基本初等函数图像及性质大全
一、一次函数与二次函数 (一)一次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:2
()(0)f x ax bx c a =++≠
②顶点式:2
()()(0)f x a x h k a =-+≠
③两根式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ (2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式.
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方便. (3)二次函数图象的性质
①.二次函数2
()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2x a
=-
顶点坐标是2
4(,)24b ac b a a
-- ②当0a >时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞-
上递减,在[,)2b
a
-+∞上递增,当2b x a =-时,2min 4()4ac b f x a -=;当0a <时,抛物线开口向下,函数在(,]2b
a -∞-上递
增,在[,)2b a -+∞上递减,当2b
x a
=-
时,2max 4()4ac b f x a -=.
二、幂函数 (1)幂函数的定义
一般地,函数y x α
=叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数. (2)幂函数的图象
过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1).
三、指数函数
(1)根式的概念:如果,,,1n
x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根. (2)分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m n
a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数
指数幂等于0.
②正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. (3)运算性质
①(0,,)r s r s
a a a
a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈
③()(0,0,)r r r
ab a b a b r R =>>∈ (4)指数函数
四、对数函数 (1)对数的定义
①若(0,1)x a N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a
x N =,其中a 叫做底数,N 叫做真数. ②负数和零没有对数.
③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>. (2)几个重要的对数恒等式
log 10a =,log 1a a =,log b a a b =.
(3)常用对数与自然对数
常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…).
(4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么
①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a a
M M N N
-= ③数乘:log log ()n
a a n M M n R =∈ ④log a N
a
N =
⑤log log (0,)b n a a n
M M b n R b
=
≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N
N b b a
=
>≠且
(5)对数函数
五、反函数
(1)反函数的概念
设函数()y f x =的定义域为A ,值域为C ,从式子()y f x =中解出x ,得式子()x y ?=.如果对于y 在C 中的任何一个值,通过式子()x y ?=,x 在A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子()x y ?=表示x 是y 的函数,函数()x y ?=叫做函数()y f x =的反函数,记作
1()x f y -=,习惯上改写成1()y f x -=.
(2)反函数的求法
①确定反函数的定义域,即原函数的值域; ②从原函数式()y f x =中反解出1
()x f
y -=;
③将1
()x f
y -=改写成1()y f x -=,并注明反函数的定义域.
(3)反函数的性质
①原函数()y f x =与反函数1
()y f
x -=的图象关于直线y x =对称.
②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1
()y f x -=的值域、定义域.
③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上,则'
(,)P b a 在反函数1
()y f
x -=的图象上.
④一般地,函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数.
六、三角函数的图像和性质 (一)正弦与余函数的图像与性质
2. 正切与余切函数的图像与性质
π
七、反三角函数的图像与性质
1. 反正弦与反余函数的图像与性质
