概率论与数理统计复习题
概率论与数理统计复习题
一、填空题
1.若()0.4,()0.5,()0.4,P A P B P A
B ===则 ()____P A B =U .
2.设2(),(),E X D x μσ==由切比雪夫不等式知{}22P X μσμσ-<<+≥ .
3.设总体),(~2
σμN X ,2σ未知,检验假设00:μμ=H 的检验统计量为 。
4.已知,A , B 两个事件满足条件)()(B A P AB P Y =,且p A P =)(,则=)(B P 。
5.设三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,如果已知A 至少出现一次的概率等于27
19
,则事件A 在一次试验中出现的概率为 。
6.同时抛掷3枚硬币,以X 表示出正面的个数,则X 的概率分布为 。 7.设随机变量X 的概率密度为?
??<<=,,0,
10,2)(其他x x x f 用Y 表示对X 的3次独立重复观
察中事件?
??
?
??≤21X
出现的次数,则{}==2Y P 。 8.设随机变量X ~),2(2
σN ,且{}3.042=< 9.设随机变量X 2X Y =的分布律为 。 10.若二维随机变量(X , Y )的区域{ }2 22|),(R y x y x ≤+上服从均匀分布,则(X ,Y ) 的密度函数为 。 11.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为 ??? ??>>=+-,, 0,1,1,),(21其他y x x e y x f y 则=)(x f X 。 12.设随机变量X 的分布律为 =)(2X E 。 13.设随机变量X 的概率密度为 ?????+∞<<=其他, 01,)(3 x x A x f 则A = 。 14.设)4,1(~N X ,则=)(X E ,=)(X D 。 15.已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布,X Y 312-=,则=)(Y D 。 16.从一批零件的毛坯中随机抽取8件,测得它们的重量(单位:kg )为230,243,185,240,228,196,246,200则样本均值=x ,样本方差 =2S 。 17.设总体n X X X N X ,,,),,(~212 Λσμ是来自总体X 的样本,则=)(X E , =)(X D 。 18.设总体n X X X n X ,,,),(~212 Λχ是来自总体X 的样本, =)(X E 。 19.设总体X 服从参数为λ的泊松分布,其中0>λ为未知,n X X X ,,,21Λ为来自总体 X 的样本,则λ的矩估计量为=λ ? 。 20.设总体2 2),,(~σσμN X 为已知,μ为未知,n X X X ,,,21Λ为来自总体的样本, 则参数μ的置信度为α-1的置信区间为 。 二、单选题 1.设两个随机变量X 与Y 的方差分别为25和16,相关系数为0.2,则 ()D X Y -=)( 。 (A) 33 ; (B) 44 ; (C) 76 ; (D) 84。 2.若),(y x f 是二维随机变量),(Y X 的密度函数,则),(Y X 关于X 的边缘分布密度函数为( ). (A ) ;),(dx y x f ?+∞∞ - (B )?+∞∞ -;),(dy y x f (C );),(dx y x f y ?∞ - (D )(,)x f x y dx -∞ ? . 3.已知随机变量X 服从二项分布,且() 2.4,() 1.68,E X D X ==则二项分布的 参数,n p 的值为( ). (A)4,0.6;n p == (B)8,0.3;n p == (C)7,0.3;n p == (D)5,0.6.n p == 4.设随机变量),1,0(~N X ,12+=X Y 则Y 服从( ). (A ));4,1(N (B ));1,0(N (C ));1,1(N (D ))2,1(N . 5.若),(y x f 是二维随机变量),(Y X 的密度函数,则),(Y X 关于X 的边缘分布密度函数为( ). (A ) ;),(dx y x f ? +∞∞ - (B )? +∞∞ -;),(dy y x f (C );),(dy y x f y ? ∞ - (D )dx y x f y ),(? ∞ -. 6.设X 的为随机变量,则=-)32(X E ( ). (A ))(2X E ; (B )3)(4-X E ; (C )3)(2+X E ; (D )3)(2-X E . 7.设总体n X X X N X ,,,),,(~212 Λσμ是总体X 的样本,下列结论不正确的是( ). (A ))1,0(~/N n X σμ -; (B ) )1(~)(1 2122 --∑=n X n i i χμσ; (C ) )1(~/--n t n S X μ ; (D ) )1(~)(1 2122 --∑∞ =n X X i i χσ. 8.设X 是来自总体),(211σμN 的容量为m 的样本的样本均值,Y 是来自总体),(2 2 2σμN 的容量为n 的样本的样本均值,两个总体相互独立,则下列结论正确的是( ). (A )),(~2 2 2 121n m N Y X σσμμ---;(B )),(~2 2 2 121n m N Y X σσμμ--+; (C )), (~22 2 121n m N Y X σσμμ+ -+;(D )), (~22 2 121n m N Y X σσμμ+ --. 9.设总体n X X X N X ,,,),,(~212 Λσμ是来自总体X 的样本,则= <-}/{025.0μσμn X P ( ). (A )0.975; (B )0.025; (C )0.95; (D )0.05. 10.设总体X 的均值为],0[a 上服从均匀分布,其中0>a 未知,则a 的极大似然估计量为( ). (A )2113121?X X +=μ ; (B )321231 6121?X X X ++=μ ; (C )3213312141?X X X ++=μ ; (D )3214313231?X X X ++=μ. 1 11.设总体),(~2 σμN X ,2σ未知,检验假设00:μμ=H 所用的检验统计量为( ). (A ) n X /0 σμ-; (B ) n S X /0μ-; (C ) 2 2 )1(σ S n -; (D ) ∑=-n i i X 1 22 )(1 μσ . 三、计算题 1.两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为 0.02,加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍. (1)求任意取出的一个零件是合格品的概率; (2)如果任取的一个零件是废品,求它是第二台车床加工的概率. 