， 在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段AB上，而线段AB与直线L无交点，所以这种思路错误。 取点A关于直线L的对称点A’，则AP’＝AP，
在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+PB最小。 1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？ 分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可． 解作DE⊥AB于E，则x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry， 所以 所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可． -x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2， 上式只有当x=R时取等号，这时有 所以2y=R=x． 所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D， 这时，梯形的底角恰为60°和120°． 2 .如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出 最大面积，使得窗户透光最好？
中考数学压轴题突破：几何最值问题大全
中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡 不归、阿波罗尼斯圆等） 一、基本图形 所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。 由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。 余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。 已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。 上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。 二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。 （一）直接包含基本图形 例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。
简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。 （二）动点路径待确定 例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。 简析：A是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中B'的路径是以C为圆心，BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。 例3.在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=3/5，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A'B'C，点E是BC上的中点，点F为线段AB上
精彩初中几何最值问题全总结
一、基本图形 余不赘述，下面仅举一例证明： [定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。 已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO， AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。 上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。 二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。 类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。 （一）直接包含基本图形。 例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。
简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。 （二）动点路径待确定。 例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB 边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。 简析：A是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中B'的路径是以C为圆心，BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。
初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型 Prepared on 24 November 2020
初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED 二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E O C D E 图 1图 2O C O C D E O B C D E O C D
③ ===OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22 22CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21 S △BCD ?= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2 1 S S S =+= 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21 S S =- （2）全等型-120° 【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43 S S S =+= 证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。 （3）全等型-任意角ɑ 【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE ； 【结论】：①OC 平分∠AOB ；②OD+OE=2OC ·cos ɑ； ③α cos αsin OC S S S 2△OCE △OCD △DCE ??=+= ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如右下图）： 原结论变成：①； ②； ③。 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4 A
初中数学几何旋转最值最短路径问题专题训练
初中数学几何旋转最值最短路径问题专题训练专练3 最短路径模型——旋转最值类 基本模型图: 【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连 结B′D，则B′D的 最小值是（）． A． B.6 C. D.4 【思路探究】根据E为AB中点，BE＝B′E可知，点A、B、B′在以点E为圆心，AE长为半径的圆上，D、E为定点，B′是动点，当E、B′、D三点共线时，B′D的长最小，此时B′D＝DE－EB′，问题得解. 【解析】∵AE＝BE，BE＝B′E，由圆的定义可知，A、B、B′在以点E为圆心，AB长为直径的圆上，如图所示. B′D的长最小值= DE－EB′.故选A． 22 -=-
【启示】此题属于动点（B′）到一定点（E ）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E 为圆心，EB′为半径的定圆，当点D 到圆上的最小距离为点D 到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如，当且仅当点E 、B′、D 三点共线B D DE B E ''≤-时，等号成立. 【典例2】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ，若正方形的边长是2，则线段DH 长度的最小值是 . 【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆上.取AB 中点O ，当D 、H 、O 三点共线时，DH 的值最小，此时DH ＝OD －OH ，问题得解. 【解析】由△ABE ≌△DCF ，得∠ABE ＝∠DCF ，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF ＝∠DAG ，∠ABE ＝∠DAG ，所以∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆弧上.取AB 中 点O ，OD 交⊙O 于点H ，此时DH 最小，∵OH ＝， OD ＝，∴DH 的最小值为112 AB =OD －OH . 1【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H 在以AB 为直径的圆上，点D 在圆外，DH 的最小值为DO －OH .当然此题也可利用的基本模型解决. DH OD OH ≤-【针对训练 】 1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，当点A 在轴正半轴上运动时，点C 随之在轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大x y 距离为（ ）. A B C ． D ．31
初中数学几何模型大全+经典题型
初中数学几何模型大全+ 经典题型（含答案） 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。 垂直也可以做为轴进行对称全等。 说明：上图依次是45°、30°、°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
半角：有一个角含1/2 角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全 构造方法：遇60 度旋60 度，造等边三角形 遇90 度旋90 度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180 度，造中心对称
说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“ 8”字模型可以证明。 说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。 说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等 腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和
初中数学最值问题集锦+几何的定值与最值
几何的定值与最值 几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明． 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有： 1．特殊位置与极端位置法； 2．几何定理(公理)法； 3．数形结合法等． 注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法． 【例题就解】 【例1】如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD，则CD长度的最小值为．思路点拨如图，作CC′⊥AB于C，DD′⊥AB于D′， 1AB一常数，当CQ越小，CD越小， DQ⊥CC′，CD2=DQ2+CQ2，DQ= 2 本例也可设AP=x，则PB=x 10，从代数角度探求CD的最小值． 注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指： (1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等． 【例2】如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB滚动， ⌒ 切点为T，圆交AC、BC于M、N，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN为的度数（）
A ．从30°到60°变动 B ．从60°到90°变动 C ．保持30°不变 D ．保持60°不变 思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时， 其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断． 注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下， 动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变 化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时， 研究的量取得定值与最值． 【例3】 如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b (a >b )，P 为AB 边上 的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP+BQ 的最小值． 思路点拨 设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运 用不等式ab b a 222≥+ (当且仅当b a =时取等号)来求最小值． 【例4】 如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘 积与M 点的选择无关． 思路点拨 即要证AK ·BN 是一个定值，在图形中△ABC 的边长是一个定值，说明AK ·BN 与AB 有关，从图知AB 为 △ABM 与△ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AK ·BN=AB 2， 从而我们的证明目标更加明确． 注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证 明问题． 【例5】 已知△XYZ 是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的 三个顶点分别在等腰Rt △ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC 直角边长的最大可 能值． 思路点拨 顶点Z 在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z 在斜边AB 上时， 取xy 的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z 在(AC 或CB) 上时，设CX=x ，CZ=y ，建立x ，y 的关系式，运用代数的方法求直角边的最大 ⌒