2. 反正切与反余切函数的图像与性质
(,,)
-∞+∞(,,)
-∞+∞
正切函数的性质与图像教学设计
《正切函数的性质与图像》的教学设计 一.教材分析 1.地位与作用 《正切函数的性质与图像》是高中《数学》必修4第一章第四节内容。在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质,研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现,更是一种提升。 2.教材处理 教材采用探究的方法引导学生注意正切函数与正弦函数在研究方法上类似,我采用以提问的方式,让学生回忆如何由正弦线得到正弦曲线的作图过程与方法,进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。设计问题一步步引导学生注意画正切曲线的细节。我把空间留给学生,采用让学生自己设计一个得到正切曲线的方法。这样,不仅发挥了学生的能动性,增强动脑、动手绘图的能力。二.学情分析 通过对正弦函数图像与性质的研究,学生已经具备了一定的绘图技能,类比推理画出图象,并通过观察图象,总结性质的能力。但在画正切函数图象时,还有许多需要注意的地方,比如定义域,函数区间等问题。这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。 三.教学目标确定 正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数,三者在研究方法与研究内容上类似,但某些性质有所不同,这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。本着课改理念,养成学生对知识的勇于探索精神,学生亲自体会正切曲线的获得过程,这样学生的动手实践能力有了提高,又体会到学习数学的乐趣,根据教学要求及学生现有的认知水平,现制定以下教学目标: 1.知识目标: 1)、能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像。 2)、熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质。 3)、掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。 2.能力目标: 1)、通过类比,联系正弦函数图像的作法 2)、能学以致用,结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。3、德育目标: 使同学们对正切函数的概念有一定的体会;会用联系的观点看问题,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题、解决问题的能力;让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心;培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 4.重点与难点 重点:正切函数的图象及其主要性质。 难点:熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题 教学模式:启发、探究式发现教学. 四.流程设计 (一).复习引入: (1)问题:如何用正弦线作正弦函数图像呢? (2)类比:利用正切线得到正切函数x 的图像 y tan
(完整版)六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数(也称常数函数)y =C(其中C 为常数); α
1)当α为正整数时,函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ,他们的图形都经过原点,并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时,图形关于原点对称;α为偶数时图形关于y 轴对称; 2)当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数; 3)当α为正有理数 n m 时,n 为偶数时函数的定义域为(0, +∞),n 为奇数时函数的定义域为(-∞,+∞),函数的图形均经过原点和(1 ,1); 4)如果m>n 图形于x 轴相切,如果m 3.(选,补充)指数函数值的大小比较* N ∈a ; a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(, x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时,a 值越大,x a y = 的图像越靠近y 轴; b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 课题:正切函数的图像与性质 教材:上海教育出版社高中一年级第二学期(试用本)第六章第二节 授课教师: 教学目标 (1)理解正切函数的定义及正切函数的图像特征,研究并掌握正切函数的基本性质. (2)在探究正切函数基本性质和图像的过程中,渗透数形结合的思想,形成发现问题、提出问题、解决问题的能力,养成良好的数学学习习惯. (3)在解决问题的过程中,体验克服困难取得成功的喜悦. 教学重点 掌握正切函数的基本性质. 教学难点 正切函数的单调性及证明. 教学方法 教师启发讲授,学生积极探究. 教学手段 计算机辅助. 教学过程 一、 设置疑问,引入新课 1、正切函数的定义 有同学,类比正弦函数、余弦函数的定义,定义了一个正切函数: 对于任意一个实数x ,都有唯一确定的值tan x 与它对应,按照这个对应法则所建立的函数,表示为tan y x =,叫做正切函数. 