高中数学教学探究性教学案例研究

高中数学教学探究性教学案例研究

《新课程标准》明确指出：课堂教学要“体现以学生发展为本的基本理念。”，“重视学生的学习经历和经验，强调课程设计必须从学生的角度出发，要与学生的经历和经验相联系，确立学生在学习中的主体地位。”，“关注学生体验、感悟和实践的过程……”，“将课程与学习融为一体，要展示知识的生成、发展和形成的过程，提供学生亲身感受、体验的机会。”上述精神表达了数学教学的新理念，即坚持“以人为本”，通过学生的自我发现去掌握知识．培养学生对知识本身的兴趣与热爱，使学生从接受者转变为分析者、探究者，让学生自己学会发现问题，解决问题。培养学生创新精神和实践能力。

一．案例：抛物线的几何性质

在教学时，我选择了这样一道例题：斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长．

⑴尝试解决：

方法1：将直线方程与抛物线方程联立，求出A、B两点坐标，再用两点间距离公式。

方法2：将直线方程与抛物线方程联立，求出A、B两点横坐标，再运用抛物线定义，推出本题的解法并不难，学习程度中上的学生大都用方法二，学习中下学生大都用方法一。然而仅仅就题论题，显然不能充分体现该题的教学价值，所以在教学中我进行了如下设计。

⑵问题探究：

问题1：同学们能不能不求坐标就可以求出线段AB的长？

方法3：在方法2的基础上由韦达定理可实现不解方程就能解决问题的目的。

问题2：将上题变为：斜率为k的直线经过抛物线y2＝2px的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长。

探究结果：

①过抛物线焦点的弦长公式

②当直线垂直于x轴时，|AB|=2p，此时|AB|叫抛物线的通径，可以让学生进一步理解通径的几何意义。在此过程中同学们还会发现

③学生自主提出问题：

问题3：在方法一中能不能不求出点的纵坐标？（此问题由学生提出,相对问题一要难一点，所以要求同学们分小组讨论来完成）通过同学们的探索和教师的点拔得出如下成果：(圆锥曲线的弦长公式)

⑶理性归纳：

①体现了方程的思想；

②得到了求直线与圆锥曲线相交所得弦长的一般公式.（与焦点无关）

③为下一节课“直线与圆锥曲线的位置关系”的顺利进行奠定了基础.

⑷开放式变换问题：

问题1：在本题的基础上提出：以AB为直径的圆和准线有何关系？

问题2：过抛物线焦点F的直线交抛线于A、B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线于点D，试判断直线DB与x轴的位置关系.

二．反思与建议：

（1）注意问题情景的设计，引发学生的兴趣.

好的开头是成功的一半，一节优秀的课，必须重视导引的设计。探究性教学的导引设计，必须引起学生对学习内容的探究兴趣，同时符合学习的特点及教材自身的性质。

对设计的导引的几个问题的分析与思考，对本节课的课堂教学思维活动起到了积极的导引作用。这也是我们处理导引部分的一个重要目标。当然，激发学生探究兴趣的方法很多，有影视导引，教学导引，问题导引等等

(2)给学生搭建“自主学习”的平台。

建构主义指出：数学学习并非是一个被动的接受过程，而是一个主动的建构过程，也就是说数学知识必须基于个人对经验的操作、交流，通过反省来主动建构。从而有效地让学生领悟数学思想和数学方法，启发学生积极思维，引导学生自己探索、发现新知识点。如, 案例中求AB的长，可以让学生自由分组，各小组通过讨论，提出解决问题的方法。小组与小组之间，可以互相指出方案中的案点和不足之处，从而改进方案。充分展现学生“自主学习”的能力。

（3）鼓励学生把数学说出来

语言是人类交往的工具，口语交际能力的培养是人际交往永恒的主题。口语交际是指人们通过口语来交流思想，传达信息的过程。良好的口语表达能有效的传达信息。随着新课程教育教学改革的不断推进，对课堂教学的要求，对学生全面发展的要求，我们必须改变原有的观念，在数学教学中也必须培养学生的口头语言表达能力。在数学的交流、合作中，口语的表达能够有效地传达学生与学生、学生与教师的想法和思想。提高课堂的活跃气氛，提高教师的教学质量。

（4）注重学生探索过程的情感体验

新课标强调了学生探索新知的经历和获得新知的体验。对于教师而言，课堂教学就应该充分地考虑和体现数学知识的形成过程，把开展探究性学习和研究作为贯穿于课堂教学始终的一条线。新的课堂教学，是教与学的交往、互动的过程，在这个过程中，教师和学生分享彼此的思考、经验和知识，交流彼此的情感、体验与观念，丰富教学内容，求得新的发现，从而达成共识、共享，实现教学相长和共同发展。在课堂教学中，只要本着新课标的理念，用心钻研教材、教法，大胆创新，总能找到适合教学实际的教学方法的。

（5）探究性学习的概念

探究性学习是指在教学过程中以问题为载体，创设一种类似科学研究的情境和途径，让学生通过自己收集、分析和处理信息来实际感受和体验知识的产生过程，从而掌握数学知识，进而培养学生分析问题、解决问题和探究问题的能力。

（6）探究性学习的目的

数学教学是一个复杂变化的过程，美国数学家贝尔认为，学生学习数学要达到两个目标，一是属于知识范畴，称为数学教学的直接目标，即要掌握的事实、概念、技能和原理；二是属于能力范畴，称为数学教学的间接目标，即要具备证明说理、解疑求难、迁移知识、掌握方法、独立探究、与人合作等的能力。也就是说，在现代数学教学中，教师既要让学生学习数学知识，又要通过数学的学习培养学生在现代社会中必需的各种能力。而探究性学习既能让学生掌握数学知识，又能培养学生的探究能力。因此，探究性学习既是学习数学的方法又是数学教学的重要培养目标。

