2018中考相似三角形专题复习.docx
中考复习一相似三角形
仁比例
对于四条线段m, b, c, d,如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比 相等，如￡ = ￡ （即力=bc ）,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.
b cl
1. 若g/,则亠—;
y 3 y
2. 以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ）
A. 2, 5, 10, 25
B. 4, 7, 4, 7
C. 2, 0.5, 0.5, 4
D.迥,后,2^5 , 5迈
3. 若Q ：3=Z?：4=C ：5,且Q + Z? — C = 6,则。= ______________ ,b — ____ ,c = _________ ；
4. :若—3,则皂士匕二
b d f 4 b + d + f --------------------- 5. 已知纟=2工0,求代数式算二敗.（—2b ）的值.
2 3 a 2 - Ab 2
' ）
2、平行线分线段成比例、
定理： 推论：
练习1、如下图，EF 〃BC ,
AM : AN= _______ ,BN : NC= _________ 2、已知：如
图，口 ABCD, E 为BC 的中点，BF : FA=1 : 2, EF 与对角线BD 相交于G,
求 BG : BDo
3、如图,在 A ABC 中,EF//DC, DE//BC,求证:
(1) AF ： FD = AD : DB ； (2) AD 2=AF ? AB O
AE : EB=2 : 1,EM=1,MF=2,贝ij
D
3、相似三角形的判定方法
判定0.平行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交，所截得的三角形与 ______________ 判定1.两个角对应相等的两个三角形 ____________ ? 判定2.两边对应成 __________ 且夹角相等的两个三角形相似. 判定3.三边对应成比例的两个三角形 _____________ . 判定4.斜边和 _______ 对应成比例的两个直角三角形相似 常见的相似形式：
1. 若DE 〃BC （A 型和X 型）则 _____________ .
2. 子母三角形（1）射彫定理：若CD 为RtAABC 斜边上的高（双直角图形）
⑵ ZABD=Zc
则 R t A ABC R t A ACD Rt A CBD 且 AC~ ________
练习
1、 _____________________________________________ 如图，已知ZADE=ZB,则ZSAED s ____________________________________________________
2、 如图，在 RtAABC 中，ZC=90°, DE 丄AB 于 D,则厶ADEs ___________________ 3
ZC=ZB,
4. 如图，具备下列哪个条件可以使NACD S NBCA A AC_=AB_ B AB BD C AC? = CD ?CB CD BC AC CD
5. 下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（
6、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4 及x,那么x 的值（ ） A.只有1个 B.可以有2个 C.可以有3个 D.有无数个
C
1
B
( ) D CD 2 = )
4 >相似三角形的性质与应用
8、如图，Rt^ABC 中,ZACB=90°, ZABC=60% BC=2cm, D 为 BC 的中点,若动点 E 以 lcm/s 的速度从A
点出发，沿着ATBTA 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0 ） A. 2 B. 2.5 或 3.5 C. 3.5 或 4.5 D. 2 或 3.5 或 4.5 1. 相似三角形的对应边 _________ ,对应角 _? 2. 相似三角形的对应边的比叫做 _________ , 一般用k 表示. 3. 相似三角形的对应边上的 ________ 线的比等于 ________ 比，周长之比也等于 等于 ________ . 练习1、如图，路灯距离地血8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点0） 20米的A 处，则小明的影子AM 长为 _________ 米. 3、如图，在AABC 屮,M. N 分别是边A 氏AC 的屮点，则AAMN 的面积与 四边形MBCN 的面积比为（）? (A) - (B)- 2 3 3、如图，Rt/XABC 中 (D) ,ZA=90° ,AD 丄BC 于点 D,若 BD ： CD=3： 2,贝 1J tanB=( A. 3 1 B. 2 "3 D ? 2/6 4、如图，SBC 中，E 、F 分别是AB 、AC 上的两点，且普舞今若“EF 的面积为2,则 四边形EBCF 的面积为 5、 如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3, ZADE=60°, 则AE 的长为 ____ . B 6. 如图，点M 是AABC 内一点，过点M 分别作直 线平行于AABC 的各边，所形成的三个小三角形△】、△?、As （图中阴影部分） 的面积分别是4, 9和49.则AABC 的面积是 ___________ ? 7?如图，在刖ABCD 中，E 为 CD±一点，连接 AE 、BD,且 AE 、BD 交于点 F, S ADEF ： S AABF =4： 25,则 DE ： EC=（ ） A ? 2： 5 B. 2： 3 C. 3： 5 D. 3： 2 比，面积比 B 5、相似多边形 (1) 对应边成比例，对应角相等的两个多边形叫做相似多边形. (2) 相似多边形的对应角相等，对应边的比相等 (3) 相似多边形对应边的比称为相似比.相似多边形面积的比等于相似比的平方. 练习 1. 如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图 中阴 影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是() A. 2 cm 2 B. 4 cm 2 C. 8 cm 2 D. 16 cm" 2. (2011.潍坊)已知矩形ABCD 中,AB=1,在BC 上取一点E ,沿AE 将AABE 向上折叠，使B 点落在 AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD= ( ) '[\ —f _ \ A. V5-1 B ? A /5 + 1 C. 5/3 D. 2 \ (1) 分为相同的两个矩形，且与原矩形相似，求a:b (2) 分为相同的三个矩形，且与原矩形相似，求a:b (3) 割掉一个正方形，剩余的矩形与原矩形相似，求a:b 5、如图，AB 〃EF 〃CD, (1) AB=10, CD=15, AE : ED=2 : 3,求 EF 的长。 (2) AB=a, CD=b, AE : ED=k,求 EF 的长。 ■ % % 、 ■ ■ ■ ■ ---------------- : 4、将一个长为a,宽为b 的矩形, (3)若上下两个梯形相似AB=4, CD = 8,求EF的长 6、位似 位似图形：如果两个多边形不仅 _________________ ,而且对应顶点的连线 ________________________ ,对应边 或 _____________________ ,那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 _____________________ ,这时的相 似比又称为 ___________ . 似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是_图形，而相似图形不一定 是 图形； 溯个位似图形的位似中心只有一个； ③5个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； （4） 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于 _____________ . （5） 两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似屮心共线；不经过位似屮心的对应线段平 行. （6） 关于原点位似的特征 作位似图形的几种可能： 异侧 的直线行走14米到点B 吋，人彤长度（ ） A.变短3. 5米 B.变长1.5米 C.变长3. 5米 2、小芳同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立5长的标杆测得其影长为1.加, 同时旗杆 的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其氏度为9. 6rn 和2m,你能帮 助小芳同学算出 学校旗杆的高度？ □ □□ □ □□□□ 2m 、 m 、放大 缩小 同侧上 iT 盲 如图，路灯距地面8米, 身高1.6米的小明从距离灯的底部（点0） 20米的点A 处，沿0A 所在 D.变短1.5米 综合练习 1?如图，L1ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F, D E = -CD^ 2 若Z\DEF的面积为2,则E1ABCD的面积是。 2、如图，已矢UAB〃CD, AD 与BC 相交于点P, AB=4, CD=7, AD=10, C. 70 T T 3、己知平行四边形ABCD中，AE : EB=1 : 2, 周长比，如果S AAEF^^CIH",求S ACDF- 求AAEF与ACDF的 4、E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，AE : EC=1 : 3, BE的 延长线交CD的延长线于G,交AD于F,求证：BF：FG=1：2. G 6、如果四边形ABCD的对角线交于0,过0作直线0G//AB交BC于E,交AD于F,交CD 的延长线于G,求证：OG—GEGF. 7、口力位刀的对角线牝；〃〃相交于点0, F是力〃延长线上一点，0E交BC于点F, AB= a, BC=b, BE=c,求莎的长. 图27 - 64 基木方法 1、（做平行线构造成比例线段）如图，已知ZABC 中，D 为AC 上的一点，AD ： DC 二3 ： 2, E 为CB 延长线上的一点，ED 和AB 相交于点F, EF 二FD 。求：EB : BC 的值。 A 2、已知△4BC,延长BC 到D,使CD = BC .取AB 的屮点F,连结FD 交AC 于点E. Ap (1)求——的值；(2)若AB = a, FB = EC ,求AC 的长. AC 3、在AABC 中，D 、E 分别为BC 的三等分点，CM 为AB 上的中线，CM 分别交AE 、AD 于 F 、G,贝ij CF ： FG ： GM=5 ： 3 ： 2 D A 1.【等线段代换法】在AABC屮，AB二AC,直线DEF与AB交于D,与BC交于E,与AC的因此线交 2、己知在AABC中，AD平分ZBAC,EM是AD的中垂线，交BC延长线于E.求证：DE2=BE CE. 【中间比例过渡法】已知ZkABC中,DE〃BC,BE与CD交于点0, A0与DE、BC分别交于点N. M, 求证: AN _ ON 于F。求证: DE EF ~BD~~CF u u E 中考题荟萃 1、 如图，苍4ABC 中，AB=AC=5, BC=6,点M 为BC 中点，MN 丄AC 于点N, 则MN 等于【 】 6 9 , 12 16 A.— B. — C. — D.— 5 5 5 5 2、 如图，\ABC 中，AD 是中线，BC = 8,ZB = ADACM 线段AC 的长为( A. 4 B. 4V2 ? C. 6 D ? 4心 3、如图27-65所示，在中，〃是％边上的中点，且AD=AC, DEIBC, DE 与AB 相交于点仅 虑与力〃相交于点尺 ⑴求证△血/s △应0； (2)若5k^= 5, BC=10,求处的长 4、如图 1,四边形 ABCD 的对角线 AC, BD 相交于点 0, OB=OD, OC=OA+AB, AD=m, BC=n, ZABD+ZADB=ZACB. (1)填空：ZBAD 与ZACB 的数量关系为 __________ : (2)求?的值； 西44 (3) 将厶ACD 沿CD 翻折，得到△ A ，CD (如图2),连接BA\与CD 相交于点P.若CD= 2 求PC 的长. B 图 27-65 25、已知AABC, AB二AC, D 在AB 上，E 在AC±, MZAED=ZB=60°,若CE:DE:BC二1： 2： 3,设AD二m, DB 二n, A AF (1)填空：丝的值是。 AB (2) 刃的值 (3)将△ ADE沿DE翻折,得到A AiDE, AiD交BC于M AiE 交BC 于N,若MN=— 55，求BM的长。 6、如图，在AABC 中，ZC=90°, AC=3, BC=4,点D, E 分别在AC, BC ±(点D 与点A, C不重合),且ZDEC=ZA,将厶DCE绕点D逆时针旋转90。得到△ DCE.当△DCE的斜边、直角边与AB分别相交于点P, Q (点P与点Q不重合)时，设CD=x, PQ=y- (1)求证：ZADP=ZDEC； (2)求y关于x的函数解析式，并直接写岀自变量x的取值范围. 备用图 2018数学中考复习 ——二次函数与相似三角形 二次函数中因动点问题产生的相似三角形的解题方法一般有以下三种： 1．如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6)． (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式； (2)设直线BC 交y 轴于点E ，连接AE ，求证：AE=CE; (3)设抛物线与y 轴交于点D ，连接AD 交BC 于点F ， 试问以A 、B 、F ，为顶点的三角形与△ABC 相似吗请说明理由． 2、如图，已知抛物线过点A （0，6），B （2，0），C （7， 5 2 ）. 若D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，F 与E 关于D 对称. （1）求抛物线的解析式； （2）求证：∠CFE=∠AFE ； （3）在y 轴上是否存在这样的点P ，使△AFP 与△FDC 相似，若有，请求出所有合条件的点P 的坐标；若没有，请说明理由. O A B E D F C x N M 3.如图，已知抛物线的方程C1:y=-(x+2)(x-m)(m>0)与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点E ，且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C 1过点M(2，2)，求实数m 的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE 的面积． (3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标． (4)在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为 顶点的三角形与△BCE 相似若存在，求m 的值；若不存在，请说 明理由． 4. 如图，已知抛物线 与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点 B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点 C . ⑴点B 的坐标为 ，点C 的坐标为 （用含b 的代数式表示）； ⑵请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由； ⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△ QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由. 5．如图已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三 x y P O C B A 初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 则 …………a c e m b d f n a b m n k ++++++++=== 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项， 叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a = 2018中考数学专题相似形 （共40题） 1．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点． （1）求证：BD=CE； （2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长； 2．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F． （1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE； （2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF?AC． 3．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）若AD=3，AB=5，求的值． 4．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G． （1）求证：BG=DE； （2）若点G为CD的中点，求的值． 5．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论． 6．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC； （2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长． 7．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC 的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q． （1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE； （2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长． 2018中考数学相似三角形课时练 一．选择题 1．（2018?重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（） A．360元B．720元C．1080元D．2160元 2．（2018?铜仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（） A．32 B．8 C．4 D．16 3．（2018?临安区）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（） A．B．C．D． 4．（2018?崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（） A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1 5．（2018?随州）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（） A．1 B．C． 1 D． 6．（2018?哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（） A．=B．=C．=D．= 7．（2018?扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论： ①△BAE∽△CAD；②MP?MD=MA?ME；③2CB2=CP?CM．其中正确的是（） A．①②③B．①C．①②D．②③ 8．（2018?孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD 交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（） A．5 B．4 C．3 D．2 2018中考数学相似三角形 一．选择题（共28小题） 1．（2018?重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（） A．360元B．720元C．1080元D．2160元 【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可． 【解答】解：3m×2m=6m2， ∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2， 将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍， 则面积扩大为原来的9倍， ∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2， ∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2， 故选：C． 2．（2018?玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（） A．：B．2：3 C．4：9 D．8：27 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：∵两三角形的相似比是2：3， ∴其面积之比是4：9， 故选：C． 3．（2018?重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（） A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得． 【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm， 根据题意，得： =， 解得：x=4.5， 即另一个三角形的最长边长为4.5cm， 故选：C． 4．（2018?内江）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（） A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9 【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可． 【解答】解：已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3， 则△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9， 故选：D． 5．（2018?铜仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（） A．32 B．8 C．4 D．16 【分析】由△ABC∽△DEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得△ABC与△DEF的面积比为4，又由△ABC的面积为16，即可求得△DEF的面积． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2， ∴△ABC与△DEF的面积比为4， ∵△ABC的面积为16， ∴△DEF的面积为：16×=4． 故选：C． 6．（2017?重庆）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1 【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：4， 故选：A． 中考复习一相似三角形 仁比例 对于四条线段m, b, c, d,如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比 相等，如￡ = ￡ （即力=bc ）,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段. b cl 1. 若g/,则亠—; y 3 y 2. 以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ） A. 2, 5, 10, 25 B. 4, 7, 4, 7 C. 2, 0.5, 0.5, 4 D.迥,后,2^5 , 5迈 3. 若Q ：3=Z?：4=C ：5,且Q + Z? — C = 6,则。= ______________ ,b — ____ ,c = _________ ； 4. :若—3,则皂士匕二 b d f 4 b + d + f --------------------- 5. 已知纟=2工0,求代数式算二敗.（—2b ）的值. 2 3 a 2 - Ab 2 ' ） 2、平行线分线段成比例、 定理： 推论： 练习1、如下图，EF 〃BC , AM : AN= _______ ,BN : NC= _________ 2、已知：如 图，口 ABCD, E 为BC 的中点，BF : FA=1 : 2, EF 与对角线BD 相交于G, 求 BG : BDo 3、如图,在 A ABC 中,EF//DC, DE//BC,求证: (1) AF ： FD = AD : DB ； (2) AD 2=AF ? AB O AE : EB=2 : 1,EM=1,MF=2,贝ij D 3、相似三角形的判定方法 判定0.平行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交，所截得的三角形与 ______________ 判定1.两个角对应相等的两个三角形 ____________ ? 判定2.两边对应成 __________ 且夹角相等的两个三角形相似. 判定3.三边对应成比例的两个三角形 _____________ . 判定4.斜边和 _______ 对应成比例的两个直角三角形相似 常见的相似形式： 1. 若DE 〃BC （A 型和X 型）则 _____________ . 2. 子母三角形（1）射彫定理：若CD 为RtAABC 斜边上的高（双直角图形） ⑵ ZABD=Zc 则 R t A ABC R t A ACD Rt A CBD 且 AC~ ________ 练习 1、 _____________________________________________ 如图，已知ZADE=ZB,则ZSAED s ____________________________________________________ 2、 如图，在 RtAABC 中，ZC=90°, DE 丄AB 于 D,则厶ADEs ___________________ 3 ZC=ZB, 4. 如图，具备下列哪个条件可以使NACD S NBCA A AC_=AB_ B AB BD C AC? = CD ?CB CD BC AC CD 5. 下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（ 6、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4 及x,那么x 的值（ ） A.只有1个 B.可以有2个 C.可以有3个 D.有无数个 C 1 B ( ) D CD 2 = ) 相似三角形在圆中的应用专题练习卷 1.如图，菱形ABCD 的边AB=20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切，AO=10，则⊙O 的半径长等于（ ） A ．5 B ．6 C ．25 D ．32 2.（2017浙江衢州第19题）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O 于点D 。连结OD ，作BE ⊥CD 于点E ，交半圆O 于点F 。已知CE=12，BE=9 （1）求证：△COD ∽△CBE ； （2）求半圆O 的半径r 的长 3.如图，已知BC 是O ⊙的直径，点D 为BC 延长线上的一点，点A 为圆上一点，且AB AD =，AC CD =. (1)求证：ACD BAD △∽△； (2)求证：AD 是O ⊙的切线. 4.如图，以原点O 为圆心，3为半径的圆与x 轴分别交于A ，B 两点（点B 在点A 的右边），P 是半径OB 上一点，过P 且垂直于AB 的直线与⊙O 分别交于C ，D 两点（点C 在点D 的上方），直线AC ，DB 交于点E ．若AC ：CE=1：2． （1）求点P 的坐标； （2）求过点A 和点E ，且顶点在直线CD 上的抛物线的函数表达式． 5.如图，ABC △内接于O ⊙，BC 是O ⊙的直径，弦AF 交BC 于点E ，延长BC 到点D ，连接OA ，AD ，使得FAC AOD =∠∠，D BAF =∠∠. (1)求证：AD 是O ⊙的切线； (2)若O ⊙的半径为5，2CE =，求EF 的长. 6.如图，已知直线PT 与⊙O 相切于点T ，直线PO 与⊙O 相交于A ，B 两点． （1）求证：PT 2=PA?P B ； （2）若PT=TB=3，求图中阴影部分的面积． 7．如图，AB 是⊙O 的直径，AB =43E 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），作CE ⊥OB ，交⊙O 于点C ，垂足为点E ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，AF ⊥PC 于点F ，连接CB ． （1）求证：CB 是∠ECP 的平分线； （2）求证：CF =CE ； （3）当 34 CF CP 时，求劣弧?BC 的长度（结果保留π） 2018中考数学三角形知识点汇总 相似三角形 所谓的相似三角形,就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形。 三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。 相似三角形的判定方法有： 平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似， 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似， 如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似， 如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似， 直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。 射影定理 相似三角形的性质 1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。 2.相似三角形周长的比等于相似比。 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方 三角形的三边关系定理及推论： （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形； ②当已知两边时，可确定第三边的范围； ③证明线段不等关系 三角形的三边关系： 在三角形中，任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边。 设三角形三边为a,b,c 则 a+b>c a+c>b b+c>a a-b a-c b-c 在直角三角形中，设a、b为直角边，c为斜边。 则两直角边的平方和等于斜边平方。 在等边三角形中，a=b=c 在等腰三角形中，a,b为两腰，则a=b 在三角形ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c的情况下， c2=a2+b2-2abcosc 相似三角形的判定方法 由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法： 2020中考数学专题相似形 （共40题） 1．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点． （1）求证：BD=CE； （2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长； 2．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F． （1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE； （2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC； ②AG2=AF?AC． 3．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）若AD=3，AB=5，求的值． 4．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF ⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G． （1）求证：BG=DE； （2）若点G为CD的中点，求的值． 5．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF； （2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF 于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论． 6．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD． （1）证明：∠BDC=∠PDC； （2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长． 希望教育 2019年中考数学一轮复习讲义 学生：全慧 第一讲 相似三角形 1、比例 对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如a c b d = (即ab ＝bc )，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 1.若 322=-y y x , 则_____=y x ； 2．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ） A ．2，5，10，25 B ．4，7，4，7 C ．2，，，4 D ．2，5，52，25 3．若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且6=-+c b a , 则___________,____,===c b a ； 4．：若 43===f e d c b a , 则______=++++f d b e c a 5、已知，求代数式的值． 2、平行线分线段成比例 定理：平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长 度成比例。 推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例。 练习1，如下图，EF ∥BC ，若AE ∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM ∶AN=____,BN ∶NC=_____ 2、已知：如图，ABCD ，E 为BC 的中点，BF ︰FA ＝1︰2，EF 与对角线BD 相交于G ，求BG ︰BD 。 3、如图，在ΔABC 中，EF 行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交，所截得的三角形与 判定1. 两个角对应相等的两个三角形__________． 判定2. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 判定3. 三边对应成比例的两个三角形___________． 判定4.斜边和 对应成比例的两个直角三角形相似 常见的相似形式： 1. 若DE∥BC（A 型和X 型）则______________． 2.子母三角形（1） 射影定理：若CD 为Rt△ABC 斜边上的高（双直角图形） (2)∠ABD=∠c 2018 中考数学专题相似形 (共40题) 1.如图，△ ABC和厶ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，/ BACK DAE=90, 点P为射线BD, CE的交点. (1)求证：BD=CE AD 于E, AC于F. (1)如图1,若BD=BA 求证：△ ABE^A DBE; (2)如图2，若BD=4DC取AB的中点G,连接CG交AD于M，求证： ①GM=2MC; ② A&=AF?AC 图1 圉2 3.如图，在锐角三角形ABC中，点D, E分别在边AC, AB上, AG丄BC于点G, AF丄DE于点F,Z EAFK GAC 2.如图，直角△ ABC中，/ BAC=90, D在BC上，连接AD,作BF丄AD分别交 (1)求证：△ ADE^A ABC; 的 4?如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE,过顶点B作BF 丄DE,垂足为F, BF分别交AC于H,交CD于G. (1)求证：BG=DE (2)若点G为CD的中点，求工的值. GF 5. (1)如图1在正方形ABCD中，点E, F分别在BC, CD上, AE±BF于点M , 求证：AE=BF (2)如图2,将 (1 中的正方形ABCD改为矩形ABCD, AB=2 BC=3 AE±BF 于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论. 6?如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD AC平分/ BAD,点P是AC延长线上点，且PD丄AD. (1)证明：/ BDC=/ PDC (2)若AC与BD相交于点E, AB=1, CE CP=2 3,求AE的长. 7. A ABC和△ DEF是两个全等的等腰直角三角形，/ BACK EDF=90, △ DEF的顶点E与厶ABC的斜边BC的中点重合，将△ DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q. (1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△ BPE^A CQE (2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△ BP0A CEQ并求当 BP=2 CQ=9时BC 的长. 图② 8. 如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分/ DEB F为CE的中点, 连接AF，BF,过点E作EH// BC分别交AF，CD于G，H两点. (1)求证：DE=DC (2)求证：AF丄BF; (3)当AF?GF=28寸，请直接写出CE的长. 9. 在Rt A ABC中，/ BAC=90,过点B的直线MN // AC, D为BC边上一点，连接AD，作DE丄AD交MN 于点E,连接AE (1)如图1,当/ ABC=45时，求证：AD=DE (2)如图2,当/ABC=30时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由. 2018中考数学试题分类汇编：考点36 相似三角形 一．选择题（共28小题） 1．（2018?重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（） A．360元B．720元C．1080元D．2160元 【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可． 【解答】解：3m×2m=6m2， ∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2， 将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍， 则面积扩大为原来的9倍， ∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2， ∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2， 故选：C． 2．（2018?玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（） A．：B．2：3 C．4：9 D．8：27 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：∵两三角形的相似比是2：3， ∴其面积之比是4：9， 故选：C． 3．（2018?重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（） A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得． 【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm， 根据题意，得： =， 解得：x=4.5， 即另一个三角形的最长边长为4.5cm， 故选：C． 4．（2018?内江）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（） A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9 【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可． 【解答】解：已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3， 则△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9， 故选：D． 5．（2018?铜仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（） A．32 B．8 C．4 D．16 【分析】由△ABC∽△DEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得△ABC与△DEF的面积比为4，又由△ABC的面积为16，即可求得△DEF的面积． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2， ∴△ABC与△DEF的面积比为4， ∵△ABC的面积为16， ∴△DEF的面积为：16×=4． 故选：C． 6．（2017?重庆）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（） A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1 【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：4， 故选：A． 7．（2018?临安区）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（） A．B．C．D． 华贤书院 教学过程补充表 知识要点： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b= c ，那么b 叫做a 、 d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质：a b c d ad bc =?= ②合比性质： ±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相似三角形的判定： ①两角对应相等，两个三角形相似 ②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似 ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似 ⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 5. 相似三角形的性质 陕西中考数学分类汇编之相似三角形测高 1．(2013·陕西)一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m．已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高CD的长．(结果精确到0.1 m) 2．(2014·陕西)某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸)． ①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D 处，如图所示，这时小亮测的小明眼睛距地面的距离AB＝1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外，其他姿态均不变)，这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE＝9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB＝1.2米． 根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？ 3.（2015陕西）晚饭后,小聪和小军在社区广场散步,小聪问小军：“你有多高?”小军一时语塞。小聪思考片刻,提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高。于是,两人在灯下沿直线NQ移动,如图,当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时,其影长AD恰好为1块地砖长;当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时,其影长BF恰好为2块地砖长。已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成,小聪的身高AC为1.6 米,MN⊥NQ,AC⊥NQ,BE⊥NQ.请你根据以上信息,求出小军身高BE的长.(结果精确到0.01米) 4（陕西2016）.某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园。小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力。他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量。方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米。如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度。 ， 2 5 5 a 希望教育 2019 年中考数学一轮复习讲义 学生：全慧 第一讲 相似三角形 1、比例 对于四条线段 a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比 相等，如 a = c (即 ab ＝bc )，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． b d 1. 若 x - 2 y y = 2 , 则 x 3 y = ； 2. 以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ） A ．2，5，10，25 B ．4，7，4，7 C ．2，0.5，0.5，4 D ． ， ， 2 ， 5 3．若 a ∶3 = b ∶4 = c ∶5 , 且 a + b - c = 6 , 则 a = , b = , c = ； 4. ：若 = c = e = 3 , 则 a + c + e = b d f 4 b + d + f 5、已知 a = b ≠ 0 ，求代数式 5a - 2b ? (a - 2b ) 的值． 2 3 a 2 - 4b 2 2、平行线分线段成比例 定理：平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3 条）所截，截得的对应线段的长 度成比例。 推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例。 练习 1，如下图，EF ∥ BC ，若 AE ∶ EB=2∶ 1,EM=1,MF=2,则 AM ∶ AN= __ ,BN ∶ NC=_____ 2、已知：如图， ABCD ，E 为 BC 的中点，BF ︰FA ＝1︰2，EF 与对角线 BD 相交于 G 求 BG ︰BD 。 3、如图，在ΔABC 中，EF//DC ，DE//BC ，求证： （1） AF ︰FD ＝AD ︰DB ； （2） AD 2 ＝AF·AB。 3 、相似三角形的判定方法 判定 0.平行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交，所截得的三角形与 2 一线三等角 相似三角形判定的基本模型 A字型X字型反A字型反8字型 母子型旋转型双垂直三垂直 相似三角形判定的变化模型 C B E D A 一线三等角型相似三角形 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示： 【应用】 1.如图，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，CB ∥OA ，OA=7，BC=1，AB=5，点P 为x 轴上的一个动点，点P 不与点0、点A 重合．连接CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ． （1）直接写出点B 的坐标 ． （2）当点P 在线段OA 上运动时，使得∠CPD=∠OAB ，且BD: AD=3:2 ，求点P 的坐标． 2、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点． （1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ； （2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，同时交直 线AD 于点M ，那么 ①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；② 当BEP DMF S S ??=4 9 时，求BP 的长． 模型训练： 1. 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ； (2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由． A B C D E E D C B A P （第25题图） E D C B A （备用图） 相似三角形分类练习题（1） 一、填空题 1、如图，DE是△ABC的中位线，那么△ADE面积与△ABC面积之比是________。 2、如图，△ABC中，DE∥BC，，且，那么＝________。 3、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，AD＝8cm，DB＝2cm，则CD＝________cm。 4、如图，△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且AD:AB＝AE:AC＝1:2，BC＝5cm，则DE＝________ cm。 5、如图，AD、BC相交于点O，AB∥CD，OB＝2cm，OC＝4cm，△AOB面积为4.5cm2，则△DOC面积为___cm2。 6、如图，△ABC中，AB＝7，AD＝4，∠B＝∠ACD，则AC＝_______。 7、如果两个相似三角形对应高之比为4:5，那么它们的面积比为_____。 8、如果两个相似三角形面积之比为1:9，那么它们对应高之比为_____。 9、两个相似三角形周长之比为2:3，面积之差为10cm2，则它们的面积之和为_____cm2。 10、如图，△ABC中，DE∥BC，AD:DB＝2:3，则＝______。 二、选择题 1、两个相似三角形对应边之比是1:5，那么它们的周长比是（）。 （A）；（B）1:25；（C）1:5；（D）。 2、如果两个相似三角形的相似比为1:4，那么它们的面积比为（）。 （A）1:16；（B）1:8；（C）1:4；（D）1:2。 3、如图，锐角三角形ABC的高CD和高BE相交于O，则与△DOB相似的三角形个数是（）。（A）1；（B）2；（C）3；（D）4。 4、如图，梯形ABCD，AD∥BC，AC和BD相交于O点，＝1:9，则＝（）。（A）1:9；（B）1:81；（C）3:1；（D）l:3。 三、如图，△ABC中，DE∥BC，BC＝6，梯形DBCE面积是△ADE面积的2倍，求DE长。 四、如图，△ABE中，AD:DB＝5:2，AC:CE＝4:3，求BF:FC的值。 五、如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，BC∥AD，BC＜AD，BC＝，AB＝，AC⊥CD，求AD（用 的式子表示） 2018 年中考复习 相似 动点 分类讨论 1.如图，已知一个三角形纸片 ABC ， BC 边的长为 8， BC 边上的高为 6 ， B 和 C 都为锐角， M 为 AB 一动点（点 M 与点 A 、B 不重合），过点 M 作 MN ∥ BC ，交 AC 于点 N ，在 △ AMN 中，设 MN 的长为 x ， MN 上的高为 h ． （ 1）请你用含 x 的代数式表示 h ． （ 2）将 △ AMN 沿 MN 折叠，使 △ AMN 落在四边形 BCNM 所在平面，设点 A 落在平面 的点为 A 1，△ A 1 MN 与四边形 BCNM 重叠部分的面积为 y ，当 x 为何值 时， y 最大，最大值为多少？ 【答案】解：（ 1）Q MN ∥ BC h x 3x △ AMN ∽△ ABC 8 h 6 4 （ 2） Q △ AMN ≌△ A 1MN △ A 1MN 的边 MN 上的高为 h ， ① 当 点 A 1 落 在 四 边 形 BCNM 内 或 BC 边 上 时 ， y S △ A 1 MN = 1 1 3 3 2 （ 0 x ≤ 4 ） MN ·h 2 x · x 8 x 2 4 ② 当 A 1 落在四边形 BCNM 外时，如下图 (4 x 8) ， 设 △ A 1EF 的边 EF 上的高为 h 1 ，则 h 1 2h 6 3 x 6 2 Q EF ∥ MN △ A 1EF ∽△ A 1 MN Q △ A 1MN ∽△ ABC △ A 1 EF ∽△ ABC S △ A 1 EF 2 1 h 1 Q S △ ABC 6 8 24 S △ABC 6 2 3 x 6 2 3 2 2 S △A 1 EF 24x 12 x 24 6 2 Q y S △ A 1 MN S △ A 1EF 3 x 2 3 x 2 12 x 24 9 x 2 12x 24 所 8 2 8 y 9 x 2 12x 24 (4 x 8) A 8 综上所述：当 0 x ≤ 4 时， y 3 x 2 ，取 x 4 ， y 最大 6 9 8 16 当 4 x 8 时， y x 2 12x 24 ，取 x ， y 最大 8 8 3 M N B E F C 2018中考数学试题分类汇编：考点36 相似三角形一．选择题（共28小题） 1．（2018?重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（） A．360元B．720元C．1080元D．2160元 【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可． 【解答】解：3m×2m=6m2， ∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2， 将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍， 则面积扩大为原来的9倍， ∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2， ∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2， 故选：C． 2．（2018?玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（） A．： B．2：3 C．4：9 D．8：27 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：∵两三角形的相似比是2：3， ∴其面积之比是4：9， 故选：C． 3．（2018?重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（） A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得． 【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm， 根据题意，得：=， 解得：x=4.5， 即另一个三角形的最长边长为4.5cm， 故选：C． 4．（2018?内江）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（） A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9 【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可． 【解答】解：已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3， 则△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9， 故选：D． 5．（2018?铜仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（） A．32 B．8 C．4 D．16 【分析】由△ABC∽△DEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得△ABC与△DEF的面积比为4，又由△ABC的面积为16，即可求得△DEF的面积． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2， ∴△ABC与△DEF的面积比为4， ∵△ABC的面积为16， ∴△DEF的面积为：16×=4． 故选：C． 6．（2017?重庆）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（） A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1 【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：4， 故选：A． 7．（2018?临安区）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）2018中考复习——二次函数和相似三角形
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