大家认为这个定义是否完善? 强调:,2 x k k Z π π≠+ ∈. (设计意图:,2 x k k Z π π≠+∈,是学生容易出错的地方,通过学生之间的自我纠错,理 解不能取,2 k k Z π π+ ∈的理由) 今天我们就要研究正切函数tan y x =(,2 x k k Z π π≠+∈)的图像与性质. 2、作函数图像的常用的方法是什么? (1)描点法是作函数图像最基本的方法; (2)利用基本初等函数图像的变换作图. 大家认为应该选择哪种方法呢? 学生的回答会选择(1). 教师引导:描点应该结合函数的性质,描关键点、特殊点. 所以,首先研究函数的基本性质. 二、 主动探究,解决问题 (一)利用定义,研究函数的性质 学生自主研究探索正切函数的性质 1、 定义域:|,,2x x R x k k Z π π? ?∈≠+∈??? ? . 学生可以迅速解决. 2、 值域:R 请学生回答,并讲清楚理由,从而引出对正切线的复习. 复习正切线: 正切线是角x 与tanx 关系的直观体现,正切函数的性质融于其中. 3、 奇偶性:奇函数. 学生会利用tan()tan x x -=-迅速做出判断. 问:该函数是偶函数吗? 三角函数的图像与性质 1.三角函数中的值域及最值问题 a .正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题,5分)函数f (x )=sin ????2x -π4在区间????0,π 2上的最小值为( ) A .-1 B .- 22 C.22 D .0 答案:B 解析:∵x ∈????0,π2,∴-π4≤2x -π4≤3π 4,∴函数f (x )=sin ????2x -π4在区间????0,π2上先增后减.∵f (0)=sin ????-π4=-22, f ????π2=sin ????3π4=2 2, f (0) 函数名 一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数 解析式 )0()(≠+=a b ax x f )0()(≠= k x k x f 图像 定义域 R R {}0|≠x x R 值域 R ) ,(∞+0 必过点 )(b ,0 ) ,(c 0 ) 1,(1,--k k ) ( ) (1,0 周期性 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 单调性 在R 上单增 )2-a b -∞,(为减 ),2+∞-a b (为增 )为减,(0-∞)为减,(∞+0 为减 为增,101<<>a a 最大最小值 在R 不存在最大最小值 开口向上有最小值 a b a c y 442min -= 不存在最大最小值 在R 上不存在最大最小值 奇偶性 非奇非偶函数 为奇函数00≠=b b 偶函数 为非奇非为偶函数,00≠=b b 奇函数 非奇非偶函数 对称性 为常数。 对称, 函数图像关于直线任何一点对称;关于图像上t t x a y +=1 - 对称 直线函数图像关于 a b x 2-= 函数图像关于原点对称; 对称。 直线和关于 对称,直线图像关于x y x y -== 既不成中心对称也不成轴对称。 渐近线 无 无 . 00==y x 直线或者直线 .0=y 直线 ) 0()(2≠++=a c bx ax x f ) 10()(≠=a a a x f x 且>0>a >a 0 >k ) ,44[ 2 +∞-a b a c ),(),(∞+?∞00-x a y =) 10(<a x y O 1 函数名 对数函数 幂函数的一个例子 双钩函数 含绝对值函数 解析式 ) 10(log ≠>=a a y x a 且 ) 0(≥=x x y b a b x a x y <-+-=设为了研究方便 图像 O 1 y x ) 10(log <<=a y x a ) 1(log >=a y x a O y x x y =1 1 定义域 ()∞+,0 [)∞+,0 0}x |{x ≠ R 值域 R [) ∞+,0 (][) ∞+∞,,ab ab 22--Y [)+∞-,a b 必过点 )(0,1 () 1,1 )2,(2,ab a b ab a b -- )( ) ,(,a b b a b a --)( 周期性 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 单调性 单调递减。 单调递增。,, 101<<>a a 为增函数 定义域内 递增。递减,,递减,递增,,???? ??+∞???? ????? ? ? ????? ??∞,00,---a b a b a b a b (][)函数。 上为常值为增函数。 为减函数。 ,],[,-b a b a +∞∞ 最大最小值 无最大最小值 最小值为 0min =y ,无最 大值 无最大最小值 a b y -=min 奇偶性 非奇非偶 非奇非偶 奇函数 对称性 既不是轴对称也不是中心对称 既不是轴对称也不是中心对称 关于原点成中心对称 关 于 直 线 2 b a x += 对称。 渐近线 直线x=0 ax y =和0=x O y x a b a b -ab 2ab 2-O y x a b a b -的情况 只了解中学研究方便通常 ) (00>>+=b a x b ax y 为偶函数0=+b a 必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质 例1 用五点法做出下列函数的图像 11(1)2sin ,[0,2];(2)cos(),[,]666 y x x y x x ππππ=-∈=+∈- 例2 求下列函数的定义域和值域 (1)lgsin ;(2)y x y == 练:求函数sin ()log (12cos )x f x x =+的定义域。 