三、探究性学习的教学课题选择的原则

1、重视探索知识的发生过程，培养学生发现问题、总结规律的能力。

数学是一个动态的过程，也是一个思维的过程，数学结果并不能反映数学活动的全貌，组成数学整体的另一方面是研究数学的过程。只有让学生自己去体验、感受、发现知识的发生发展过程，领略数学知识的丰富、生动且富于变化的一面。才有利于学生掌握数学知识，更有利于激发学生学习数学的热情，为学生树立数学发展过程中的数学思想，从而培养学生探究未知世界的能力。

探究1：（人教A版必修一第56页）选取底数的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的指数函数的图象.观察图象，你能发现它们有哪些共同特征？

利用《几何画板》可以设置这样的一个动画：在x轴上任取一点A，然后用平移变换向上平移1个单位得到点B，又向上平移10个单位（甚至可以更大）得到点C，连结BC和BA得到两条线段，在直线CA上取一点D，使此点D在线段BC上双向慢速运动，同时又使点D在线段BA上双向慢速运动。接着把点D的纵坐标作为指数函数y=a x（a>0且a≠1）的底数进行计算、绘点和追踪，可以看到点D的纵坐标在（1，11）内变化时，观察图象的形状和特征，而在（0，1）内变化时，观察图象的形状和特征。其中C点纵坐标越大，说明问题的效果越好。这样既省力又省时，更让学生心服口服，记忆深刻。通过观察、分析、对比探究，来归纳总结出指数函数的性质。

学生通过分析、处理相应的信息，自己去体验、感受知识的发生发展过程，在这探究过程中培养了学生分析、探索、归纳总结规律的能力。同时使学生体会

到探究未知世界的兴趣，从而激发学生学习的激情，这样更有利于学生的学习。

2、讲究解决问题的探究形式，培养学生解疑求难、掌握方法的能力

问题解决是一个发现、探索和创新的过程，它也是一种基本技能，是提出问题、建构数学模型、设计求解方法、检验答案等各类技能的整合。学生对需要解决的问题首先要进行观察与理解，然后提出各种可以用于问题解决的策略并进行假设检验，最后在教师指导和自己的探索下，形成自己解决问题的理念和策略。

探究2：（人教A版必修2 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积）

（1）联系圆柱和圆锥的展开图，你能想象圆台展开图的形状，并且画出它吗？

（2）如果圆台的上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？

在学习柱体、锥体、台体的表面积与体积时，圆台的表面积的推导是一个难点，课本在分析了棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积的计算方法后，引出学生所熟悉的圆柱、圆锥也是从其侧面展开图入手，将空间图形问题转化为平面图形问题，从而解决表面积问题。此时，探究活动的提出非常自然，学生在此活动中，根据前后数学知识的联系，利用类比的方法，自然从侧面展开图的形状及图形面积的计算入手，但对于扇环面积的求解对学生来说是一个难点，此时教师只要用圆台的定义加以引导，通过圆锥与圆台的关系，学生的探究任务就能顺利完成。通过此探究活动，学生不但学到了数学知识，更学到了解决问题的方法（如此例使学生学到了类比的方法），提高了解决问题的能力。通过探究活动，学生不再会解决问题时感到盲目，无从下手，在他们现有的认知水平和已有的知识结构下，通过对问题进行分析，对知识进行联系，对方法进行类比，并结合信息技术手段（如几何画板），提出各种可以解决问题的方案，通过对这些方案的实施，一步一步达到解决问题的目的。

3、体验数学知识的拓展变化，培养学生发散思维、建构知识的能力。

数学是千变万化的，学生若要做到灵活运用数学知识解决相关问题，必须要在数学中体验数学知识的拓展变化。对一些毫不起眼的基础性命题，进行横向的拓宽和纵向的深入。可以通过逆向思维求其逆命题；可以通过设常量为变量拓展问题；可以通过引入参量推广问题；可以通过弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别，并变更出新的命题。这样，无论从内容的发散，还是解题思维的深入，都会使学生体验到如何将数学知识进行变更，在解决相关问题时也能得心应手。

探究3：（人教A版必修2 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系）

（1）在例2中，若把条件改为：E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且，那么四边形EFGH是什么图形？为什么？

（2）在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？这是在学习了平行公理后的例题“如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形”之后提出的探究活动，例2是一个比较简单的题目，探究活动（1）是对它横向的拓宽，探究活动（2）是对它纵向的深入，例2中的中点是学生所熟知的，条件改为“”后，引导学生利用比例线段来判断平行、等量关系，教师若将条件再改为“，”弱化了一个条件后，四边形的形状又发生了变化。学生通过探究更加明确了特殊四边形的概念，而条件“AC=BD”的加入，四边形的形状又有了质的变化。这一探究活动，学生体验了数学知识的千变万化，条件的改变、条件的弱化、条件的加强等，都会使数学问题发生变更，但它们之间却都有着密切的联系和一定的区别。

通过探究学习，学生体会到数学知识的学习是在不断提出问题、解决问题的过程中展开的。这样有利于学生对某个知识的深入了解，从而拓宽视野、丰富知识的应用范围，培养学生的发散思维，提高对所学知识的迁移能力。探究性学习是高中数学新课程中引入的一种新的学习方式，课堂上学生通过参与探究学习，初步尝试数学研究的过程，初步了解数学概念与结论产生的过程，在探究性学习过程中既掌握了数学知识，又培养了自己分析问题、解决问题的能力、提高了自己的探究、实践、创新、创造等各方面综合能力。让学生很好的体会到了教材前言所说的一句话：学数学是能提高能力的。