绝对值指数对数三角不等式的解法

不等式的解法

绝对值不等式

例1 解绝对值不等式｜x+3｜>｜x-5｜．｛x ｜x>1｝．

例2 对任意实数x ，若不等式｜x+1｜-｜x-2｜>k 恒成立，则实数k 的取值范围是（）

A ．k<3

B ．k<-3

C ．k≤3

D ．k≤-3 选B ．例3 解不等式｜3x-1｜>x+3．｛x ｜

x<- ，或x>2｝．例4 解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜<1 ｛x ｜x<-7或

｝

｜x+3｜+｜x-3｜>8．

例5 解不等式1≤｜2x-1｜<5．｛x ｜-2

无理不等式

一.?????>????≥

≥?>

)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型例1.解不等式0343>--

-x x

二.???<≥??

???>≥≥?>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型例2.解不等式x x x 34232->-+- }256|

{≤

三.??

???<>≥?<2)]([)(0

)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型例3.解不等式24622+<+-x x x

指数不等式

例1、解不等式

（1）12>x

（2） )

1(332)21(22---

（3）)10(,422≠>>+-a a a a x x x 且

（4）x x -->4)21(3

2 （5）222223

2≤+-x x

（6）2931831>?+-+x x {x |x >2或32

log 3

对数不等式

（1）1log 2>x

（2） 1log 2

1->x

（3）6

24log log >x

（4）)102(log )43(log 312

31+>--x x x 三角不等式

（1）21

cos >x （2） 3sin 2+πx

(完整版)绝对值三角不等式

1.4 绝对值三角不等式教案1 （新人教选修4-5）教学目标： 1：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法，会进行简单的应用。 2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。教学过程：一、复习引入：关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。 1．请同学们回忆一下绝对值的意义。 ?? ? ??<-=>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果。几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。 2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立，.a a -≥当且仅当0≤a 时等号成立。（2）2 a a =，（3） b a b a ?=?，（4） )0(≠= b b a b a 那么? b a b a +=+?b a b a +=- 二、讲解新课：结论：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.）已知,a b 是实数，试证明：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.）方法一：证明:10 .当ab ≥0时, 20. 当ab <0时, 探究: ,,a b a b +, 之间的什么关系? b a -

绝对值指数对数三角不等式的解法

不等式的解法绝对值不等式例1 解绝对值不等式｜x+3｜>｜x-5｜．｛x ｜x>1｝．例2 对任意实数x ，若不等式｜x+1｜-｜x-2｜>k 恒成立，则实数k 的取值范围是（） A ．k<3 B ．k<-3 C ．k≤3 D ．k≤-3 选B ．例3 解不等式｜3x-1｜>x+3．｛x ｜ x<- ，或x>2｝．例4 解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜<1 ｛x ｜x<-7或 x> ｝｜x+3｜+｜x-3｜>8．例5 解不等式1≤｜2x-1｜<5．｛x ｜-2????≥ ≥?> )()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型例1.解不等式0343>-- -x x 二.???<≥?? ???>≥≥?>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型例2.解不等式x x x 34232->-+- }256| {≤≥?<2)]([)(0 )(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型例3.解不等式24622+<+-x x x

指数不等式例1、解不等式（1）12>x （2） ) 1(332)21(22--->+-a a a a x x x 且（4）x x -->4)21(3 2 （5）222223 2≤+-x x （6）2931831>?+-+x x {x |x >2或32 log 3x （2） 1log 2 1->x （3）6 24log log >x （4）)102(log )43(log 312 31+>--x x x 三角不等式（1）21 cos >x （2） 3sin 2+πx

指数不等式、对数不等式考试试题及答案

指数不等式、对数不等式考试试题及答案例5-3-7 解不等式：解(1)原不等式可化为 x2-2x-1＜2(指数函数的单调性) x2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0 所以原不等式的解为-1＜x＜3。 (2)原不等式可化为注函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。例5-3-8 解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。解[法一] 原不等式同解于

所以原不等式的解为x＞3。 [法二] 原不等式同解于 log x+1(x2-x-2)＞log x+1(x+1) 所以原不等式的解为x＞3。注解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。解原不等式可化为 22x-6×2x-16＜0 令2x=t(t＞0)，则得 t2-6t-16＜0 (t+2)(t-8)＜0 -2＜t＜8 又t＞0，故0＜t＜8即0＜2x＜8，解得x＜3。

