2
，k ∈Z .
∴不等式的解集为?
????k π－π6，k π＋π2，k ∈Z .
(2)不等式组即为???
??
sin x >2
2
cos x ≤12
区域(Ⅰ)为sin x >
22
，
区域(Ⅱ)为cos x ≤1
2
.
区域(Ⅰ)与(Ⅱ)公共部分为不等式组的解，即不等式组解集为?
?????2k π＋π3，2k π＋3π4，k ∈Z .
15．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．
[解析] (1)当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点A (1,2)，
由r ＝|OA |＝12
＋22
＝5得， sin α＝
2
5＝255，cos α＝15＝55
，tan α＝2.
(2)当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点B (－1，－2)， 由r ＝|OB |＝(－1)2
＋(－2)2
＝5得，
sin α＝－25＝－255，cos α＝－15
＝－5
5，tan α＝2.
(人教版初中数学)锐角三角函数
锐角三角函数 一．〖基础训练〗 1、在△ABC 中,∠C ＝90°,则sinA= ,cosA= tanA= cotA= . 2、根据直角三角形的 元素（至少有一个边）,求出 其它所有元素的过程,即解直角三角形 3．Rt △ABC 中,若sinA ＝45 ,AB ＝10,那么BC ＝ ,tanB ＝ 4．写出适合条件的锐角α Sin600= , tan300= ,cos α＝32 ,α= , 5、在△ABC 中,∠C ＝90°,AC=6,BC=8,那么sinA= 6、sin300+tan450= . 7、若sin α=cos70°,则角α等于 A ．70°； B ．60°； C ．45°； D ．20°． 8、（讲解）若∠A 为锐角,且cosA ≤ 12 ,那么（ ） A 、00≤A ≤600 B 、600≤A ≤900 C 、00≤A ≤300 D 、300≤A ≤90 0 二．〖中考在线〗（讲解） 1、（2004年中考题）．在△ABC 中,∠C ＝90°,sinA ＝35 ,则cosA 的值是（ ） （A ） 35 （B ）45 （C ）925 （D ）1625 2、如图,(2003年第21题)在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,tanB=cos ∠DAC. (1)求证：AC=BD （2）若sinC=1213 ,BC=12,求AD 的长. 三．〖考点训练〗 1．Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AB ＝6,AC ＝2,则sinA ＝（ ） （A ） 13 （B ）23 （C ）23 2 （D ）23 2．已知∠A ＋∠B ＝90°,则下列各式中正确的是（ ） A B C D
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．
4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3
三角函数题型总结-教师版
三角函数题型总结-教师版
111111 cos sin sin 2224 S x y = =?=ααα， …… …………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343 S x y πππ = =-+?+=-+ααα． … …………9分 依题意得 2sin 22sin(2)3π=-+αα， 整 理得 cos20 =α． ………………11分 因为 62 ππ<<α， 所以 23π <<πα， 所 以 22 π= α， 即 4 π = α． …… …………13分 2、三角形中求值 〖例〗（2013年高考北京卷（理））在△ABC 中,a =3,b 6,∠B =2∠A . (I)求cosA 的值; (II)求c 的值. 【答案】 解:(I)因为a =3,b =2 ,∠B =2∠A . 所以在△ABC
中,由正弦定理得3sin sin 2A A =.所以2sin cos sin 3A A A =.故cos 3 A =. (II)由(I)知 cos A = ,所以 sin A == .又因为 ∠B=2∠A,所以2 1cos 2cos 13 B A =-= .所以2sin 1cos B B = -= . 在△ABC 中,53sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=所以sin 5sin a C c A ==. 【举一反三】 （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）） 设ABC ?的内角 ,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. (I)求B (II)若31 sin sin 4 A C = ,求C . 【答案】 ③三角不等式
三角函数-模型解题法
模型解题法：三大核心：理清概念，抓住本质，寻找联系。三大思想：数形结合，分类讨论，方程-函数-不等式转化 专题一：角与角函数 模型一：边-角互化解三角形模型 本质：运用正余弦定理，边角互化。转化成角关系，走三角变形之路；转化成边关系，走代数变形之路。 边-角联系： 题型一：边化角 三角函数模型 一；三角函数值模型 本质；用三角函数有界性，主要将表达式变形为，然后借助有界性求取值范围或构造不等式（求解参数范围）。 求以下函数的值
则M应满足什么条件。 二，三角函数对称性模型 对称性包括中心对称和轴对称 本质：将表达式变形为或，正弦函数：对称轴 对称中心：。对称轴是在最大值或最小值取得。对称中心是在平衡位置取得。 三，三角函数单调性模型 本质：将表达式整理成或，然后将带入单调区间。 四，三角函数图象 本质：理解，各参数的含义，，， 以及函数图像的变换 平移变换：口诀，左右平移变换(左加右减) (针对自变量)，上下平移变换（上加下减）(针对函数值整体). 伸缩变换 对称变换：包括中心对称和轴对称 ①y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；②y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称； ③y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称；④y＝f(x)与y＝f －1(x)关于y＝x对称； ⑤y＝f(x)与y＝－f －1(x)关于y＝－x对称；⑥y＝f(x)与y＝f(2a－x)关于x＝a对称； ⑦y＝f(x)与y＝|f(x)|，保留x轴上方的图象，将x轴下方的图象沿x轴翻折上去，x轴下方图象删去； ⑧y＝f(x)与y＝f(|x|)，保留y轴右方的图象，将y轴右方的图象沿y轴翻折到左边，原来y轴左方图象删去. 角模型：1单角模型
