高二数学圆的一般方程人教版

(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径、掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件、

(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程、

(3)理解并能初步应用圆系的知识去处理问题、

教学重点和难点

重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，

D、E、F、

难点：圆系的理解和应用、

教学过程设计

(一)教师讲授：

请同学们看出圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r、

把圆的标准方程展开，并整理：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0、

我们把它看成下面的形式：

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0 ①

这个方程是圆的方程、

反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线是圆、

②

(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？

(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示

(2)当D2＋E2－4F=0时，方程②表示

(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程②不表示任何图形

∴当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0、

做圆的一般方程、

现在我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)

(1)①x2和y2的系数相同，不等于0、

②没有xy这样的二次项、

同学们不难发现，x2和y2的系数相同，不等于0、且没有xy 这样的二次项，是方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的必要条件、但不是充分条件、

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数

D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了、

(二)研究问题1，求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标、

[解法一]设所求圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0、

把已知三点的坐标代入，得三个方程，解这三个方程组成的方程组

∴所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y=0、

[解法二]先求OM1和OM2的中垂线：

y－1=(－2)(x－2)

2x＋y=5

∴所求圆的方程为，(x－4)2＋(y＋3)2=

25、

[分析]设动点M(x，y)，|MO|、|MA|都可表示出、

解设曲线上的动点为M(x，y)、

化简得 x2＋y2＋2x－3=0

配方 (x＋1)2＋y2=

4、

∴所求的轨迹是以C(－1，0)为圆心，2为半径的圆、

研究问题3，自P0(x0，y0)作圆x2＋y2=r2的两切线，切点分别为P

1、P2，求证：P1P2所在直线的方程为x0x＋y0y=r

2、

[分析]自P0(x0，y0)作图x2＋y2=r2的两切线，切点分别为P

1、P2如具体去求P

1、P2的坐标，则运动量是非常大的、为此我们要研究较简单的办法、

P0P

1、P0P2是圆O的两条切线，∠OP1P0=∠OP2P0=90，则O、P

1、P0、P2四点共圆，P

1、P2为两个圆的交点，为此我们从两个圆的交点入手、

即 x2＋y2－x0x－y0y=0、

把(2)代入(1)：x0x＋y0y=r

2、

∴P1P2所在直线的方程为x0x＋y0y=r

2、

这里同学们可能有点不太明白，为什么由方程(1)和(2)变出的关系式x0x＋y0y=r2就是过两圆交点的直线、

请同学们回忆一下，我们在前面研究两条曲线交点的有关问题时，研究过这样一个定理、(课本复习题七，24题)“两条曲线的方程是f1(x，y)=0，和f2(x，y)=0，它们的交点是P(x0，

y0)、求证：方程f1(x，y)＋λf2(x，y)=0的曲线也经过点P，这里λ是任意实数”、

根据这一定理，(x2＋y2－x0x－y0y)＋λ(x2＋y2－r2)=0、表示过两圆交点的曲线，为了消去x2，y2项，我们取λ=－1，得曲线方程，x0x＋y0y=r2，实际上是直线x0x＋y0y=r

2、就是说，直线x0x＋y0y=r2过两圆的交点、

通过这个题，我们有下面一般的结论：

如果圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0，和圆C2：x2＋y2＋

D2x＋E2y＋F2=0相交、

(1)当λ≠－1时，方程(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)=0表示过圆C1与C2交点的圆、

(2)当λ=－1时，方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)=0表示过圆C1和C2交点的直线、

这点的证明留给同学们课后去思考，而这个结论同学们今后在解题中将会得到应用、应当注意的是：

方程(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋

F2)=0中由于λ取值的不同，得到不同的圆，这无数个圆形成一个集合，这个集合我们把它叫做一个圆系、这个圆系就是经过两圆交点的所有圆的集合、

(三)学生课堂练习

1、课本练习题1

(1)点(0，0)、

2、课本练习题

2、

(1)圆心为(3，0)，半径为3；(2)圆心为(0，－b)，半径为|b|、

3、课本练习题

3、

(四)作业

习题

7、75，6，7，8二

教学目标

1、讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径、

2、通过对圆的一般方程的特点的讨论，培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度；通过例题的分析讲解，培养学生分析问题的能力、