例3 已知函数()y f x =的定义域是1 [0,]4 ,求下列函数的定义域 221(1)(cos );(2)(sin )2 f x f x - 例4 求下列函数的最大值与最小值 22(1)2sin();(2)2cos 5sin 4;42(3)3cos 4cos 1,[,]33 y x y x x y x x π ππ=--=+-=-+∈ 例5 设1 sin sin 3x y +=,求2sin cos M x y =-的最小值和最大值 例6 求下列函数的值域 2cos 2sin cos (1);(2)2cos 11sin x x x y y x x ==++ 例7已知a 是实数,则函数f (x )=1+asinax 的图象不可能是( ) A . B . C . D . 例8 求下列函数的周期。 (1)|sin ||cos |;(2)cos |2|(3)cos()6y x x y x y x π =+==-- 例9 判断函数7())2f x x π =+的奇偶性 例10 判断函数()lg(sin f x x =+的奇偶性 例11求函数1sin 2 x y π-=的单调区间 提升训练题 1.下列四个函数的图像中关于y 轴对称的是( ) .sin ;.cos ;.1sin ;.cos()2 A y x B y x C y x D y x π ==-=-=- 2.函数sin 2x y =的单调增区间是( ) 3.[2,2]();.[2,2]()2222 .[2,2]();.[2,2]()A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z π πππππππππππππ- +∈++∈-∈+∈ 3.下列函数中是奇函数的是( ) .|sin |;.sin(||);.sin ||;.sin ||A y x B y x C y x D y x x =-=-== 4.sin()3y x π =-的单调减区间是( ) 55.[,]();[2,2]()666677.[,]();.[2,2]();6666A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z ππππππππππππππππ-+ ∈-+∈--∈--∈ 5.函数2cos 3cos 2y x =-+的最小值为______________________ 6.函数|sin |2x y =的最小正周期____________________ 7.cos1,cos2,cos3的大小关系____________________ 8.函数3cos 1cos 2 x y x += +的值域是____________________ 1 正切函数的图象与性质(习题) ? 例题示范 例1:已知sin33cos55tan35a b c =?=?=?, ,,则( ) A .a b c >> B .b c a >> C .c b a >> D .c a b >> 思路分析: 观察33°,55°,35°之间的关系,利用三角函数在区间[090]??, 上的单调性,选择合适的公式化简,转化为可比较的函数值. 由诱导公式可得, cos55cos(9035)sin35b =?=?-?=?, ∵sin y x =在区间[090]??,上单调递增,且sin 33a =?, ∴b a >, ∵sin 35tan 35cos35c ?=?= ? ,且0cos351<, ∴tan35sin35c b =?>?=, ∴c b a >>,故选C . 例2:函数23()sin cos 4f x x x =++,2π[0]3 x ∈,的值域是( ) A .[12], B .[]44-, C .[1]4 -, D .[2]4-, 思路分析: 2223()sin cos 4 31cos cos 4 7cos cos 4 f x x x x x x x =++=-++=-++由题意, 设cos t x =,2π[0]3x ∈,,由余弦函数的单调性得,12 1t -≤≤, 则原函数可化为27()4f x t t =-++,12 1t -≤≤, 由二次函数性质得,()[12]f x ∈,,故选A . ? 巩固练习 A .2 π B .π C .2π D .4π C .(1)(0)(1)f f f >>- D .(0)(1)(1)f f f >-> 4. 下列函数属于奇函数的是( ) A .()tan(π)f x x =+ B .π()sin()2f x x =- C .()cos(3π)f x x =- D .π()sin()2f x x =+ 5. 已知函数()tan f x x x =+,2()=cos g x x x +,则( ) A .()f x 与()g x 都是奇函数 B .()f x 与()g x 都是偶函数 C .()f x 是奇函数,()g x 是偶函数 D .()f x 是偶函数,()g x 是奇函数 6. 函数sin()2 y x π=+在( ) A .[]22 ππ-,上是增函数 B .[0]π,上是减函数 C .[0]-π,上是减函数 D .[]-ππ,上是减函数 7. 函数()cos f x x =的一个单调递减区间是( ) A .[]44 ππ-, B .[]44π3π, 三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1.“五点法”描图 (1)y =sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2,1 (π,0) ? ?? ??? 32π,-1 (2π,0) (2)y =cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1),? ?????