苏教版数学中考总复习[中考总复习：锐角三角函数综合复习--重点题型巩固练习](提高)
苏教版中考数学总复习 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 中考总复习：锐角三角函数综合复习—巩固练习（提高） 【巩固练习】 一、选择题 1. 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝3 5,则tan A 等于 ( ) A ．3 5 B ．45 C ．34 D ．43 2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA= a b ．则下列关系式中不成立的是（ ） A ．tanA?cotA=1 B ．sinA=tanA?cosA C ．cosA=cot A?sinA D ．tan 2A+cot 2 A=1 第2题 第3题 3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分別是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于（ ） A ． 34 B ．43 C ．35 D ．45 4．如图所示，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是( ) A ． 247 B ．3 C ．724 D ．1 3 5．如图所示，已知∠α的终边OP ⊥AB ，直线AB 的方程为y x ，则cos α等于 ( ) A ． 1 2 B C D
6．（2015?南充）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（） A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里 二、填空题 7．设θ为锐角，且x2＋3x＋2sinθ＝0．则θ＝． 8．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为 . 9．已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB= . 第8题第9题第11题 10．当0°＜α＜90的值为． 11．如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE=．12．（2015?牡丹江）在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为 . 三、解答题 13．（2015?泰州）如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上． （1）求斜坡AB的水平宽度BC； （2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m 时，求点D离地面的高．（≈2.236，结果精确到0.1m）
锐角三角函数的图文解析
锐角三角函数的图文解析 一、选择题 1．如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE ⊥BC 于点E ，连接OE ，∠DOE ＝120°，DE ＝1，则BD ＝（ ） A ．3 B ．23 C ．63 D ．33 【答案】B 【解析】 【分析】 证明△OBE 是等边三角形，然后解直角三角形即可． 【详解】 ∵四边形ABCD 是菱形，∴OD =OB ，CD =BC ． ∵DE ⊥BC ，∴∠DEB =90°，∴OE =OD =OB ． ∵∠DOE =120°，∴∠BOE =60°，∴△OBE 是等边三角形，∴∠DBC =60°． ∵∠DEB =90°，∴BD = 23sin603 DE =?． 故选B ． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55m o B ．500cos55m o C ．500tan55m o D ．500cos55m o 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可． 【详解】
在Rt△BDE中，cosD=DE BD ， ∴DE=BD?cosD=500cos55°． 故选B． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 3．菱形ABCD的周长为20cm,DE⊥AB,垂足为E,sinA=3 5 ,则下列结论正确的个数有（） ①DE=3cm; ②BE=1cm; ③菱形的面积为15cm2; ④BD=210cm． A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C 【解析】 【分析】 根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案 【详解】 ∵菱形ABCD的周长为20cm ∴AD=5cm ∵sinA=3 5 ∴DE=3cm（①正确） ∴AE=4cm ∵AB=5cm ∴BE=5﹣4=1cm（②正确） ∴菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm2（③正确） ∵DE=3cm,BE=1cm ∴10（④不正确） 所以正确的有三个． 故选C． 【点睛】 本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，熟练掌握性质是解题的关键 4．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）
高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版
导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数,为的导数．证明： （1）在区间 存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 【解析】（1）设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ???时,单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ??? , 可得在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>；当,2x πα?? ∈ ??? 时,. 所以在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为. （i ）由（1）知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当时, ,故()f x 在单调递减,又,从而是()f x 在的唯 一零点. ()sin ln(1)f x x x =-+()f x '()f x ()f x '(1,)2 π-()f x ()g'x ()g'x α()0g'x <()g x ()g x (1,)-+∞(1,0)x ∈-()0f 'x <(1,0)-(0)=0f 0x =(1,0]-
