复变函数试题2

第一部分 选择题

一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有

一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1． 复数i 25

8-2516z =的辐角为（ ）

A ． arctan 2

1 B ．-arctan 2

1 C ．π-arctan 2

1 D ．π+arctan 2

1

2．方程1Rez 2=所表示的平面曲线为（ ）

A ． 圆

B ．直线

C ．椭圆

D ．双曲线 3．复数)5

,-isin

5-3(cos

z π

π=的三角表示式为（ ） A ．)54isin ,543(cos -ππ＋ B ．)54

isin ,543(cos ππ－

C ．)54isin ,543(cos ππ＋

D ．)5

4

isin ,543(cos -ππ－

4．设z=cosi ，则（ ）

A ．Imz=0

B ．Rez=π

C ．|z|=0

D ．argz=π

5．复数i

3e

+对应的点在（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 6．设w=Ln(1-I),则Imw 等于（ ）

A ．4π

－

B ． 1,0,k ,4

2k ±=ππ－ C ．4

π

D ． 1,0,k ,42k ±=+ππ

7．函数2z w =把Z 平面上的扇形区域：2||,03

argz 0<<

＜映射成W 平面上的区域

（ ） A ．4||,032argz 0<<

＜

C ． 2||,032argz 0<<

D ．2||,03

argz 0<<

＜

8．若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分

?+-c n a z z f 1)()

(等于（ ）

A ．)()!1(2)1(a f n i n ++π

B ．)(!2a f n i

π C ．)(2)

(a if

n π D ．

)(!

2)

(a f n i

n π

9．设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分

?+-c n i z dz

1)(等于（ ）

A ． 1

B ．2πi

C ．0

D ．

i

π21

10．设C 为正向圆周|z|=1，则积分

?c z dz

||等于（ ）

A ．0

B ．2πi

C ．2π

D ．－2π 11．设函数f(z)=

?

z

d e 0

ζζζ，则f （z ）等于（ ）

A ．1++z

z

e ze B ．1-+z

z

e ze C ．1-+-z

z

e ze D ．1+-z

z

e ze 12．设积分路线C 是帖为z=-1到z=1的上半单位圆周，则

?+c 2dz z 1

z 等于（ ）

A ．i 2π+

B ．i -2π

C ．i -2-π

D ．i 2-π+

13．幂级数∑∞

=1n 1

-n n!

z 的收敛区域为（ ）

A ．+∞<<|z |0

B ．+∞<|z |

C ．-1|z |0<<

D ．1|z |< 14．3z π=是函数f(z)=

π

π

-3z )3-sin(z 的（ ） A ． 一阶极点 B ．可去奇点 C ．一阶零点 D ．本性奇点 15．z=-1是函数

4

1)

(z z

cot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 16．幂极数

∑∞

=+1

n n

z (2n)!1)!n （的收敛半径为（ ） A ． 0 B ．1 C ．2 D ．＋∞ 17．设Q （z ）在点z=0处解析，1)

-z(z Q(z)

f(z)=

,则Res[f(z),0]等于（ ）

A ． Q （0）

B ．－Q （0）

C ．Q ′（0）

D ．－Q ′（0） 18．下列积分中，积分值不为零的是（ ）

A ．2|1-z C 3)dz,2z (z c

3=++?

为正向圆周｜其中

B ．5|z

C dz,e c

z =?

为正向圆周｜其中

C ．

1|z C dz,sinz z

c =?为正向圆周｜其中 D ．2|z C dz,1

-z cosz c =?为正向圆周｜其中

19．映射2z z w 2

+=下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（ ）

A ．21|1z |>+

B ．21|1z |<+

C ．21|z |>

D ．21|z |<

20．下列映射中，把角形域4

argz 0π

<

<保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ）

A ．1-z 1z w 44+=

B ．1z 1z w 44＋－=

C ．i

z i z w 44＋－= D ．i -z i

z w 44+=

第二部分 非选择题

（共60分）

二、填空题（本大题共10空，每空2分，共30分）

不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。 21．复数484z +=i 的模|z|＝_____________________。 22．设100i)(1z +=，则Imz ＝______________________。 23．设z=i

2e

+，则argz ＝____________________________。

24．f （z ）的可导处为_______________________________。

25．方程Inz=

i 3

π

的解为_________________________。 26．设C 为正向圆周|z|=1，则?+c )dz z z

1

(=___________________________。

27．设C 为正向圆周|z －i|=21,则积分?c 2z

dz i)

-z(z e π=___________________。 28．设C 为正向圆周|ζ |=2，

?=c d z

-3sin

f(z)ζζπ

，其中|z|<2，则f ′(1)=___________________。 29．幂极数

∑∞

=1n n

n

z n

n!的收敛半径为________________________。 30．函数f(z)=]1)

(z 11z 1[1z

15

+++++

在点z=0处的留数为__________________。 三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

31．求2

2

y -2xy x u +=的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)＝1。 32．计算积分?+=

c dz |z |z

z I 的值，其中C 为正向圆周|z|=2。

33．试求函数f(z)=

ζζd e z

-2

?

在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域。

34．计算积分?+=c 2

2z

dz 3i)(z i)-(z e I π的值，其中C 为正向圆周|z-1|=3。

四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考《积分变换》者做

37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。每题10分，共20分） 35．利用留数求积分dx 9

10x x cosx

I 240

++?