教学重点与难点

圆的一般方程的探求过程及其特点是教学重点；根据具体条件选用圆的方程为教学难点、

教学过程

一、复习并引入新课

师：请大家说出圆心在点(a，b)，且半径是r的圆的方程、生：(x－a)2+(y－b)2=r

2、

师：以前学习过直线，直线方程有哪几种？

生：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式、

师：直线方程的一般式是Ax+By+C=0吗？

生A：是的、

生B：缺少条件A2+B3≠0、

师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢？

(书写课题：“圆的一般方程”的探求)

二、新课

师：圆是否有一般方程？这是个未解决的问题，我们来探求

一下、大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手、如探

求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式，两点式……)展开整理而得到的、想求圆的一般方程，怎么办？

生：可仿照直线方程试一试！把标准形式展开，整理得

x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0、令D=－2a，E=－2b，

F=a2+b2－r2，有：x2+y2+Dx+Ey+F=0、(*)

师：从(*)式的得来过程可知，只要是圆的方程就可以写成(*)的形式、那么能否下结论：x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圆的方程？

生A：不一定、还得考虑：x2+y2+Dx+Ey+F=0能否写成标准形式、

生B：也可以像直线方程一样，要有一定条件、

师：那么考虑考虑怎样去寻找条件？

生：配方、

师；请大家动手做，看看能否配成标准形式？

(放手让同学讨论，教师适当指导，然后由同学说，教师板书、)

1、当D2+E2－4F＞0时，比较(△)式和圆的标准方程知：(*)式表示以

3、当D2+E2－4F＜0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图形、

教师总结：当D2+E2－4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程、

师：圆的一般方程有什么特点？

生A：是关于x、y的二元二次方程、

师：刚才生A的说法对吗？

生B：不全对、它是关于x、y的特殊的二元二次方程、

师：特殊在什么地方？

(通过争论与举反例后，由教师总结)

师：

1、x2，y2系数相同，且不等于零、

2、没有xy这样的二次项、

(追问)：这两个条件是“方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0表示圆”的什么条件？

生：必要条件、

师：还缺什么？

生：D2+E2－4F＞0、

练习：判断以下方程是否是圆的方程：

①x2+y2－2x+4y－4=0

②2x2+2y2－12x+4y=0

③x2+2y2－6x+4y－1=0

④x2+y2－12x+6y+50=0

⑤x2+y2－3xy+2y+5y=0

⑥x2+y2－12x+6y+F=0

三、应用举例

师：先请大家比较一下圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2与一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在应用上各有什么优点？

生：标准方程的几何特征明显能看出圆心、半径；一般方程的优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程、

师：怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径、

生B：不用死记，配方即可、

师：两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分析、选择、

例1 求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求圆心和半径、

分析标准方程需定a，b，r；一般方程需定：Ｄ，E，F，显然在没有告诉半径或圆心的情况下选一般方程，解D，E，F时较为简单、

解法：设出一般方程，用待定系数法、

例2 一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(－4，0)和(4，0)，求它的外接圆方程、

解法一设出一般方程，用待定系数法、(由三角形性质知：顶点为(0，5))

解法二

设出标准式x2+(y－b)2=r

2、(由三角形性质知：顶点为(0，5)，且圆心在y轴上)、

四、小结

注意一般式的特点：1x2，y2系数相等且不为零；2没有xy 这样的项；

3D2+E2－4F＞0、

另外，大家考虑：D2+E2－4F有点像什么？像判别式，它正是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否是圆的方程的判别式、如

D、E确定了，则与F的变化有关、

五、作业：

1、求下列各圆的一般方程：

①过点A(5，1)，圆心在点C(8，－3)；

②过三点A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)、

2、求下列各圆的圆心坐标和半径：

①x2+y2－2x－5=0

②x2+y2+2x－4y－4=0

③x2+y2+2ax＝0

④x2+y2－2by－2b2＝0

3、求证：两圆x2+y2－4x－6y+9=0和x2+y2+12x+6y－19=0相外切、

设计思想

这是一节介绍新知识的课，而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程、因此，在设计这节课时，力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”、

在展现知识的形成过程中，尽量避免学生被动接受，而采用讨论式，引导学生探索，重视探索过程、一方面，把直线一般方程探求过程进行回顾，类比，学生从中领会探求方法；另一方面，“把标准方程展开→认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想方法、

同时，通过类比进行条件的探求“D2+E2－4F”与“Δ”(判别式)类比、

在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”，并用它探求新知识、这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程、三