（ii ）当0,2x π?? ∈ ??? 时,由（1）知,在单调递增,在单调递减,而 ,02f π??'< ???,所以存在,2πβα?? ∈ ???,使得,且当时, ；当,2x πβ??∈ ???时,.故在单调递增,在,2πβ?? ???单调递 减.又,1ln 1022f ππ???? =-+> ? ???? ?,所以当时,. 从而()f x 在0,2π?? ??? 没有零点. （iii ）当,2x ππ??∈ ???时,()0f x '<,所以()f x 在,2ππ?? ???单调递减.而 ()0,02f f ππ??>< ??? ,所以()f x 在,2ππ?? ??? 有唯一零点. （iv ）当时,()l n 11x +>,所以<0,从而()f x 在没有零点. 综上, ()f x 有且仅有2个零点. 【变式训练1】【2020·天津南开中学月考】已知函数3()sin (),2 f x ax x a R =-∈且 在,0,2π?? ????上的最大值为32π-， （1）求函数f (x )的解析式； (2)判断函数f (x )在（0，π）内的零点个数，并加以证明 【解析】(1)由已知得()(sin cos )f x a x x x =+对于任意的x∈(0, 2 π)， 有sin cos 0x x x +>,当a=0时,f(x)=? 3 2 ，不合题意； 当a<0时,x∈(0, 2π),f′(x)<0,从而f(x)在(0, 2 π )单调递减， 又函数3 ()sin 2f x ax x =- (a∈R)在[0, 2 π]上图象是连续不断的， 故函数在[0, 2 π ]上的最大值为f(0)，不合题意； ()f 'x (0,)α,2απ?? ???(0)=0f '()0f 'β=(0,)x β∈()0f 'x >()0f 'x <()f x (0,)β(0)=0f 0,2x ?π?∈ ???()0f x >(,)x ∈π+∞()f x (,)π+∞
三角函数模型的简单应用试题含答案
一、选择题 1．函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为（ ） A ．2 B ．0 C ．4 1 - D ．6 2．2sin 5cos )(+-?=x x x x f ，若a f =)2(，则)2(-f 的值为（ ）． A ．－a B ．2＋a C ．2－a D ．4 －a 3．设A 、B 都是锐角，且cosA ＞sinB 则A+B 的取值是 （ ） A ．?? ? ??ππ,2 B ．()π,0 C ．?? ? ? ?2,0π D ．?? ? ??2,4ππ 4．若函数)(x f 是奇函数，且当0x 时，)(x f 的表达式为（ ） A ．x x 2sin 3cos + B ．x x 2sin 3cos +- C ．x x 2sin 3cos - D ．x x 2sin 3cos -- 5．下列函数中是奇函数的为( )
A ．y=x x x x cos cos 22-+ B ．y= x x x x cos sin cos sin -+ C ．y=2cosx D ．y=lg(sinx+x 2sin 1+) 二、填空题 6．在满足 x x 4 πtan 1πsin +＝0的x 中，在数轴上求离点6最近的那个整数值是 ． 7．已知( )sin 4f x a x =+（其中a 、b 为常数），若()52=f ，则 ()2f -=__________． 8．若?>30cos cos θ，则锐角θ的取值范围是_________． 9．由函数?? ? ??≤ ≤=656 3sin 2ππ x x y 与函数y ＝2的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_________． 10．函数1sin(2)2 y x θ=+的图象关于y 轴对称的充要条件是 三、解答题 11．如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式
人教版初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析
人教版初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析 一、选择题 1．如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则此时轮船所在位置B 与灯塔P 之间的距离为( ) A ．60海里 B ．45海里 C ．3 D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP 的长，求出答案． 【详解】 解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°， 故AB=2AP=60（海里）， 则此时轮船所在位置B 处与灯塔P 之间的距离为：22303AB AP -= 故选：D ． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键． 2．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 32，则BAC ∠为（ ）度． A ．75 B ．15或30 C ．75或15 D ．15或45 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解． 【详解】 利用垂径定理可知：32 2 AE = ．
sin∠AOD= 3 2 ，∴∠AOD=60°； sin∠AOE= 2 2 ，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°． 当两弦共弧的时候就是15°． 故选：C． 【点睛】 此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形. 3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（） A．23B．3C．33D．3 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，3， 所以BD=BA=2x，即可得33）x， 在Rt△ACD中，tan∠DAC= (32) 32 CD x AC + ==， 故选A. 4．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC V如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE ∠的值是（）