∞

+＝

的值。

36．设Z 平面上的区域为2|i -z |,2|i z |D <>+：，试求下列保角映射

（1）(z)f w 11=把D 映射成W 1平面上的角形域ππ

4

3

argw 4

D 11<

＜：； （2）)(w f w 121=把D 1映射成W2平面上的第一象限2

argw 0D 22π

<＜：;

（3）w=f 3(w 2)把D 2映射成W 平面的上半平面：Imw>0; （4）w=f(z)把D 映射成G 。 37．积分变换

（1）设=)F(ω,a 是一个实数，证明

（2）利用拉氏变换解常微分方程初值问题：{

1,

y '-2y;y'-1.(0)y'0,y(0)=+==

二OO 二年上半年高等教育自学考试全国统一命题考试

复变函数与积分变换试题参考答案及评分标准

(课程代码 2199)

一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)

1．B 2．D 3．C 4．A 5．A 6．B 7．A 8．D 9．C 10．A 11．D 12．C 13．B 14．B 15．C 16．D 17．B 18．D 19．A 20．C 二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）

21.8 22．0 23．1 24．z=0 25．),3i (12

1

z +=或3i e π

26．4πi 27．－2π(π+i) 28．i,3

3π或3cos 3i 2π

ππ? 29．E 30．6

三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

31．解1：2y -2x y u

2y 2x x u =??+=??， ，

由C －R 条件，有

y

u

-x v ,x x y v ??=????=??， ??++=+=??=∴(x)y 2xy 2y)dy (2x dy x

v

v 2?。 （2分） 再由

y

u -2y -2x (x)'2y x u ??=+=+=???， 得-2x (x)'=?，于是C -x (x)2

+=?，

C x -y 2xy v 2

2

++=∴。 （4分） 由1,v(0,0)=得1C ＝。 故1x -y 2xy v 2

2

++= （5分） 解2： C dy y

v

dx x v y)v(x y)

(x,(0,0) +??+??=

?

?

+++=y)

(x,(0,0)

C

2y)dy (2x 2x)dx -(2y

（2分）

C y 2xy -x 22+++= (4分)

以下同解1。

32．解1：???+?==+c - c )d isin 2i(cos 2cos 2Rezdz 2

1

dz |z |z z ππθθθθ (3分) i 4)d cos2(14i

πθθπ

=+=?

。 （5分）

解2：??????

??+=???

? ??+c 20 i i -i d 2ie 22e 22e dz |z |z |z |z πθ

θθ

θ (3分) i 40)2i(2

ππ=+＝。 （5分） 33．解：因为∑∑∞=∞

=+∞<===0

n 2n

n 0n n 2z -)z (| z n!(-1)n!)(-z e

(z)' f 2

｜，

（2分） 所以由幂级数在收敛圆内逐项求积性质，得

∑?∞

=++∞<+==0n 1

2n n z

)z (| 1

2n z n!(-1))d (' f (z) f ｜ζζ (5分)

34．解：因在C 内2

2z

3i)

(z i)-(z e f(z)+=π有二阶级点z=I ，所以

???

?

???=

→c

2i z f(z)i)-(z dz d lim 1!i 2f(z)dz π （2分） ???

??

?++=→3z 2z i z 3i)(z 2e -3i)(z e lim i 2ππππ i)2(-116

ππ

+=

。 （5分）

四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考《积分变换》者做

37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。每题10分，共20分）

35．解：在上半平面内，9)

1))(z (z e f(z)22iz

++=有一阶极点z=i 和z=3i 。 （2分）

??∞+∞∞+∞++=++= -22ix

- 22dx 9)

1)(x (x e Re 219)dx 1)(x (x cosx 21I （4分） [][]{}f (z ),3i i R e s 2i f (z ),i R e s 2Re 2

1

ππ+=

， （6分） []16e i

1

i f (z ),R e s =，

[]i

48e 1

-f (z),3i Res 3

=， （9分） 1)-(3e 48e I 23

π

=

∴　。 （10分）

36．解：（1）由{

2

i|z |2i|z |=+=－解得交点z 1+1,z 2=-1。 （2分）

设1z 1-z w 1+=

，则它把D 映射成W 1平面上的ππ4

3

argw 4D 11<<： （4分）

（2）设14

i

-2w e

w π

=，则它把D 1映射成

W 2平面上的第一象限2

argw 0D 22π

<

<：。 （6分）

（3）设22w w =，则它把D 2映射成W 平面的上半平面G ：Imw>0。 （8分） （4）2

24

i

-)1

z 1-z i(1z 1-z (e w ++?

=＝－）π

。 （10分）

37．解：（1）

=

??

?????+∞∞- )d -a)g(t -f (τττ []g(t)*a)-f(t （2分）

=[]?a)-f(t []g(t) （3分）

))G(F(e

-iaw

ωω=。 （5分）

（2）设F (p)=[(y(t))，对方程两边取拉氏变换，有 p 2F(p)+1-2Pf(p)+F(p)=p

1

， （7分） 从中解得 1)

-p(p 1

-1)-(p 1p p -1F(p)2=

?=

。 （8分） 再求拉氏逆变换，得 =y (t )

??

?

???1-p 1-p 11

－ （9分） =1-e t (10分)

或利用卷积定理得到 =y (t )

－*p 11

??

?

???－??

????1-p 11

－＝－1*e t

（9分） 1

1

1+-=z z w

2

2

w w =

=1- e t (10分)