一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程、(二)能力训练点使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力、(三)学科渗透点通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础、

二、教材分析

1、重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和

半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程、(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练、)

2、难点：圆的一般方程的特点、(解决办法：引导学生分析

得出圆的一般方程的特点，并加以记忆、)

3、疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0、(解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件、)

三、活动设计讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再

演板、

四、教学过程(一)复习引入新课前面，我们已讨论了圆的标

准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-

r2=0、可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0、请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？

下面我们来深入研究这一方面的问题、复习引出课题为“圆的一

般方程”、(二)圆的一般方程的定义

1、分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图

形、这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别

是圆、法、2、圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0时，方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程、(三)圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0、(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)、(3)的系数可得出什么结论？启发学生归纳结

论、当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x2

和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；(2)没有xy项，即

B=0；(3)D2+E2-4AF＞0、它才表示圆、条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出、教师还要强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件、(四)应用与举例同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样，方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系数

D、E、F，因此必具备三个独立的条件，才能确定一个圆、下面看一看它们的应用、例1 求下列圆的半径和圆心坐标：

(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0、此例由学生演板，教师纠错，并给出正确答案：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b、同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握、例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程、解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、

A、B在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0、例2小结：

1、用待定系数法求圆的方程的步骤：(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)根据条件列出关于a、b、r或

D、E、F的方程；(3)解方程组，求出a、b、r或

D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程、2、关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程、再看下例：例3 求圆心在直线 l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和

C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程、(0，2)、设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l 上所以得方程组为故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=

10、这时，教师指出：(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程、(2)此题也可以用圆系方程来解：设所求圆的方程为：x2+

y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)整理并配方得：由圆心在直线l上得λ=-

2、将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为

x2+y2+6x-6y+8=0、此法到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念、的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线、此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：(1)由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M(x，y)，

由求曲线方程的一般步骤可求得；(2)应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形、(五)小结

1、圆的一般方程的定义及特点；

2、用配方法求出圆的圆心坐标和半径；

3、用待定系数法，导出圆的方程、

五、布置作业

1、求下列各圆的一般方程：(1)过点A(5，1)，圆心在点

C(8，-3)；(2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)、2、求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程、3、等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么、4、

A、

B、C为已知直线上的三个定点，动点P不在此直线上，且使∠APB=∠BPC，求动点P的轨迹、作业答案：

1、(1)x2+y2-16x+6y+48=0(2)x2+y2-4x-2y-20=0

2、x2+y2-

x+7y-32=03、所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x≠3，

x≠5)，轨迹是以

4、以B为原点，直线ABC为x轴建立直角坐标系，令A(-a，0)，C(c，0)(a＞0，c＞0)，P(x，y)，可得方程为：(a2-

c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0、当a=c时，则得x=0(y≠0)，即

y轴去掉原点；当a≠c时，则得(x-与x轴的两个交点、六、板书设计四教学目标

(1)了解曲线的参数方程的含义，参数方程和普通方程的区别、

(2)掌握圆的参数方程，能根据参数方程确定圆的圆心和半径，在解题中灵活运用、会把圆的参数方程与普通方程进行互化、

(3)掌握确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的判别方法、

教学重点和难点

重点：圆的参数方程，圆的参数方程与普通方程的互化、利用距离判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系、

难点：参数方程的理解、点与圆、直线与圆、圆与圆位置的判断、

教学过程设计

(一)学生阅读课本、(P97

3、圆的参数方程到P98例6前)、

(二)导入新课，设圆O的圆心在原点，半径是r、

根据三角函数的定义：

P点的横坐标x，纵坐标y都是Q的函数、

我们把这个方程叫做圆心为原点，半径为r的圆的参数方程、如果圆的圆心为O1(a，b)，半径为r，我们可以看成是由圆心在原点O，半径为r的圆按向量V=(a，b)平移而得到、即(x，y)=(rcosθ，rsinθ)＋(a，b)=(a＋rcosθ，b＋

rsinθ)

这个方程表示圆心在(a，b)点，半径为r的圆、

消去参数就得到圆的标准方程、

(x－a)2＋(y－b)2=r

2、

相对于参数方程来说，我们前面学过的方程叫曲线的普通方程、

例1 如图，已知点P是圆x2＋y2=16上的一个动点，点A是X轴上的定点，坐标为(12，0)，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？