苏教版：锐角三角函数 经典基础题型归类复习
同学个性化教学设计 年 级： 教 师: 科 目： 班 主 任： 日 期: 时 段: 教学内容 锐角三角函数 经典基础题型归类复习 教学目标 重难点透视 薄弱点分析 考点分析 教学过程 反馈、反思 知识考点： 本节知识的考查一般以填空题和选择题的形式出现，主要考查锐角三角函数的意义，即运用sin a 、cos a 、tan a 、cot a 准确表示出直角三角形中两边的比（a 为锐角），考查锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值以及互为余角、同角三角函数间的关系。 精典例题： 【例1】在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝12，BC ＝15。 （1）求AB 的长； （2）求sinA 、cosA 的值； （3）求A A 22cos sin +的值； （4）比较sinA 、cosB 的大小。 变式：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，5=a ，2=b ，则sinA ＝ 。 （2）在Rt △ABC 中，∠A ＝900，如果BC ＝10，sinB ＝0.6，那么AC ＝ 。 【例2】计算：020045sin 30cot 60sin +? 注意：熟记00、300、450、600、900角的三角函数值，并能熟练进行运算。 【例3】已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，2 5tan =B ，那么cosA （ ） A 、 25 B 、35 C 、5 52 D 、32 变式：已知α为锐角，且5 4cos = α，则ααcot sin +＝ 。
【例4】已知3cot tan =+αα，α为锐角，则αα22cot tan +＝ 。 变式：【问题】已知009030<<<βα，则αβαβcos 12 3cos )cos (cos 2-+---＝ 。 变式：若太阳光线与地面成α角，300＜α＜450，一棵树的影子长为10米，则树高h 的范围是（ ）（取7.13=） A 、3＜h ＜5 B 、5＜h ＜10 C 、10＜h ＜15 D 、h ＞15 【例5】某市正在进行商业街改造, 商业街起点在古民居P 的南偏西６０度方向上的A 处, 现已改造至古民居P 的南偏西３０度方向上的B 处，A 与B 相距１５０米, 且B 在A 的正东方向 ．为了不破坏古民居的风貌，按有关规定，在古民居的周围１００ 米内不得修建现代化商业街，若工程队继续向正东方向修建２００米商业街到C 处, 则 对于从B 到 C 的商业街改造是否违反有关规定? 专项训练： 一、选择题： 1、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若4 3tan = A ，则sinA ＝（ ） A 、34 B 、43 C 、35 D 、53 2、已知cos α＜0.5，那么锐角α的取值范围是（ ） A 、600＜α＜900 B 、00＜α＜600 C 、300＜α＜900 D 、00＜α＜300 3、若1)10tan(30=+α，则锐角α的度数是（ ） A 、200 B 、300 C 、400 D 、500 4、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，下列式子不一定成立的是（ ） A 、cosA ＝cos B B 、cosA ＝sinB C 、cotA ＝tanB D 、2cos 2sin B A C += 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，3 1tan =A ，AC ＝6，则BC 的长为（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、2 6、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100米，则他上升的最大高度为（ ） A 、βsin 100米 B 、βsin 100米 C 、β cos 100米 D 、βcos 100米 7、计算0030cot 3 360cos +的值是（ ）
三角函数概念x教师版
角的概念、定义 一、知识清单 1. 终边相同的角 ①与α（0°≤α<360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）: {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ; ②终边在x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈?=,180|οββ; ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180|οοββ; ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90|οββ. 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零, 熟记特殊角的弧度制. 3.弧度制下的公式 扇形弧长公式r =l α，扇形面积公式211 ||22 S R R α==l ，其中α为弧所对圆心 角的弧度数。 4.三角函数定义: 利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在α终边上任取一点(,)P x y （与原点不重合），记22||r OP x y ==+， 则sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α=。 注: ⑴三角函数值只与角α的终边的位置有关，由角α的大小唯一确定,∴三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数. ⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式: ①诱导公式：即 2 k π αα±→或902k αα±→o 之间函数值关系()k Z ∈，其规律是“奇变偶不变，符号看象限” ；如sin(270)α-=o cos α- ②同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系. ⑶重视用定义解题.