注解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解。解原不等式可化为解得t＜-2或0＜t＜1，即注解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单调性将它转化为整式不等式求解。这时也常常用到换元法。

例5-3-11设a＞0且a≠1，解不等式解原不等式可化为令log a x=t，则得当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有 4-t2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0 t＜-1，或t＞3 当a＞1时，则有 4-t2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3 注解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。例5-3-12设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)·f(y)；并且当x＞0时，f(x)＞1，f(1)=a。解关于x的不等式f(x2+x-4)＞a2。

不等式的典型例题解析

不等式的典型例题解析【例1】解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：(1)原不等式可化为 x(2x+5)(x-3)＞0 顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分． (2)原不等式等价于 (x+4)(x+5)2(x-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．【说明】用“区间法”解不等式时应注意：①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“区间法”，但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)．【例2】解下列不等式：

变形解：(1)原不等式等价于用“区间法” ∴原不等式解集为(-∞，-2)∪〔-1，2)∪〔6，+∞)．用“区间法”

【例3】解下列不等式：【分析】无理不等式的基本解法是转化为有理不等式(组)后再求解，但要注意变换的等价性．解：(1)原不等式等价于 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为｛x|x≥5｝． (3)原不等式等价于

【说明】解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次根号下被开数大于或等于零；二是要注意只有两边都是非负时，两边同时平方后不等号方向才不变．此外，有的还有其他解法，如上例(3)．原不等式化为 t2-2t-3＜0(t≥0)解得0≤t＜3 【说明】有些题目若用数形结合的方法将更简便．【例4】解下列不等式：

指数方程与指数不等式、对数方程与对数不等式的解法

指数、对数方程与不等式的解法注：以下式子中，若无特别说明，均假设0a >且1,0a b ≠>. 一、知识要点： 1、指数方程的解法：（1）同底去底法：()()()()f x g x a a f x g x =?=；（2）化成对数式：log ()()()log a b f x f x a a b a a f x b =?=?=；（3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b =?=?=. 2、对数方程的解法：（1）同底去底法：log ()log ()()()a a f x g x f x g x =?=；（2）化成指数式：log ()log ()log ()b b a a a f x b f x a f x a =?=?=；（3）取同底指数：log ()log ()()a f x b b a f x b a a f x a =?=?=. 3、指数不等式的解法：（1）同底去底法： 1a >时， ()()()()f x g x a a f x g x ；（2）化成对数式： 1a >时， log ()()()log a b f x f x a a b a a f x b ；（3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b 时， log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >；（2）化成指数式： 1a >时， log ()log ()log 0()b b a a a f x b f x a f x a >.

绝对值不等式的常见形式及解法

绝对值不等式的常见形式及解法绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值符号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：（1）绝对值定义法；（2）平方法；（3）零点区域法。常见的形式有以下几种。 1. 形如不等式：利用绝对值的定义得不等式的解集为：。在数轴上的表示如图1。 2. 形如不等式：它的解集为：。在数轴上的表示如图2。 3. 形如不等式它的解法是：先化为不等式组：，再利用不等式的性质来得解集。 4. 形如它的解法是：先化为不等式组：，再利用不等式的性质求出原不等式的解集。例如：解不等式：（1）（2）（3）解：（1）由绝对值的定义得：或解得

（2）两边同时平方得：（3）令得。所以和3把实数分为三个区间，即：；。在这三个区间内来讨论原不等式的解集。初等幂函数图像

极坐标转直角坐标的办法两边都乘以r，比如说r=2sinX 两边同时乘以r 成为r^2=2rsinX x^2+y^2=2y 如2cos@，同乘r，即r^2=2rcos@,又因为r^2等于x^2+y^2，所以x^2+y^2=2y 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。公式一：设α为任意角，终边相同的角的同三角函数的值相等： sin（2kπ+α）=sinα k∈z cos（2kπ+α）=cosα k∈z tan（2kπ+α）=tanα k∈z cot（2kπ+α）=cotα k∈z 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π+α）=—sinα cos（π+α）=－cosα tan（π+α）=tanα cot（π+α）=cotα 公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）=－sinα cos（－α）=cosα tan（－α）=－tanα cot（－α）=－cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）=sinα cos（π－α）=－cosα tan（π－α）=－tanα cot（π－α）=－cotα

高考一轮复习教案一(7)指数、对数不等式的解法(教师)

模块：一、集合、命题、不等式课题： 7、指数、对数不等式的解法教学目标：掌握指数、对数不等式的解法．重难点：指数、对数运算的应用．一、知识要点 1、指数不等式的解法 2、对数不等式的解法注：解指数、对数不等式，未指定底数的大小，要分1a >和01a <<两种情况解．二、例题精讲例1、解下列不等式（1） 2 lg 12 x < ；（2）649x x x +>；（3）22162 30x x +-+<．答案：（1）11,00,1010???? - ? ?????；（2）2 31,log 2?? -∞ ? ?? ? ；（3）()40,log 3．

例2、解下列不等式（1）()() 122log 21log 222x x +-?-<；（2）()3log 3log 01a a x x a a <>≠且；（3 21 12log x > +．答案：（1）2 25log ,log 34?? ?? ? ；（2）当01a << 时，()() 3 ,a -+∞；当 1a >时， (() 3 0,1,a a ；（3）()0,1,22? ?? 例3、解下列关于x 的不等式（1）()3 log 1 01a x a x a a x --??<>≠ ??? 且；（2）()()2 log 12101a x a a a ->->≠且．答案：（1）当1a >时，解集为() 3,a a ；当01a <<时，解集为()()30,,a a +∞；（2）当102a << 时，解集为()0,+∞；当12a =时，解集为()110,,22,22???? +∞ ? ????? ；当 1 12 a <<时，解集为( () ( ) ()() 212120,,,a a a a a a ----+∞；当1a >时， (() 20,,a a a +∞ *例4、（1）解不等式22 3103 7290x x +-?+≤；（2）对满足（1）的x ，若函数()( ) 2 2 log log 1a a y a x x b =?-+的最大值为3 2 ，最小值为0，求a b 、的值．答案：（1）[]2,4；（2）2a =或12a =，32 b =．

绝对值三角不等式

太原北辰双语学校高二年级第二学期数学学科作业题课题：绝对值三角不等式班级：姓名：命题日期： 3 月 13日 1．绝对值的意义．在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值．即|x |＝???? ?x ，x ＞0，0，x ＝0，－x ，x ＜0. 2．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．关于定理1的几点说明： (1)定理1的证明：|a ＋b |≤|a |＋|b |?(a ＋b )2≤(|a |＋|b |)2?a 2 ＋b 2＋2ab ≤a 2＋b 2＋2|a ||b |?ab ≤|a ||b |?ab ≤|ab |，由已知知识可知 ab ≤|ab |一定成立，因而不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |成立．又由于上面每一步都是恒等变形及ab ＝|ab |?ab ≥0可知，当且仅当ab ≥0时，等号成立． (2)对定理的几何说明，实际上是利用了绝对值的几何意义，证明了不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |. (3)定理1还可以变形为|a －b |≤|a |＋|b |，等号成立的充要条件是ab ≤0. (4)由定理1还可以得出许多正确的结论，例如：如果a ，b 是实数，那么|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |；|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |. 思考2 说出下列不等式等号成立的条件： (1)|a |＋|b |≥|a ＋b |； (2)|a |－|b |≤|a ＋b |； (3)|a －c |≤|a －b |＋|b －c |. 3．含有绝对值的不等式的证明中，常常利用|a |≥a ，|a |≥－a 及绝对值的和的性质．思考3 当|a |>a 时，a ∈________；当|a |>－a 时，a ∈(0，＋∞)．一层练习 1．若|x －a |

指数不等式、对数不等式的解法

指数不等式、对数不等式的解法·例题例5-3-7 解不等式：解(1)原不等式可化为 x2-2x-1＜2(指数函数的单调性) x2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0 所以原不等式的解为-1＜x＜3。 (2)原不等式可化为注函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。例5-3-8 解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。解[法一] 原不等式同解于

解得t＜-2或0＜t＜1，即注解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单调性将它转化为整式不等式求解。这时也常常用到换元法。例5-3-11设a＞0且a≠1，解不等式解原不等式可化为令log a x=t，则得

当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有 4-t2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0 t＜-1，或t＞3 当a＞1时，则有 4-t2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3 注解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。例5-3-12设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，y∈R，有 f(x+y)=f(x)·f(y)；并且当x＞0时，f(x)＞1，f(1)=a。解关于x的不等式f(x2+x-4)＞a2。分析由题设条件容易联想到f(x)是指数型函数，又a2=f(1)·f(1)=f(2)，故原不等式同解于f(x2+x-4)＞f(2)。于是，问题归结为先确定f(x)的单调性，再解一个二次不等式。 =0，否则，对任意x∈R，有 f(x)=f((x-x0)+x0)=f(x-x0)f(x0)=0 与已知矛盾，所以对任意x∈R，有f(x)＞0。现设x，y∈R，且y=x+δ(δ＞0)。则 f(y)-f(x)=f(x+δ)-f(x)=f(x)f(δ)-f(x) =f(x)[f(δ)-1]＞0(∵δ＞0，∴f(δ)＞1)。故f(x)在R内是增函数。于是原不等式同解于 x2+x-4＞2 x2+x-6＞0 x＜-3或x＞2

课题绝对值三角不等式

课题：绝对值三角不等式红岭中学隗双和教学目标：知识与技能：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法，会进行简单的应用。过程与方法：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。情感、态度与价值观：体验不等式的美感，提高推理能力，增强学习兴趣。能运用所学的知识，正确地解决的实际问题. 教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体辅助。教学过程：一、复习引入：关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。 1．请同学们回忆一下绝对值的意义。 ?? ? ??<-= >=0000x x x x x x ，如果，如果，如果。几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即 2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立，.a a -≥当且仅当0≤a 时等号成立。（2）2 a a =，（3） b a b a ?=?，（4） )0(≠= b b a b a 那么? b a b a +=+?b a b a +=- 二、讲解新课：结论：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.）已知,a b 是实数，试证明：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.）探究: ,,a b a b +, 之间的什么关系? b a -

绝对值的三角不等式典型例题

1.4绝对值三角不等式 ☆教学目标： 1. 理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程； 2. 掌握定理1的两种证明思路及其几何意义； 3. 4. ☆教学重点： ☆教学难点： ☆教学过程：一、引入：理解绝对值三角不等式打会用绝对值不等式解决一些简单冋题。定理1的证明及几何意义。换兀思想的渗透。证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1） a+b 纠 a+b （ 2） a_b 兰 a + b （3）|a b =a b （4）罰書甘0）请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质a ?b = ab 和鸟= ￡（b ^0）可以从正负数和零的乘法、除法 |b| b 法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明a + b 3|a +b 对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题：设a 为实数，a 和a 哪个大? 显然a -a ，当且仅当a — 0时等号成立（即在a — 0时，等号成立。在 a ：：： 0 时，等号不成立）。同样，a 】：：-a.当且仅当a_0时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常常利用 a 一￡、a 一 -a 及绝对值的和的性质。二、典型例题：例 1、证明（1）a +|b K a +b ，证明(1)如果 a + b K0,那么 a + b = a + b.所以 a +|b ^a + b= |a + b. 女口果 a + bc0, 那么 a + b = —(a + b). 所以 a 十 b 启一a + (—b) = -(a + b) = a 十 b

指数不等式与对数不等式 2019高考绝密资料

指数不等式与对数不等式的解法主标题：指数不等式与对数不等式的解法副标题：为学生详细的分析指数不等式与对数不等式的解法的高考考点、命题方向以及规律总结。关键词：不等式，指数不等式与对数不等式的解法，知识总结难度：3 重要程度：5 考点剖析：1.利用指数函数的定义域和单调性将指数不等式转化为一元二次不等式； 2.利用对数函数的定义域和单调性将对数不等式转化为一元二次不等式； 3.利用换元法将含指数或对数的不等式进行合理转化. 命题方向：考查指数不等式或对数不等式，往往考查其定义域与单调性，将其合理转化为一元一次不等式或一元二次不等式进行求解. 规律总结： 1.? ? ?<<<>>?>10),()(1 ),()()()(a x g x f a x g x f a a x g x f , 2.?>)(log )(log x g x f a a ???<<<<>>>1 0),()(01 ,0)()(a x g x f a x g x f 3.对于02>++C Ba Aa x x ，令t a x =，可转化为02>++C Bt At 来解（但要注意 0>=x a t ），再利用t x a log =求解; 4.对于0log )(log 2>++C x B x A a a ,令x t a log =，可转化为02 >++C Bt At ，再利用 t a x =求解知识点总结： 1.指数函数的图象与性质 a >1 00时，1)(>x f ；当 x <0时，1)(0<0时，1)(0<x f (6)在(－∞，＋∞) 上是增函数 (7)在(－∞，＋∞) 上是减函数