磁场,感应计算题

稳恒磁场计算题

144.稳恒磁学计算题144、如下图所示，AB 、CD 为长直导线BC 为圆心在O 点的一段圆弧形导线，其半径为R ．若通以

电流I ，求O 点的磁感应强度．

解：如图所示，O 点磁场由DC 、CB 、BA 三部分电流产生，其中：

DC 产生 )21(4)2sin 4(sin

45cos 400

01-=-=

R

I R I

B πμπ

π

πμ 方向向里 CB 产生 R

I

R I B 16224002

μμππ

== 方向向里 BA 产生 03=B

R

I

R I B B B B O 16)12(400321μπμ+-=++= 方向向里

145、如图所示，一载流导线中间部分被弯成半圆弧状，其圆心点为O ，圆弧半径为R 。若导线的流过电流I ，求圆心O 处的磁感应强度。

解：两段直电流部分在O 点产生的磁场 01=B

弧线电流在O 点产生的磁场 R

I

B 2202μπα=

R

I R I B B B O πα

μπαμ42220

021==

+=∴

146、载流体如图所示，求两半圆的圆心点P 处的磁感应强度。

解：水平直电流产生 01=B

大半圆 产生 1

024R I

B μ=

方向向里

小半圆 产生 2

034R I

B μ=

方向向里

竖直直电流产生 2

044R I B πμ=

方向向外

4321B B B B B O +++=∴

)1

11(44442

210202

01

0R R R I R I R I

R I

B O πμπμμμ-+=-

+

=

方向向里

147、在真空中，有两根互相平行的无限长直导线相距0.1m ，通有方向相反的电流，I 1=20A,I 2=10A ，如图所示．试求

、解：取垂直纸面向里为正，如图设X 轴。

)

1.0(102102)(2272010x x x

x d I x I B --?=-+=

-πμπμ 在电流1I 左侧，B

方向垂直纸面向外

在电流1I 、2I 之间，B

方向垂直纸面向里

在电流2I 右侧，当m x 2.0<时，B

方向垂直纸面向外 当m x 2.0>时，B

方向垂直纸面向里

当0=B 时，即0)

1.0(10210

27

=--?-x x x

则 m x 2.0=处的B

为0。

148、图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、外半径分别为a 、b ，导体内载有沿轴线方向的电流I ，电流均匀地分布在管的横截面上．设导体的磁导率μ0，试计算导体空间各点的磁感应强度。

解：取以截面轴线点为心，r 为半径的圆形回路

根据安培环路定理：∑?=?i L

I l d B 0μ

（1）当a r <时 02=r B π 0=B

（2）当b r

a <<时 )(22220

2

a r a

b I

r B ππππμπ--=

)

()

(22

2220a b a r r I B --=πμ （3）当b r

>时 I r B o μπ=2 r

I B πμ20=

149、 如图所示，一根无限长直导线，通有电流I ，中部一段弯成圆弧形，求图中O 点磁感应强度的大小。

解：两段直线电流在O 点产生的磁场

=

=21B B )sin 1(cos 4)sin 2

(sin

cos 400αα

πμαπ

α

πμ-=

-R I

R I

方向垂直纸面向里

弧线电流在O 点 απμμπαR

I

R I B 2222003==

方向垂直纸面向里

)tan cos 1(22)sin 1(cos 2000321ααα

πμαπμαα

πμ+-=+

-=

++=∴R I R

I

R I

B B B B O 方向垂直纸面向里

150、一根同轴电缆由半径为R 1的长圆柱形导线和套在它外面的内半径为R 2、外半径为R 3的同轴导体圆筒组成，如图所示，传导电流I 沿导线向上流去，由圆筒向下流回，在它们的截面上电流都是均匀分布的，求同轴电缆内外各处的磁感应强度的大小。

解： 根据：∑?=?i L

I l d B 0μ

（1）当1R r <时 2

2

1

2r R I r B ππμπ= r R I B 2102πμ= （2）当21R r R <<时 I r B 02μπ= r

I B πμ20=

（3）当32R r R <<时 [])(22

222

2302

R r R R I

I r

B ππππμπ---

=

)

()(222232230R R r R r I B --=πμ

（4）当3R r >时 02=r

B π 0=B

151、有电流I 的无限长导线折成如图的形状，已知圆弧部分的半径为R ，试求导线在圆心O 处的磁感应强度矢量B 的大小和方向?