(必修4)第一章三角函数
三角函数 一、基本内容串讲 本章主干知识：三角函数的定义、图象、性质及应用，函数()?ω+=x A y sin 的图象，三角函数模型在解决具有周期变化规律问题中的应用。 1．任意角和弧度制 从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合）。为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成α+k ·3600 （k ∈Z ）的形式，特例，终边在x 轴上的角的集合为{α|α=k ·1800 ，k ∈Z}，终边在y 轴上的角的集合为{α|α=900 +k ·18000 ，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=k ·900，k ∈Z}。另外，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角。 弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧长公式=|α|R ，扇形面积公式||R 2 1R 2 1S 2α== ，其中α为 弧所对圆心角的弧度数。 2．任意角的三角函数 利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角函数。设P(x ，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记22y x |OP |r +==，则r y sin =α，r x cos = α，x y tan = α。 3．同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系：22sin cos 1αα+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = 4．三角函数的诱导公式 利用三角函数定义，可以得到诱导公式：即πα2 k +与α之间函数值的关系（k ∈Z ）， 其规律是“奇变偶不变，符号看象限”。 5．三角函数的图象与性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 定义域 R R },2 |{Z k k x x ∈+ ≠π π
人教版初中数学锐角三角函数的知识点复习
人教版初中数学锐角三角函数的知识点复习 一、选择题 1．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为( ) A ．asinα+asinβ B ．acosα+acosβ C ．atanα+atanβ D ．tan tan a a αβ + 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，由三角函数得出BC ＝atanα，BD ＝atanβ，得出CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ即可． 【详解】 在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，AB ＝a ，tanα＝ BC AB ，tanβ＝BD AB ， ∴BC ＝atanα，BD ＝atanβ， ∴CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ， 故选C ． 【点睛】 本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC 和BD 是解题的关键． 2．如图，△ABC 内接于半径为5的⊙O ，圆心O 到弦BC 的距离等于3，则∠A 的正切值等于（ ） A ．35 B ．45 C ．34 D ．43 【答案】C 【解析】
试题分析：如答图，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，OC，∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4. ∵∠A=1 2 ∠BOC，∴∠A=∠BOD. ∴tanA=tan∠BOD= 4 3 BD OD . 故选D． 考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义． 3．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图： （1）作线段AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C； （2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D； （3）连接BD，BC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（） A．∠ABD＝90°B．CA＝CB＝CD C．sinA＝ 3 2 D．cosD＝ 1 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由作法得CA＝CB＝CD＝AB，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，点C是△ABD的外心，根据三角函数的定义计算出∠D＝30°，则∠A＝60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结论． 【详解】 由作法得CA＝CB＝CD＝AB，故B正确； ∴点B在以AD为直径的圆上， ∴∠ABD＝90°，故A正确； ∴点C是△ABD的外心，
人教版 高中数学必修4 三角函数知识点
高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+=
三角函数10道大题(带答案)
三角函数大题转练 1.已知函数()4cos sin()16 f x x x π =+-. （Ⅰ）求 ()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]64 ππ -上的最大值和最小值. 2、已知函数.,1cos 2)3 2sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++=π π · （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4 ,4[ππ-上的最大值和最小值. 3、已知函数()tan(2),4 f x x =+π （Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期； （II ）设0,4?? ∈ ? ? ? πα，若()2cos 2,2 f =αα求α的大小 ： 4、已知函数x x x x x f sin 2sin )cos (sin )(-= . （1）求)(x f 的定义域及最小正周期； （2）求)(x f 的单调递减区间.
5、 设函数2())sin 4 f x x x π = ++. （I ）求函数()f x 的最小正周期； ； （II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2 g x g x π+=，且当[0,]2 x π ∈时， 1 ()()2 g x f x = -，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式. 6、函数()sin()16 f x A x π ω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相 邻两条对称轴之间的距离为2 π， （1）求函数()f x 的解析式； （2）设(0,)2 πα∈，则()22 f α =，求α的值. ' 7、设426 f (x )cos(x )sin x cos x π =ω- ω+ω，其中.0>ω （Ⅰ）求函数y f (x )= 的值域 （Ⅱ）若y f (x )=在区间322,ππ?? -???? 上为增函数，求 ω的最大 值.