[分析] 这个问题符合我们前面学过的用“转化法”求轨迹的特征，我们先用“转化法”作一下、然后再考虑其它方法、[解法一] 设动点M的坐标为(x，y)，P点的坐标为(x′，y′)、

则(2x－12)2＋(2y)2=

16、(x－6)2＋y2=

4、

∴M点的轨迹是圆心为(6，0)点，半径是2的圆、

[解法二] P点在圆x2＋y2=16上，P点的坐标为(4cosθ，4sinθ)

设动点M(x，y)则

由此可知，M点的轨迹是圆心为(6，0)点，半径是2的圆、显然用参数方程表示出P的坐标，直接把圆的条件用进去，使解法简化、

例2 经过圆x2＋y2=4上任一点P作X轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程、

于是Q点的坐标为(2cosθ，0)、

(三)新课堂练习、

2、课本练习题

2、(1)(x－1)2＋(y＋3)2=4，(2)(x－2)2＋(y－2)2=

1、

(四)教师讲授、

我们已经研究了圆的三种形式的方程，现在我们来研究圆与点，圆与直线，圆与圆的位置关系、

M3(1，0)与圆C的位置关系、

把圆C的参数方程化为普通方程，(x－1)2＋(y－2)2=

4、

即x2＋y2－2x－4y＋1=0、

∴M1在圆C的外部、

把M2(2，1)代入圆的一般式的左边，x2＋y2－2x－4y＋1=－2＜0、

∴M2在圆C的内部、

把M3(1，0)代入圆的一般式的左边，x2＋y2－2x－4y＋1=0、∴M3在圆上、

小结：由上面我们得出判断一个点在圆内、圆外、圆上的基本方法；即把这点M(x0，y0)代入圆的一般式f(x，y)=0的左边，f(x0，y0)＞0点M(x0，y0)在圆外；f(x0，y0)=0点M(x0，y0)在圆上；f(x0，y0)＜点M(x0，y0)在圆内、

同学们想想，这是为什么？经过研究大家发现，

(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，(x0－a)2＋(y0－b)2－r2＞0，

∴f(x0，y0)＞0、

类似地可推出M点在圆上，圆内的情况、

问题

2、K为怎样的值时，圆(x－1)2＋y2=1与直线y=Kx＋2

(1)相切，(2)相交，(3)相离

圆(x－1)2＋y2=1的圆心为(1，0)，半径为r=

1、

有些同学通过交点的个数去判断、

Δ=(4K－2)2－16(1＋K2)=(－4)(4K＋3)

小结：通过以上研究，给我们提供了判断圆与直线位置关系的两条途径、

1、从距离考虑：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，d=r，圆与直线相切；d＜r，圆与直线相交；d＞r圆与直线相离、

2、从交点考虑：设圆与直线组成方程组，得出一个一元二次方程，其判别式为Δ、

Δ=0，圆与直线相切；Δ＞0圆与直线相交；Δ＜0圆与直线相离、

这两种办法中，方法1更为普遍、而方法2有时计算量过大，应用起来不方便、

问题

3、a为何值时，圆x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－9=0与圆x2＋y2=4(1)外切，(2)内切，(3)相交，(4)外离，(5)内含、根据平面几何中两圆位置关系的研究，我们应从两圆连心线的距离与两圆半径间的关系去判断两圆的位置关系、

圆x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－9=0的圆心(－a，2a)，半径R= 3、

圆x2＋y2=4的圆心(0，0)，半径r=

2、

小结：通过上例我们可知，两圆的位置关系，可以由两圆连心线的长度d，与两圆半径R与r(R＞r)的数量关系去判断、

(五)作业、习题

7、7

9、

高二数学圆的一般方程人教版

高二数学圆的一般方程人教版 (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径、掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件、 (2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程、 (3)理解并能初步应用圆系的知识去处理问题、教学重点和难点重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数， D、E、F、难点：圆系的理解和应用、教学过程设计 (一)教师讲授：请同学们看出圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r、把圆的标准方程展开，并整理：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0、我们把它看成下面的形式： x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0 ① 这个方程是圆的方程、

反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线是圆、 ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？ (1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示 (2)当D2＋E2－4F=0时，方程②表示 (3)当D2＋E2－4F＜0时，方程②不表示任何图形 ∴当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0、做圆的一般方程、现在我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳) (1)①x2和y2的系数相同，不等于0、 ②没有xy这样的二次项、同学们不难发现，x2和y2的系数相同，不等于0、且没有xy 这样的二次项，是方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的必要条件、但不是充分条件、 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了、 (二)研究问题1，求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标、 [解法一]设所求圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0、把已知三点的坐标代入，得三个方程，解这三个方程组成的方程组

高中数学说课稿：《圆的标准方程》.doc

高中数学说课稿：《圆的标准方程》 "说课"有利于提高教师理论素养和驾驭教材的能力，也有利于提高教师的语言表达能力，因而受到广大教师的重视，登上了教育研究的大雅之堂。下面是我为大家收集的关于高中数学说课稿：《圆的标准方程》，欢迎大家阅读借鉴! 高中数学说课稿：《圆的标准方程》【一】教学背景分析 1.教材结构分析《圆的方程》安排在高中数学第二册(上)第七章第六节.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用. 2.学情分析圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的.但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强. 根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和

心理特征，我制定如下教学目标： 3.教学目标 (1) 知识目标：①掌握圆的标准方程; ②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程; ③利用圆的标准方程解决简单的实际问题. (2) 能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力; ②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用; ③增强学生用数学的意识. (3) 情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识; ②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣. 根据以上对教材、教学目标及学情的分析，我确定如下的教学重点和难点： 4. 教学重点与难点 (1)重点:圆的标准方程的求法及其应用. (2)难点：①会根据不同的已知条件求圆的标准方程; ②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题. 为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析：【二】教法学法分析 1.教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用"

高二数学讲义：圆与方程

讲义:圆与方程圆得标准方程与一般方程 1、圆得标准方程:222 ()()x a y b r -+-=(圆心(),A a b ,半径长为r ); 圆心()0,0O ,半径长为r 得圆得方程222 x y r +=。 2、圆得一般方程:() 2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> (1)当22 40D E F +->时,表示以,22D E ??-- ??? 为圆心为半径得圆; (2)当2240D E F +-=时,表示一个点,22D E ??-- ???;(3)当2240D E F +-<时,不表示任何图形、特点:(1)①2x 与2 y 得系数相同,且不等于0; ②没有xy 这样得二次项 (2)确定圆得一般方程,只要根据已知条件确定三个系数F E D ,,就可以了 (3)与圆得标准方程比较,它就是一种特殊得二元二次方程,代数特征明显,圆得标准方程则明确地指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 3、过圆上一点得切线方程: ),(00y x M 在圆222r y x =+上,过M 得切线方程为200r y y x x =+ 当),(00y x M 在圆222)()(r b y a x =-+-上,过M 得圆得切线方程为 200))(())((r b y b y a x a x =--+-- 典型例题例1、已知一个圆得直径得端点就是A(-1,2)、B(7,8),求该圆得方程。例2、求过点A(1,-1)、B(-1,1)且圆心在直线02=-+y x 上得圆得方程。例3、求以)3,1(O 为圆心,且与直线0743=--y x 相切得圆得方程、例4、已知圆得方程就是222r y x =+,求经过圆上一点),(00y x M 得切线方程。例5、求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)得圆得方程,并求这个圆得半径长与圆心坐标。巩固练习: 1、圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称得圆得方程为 ( ) A.22(2)5x y -+= B.22(2)5x y +-= C.22(2)(2)5x y +++= D.22(2)5x y ++= 2、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处得切线方程为( ) A.023=-+y x B.043=-+y x C.043=+-y x D.023=+-y x 3、求经过三点(1,5),(5,5),(6,2)A B C --得圆得方程、 4、求以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点得圆得方程。 5、求经过点A(0,4),B(4,6)且圆心在直线x ―2y ―2=0上得圆得方程; 直线与圆、圆与圆得关系 1、点与圆得位置关系: 设圆得标准方程222 ()()x a y b r -+-=,点00(,)M x y ,将M 带入圆得标准方程,

高中数学-圆的标准方程练习题

高中数学-圆的标准方程练习题 5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.圆心是O(-3,4),半径长为5的圆的方程为( ) A.(x-3)2+(y+4)2=5 B.(x-3)2+(y+4)2 =25 C.(x+3)2+(y-4)2=5 D.(x+3)2+(y-4)2 =25 解析：以(a,b)为圆心,r 为半径的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 . 答案：D 2.以点A(-5，4)为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为( ) A.(x+5)2+(y-4)2=16 B.(x-5)2+(y+4)2 =16 C.(x+5)2+(y-4)2=25 D.(x-5)2+(y+4)2 =25 解析：∵圆与x 轴相切，∴r=|b|=4.∴圆的方程为(x+5)2+(y-4)2 =16. 答案：A 3.圆心在直线y=x 上且与x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为____________. 解析：设其圆心为P(a,a)，而切点为A(1，0)，则P A⊥x 轴，∴由PA 所在直线x=1与y=x 联立，得a=1.故方程为(x-1)2+(y-1)2 =1.也可通过数形结合解决，若圆与x 轴相切于点(1，0),圆心在y=x 上,可推知与y 轴切于(0，1). 答案：(x-1)2+(y-1)2 =1 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.设实数x 、y 满足(x-2)2 +y 2 =3，那么 x y 的最大值是( ) A. 2 1 B.33 C.23 D.3 解析：令 x y =k,即y=kx ，直线y=kx 与圆相切时恰好k 取最值. 答案：D 2.过点A(1,-1)、B(-1,1)，且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2 =4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2 =4 解：由题意得线段AB 的中点C 的坐标为(2 1 1, 211+--),即(0,0)，直线AB 的斜率为k AB =11)1(1----=-1,则过点C 且垂直于AB 的直线方程为y-0=1 1--(x-0),即y=x.所以圆心坐标 (x,y)满足?? ?=-+=. 02, y x x y 得y=x=1. ∴圆的半径为])1(1[)11(2 2 --+-=2.因此，所求圆的方程为(x-1)2 +(y-1)2 =4. 答案：C 3.设点P(2,-3)到圆(x+4)2+(y-5)2 =9上各点距离为d,则d 的最大值为_____________. 解析：由平面几何性质，所求最大值为P(2，-3)到圆(x+4)2+(y-5)2 =9的圆心距离加上圆的半径，即d max =2 2 )53()42(--+++3=13.

高中数学圆的方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 22)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++= =AC r ．故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

高中数学必修二《圆的标准方程》教案

教案说明圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。一、设计理念设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，共同提高。二、设计思路（1）突出重点抓住关键突破难点求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此我布设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路。在例题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。（2）学生主体教师主导探究主线本节课的设计用问题做链，环环相扣，使学生的探究活动贯穿始终。从圆的标准方程的推导到应用都是在问题的指引、我的指导下，由学生探究完成的。另外，我在例题2的教学，要求学生分组讨论，合作交流，为学生设立充分的探究空间，学生在交流成果的过程中，既体验了科学研究和真理发现的复杂与艰辛，又在我的适度引导、侧面帮助、不断肯定下顺利完成了探究活动并走向成功，他们体验到成功的快乐，感受到数学的魅力。在一个个问题的驱动下，高效的完成本节的学习任务。三、媒体设计本节采用powerpoint媒体，知识容量大，同时又有图形。为了在短时间内完成教学内容，故采用演示文稿的方式，增加信息量，节省时间。同时

动态演示图形，刺激学生的感官，引起更强的注意，提高课堂教学效率。

高二数学讲义圆与方程

讲义：圆与方程圆的标准方程与一般方程 1、圆的标准方程：222 ()()x a y b r -+-=（圆心(),A a b ，半径长为r ）；圆心()0,0O ，半径长为r 的圆的方程222 x y r +=。 2、圆的一般方程：()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> （1）当2240D E F +->时，表示以,22D E ??-- ???为半径的圆；（2）当2240D E F +-=时，表示一个点,22D E ??- - ??? ；（3）当2240D E F +-<时，不表示任何图形. 特点：（1）①2x 和2 y 的系数相同，且不等于0； ②没有xy 这样的二次项（2）确定圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数F E D ,,就可以了（3）与圆的标准方程比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则明确地指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 3、过圆上一点的切线方程： ),(00y x M 在圆222r y x =+上，过M 的切线方程为200r y y x x =+ 当),(00y x M 在圆222)()(r b y a x =-+-上，过M 的圆的切线方程为 200))(())((r b y b y a x a x =--+-- 典型例题例1、已知一个圆的直径的端点是A(-1,2)、B(7,8)，求该圆的方程。

例2、求过点A(1，-1)、B(-1,1)且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程。例3、求以)3,1(O 为圆心，且与直线0743=--y x 相切的圆的方程. 例4、已知圆的方程是2 22r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程。例5、求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

人教版高中数学必修二圆与方程题库完整

（数学2必修）第四章圆与方程 [基础训练A 组] 一、选择题１．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( ) A ．22(2)5x y -+= B ．22(2)5x y +-= C ．22(2)(2)5x y +++= D ．22(2)5x y ++= 2．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x 3．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（） A ．2 B ．21+ C ．2 21+ D ．221+ 4．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆22 240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（） A ．37-或 B ．2-或8 C ．0或10 D ．1或11 5．在坐标平面，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（） A ．023=-+y x B ．043=-+y x C ．043=+-y x D ．023=+-y x 二、填空题 1．若经过点(1,0)P -的直线与圆03242 2=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________. 2．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0 ,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为。 3．圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 . ４．已知圆()4322 =+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ?的值为________________。

教师资格证面试教案模板：高中数学《圆的一般方程》(Word版)

教师资格证面试教案模板：高中数学《圆的一般方程》（2021最新版）作者：______ 编写日期：2021年__月__日一、教学目标【知识与技能】在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径。掌握方程表示圆的条件。【过程与方法】通过对方程表示圆的条件的探究，学生探索发现

及分析解决问题的实际能力得到提高【情感态度与价值观】渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。二、教学重难点【重点】掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程。【难点】二元二次方程与圆的一般方程及标准圆方程的关系。三、教学过程 (一)复习旧知，引出课题 1.复习圆的标准方程，圆心、半径。 2.提问1：已知圆心为(1,-2)、半径为2的圆的方程是什么? (二)交流讨论，探究新知 1.提问2：方程是什么图形?方程表示什么图形?任何圆的方程都

是这样的二元二次方程吗?(通过此例分析引导学生使用配方法) 2.方程什么条件下表示圆?(配方和展开由学生相互讨论交流完成，教师最后展示结果) 将配方得： 3.学生在教师的引导下对方程分类讨论，最后师生共同总结出3种情况，即圆的一般方程表示圆的条件。从而得出圆的一般方程式： 4.由学生归纳圆的一般方程的特点，师生共同总结。 (三)例题讲解，深化新知例1.判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是，请求出圆的圆心及半径。 (1)(2) 例2.求过三点A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

(完整版)高中数学必修2圆与方程典型例题(可编辑修改word版)

标准方程(x - a )2 + (y - b )2 = r 2 ，圆心 (a , b )，半径为 r 11 11 11 11 0 0 第二节：圆与圆的方程典型例题一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。二、圆的方程（1）；点 M (x , y ) 与圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的位置关系：当(x - a )2 + ( y - b )2 > r 2 ，点在圆外当(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 ，点在圆上当(x - a )2 + ( y - b )2 < r 2 ，点在圆内（2）一般方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 当 D 2 + E 2 - 4F > 0 时，方程表示圆，此时圆心为?- D E ? ，半径为r = 当 D 2 + E 2 - 4F = 0 时，表示一个点；当 D 2 + E 2 - 4F < 0 时，方程不表示任何图形。 ,- ? ? 2 2 ? 2 （3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出 D ，E ，F ；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。例 1 已知方程 x 2 + y 2 - 2(m - 1)x - 2(2m + 3) y + 5m 2 + 10m + 6 = 0 . （1）此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由；（2）若方程表示的图形是是一个圆，当 m 变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由. 答案：(1)方程表示的图形是一个圆；（2）圆心在直线 y =2x +5 上，半径为 2. 练习： 1．方程 x 2 + y 2 + 2x - 4 y - 6 = 0 表示的图形是（）Ａ．以(1，- 2) 为圆心，为半径的圆Ｂ．以(1，2) 为圆心，为半径的圆Ｃ．以(-1，- 2) 为圆心，为半径的圆Ｄ．以(-1，2) 为圆心，为半径的圆 2．过点 A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线 x ＋y －2＝0 上的圆的方程是( )． A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 3．点(1，1) 在圆(x - a )2 + ( y + a )2 = 4 的内部，则 a 的取值范围是（）Ａ． -1 < a < 1 Ｂ． 0 < a < 1 Ｃ． a < -1 或 a > 1 Ｄ． a = ±1 4．若 x 2 + y 2 + ( -1)x + 2y + = 0 表示圆，则的取值范围是 5. 若圆 C 的圆心坐标为(2，－3)，且圆 C 经过点 M (5，－7)，则圆 C 的半径为 . 6. 圆心在直线 y ＝x 上且与 x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为． 7. 以点 C (－2，3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是． 1 D 2 + E 2 - 4F

人教版高中数学《圆的一般方程》教案导学案

圆的一般方程一、教学目标（一）知识教学点使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．（二）能力训练点使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．（三）学科渗透点通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．二、教材分析 1．重点：（1）能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；（2）能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．（解决办法：（1）要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；（2）加强这方面题型训练．） 2．难点：圆的一般方程的特点．（解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．） 3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F> 0．（解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．）三、活动设计讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板．四、教学过程（一）复习引入新课

前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ，现将展开可得x2+y2- 2ax-2by+a 2+b2-r2=0 ．可见，任何一个圆的方程都可以写成 x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程” ( 二) 圆的一般方程的定义 1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得： (1) (1) 当D2+E2-4F>0 时，方程(1) 与标准方程比较，可以看出方程半径的圆； (3) 当D2+E2-4F<0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法． 2．圆的一般方程的定义当D2+E2-4F> 0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程． ( 三) 圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=．0 (2)

高一数学高中数学圆的方程专题(四个课时)

高一数学高中数学圆的方程专题（四个课时）类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ．又已知圆04242 2=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2 221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2 224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2 221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2 224)4()622(=+++-y x ．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．

新人教版必修二高中数学《圆的标准方程》教学设计

高中数学《圆的标准方程》教学设计新人教版必修二2 知识与技能：1、掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径； 2、会用两种方法求圆的标准方程：(1)待定系数法；(2)利用几何性质教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法和几何性质求圆的标准方程。教学过程：情境设置：问题：①圆的定义？学生回忆所学知识：①圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，确定圆的要素是圆心和半径。问题：②如果把直线放在直角坐标系下，那么其对应的方程是二元一次方程，那么如果把一个圆放在坐标系下，其方程有什么特征？如何写出这个圆的所在的方程？二、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出） P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得：222()()x a y b r -+-= ② 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。总结出点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（１）2200()()x a y b -+-=2r ?点在圆上（２）2200()()x a y b -+-<2r ?点在圆内（３）2200()()x a y b -+->2r ?点在圆外三、知识应用与解题研究（一）练习１、指出下列方程表示的圆心坐标和半径：（１） 222=+y x ；（２） 5)1()3(22=-+-y x ；（３）222)1()2(a y x =+++（0≠a ）。

高一数学必修二圆与方程知识点整理

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高一数学必修二《圆与方程》知识点整理一、标准方程 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P 例2 ②利用平面几何性质相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件方程形式圆心在原点()2220x y r r +=≠ 过原点()()()22 22220x a y b a b a b -+-=++≠ 圆心在x 轴上()()2220x a y r r -+=≠ 圆心在y 轴上()()2220x y b r r +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点()()2220x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点()()2220x y b b b +-=≠ 与x 轴相切()()()2220x a y b b b -+-=≠ 与y 轴相切()()()22 20x a y b a a -+-=≠ 与两坐标轴都相切()()()2220x a y b a a b -+-==≠ 二、一般方程 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材122P 例r 4 3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值：（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值

新课标高中数学必修二第四章圆与方程-经典例题-[含答案]

习题精选精讲圆标准方程已知圆心),(b a C 和半径r ，即得圆的标准方程222 )()(r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆心),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题. 一、求圆的方程例1 (06卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543= +-y x 相切的圆的方程为( ) (A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(2 2=-++y x (C)9)1() 2(22 =++-y x (D)9)1()2(22=-++y x 解已知圆心为)1,2(-，且由题意知线心距等于圆半径，即2 243546+++= d r ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ，故选(C). 点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程222 )()(r b y a x =-+-即得圆的方程. 二、位置关系问题例2 (06卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值围是( ) (A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+ 解化为标准方程222 )(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =. ∵直线 1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距a r a d =>-= 2 1，平方去分母得 2 2212a a a >+-，解得 1212-<<--a ，注意到0>a ，∴120-<r d 线圆相离；?=r d 线圆相切；?