解：竖直直电流在O 点

R

I B πμ401=

方向垂直纸面向里

水平直电流在O 点 R

I

B πμ402=

方向垂直纸面向外 弧线形电流在O 点 R

I

R I B 83243003μμ==

方向垂直纸面向外

321B B B B O

++=∴

R

I

B B B B O 830321μ=

++-= 方向垂直纸面向外

152、长直载流导线通以电流I ，其旁置一长为m 、宽为n 的导体矩形线圈。矩形线圈与载流导线共面，且其长边与载流导线平行(两者相距为a)，（1）求该线圈所包围面积内的磁通量；（2）若线圈中也通以电流I ，求此载流线圈所受的合力。

解：（1）取面元mdr ds =

a

n a mI mdr r I Bmdr

s d B n a a

m +===?=?

??+ln 2200πμπμφ

（2）根据 ??=B l Id F

左边 a

m

I m a I I IBdl F πμπμ222001===? 方向向左 右边 )

(2Im 202n a m

I B F +==πμ 方向向右

上边 a

n a I dr r I I F n

a a

+==

?

+ln 222003πμπμ 方向向上 下边 a

n a I F +=ln 2204πμ 方向向下

4321F F F F F

+++=合

)

(2)1

1(2202021n a a mn I n a a m I F F F +=

+-=-=πμπμ合 方向向左

153、无限长载流导线I 1与直线电流I 2共面，几何位置如图所示.试求载流导线I 2受到电流I 1磁场的作用力

.

解：取 l d I 2 B l d I F d

?=2

dl I r I dF 21

02πμ= a

b a I I dr r I I F b

a a

+==?

+ln

60cos 22100

210πμπμ 方向垂直2I 向上

154、无限长载流导线I 1与直线电流I 2共面且垂直，几何位置如图所示.计算载流导线I 2受到电流I 1磁场的作用力和关于O 点的力矩;试分析I 2施加到I 1上的作用力

.

解： 在l 上取dr ， 它与长直导线距离为r ，

1I 在此产生的磁场方向垂直纸面向里，大小为r

I B πμ21

0= dr I 2受力B r d I F d ?=2

dr r

I I dF πμ22

10= 方向向上

ab 导线受力d

l

d I I dr r I I dF F l

d d

+===

?

?+ln

22210210πμπμ 方向向上 F d 对O 点力矩 F d r M d

?=

其大小 dr I I rdF dM π

μ22

10=

= 方向垂直纸面向外 l I

I dr I I dM M l

d d

π

μπμ22210210===∴?

?+ 方向向外 从对称角度分析，直电流2I 在无限长载流导线1I 上产生的磁场以O 点对称，即O 点上下对称点的B

大小相等，方向相

反，所以2I 在1I 对称点上所施加的安培力也应大小相等，方向相反，具有对称性，则2I 施加在1I 上的合外力为零。

155、长直载流导线I 1附近有一等腰直角三角形线框，通以电流I 2，二者共面．求△ABC 的各边所受的磁力．

解：B l d I F B

A

AB ?=?2

d

a

I I dl d I I F B

A

AB πμπμ22210102

==? 方向垂直AB 向左 B l d I F C

A

AC ?=?2

d

a

d I I dr r I I F a

d d

AC +==?

+ln 22210102

πμπμ 方向垂直AC 向下 同理 r

I dl

I F BC πμ21

02?=

45

cos dr

dl =

d a

d I I dr r I I F a

d d

BC +==∴?

+ln

245cos 22102210π

μπμ 方向垂直BC 向上

156、边长为l =0.1m 的正三角形线圈放在磁感应强度B =1T 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向平行.如图所示，使线圈通以电流I =10A ，求：线圈每边所受的安培力；对OO /轴的磁力矩大小；(3)从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功．

解：（1）B l I F ab ?= N IlB F ab 866.0120sin 0

== 方向垂直纸面向外

0=?=B l I F bc

B l I F ca

?= N IlB F ca 866.0120sin 0== 方向垂直纸面向里

（2）n m e IS P

= B P M M ?=

m N ISB B P M M ??===-201033.490sin 方向沿'O O 方向

（3）磁力功 )(12φφ-=I A

01=φ B l BS 2

24

3=

=φ J B l I

A 22

1033.44

3-?==∴

157、一平面塑料圆盘，半径为R ，表面带有面密度为σ剩余电荷．假定圆盘绕其轴线A A '以角速度ω (rad ·s -1

)转

动，磁场B 的方向垂直于转轴A A '．试证磁场作用于圆盘的力矩的大小为4

4B

R M πσω=

．(提示：将圆盘分成许多

同心圆环来考虑．)

解 :“取圆环rdr ds π2=，其中rdr rdr T

dq dI σωω

ππσ===

22

磁矩 dr r dI r dP M 3

2

πσωπ==

B P d M d M

?= 方向垂直纸面向里

大小为rB r B P M m d d d 3πωσ=?=

4

d d 403

B R r r B M M R

πσωπωσ=

==??

158、在磁感应强度为B 的均匀磁场中，垂直于磁场方向的平面内有一段载流弯曲导线，电流为I ，如图所示．建立适当的坐标系，求其所受的安培力．

解：在曲线上取l d ，则??=b

a

ab B l Id F

l d 与B 夹角都是2π

不变，B 是均匀的

B b Ia B l d I B l Id F b a

b a

ab

?=?=?=∴??)(

其大小BIab F ab = 方向垂直ab 向上

159、如图所示，在长直导线内通以电流I 1=20A ，在矩形线圈中通有电流I 2=10 A ， 两者共面，且矩形线圈之纵边与长直导线平行．已知a=9.0cm, b=20.0cm, d=1.0 cm ，求：(1)(2)矩形线

圈所受合力和合力矩．

解：(1)CD F

方向垂直CD 向左，大小

41

02100.82-?==d

I b

I F CD πμ N

同理FE F

方向垂直FE 向右，大小

51

02100.8)

(2-?=+=a d I b

I F FE πμ N

CF F

方向垂直CF 向上，大小为

?

+-?=+πμ=πμ=a

d d

CF d

a

d I I r r I I F 5210210102.9ln 2d 2 N ED F

方向垂直ED 向下，大小为

5

102.9-?==CF ED F F N

(2)合力ED CF FE CD F F F F F

+++=方向向左，大小为

4102.7-?=F N

合力矩B P M m

?=

∵ 线圈与导线共面

∴ B P m

//

0=M

．

电磁感应计算题

160、两相互平行无限长的直导线,流有大小和方向如图所示的电流，金属杆CD 与两导线保持共面，相对位置如图。 杆以速度v 沿着平行于直载流导线的方向运动，求:杆中的感应电动势，并判断两端哪端电势较高？

解：c b b

I c a a I dr r c b a I r I l d B c a a D C

CD

+-+=??????-+++-=??=??

+ln ln 23)(2223)(0000πμπμπυμπυμνε

161、如图所示，AB 、CD 为两均匀金属棒，有效长度均为1m ，放在B=4T 、方向垂直纸面向里的均匀磁场中．AB 、CD 可以在平行导轨上自由滑动．当两棒在导轨上分别以v 1=4m/s,v 2=2m/s 的速度向右作匀速运动时，求：ABCD 导体框中，电动势的大小及感应电流的方向．

解：)(161V BL CD ==νε

)(82V BL BA ==νε

)(8816V CD AB ABCD =-=+=εεε 方向顺时针

162、如图所示，长直导线中通有电流I = 0.3A ，在与其相距d = 0.6cm 处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长l = 3cm ，宽a = 3cm 。不计线圈自感，若线圈以速度v = 5m/s 沿垂直于长导线的方向向右运动，线圈中的感生电动势多大？

解：(

)

d

I l N Bl N l d B πμνννε201==??=?

(

)

)

(202d a I

l

N l d B +=??=?πμννε

)(1025.1)

(25021V d a d a

I l

N -?=+=-=πμνεεε 方向顺时针

163、真空中的两条无限长直导线平行放置，一载流导体环（半径为R ）与两导线共面放置，如图所示。（1）

求O 点之磁感应强度（2）若圆环以匀速率v 铅直向上运动，求其上的动生电动势。

解：（1）R

I

R I B πμπμ332200=??

= 方向垂直纸面向外

（2）根据法拉第电磁感应定律，因为磁通量不变，所以

0=ε

164、电流为I 的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为120O ，几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度v 平行于长直导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。

解：构造闭合回路AOBA ，依据电磁感应定律，闭合回路动生电动势为0，因而 圆弧导线电动势与AOB 直导线的电动势相等。

由于磁场分布规律r I r B πμ2)(10=

，则dr r

I

v d πμε20=，得到 2ln 22020πμπμεIv

dr r I v

R

R AO ==? 4

5

ln 2205.220πμπμεIv dr r I v

R

R

OB ==?

5.2ln 20π

μεεεIv

OB AO AB =

+= 方向顺时针

165、导线AB 长为l ，绕过O 点的垂直轴以匀角速ω转动，AO=l /3,磁感应强度B 平行于转轴，如图所示．试求：（1） 两端的电势差；（2） 哪一端电势高?

解: (1)在Ob 上取dr r r +→一小段 则 ?

=

=

320

2

9

2d l

Ob l B r rB ωωε

同理 ?

=

=

30

218

1

d l Oa l B r rB ωωε ∴ 226

1

)92181(l B l B Ob aO ab ωωεεε=+-

=+= (2)∵ 0>ab ε 即0<-b a U U ∴b 点电势高．

166、长直导线中通以随时间变化的电流,置于磁导率为μ的磁介质中。已知：I = I 0sin ωt 其中I 0，ω均为大于0的常量。求：与其共面的N 匝矩形回路中的感应电动势

.

解：磁场分布 x

πI μB 20=，矩形回路磁通量d

a

d l I ldx x I a d d

+=?=

Φ

?

+ln 2200πμπμ 感应电动势 t ωd

a d πl ωμdt Φ

d N

εcos ln 20+-=-=

167、真空中的正方形导体框与长直载流导线共面放置，AB 边与载流导线平行，已知b/a=3/4，求（1）两者的互感应系数； (2)若I = I 0sin ωt ，ABCD 上的感生电动势是多少？（3）若ABCD 的电阻为R ，则感生电流是多少？（4）b 为多少时，两者无互感？

解：（1）3ln 220434

0πμπμφ

Ia

dr r Ia a

a ==?

所以

3ln 20π

μa M =

（2）3ln 2cos 00π

ωωμφεt aI dt d -=-= （3）t R

aI R I ωπωμε

cos 23ln 00-== （4）2

a

b =

时 两者无互感

168、磁感应强度为B 的均匀磁场充满一半径为R 的圆柱形空间，一金属杆放在图中位置，杆长为2R ，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外．当d B /dt ＞0时，求：杆两端的感应电动势的大小和方向．

解： ∵ bc ab ac εεε+=

t

B

R B R t t ab d d 43]43[d d d d 21=--=-

=Φε =Φ-=t

bc

d d 2εt B

R B R t d d 12π]12π[d d 22=--

∴ t

B R R ac

d d ]12π43[22+=ε

∵

0d d >t

B

∴ 0>ac ε即ε从c a →

169、圆形均匀磁场区域R 的内接正方形导电回路边长L L=0.20M ，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度以0.1T/s 的变化率减少，如图所示，试求:(1) 整个回路内的感生电动势。(2)回路电阻为2Ω时回路中的感应电流。