2.某商店成箱出售玻璃杯,每箱20只,假设各箱中有0,1,2只残次品的概率依次为0.8,0.1,0.1;一顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员随机地取一箱,而顾客随机地察看该箱中的4只玻璃杯,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回,求 (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率; (2)在顾客买下的一箱中确实没有残次品的概率. 3.设随机变量X 的概率分布为 X k P 又2X Y =, (1)求Y 的概率分布及()E Y ,()D Y . (2)求相关系数XY ρ,问X 与Y 是否不相关?是否独立? 4.在4重伯努力试验中,已知事件A 至少出现一次的概率为0.5,求在一次试验中事件A 出的概率. 5.一批产品由9个正品和3个次品组成,从这批产品中每次任取一个,取后不放回,直到取到正品为止,用X 表示取到的次品个数,写出X 的概率分布及分布函数. 6.设随机变量),(Y X 的概率密度为 ? ? ?>>=+-其他 ,00 ,0, e ),()43(y x C y x f y x 试求:(1)常数C ; (2)}20,10{≤<≤ 7.设连续型随机变量X 的分布函数为 ? ????≥><<-+-≤=a x a a x a a x B A a x x F , 1)0(,,arcsin ;, 0)( 求:(1)常数A ,B ;(2)随机变量X 落在)2 ,2(a a -内的概率;(3)X 的概率密度函数. 8.已知随机变量X 的概率密度为???? ≤>=-0,0,0,)(x x e x f x 求随机变量2 X Y =的概率分布. 9.一口袋中装有4个球,依次标有1,2,2,3.今从口袋中任取1球,取后不放回,再从口袋中任取1球.以X 和Y 分布记第一次、第二次取得的球上标有的数字,求(1)),(Y X 的概率分布;(2)概率{}4≥+Y X P . 10.已知二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ???>>=+-其他, 0, 0,0,),()2(y x e y x f y x λ 求(1)常数λ;(2)),(Y X 的分布函数. 11.设),(Y X 的分布函数为 )3 arctan )(2arctan (),(y C x B A y x F ++= 求(1)常数C B A ,,;(2)),(Y X 的密度函数;(3)),(Y X 关于X 、关于Y 的边缘分布函数;(4)问X 与Y 是否相互独立? 12.设随机变量X 的概率密度为 ???≤>=-0 ,00,e )(x x x f x 求(1)X Y 2=,(2)X Y 2e -=的数学期望. 13.一台设备由三大部件构成,在该设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3.假设各部件的状态相互独立,以X 表示需要调整的部件数,求X 的概率分布,数学期望和方差. 14.某种电子元件的寿命服从均值为100小时的指数分布,现随机取出16只,设它们的寿命相互独立,求这16只元件的寿命的和大于1920小时的概率. 15.设总体X 的概率密度函数为f(x)=(α+1)x α,0 法求参数α的估计量。 16.设总体X 的数学期望μ=)(X E ,方差n X X X X D ,,,,)(212 Λσ=是来自总体X 的 样本,记∑=-=n i i X n Y 1 2)(1μ,求)(Y E . 17.某工厂生产一批铆钉,现要检验铆钉头部直径,从这批产品中随机抽取12只,测得头部直径(单位:mm )如下: 13.30, 13.38, 13.40, 13.43, 13.32, 13.48, 13.54, 13.31, 13.34, 13.47, 13.44, 13.55. 设铆钉头部直径X 服从正态分布),(2 σμN ,试求μ与2σ的矩估计值. 18.从正态总体),(2 σμN 中抽取容量为5的样本值: 1.86, 3.22, 1.46, 4.01, 2.64, (1)已知3=μ,求2σ的置信水平为0.95的置信区间; (2)若μ未知,求2σ的置信水平为0.95的置信区间. 2011 ~2012 学年第一学期《概率论与数理统计》考试试题A卷班级(学生填写): 姓名: 学号: 命题: 审题: 审批: --------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 ----------------------- ---- 线 -------------------------------------------- ----- (答题不能超出密封线) 使用班级(老师填写):数学09-1,3班可以普通计算器 题号一二三四五六七八九总分得分 阅卷 人 一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填 在括号中) (本大题共 11 小题,每小题2分,总计 22 分) 1、设A,B为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是(C ). A.P) B.,其中P(B)>0 C. D. 2、为一列随机事件,且,则下列叙述中错误的是(D ). A.若诸两两互斥,则 B.若诸相互独立,则 C.若诸相互独立,则 D. 3、设有个人,,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均 等的,则此个人中至少有某两个人生日相同的概率为( A ). A. B. C. D. 4、设随机变量X服从参数为的泊松分布,且则的值为( B ). A. B. C. D.. 解:由于X服从参数为的泊松分布,故.又故,因此 5、设随机变量X的概率密度函数为的密度函数为(B ). A. B. C. D. 解:这里,处处可导且恒有,其反函数为,直接套用教材64页的公式(5.2),得出Y的密度函数为 6、若,且X,Y相互独立,则( C ). A. B. 07试题 一、填空题(本大题共6小题,每小题3分,总计18分) 1. 设,A B 为随机事件,()()0.7P A P B +=,()0.3P AB =,则() () P AB P AB += 2.10件产品中有4件次品,从中任意取2件,则第2件为次品的概率为 3.设随机变量X 在区间[0,2]上服从均匀分布,则2Y X =的概率密度函数为 4.设随机变量X 的期望()3E X =,方差()5D X =,则期望()2 4E X ??+=? ? 