苏教版初三数学《锐角三角函数》7.2 正弦余弦
7.2正弦余弦（1） 1．在Rt△ABC中,∠C＝90°, AC＝7．AB＝25．则sinA＝_____ cosB＝_______tanB＝_______．2．在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝3,sinA＝0．6,则AC＝______AB＝________ tanB＝__________． 3．在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝2,cosA＝0．8,则BC＝______ cos B＝______ tanA＝_____．4．在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，sinA的值（）A．扩大100倍B．缩小100倍C．不变D．不能确定 5．已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A＝∠B，则sinA sinB； (2)若∠A<∠B，则sinA sinB；cosA cosB；tanA tanB 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，cos A＝12 13 ，求：AB、sinB 7．如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝20，sinA＝4 5 , 求△ABC的周长． 8.在Rt△ABC中,∠C＝90°, cosA＝3 5 ，BC＝12,求斜边AB上的中线CD长. A B A B C
答案 1.24247 ,, 252525 2. 4,5,4 3 3. 1.5,3 5 , 3 4 4.C 5.＝,<,>,< 6.AB＝26,sinB＝12 13 7.60 8.15 2 7.2正弦余弦（2）
1．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝m ，40B ∠=，则BC 的长是（ ） A ．sin 40m B ．cos 40m C ．tan 40m D ． tan 40 m 2．如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向点C 处测得AC ＝a ，∠ACB ＝α，那么 AB 等于（ ） A ．a ·sin α B ．a ·tan α C ．a ·cos α D ．αtan a 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝900，∠A 、∠B 的对边分别是a 、b ，且满足022 =--b ab a ，则tanA 等于 （ ） 151515 1222 A B C D -+±?? ?? 4．以直角坐标系的原点O 为圆心，以1为半径作圆.若点P 是该圆上第一象限内的一点，且OP 与x 轴正方向组成的角为α，则点P 的坐标为 ( ) A ．(cos α,1) B ．(1,sin α) C ．(si n α,cos α) D ．(cos α,sin α) 5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC ＝ 5 3 ，则BC 的长是 ( ) A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm 二、填空题（每题5分，共25分） 6．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，SinB ＝ 27 则cosB ． 7．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危 险，那么梯子的长至少为_________米． 8．在Rt △ABC 中， ∠C ＝90?，AB ＝4，AC ＝1，则cos A 的值是_______． 9．已知α是锐角，s in α＝ a+2，则a 的取值范围是 10．一等腰三角形的两边长分别为4cm 和6cm ，则其底角的余弦值为________． A B C a α B N A C D M
人教版初中数学锐角三角函数的经典测试题附答案
人教版初中数学锐角三角函数的经典测试题附答案 一、选择题 1．如图，在矩形ABCD 中，4,AB DE AC =⊥，垂足为E ，设ADE α∠=，且 3 cos 5 α= ，则AC 的长为（ ） A ．3 B ． 163 C ． 203 D ． 165 【答案】C 【解析】 【分析】 根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD ，然后求出AC ． 【详解】 解：∵DE ⊥AC ， ∴∠ADE+∠CAD=90°， ∵∠ACD+∠CAD=90°， ∴∠ACD=∠ADE=α， ∵矩形ABCD 的对边AB ∥CD ， ∴∠BAC=∠ACD ， ∵cos α=3 5，35 AB AC ∴ =， ∴AC= 520433?=． 故选：C ． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC 是解题的关键． 2．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°，A 、B 、C 都是格点，则tan ABC ∠=（ ）
A ． 39 B ． 36 C ． 33 D ． 32 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用 EC tan ABC BE ∠= 得出答案． 【详解】 解:连接DC ，交AB 于点E ． 由题意可得:∠AFC=30°, DC ⊥AF, 设EC=x,则EF= x =3x tan 30? , ∴BF AF 2EF 23x === EC 3 tan ABC BE 23x 3x 33= === +∠, 故选:A 【点睛】 此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF 的长是解题关键． 3．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点 B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ， C ，E 成一直线，那么开挖 点E 离点D 的距离是（ ）
人教版数学必修四三角函数复习讲义
第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 知识要点 角的概念的推广： 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念： 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2 k k Z π απ=+∈； α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. α与2 α的终边关系： 任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），
它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α= ≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )” 同角三角函数的基本关系式： 1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变 形形式。 三角函数诱导公式：“ （2 k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限” 典型例题 例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4 5π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－3 4π )； (2)cos(－60o)－sin(－210o) 例3．化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα
