复变函数试卷

1.复数i 25

8-

25

16z

=

的辐角为（

）

A ． arctan 2

1 B ．-arctan 2

1 C ．π-arctan 2

1 D ．π+arctan 2

1

2．方程1Rez 2=所表示的平面曲线为（ ）

A ． 圆

B ．直线

C ．椭圆

D ．双曲线 3．复数)5,-isin

5

-3(cos

z π

π

=的三角表示式为（ ）

A ．)5

4isin

,5

43(cos -ππ＋ B ．)5

4isin

,5

43(cos

ππ－

C ．)5

4isin

,543(cos

ππ＋ D ．)5

4isin

,5

43(cos

-ππ－

4．设z=cosi ，则（ ）

A ．Imz=0

B ．Rez=π

C ．|z|=0

D ．argz=π 5．复数i 3e +对应的点在（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 6．设w=Ln(1-I),则Imw 等于（ ）

A ．4

π

－ B ． 1,0,k ,4

2k ±=π

π－

C ．

4

π

D ． 1,0,k ,4

2k ±=+

π

π

7．函数2z w =把Z 平面上的扇形区域：2||,03

argz 0<<<

z π

＜映射成W 平面上的区域（ ）

A ．4||,03

2argz 0<<<

w π＜ B ．4||,03

argz 0<<

＜ C ． 2||,03

2argz 0<<<

w π＜ D ．2||,03

argz 0<<<

w π

＜

8．若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分?+-c

n a z z f 1

)

()(等于（ ）

A ．

)()!

1(2)

1(a f

n i n ++π B ．)(!

2a f n i π C ．)(2)

(a if

n π D ．

)(!

2)

(a f

n i n π

9．设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分?

+-c

n i z dz 1

)

(等于（ ）

A ． 1

B ．2πi

C ．0

D ．

i

π21

10．设C 为正向圆周|z|=1，则积分?

c

z dz |

|等于（ ）

A ．0

B ．2πi

C ．2π

D ．－2π 11．设函数f(z)=?z

d e 0ζζζ

，则f （z ）等于（ ）

A ．1++z z e ze

B ．1-+z z e ze

C ．1-+-z z e ze

D ．1+-z z e ze 12．设积分路线C 是帖为z=-1到z=1的上半单位圆周，则?

+c

2

dz z

1z 等于（ ）

A ．i 2π+

B ．i -2π

C ．i -2-π

D ．i 2-π+

13．幂级数∑

∞

=1

n 1

-n n!

z

的收敛区域为（ ）

A ．+∞<<|z |0

B ．+∞<|z |

C ．-1|z |0<<

D ．1|z |<

14．3

z π

=是函数f(z)=

π

π

-3z )

3

-

sin(z 的（ ）

A ． 一阶极点

B ．可去奇点

C ．一阶零点

D ．本性奇点 15．z=-1是函数

4

1)

(z z cot +π的（ ）

A ． 3阶极点

B ．4阶极点

C ．5阶极点

D ．6阶极点 16．幂极数∑∞

=+1

n n

z (2n)!1)!n （的收敛半径为（ ）

A ． 0

B ．1

C ．2

D ．＋∞ 17．设Q （z ）在点z=0处解析，1)

-z(z Q(z)f(z)=

,则Res[f(z),0]等于（ ）

A ． Q （0）

B ．－Q （0）

C ．Q ′（0）

D ．－Q ′（0）

18．下列积分中，积分值不为零的是（ ）

A ．2|1-z C 3)dz,2z (z c

3=++?为正向圆周｜

其中

B ．5|z

C dz,e c

z =?为正向圆周｜

其中

C ．1|z C dz,sinz z c

=?

为正向圆周｜其中 D ．2|z C dz,1

-z cosz c

=?

为正向圆周｜

其中

19．映射2z z w 2

+=下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（ ）

A ．2

1|1z |>

+ B ．2

1|1z |<

+ C ．2

1|z |>

D ．2

1|z |<

20．下列映射中，把角形域4

argz 0π

<

<保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ）

A ．1

-z 1z w 44

+= B ．1

z 1z w 4

4＋－=

C ．i

z i z w 44

＋－= D ．i

-z i z w 4

4

+=

二、填空题（本大题共10空，每空2分，共30分）

21．复数484z +=i 的模|z|＝_____________________。

22．设100i)(1z +=，则Imz ＝______________________。 23．设z=i 2e +，则argz ＝____________________________。 24．f （z ）的可导处为_______________________________。 25．方程Inz=

i 3

π

的解为_________________________。

26．设C 为正向圆周|z|=1，则?+c

)dz z z

1(

=___________________________。

27．设C 为正向圆周|z －i|=

2

1,则积分?

c

2

z

dz i)

-z(z e

π=___________________。

28．设C 为正向圆周|ζ |=2，?=

c d z -3

sin

f(z)ζζπ

，其中|z|<2，则f ′(1)=___________________。

29．幂极数∑

∞

=1

n n

n

z n

n!的收敛半径为________________________。

30．函数f(z)=]1)

(z 11

z 1[1z

15

++

+++

在点z=0处的留数为__________________。

三、计算题31．求22y -2xy x u +=的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)＝1。

32．计算积分?

+=

c

dz |

z |z z I 的值，其中C 为正向圆周|z|=2。

33．试求函数f(z)=ζζ

d e

z

-2

?在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域。

34．计算积分?+=

c

2

2

z

dz 3i)

(z i)

-(z e

I π的值，其中C 为正向圆周|z-1|=3。

综合题：35．利用留数求积分dx 9

10x

x

cosx I 2

4

++?

∞

+＝的值。

36．设Z 平面上的区域为2|i -z |,2|i z |D <>+：，试求下列保角映射

（1）(z)f w 11=把D 映射成W 1平面上的角形域ππ

4

3argw

4

D 1

1<＜：；

（2）)(w f w 121=把D 1映射成W2平面上的第一象限2

argw 0D 2

2π

<

＜：

;

（3）w=f 3(w 2)把D 2映射成W 平面的上半平面：Imw>0;

（4）w=f(z)把D 映射成G 。 37．积分变换

（1）设=)F(ω,a 是一个实数，证明

（2）利用拉氏变换解常微分方程初值问题：{

1,

y '-2y;y'-1.(0)y'0,y(0)=+==

一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)

1．B 2．D 3．C 4．A 5．A 6．B 7．A 8．D 9．C 10．A 11．D 12．C 13．B 14．B 15．C 16．D 17．B 18．D 19．A 20．C 二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）

21.8 22．0 23．1 24．z=0 25．),3i (12

1z +=或3

i

e

π

26．4πi 27．－2π(π+i) 28．

i,3

3

π

或3

cos

3

i 2π

π

π?

29．E 30．6

三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

31．解1：2y -2x y

u

2y 2x x

u =??+=??， ，

由C －R 条件，有

y

u

-x v ,x x y

v ??=????=

??， ??++=+=

??=

∴(x )y

2x y 2y )d y (

2x d

y x v

v 2

?。 （2分）

再由

y

u -

2y -2x (x)'2y x

u ??=+=+=???，

得-2x (x)'=?，于是C -x (x)2+=?，

C x -y 2xy v 2

2

++=∴。 （4分） 由1,v(0,0)=得1C ＝。 故1x -y 2xy v 2

2

++= （5分） 解2： C dy y

v dx x

v y)v(x y)

(x,(0,0)

+??+

??=

?

?

+++=

y)

(x,(0,0)

C

2y)dy (2x 2x)dx -(2y

（2分）

C y 2xy -x

2

2

+++= (4分)

以下同解1。

32．解1：??

?

+?=

=

+c

- c

)d isin 2i(cos 2cos 2Rezdz 2

1

dz |

z |z z π

π

θθθθ (3分)

i 4)d cos2(14i 0

πθθπ

=+=?。 （5分）

解2：??

???

?

?

?+=???

?

??+c 20

i i -i d 2ie 22e 22e dz |z |z |z |z π

θ

θ

θθ (3分)

i 40)2i(2ππ=+＝。 （5分）

33．解：因为∑

∑

∞

=∞

=+∞<==

=0

n 2n

n

n n 2z

-)z (| z

n!

(-1)n!

)(-z e

(z)' f 2

｜，

（2分） 所以由幂级数在收敛圆内逐项求积性质，得

∑

?

∞

=++∞<+==

n 1

2n n

z

)z (| 1

2n z

n!

(-1))d (' f (z) f ｜ζζ (5分)

34．解：因在C 内2

2

z

3i)

(z i)-(z e

f(z)+=

π有二阶级点z=I ，所以

?

??

????=

→c

2

i z f (z )i)-(z dz d lim 1!i

2f(z)dz π （2分） ?

???

??++=→3z

2

z

i

z 3i )(z 2e

-

3i)

(z e lim i 2ππππ i)2(-116

ππ

+=

。 （5分）

35．解：在上半平面内，9)

1))(z (z e

f(z)2

2

iz

++=

有一阶极点z=i 和z=3i 。 （2分）

?

?

∞

+∞∞

+∞

++=

++=

-2

2

ix

- 2

2

dx 9)

1)(x (x

e

Re

2

19)dx

1)(x

(x

cosx

2

1I （4分）

[][]{}f (z ),3i i R e s 2i f (z ),i R e s 2Re 2

1ππ+=

， （6分）

[]16e i

1i f

(z ),R e s =，

[]i

48e 1-f(z),3i Res 3

=， （9分）

1)-(3e

48e

I 2

3

π

=

∴　。 （10分）

36．解：（1）由{

2i|z |2

i|z |=+=

－解得交点z 1+1,z 2=-1。 （2分） 设1

z 1-z w 1+=，则它把D 映射成W 1平面上的ππ

4

3argw

4

D 1

1<

<： （4分）

（2）设14

i

-2

w e

w

π

=，则它把D 1映射成 W 2平面上的第一象限

2

argw

0D 2

2π

<

<：。 （6分）

（3）设22

w w =，则它把D 2映射成W 平面的上半平面G ：Imw>0。 （8分） （4）2

2

4

i

-)1z 1-z i(

1

z 1-z (e w ++?

=＝－）π

。 （10分）

37=

??

?∞- )d τ [*a)-f(t 分）

=

[]?a)-f(t []g (t ) （3分）

))G (F(e -iaw ωω=。 （5分）

（2）设F (p)=[(y(t))，对方程两边取拉氏变换，有 p 2

F(p)+1-2Pf(p)+F(p)=

p

1， （7分）

1)

-p(p 1

-1)

-(p 1p

p -1F(p)2

=

?=

。 再求拉氏逆变换，得

=y (t )

??

?

???1-p 1-p 11

－ （9分） =1-e t (10分) 卷积分=y(t)－

*p 11

??

????－??

????1-p 11

－＝－1*e t （9分） =1- e t (10分)

1

11+-=

z z w

2

2

w w =