5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则应用切比雪夫不等式估计得 {} 22P X -≥≤ . 6. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体X ~()0,4N 的样本,则当a = 时, ()()22 123422Y a X X a X X =++-~()22χ. 二、选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中,本大题 共6个小题,每小题3分,总计18分) 1.设,A B 为对立事件, ()01P B <<, 则下列概率值为1的是( ) ~ (A) ()|P A B ; (B) ()|P B A ; (C) () |P A B ; (D) ()P AB 2. 设随机变量X ~()1,1N ,概率密度为()f x ,分布函数()F x ,则下列正确的是( ) (A) {0}{0}P X P X ≤=≥; (B) {1}{1}P X P X ≤=≥; (C) ()()f x f x =-, x R ∈; (D) ()()1F x F x =--, x R ∈ 3. 设()f x 是随机变量X 的概率密度,则一定成立的是( ) (A) ()f x 定义域为[0,1]; (B) ()f x 非负; (C) ()f x 的值域为[0,1]; (D) ()f x 连续 4. 设4{1,1}9P X Y ≤≤= ,5 {1}{1}9 P X P Y ≤=≤=,则{min{,}1}P X Y ≤=( ) (A) 23; (B) 2081; (C) 49; (D) 13 5. 设随机变量(),X Y 的方差()4D X =,()1D Y =,相关系数0.6XY ρ=,则方差 ()32D X Y -= ( ) - (A) 40; (B) 34; (C) ; (D) 6. 设12,,,n X X X 是正态总体X ~() 2,N μσ的样本,其中σ已知,μ未知,则下列不是 统计量的是( ) (A) 1max k k n X ≤≤; (B) 1min k k n X ≤≤; (C) X μ-; (D) 1 n k k X σ =∑ 三、计算题(本大题共6小题,每小题10分,共计60分) 1.甲乙丙三个同学同时独立参加考试,不及格的概率分别为: ,,, (1) 求恰有2位同学不及格的概率; (2) 若已知3位同学中有2位不及格,求其中1位是同学乙的概率. 一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案:0.3 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 161-e 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故 概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2.样本空间、随机事件 1.事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件,指当且仅当A ,B 中至少有一个发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A ,B 同时发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件,指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生 φ=?B A ,则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件A 与事件B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件A 与事件B 互为对立事件 2.运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??)( 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3.频率与概率 定义 在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率:设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率 1.概率)(A P 满足下列条件: (1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1)S (=P * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ; B :两次出现同一面,则= ; C :至少有一次出现正面,则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件: (1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则 (1)=?B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个 签,说明两人抽“中‘的概率相同。 概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设事件B A ,仅发生一个的概率为,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案: 解: 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2.设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则 ==)3(X P ______. 答案: 解答: 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ,故 3.设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案: 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调,反函数为()h y =所以 4.设随机变量Y X ,相互独立,且均服从参数为λ的指数分布,2)1(-=>e X P ,则=λ_________,}1),{min(≤Y X P =_________. 答案:2λ=,-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答: 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==,故 2λ= 41e -=-. 5.设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本,则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案: 解答: 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一.填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -,则 =≤)2(X P ;=>)3(X P ;=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ,则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4.设A ,B 为两个随机事件,且A 与B 相互独立,P (A )=,P (B )=,则()P AB =____________.() 5.设事件A 、B 互不相容,已知()0.4=P A ,()0.5=P B ,则()=P AB 6. 盒中有4个棋子,其中2个白子,2个黑子,今有1人随机地从盒中取出2个棋子,则这2个棋子颜色相同的概率为____________.( 13 ) 7.设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布,则()E X =____________.( 12 ) 8.设随机变量X 服从参数为3的泊松分布,则概率密度函数为 __. (k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L )) 9.某种电器使用寿命X (单位:小时)服从参数为1 40000 λ=的指数分布,则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.(40000) 10在3男生2女生中任取3人,用X 表示取到女生人数,则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ,则=a π1 ;=>)0(X P ;==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ,则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中,( )中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布. (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中,( )中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布. (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是( ). (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数,则等式( )成 立. (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数,则对任意b a <,有 X a P <(≤=)b ( ). (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是( ). 概率论与数理统计必考大题解题索引 编制:王健 审核: 题型一:古典概型:全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式: ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为,为的事件,B ,B ,……,B 为的划分,且>0,则有: P ?…其中有:。特别地:当n 2时,有: 贝叶斯公式: ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ,B ,……,B 为S 的一个划分,且P ,……则有:特别地: 当n 2时,有: 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品,各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%,其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件,求: (1)恰好取到不合格品的概率; (2)若已知取到的是不合格品,它是第二家工厂生产的概率。 解:设事件 表示:“取到的产品是不合格品”;事件i A 表示:“取到的产品是第i 家工 厂生产的”(i =123,,)。 则Ω== 3 1i i A ,且P A i ()>0,321A A A 、、两两互不相容,由全概率公式得 (1)∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?= 创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题(每空3分,共45分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ; 4、已知随机变量X 的密度函数为:, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? =≤?≥? , 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率 {0.51}P X -<<= ; 5、设随机变量X~ B(2,p)、Y~ B(1,p),若{1}5/9P X ≥=,则p = ,若X 与Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ; 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与 Y 相互独立,则 D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ; 7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本,则当k = 时, ~(3)Y t = ; 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数,12,,,n X X X 为其样本, 1 1n i i X X n ==∑为样本均值,则θ的矩估计量为: 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ,计算得样本观察值10x =, 求参数a 的置信度为95%的置信区间: ; 二、 计算题(35分) 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为: 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求:1){|21|2}P X -<;2)2 Y X =的密度函数()Y y ?;3)(21)E X -; 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<=? ?其他 1) 求边缘密度函数(),()X Y x y ??; 2) 问X 与Y 是否独立?是否相关? 3) 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ?; 3、(11分)设总体X 的概率密度函数为: 1, 0(),000 x e x x x θ?θθ -?≥?=>?? X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。 1)求参数θ的极大似然估计量?θ ; 2)验证估计量?θ 是否是参数θ的无偏估计量。 2.(10分)环境保护条例,在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0.5‰,假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5份水样,测定该有害物质含量,得如下数据: 0.530‰,0.542‰,0.510‰,0.495‰,0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)? 概率论与数理统计 答案 一.1.(D )、2.(D )、3.(A )、4.(C )、5.(C ) 二.1.0.85、2. n =5、3. 2 ()E ξ=29、4. 0.94、5. 3/4 三.把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分 (1)A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故 P (A )=5/625=1/125------------------------------------------------------5 分 (2) 5个盒子中选一个放两个球,再选两个各放一球有 302415=C C 种方法----------------------------------------------------7 分 4个球中取2个放在一个盒子里,其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此,B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故 125 72625360)(== B P --------------------------------------------------10分 四.解:(1) ?? ∞∞-==+=3 04ln 1,4ln 1)(A A dx x A dx x f ---------------------3分 (2)? ==+=<10 212ln 1)1(A dx x A P ξ-------------------------------6分 (3)3 300()()[ln(1)]1Ax E xf x dx dx A x x x ξ∞-∞= ==-++?? 13(3ln 4)1ln 4ln 4 =-=-------------------------------------10分 五.解:(1)ξ的边缘分布为 ??? ? ??29.032.039.02 1 0--------------------------------2分 η的边缘分布为 ??? ? ??28.034.023.015.05 4 2 1---------------------------4分 因)1()0(05.0)1,0(==≠===ηξηξP P P ,故ξ与η不相互独立-------5分 (2)ξη?的分布列为 概率论与数理统计试题 与答案 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一 一、填空题(本题满分18分,每题3分) 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ,若9 5 )1(= ≥X p ,则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立,1,2==DY DX ,则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2,则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本,则统计量∑==n 1 i i X Y 服从 分布。 6、设正态总体),(2σμN ,2σ未知,则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。(按下侧分位数) 二、选择题(本题满分15分,每题3分) 1、 若A 与自身独立,则( ) (A)0)(=A P ; (B) 1)(=A P ;(C) 1)(0< 1、甲,乙两人向同一目标独立地各射击一次,命中率分别为2 1 ,31现已知目标被击 中,则它是甲命中的概率为() A 、1/3 B 、2/5 C 、1/2 D 、2/3 2、设C B A ,,是三个相互独立的随机事件,且1)(0< 概率论与数理统计习题及答案 习题一 1.见教材习题参考答案. 2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C (1)A发生,B,C都不发生; (2)A与B发生,C (3)A,B,C都发生; (4)A,B,C (5)A,B,C都不发生; (6)A,B,C (7)A,B,C至多有2个发生; (8)A,B,C至少有2个发生. 【解】(1)A BC(2)AB C(3)ABC (4)A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC (5) ABC=A B C(6) ABC (7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC 3.. 4.设A,B为随机事件,且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求P(AB). 【解】P(AB)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7, (1)在什么条件下P(AB (2)在什么条件下P(AB) 【解】(1)当AB=A时,P(AB)取到最大值为0.6. (2)当A∪B=Ω时,P(AB)取到最小值为0.3. 6.设A,B,C为三事件,且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0, P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件发生的概率. 【解】P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) = 14+14+13-112=34 7. 52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少? 【解】 p =5332 131313131352C C C C /C 8. (1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率; (3) 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】(1) 设A 1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故 P (A 1)= 517=(17 )5 (亦可用独立性求解,下同) (2) 设A 2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故 P (A 2)=5567 =(67)5 (3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日} P (A 3)=1-P (A 1)=1-( 17 )5 9..见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件,其中M 件正品.从中随机地取出n 件(n 模拟试题A 一.单项选择题(每小题3分,共9分) 1. 打靶 3 发,事件表示“击中i发”,i = 0, 1, 2, 3。那么事件 表示 ( )。 ( A ) 全部击中; ( B ) 至少有一发击中; ( C ) 必然击中; ( D ) 击中 3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为( )。 ( A ) ; ( B ) ; (C) ; (D) 3.设随机变量,服从二项分布B ( n,p ),其中 0 < p < 1 ,n = 1, 2,…,那么,对于任一实数x,有等于 ( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题(每小题3分,共12分) 1.设A , B为两个随机事件,且P(B)>0,则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员,他们是否需用台秤是相互独立的,在1小时每人需用台秤的概率 为,则4人中至多1人需用台秤的概率为: __________________。 4.从1,2,…,10共十个数字中任取一个,然后放回,先后取出5个数字,则所得5个数字全不相同的事件的概率等于 ___________。 三、(10分)已知,求证 四、(10分)5个零件中有一个次品,从中一个个取出进行检查,检查后不放回。直到查到次品时为止,用x表示检查次数,求的分布函数: 五、(11分)设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为 20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为 10% ,瘦者患高血压病的概率为5%, 试求: ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大? 六、(10分)从两家公司购得同一种元件,两公司元件的失效时间分别是随机变量和,其概率密度分别是: 如果与相互独立,写出的联合概率密度,并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A), ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B), ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、(7分)证明:事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、(10分)设和是相互独立的随机变量,其概率密度分别为 又知随机变量, 试求w的分布律及其分布函数。 九、(11分)某厂生产的某种产品,由以往经验知其强力标准差为7.5 kg且强力服从正态分布,改用新原料后,从新产品中抽取25 件作强力试验,算 得,问新产品的强力标准差是否有显著变化? ( 分别取和 0.01,已知, ) 十、(11分)在考查硝酸钠的可溶性程度时,对一系列不同的温度观察它在 100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量,得观察结果如下: 0506 一.填空题(每空题2分,共计60 分) 1、A、B 是两个随机事件,已知p(A) 0.4,P(B) 0.5,p(AB) 0.3 ,则p(A B) 0.6 , p(A -B) 0.1 ,P(A B)= 0.4 , p(A B) 0.6。 2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。(1)从中不放回地任取2 只,则第一次、第二次取红色球的概率为:1/3 。(2)若有放回地任取 2 只,则第一次、第二次取红色球的概率为:9/25 。( 3)若第一次取一只球观查球颜色后,追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后,再取第二只,则第一次、第二次取红色球的概率为:21/55 。 3、设随机变量X 服从B(2,0.5)的二项分布,则p X 1 0.75, Y 服从二项分 布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从B(100,0.5),E(X+Y)= 50 , 方差D(X+Y)= 25 。 4、甲、乙两个工厂生产同一种零件,设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、 0.15.现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取 一件。 ( 1)抽到次品的概率为:0.12 。 2)若发现该件是次品,则该次品为甲厂生产的概率为:0.5 6、若随机变量X ~N(2,4)且(1) 0.8413 ,(2) 0.9772 ,则P{ 2 X 4} 0.815 , Y 2X 1,则Y ~ N( 5 ,16 )。 7、随机变量X、Y 的数学期望E(X)= -1,E(Y)=2, 方差D(X)=1 ,D(Y)=2, 且 X、Y 相互独立,则:E(2X Y) - 4 ,D(2X Y) 6 。 8、设D(X) 25 ,D( Y) 1,Cov( X ,Y) 2,则D(X Y) 30 9、设X1, , X 26是总体N (8,16)的容量为26 的样本,X 为样本均值,S2为样本方 差。则:X~N(8 ,8/13 ),25S2 ~ 2(25),X 8 ~ t(25)。 16 s/ 25 10、假设检验时,易犯两类错误,第一类错误是:”弃真” ,即H0 为真时拒绝H0, 第二类错误是:“取伪”错误。一般情况下,要减少一类错误的概率,必然增大另一类错误的概率。如果只对犯第一类错误的概率加以控制,使之 . 第七章 假设检验 设总体2(,)N ξμσ~,其中参数μ,2σ为未知,试指出下面统计假设中哪些是简单假设,哪些是复合假设: (1)0:0,1H μσ==; (2)0:0,1H μσ=>; (3)0:3,1H μσ<=; (4)0:03H μ<<; (5)0:0H μ=. 解:(1)是简单假设,其余位复合假设 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ,其中参数μ未知,x 是子样均值,如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域:12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ,试决定常数c ,使检验的显着性水平为 解:因为(,9)N ξμ~,故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下, 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==,所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ,20σ已知,对假设检验0010:,:H H μμμμ=>,取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L , (1)求此检验犯第一类错误概率为α时,犯第二类错误的概率β,并讨论它们之间的关系; (2)设0μ=,20σ=,α=,n=9,求μ=时不犯第二类错误的概率。 解:(1)在0H 成立的条件下,2 00(, )n N σξμ~,此时 00000()P c P ξαξ=≥= 10 αμ-= ,由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下,2 0(, )n N σξμ~,此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知,当α增加时,1αμ-减小,从而β减小;反之当α减少时,则β增加。 (2)不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体,对()f x 考虑统计假设: 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一,二类错误的概率满足2min αβ+=,并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他(c 为检验的拒绝域) 概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一 一、填空题(本题满分18分,每题3分) 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ,若9 5)1(=≥X p ,则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立,1,2==DY DX ,则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2,则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本,则统计量∑==n 1 i i X Y 服从 分布。 6、设正态总体),(2σμN ,2σ未知,则μ的置信度为α-1的置信区间的长度=L 。 (按下侧分位数) 二、选择题(本题满分15分,每题3分) 1、 若A 与自身独立,则( ) (A)0)(=A P ; (B) 1)(=A P ;(C) 1)(0< <概率论>试题 一、填空题 1.设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1)A 、B 、C 至少有一个发生 2)A 、B 、C 中恰有一个发生 3)A 、B 、C 不多于一个发生 2.设 A 、B 为随机事件, P (A)=0.5,P(B)=0.6,P(B A)=0.8。则P(B )A = 3.若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3,P(A B)=0.7, 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,01 0,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则 a =________ b =________ 8. 设X ~2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为80 81 ,则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程x 2 +ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ,4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用(,X Y )的联合分布函数F (x,y )表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用(,X Y )的联合分布函数F (x,y )表示P{X a,b}Y <<=概率论与数理统计考试试卷
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