π2,0,(π,-1),? ???? ? 3π2,0,(2π,1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y =sin x y =cos x y =tan x 定义域 R R {x |x ≠k π+π 2 ,k ∈Z} 图象 值域 [-1,1] [-1,1] R 对称性 对称轴: x =k π+ π2(k ∈Z); 对称轴: x =k π(k ∈Z) 对称中心: 对称中心:? ?? ?? ?k π2,0 (k ∈Z) 3.一般地对于函数(),如果存在一个非零的常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期,把所有周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用sin x、cos x的有界性; 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[-1,1],因此对于?x∈R,恒有-1≤sin x≤1,-1≤cos x≤1,所以1叫做y=sin x,y=cos x的上确界,-1叫做y=sin x,y=cos x的下确界. 基本初等函数及图形 (1) 常值函数(也称常数函数) y =c (其中c 为常数) (2) 幂函数 μ x y =,μ是常数; (3) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠,),),(+∞-∞∈x ; (4) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠,),(0,)x ∈+∞; 1. 当u 为正整数时,函数的定义域为区间) ,(+∞-∞∈x ,他们的图形都经过原点,并当 u>1时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时,图形关于原点对称;u 为偶数时图形关于Y 轴对称; 2. 当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3. 当u 为正有理数m/n 时,n 为偶数时函数的定义域为(0, +∞),n 为奇数时函数的定义域为(-∞+∞)。函数的图形均经过原点和(1 ,1). 如果m>n 图形于x 轴相切,如果m 正弦函数 x y sin =,),(+∞-∞∈x ,]1,1[-∈y , 余弦函数 x y cos =,),(+∞-∞∈x ,]1,1[-∈y , 正切函数 x y tan =, 2π π+ ≠k x ,k Z ∈,),(+∞-∞∈y , 余切函数 x y cot =,πk x ≠,k Z ∈,),(+∞-∞∈y ; 正弦函数的图像和性质(一) 【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高; 2.认真限时完成,规范书写,课上小组合作探讨,答疑解惑。 【重点难点】重点:正弦函数的图像 难点:图像的画法 一、学习目标 1.了解正弦曲线的画法,能用五点法画出正弦函数的图像; 2.能通过函数图像对函数的性质做简单分析; 3.通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律,培养学生从不同角度观察、研究问题的思维习惯。 二、问题导学 1、函数的图像的画法: 描点法 步骤:列表→描点→连线 补全上述表格,并根据表格中数据在直角坐标系中画出的图像。 几何法 阅读教材25—26页内容,试借助于单位圆,利用正弦函数的定义画出的图像。 五点法 观察的图像,发现有五个点起着关键的作用,它们是图像与轴的交点和图像的最高点及最低点: ______,________,_________,________,__________. 因此,在精度要求不高的情况下,我们通常在直角坐标系中描出这起关键作用的五个点,然后用光滑的曲线连接,做出图像的简图。 请同学们用五点法画出的图像。 2、 因为正弦函数是以为周期的周期函数,所以函数在区间上的图像与在区间上的图像形状完全一样,只是位置不同,因此我们只需将函数的图像向左、向右平行移动(每次移动个单位)就可以得到的图像,正弦函数的图像叫做___________ 请同学们在几何法做出的图像的基础上,画出正弦曲线。 3、 合作探究 例1、用五点法画出下列函数在区间上的简图。 (1) (2) 例2、在上,利用的图像求满足下列不等式的的取值范围。 (1) (2) 正弦、余弦、正切函数的图像与性质 一、选择题: 1.函数y =sin x 2+cos x 是( ) A .奇函数 B .偶函数 C .既是奇函数又是偶函数 D .既不是奇函数也不是偶函数 2.下列关系式中正确的是( ) A .sin11°<cos10°<sin168° B .sin168°<sin11°<cos10° C .sin11°<sin168°<cos10° D .sin168°<cos10°<sin11° 3.已知函数f (x )=sin ????x -π 2(x ∈R ),下面结论错误的是( ) A .函数f (x )的最小正周期为2π B .函数f (x )在区间????0,π 2上是增函数 C .函数f (x )的图像关于直线x =0对称 D .函数f (x )的奇函数 4.设a =12log sin81o ,b =12log sin 25o ,c =12 log cos25°,则它们的大小关系为( ) A .a <c <b B .b <c <a C .a <b <c D .b <a <c 5.函数y = lncos x ????-π2<x <π 2的图像是( ) A . B C . D. 6.当-π2<x <π 2时,函数y =tan|x |的图像( ) A .关于原点对称 B .关于x 轴对称 C .关于y 轴对称 D .不是对称图形 7.函数y =tan(sin x )的值域为( ) D .以上均不对 8.若直线y =3与函数y =tan ωx (ω>0)的图像相交,则相邻两交点的距离是( ) A .π 二、填空题 9.函数y =cos x 在区间[-π,a ]上为增函数,则a 的范围是__________. 10.函数y =1+2sin x 的最大值是__________,此时自变量x 的取值集合是__________. 11.函数y =sin 2x -cos x 的值域是__________. 12.函数y =3sin ????2x +π6的单调递减区间是__________. 13.已知f (n )=sin n π4(n ∈Z ),则f (1)+f (2)+…+f (100)=__________. 14.若关于x 的方程cos 2x -sin x +a =0有解,则a 的取值范围是__________. 15.如果函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图像与直线y =k 有且仅有三个不同的交点,那么k 的取值范围是__________. 16.关于三角函数的图像,有下列命题: ①y =sin|x |与y =sin x 的图像关于y 轴对称; ②y =cos(-x )与y =cos|x |的图像相同; ③y =|sin x |与y =sin(-x )的图像关于x 轴对称; ④y =cos x 与y =cos(-x )的图像关于y 轴对称. 其中正确命题的序号是__________. 三、解答题: 17.判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=sin ????2x +3π2; (2)f (x )=sin x 1-sin x 1-sin x 18.作出下列函数的图像: (1)y =tan|x |; (2)y =|tan x |. 19、求函数f (x )=13log tan ??? ?2x +π3的单调递减区间. 一、一次函数与二次函数 (一)一次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式:2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ (2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方便. (3)二次函数图象的性质 定义域 (),-∞+∞ 对称轴 2b x a =- 顶点坐标 24,24b ac b a a ??-- ??? 值域 24,4ac b a ??-+∞ ? ?? 24,4ac b a ??--∞ ? ?? 单调区间 ,2b a ? ?-∞- ? ? ?递减 ,2b a ??- +∞ ??? 递增 ,2b a ? ?-∞- ? ? ?递增 ,2b a ?? - +∞ ??? 递减 ①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞- 上递减,在[,)2b a -+∞上递增,当2b x a =-时,2min 4()4ac b f x a -=;当0a <时,抛物线开口向下,函数在(,]2b a -∞-上递 增,在[,)2b a -+∞上递减,当2b x a =- 时,2max 4()4ac b f x a -=. 二、幂函数 (1)幂函数的定义 叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数. (2 x y 等分圆 平移三角函数线作正弦函数的图像 三角函数线 圆 O O 正弦函数的图像和性质(一) 【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高; 2.认真限时完成,规范书写,课上小组合作探讨,答疑解惑。 【重点难点】重点:正弦函数的图像 难点:x y sin =图像的画法 一、学习目标 1.了解正弦曲线的画法,能用五点法画出正弦函数x y sin =的图像; 2.能通过函数图像对函数的性质做简单分析; 3.通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律,培养学生从不同 角度观察、研究问题的思维习惯。 二、问题导学 1、函数] 2,0[ sinπ ∈ =x x y,的图像的画法: 补全上述表格,并根据表格中数据在直角坐标系中画出] 2,0[ sinπ ∈ =x x y,的图像。 ②几何法阅读教材25—26页内容,试借助于单位圆,利用正弦函数的定义画出 ] 2,0[ sinπ ∈ =x x y,的图像。 ③五点法 观察] 2,0[ sinπ ∈ =x x y,的图像,发现有五个点起着关键的作用,它们是图像与x轴的 交点和图像的最高点及最低点:______,________,_________,________,__________. 因此,在精度要求不高的情况下,我们通常在直角坐标系中描出这起关键作用的五个点,然 后用光滑的曲线连接,做出图像的简图。 请同学们用五点法画出] 2,0[ sinπ ∈ =x x y,的图像。 2、因为正弦函数是以π2为周期的周期函数,所以函数x y sin =在区间 )0 ] )1 2, 2[≠ ∈ +k Z k k k且 ( (π π上的图像与在区间] 2,0[π上的图像形状完全一样,只是位置 不同,因此我们只需将函数] 2,0[ sinπ ∈ =x x y,的图像向左、向右平行移动(每次移动π2 个单位)就可以得到R sin∈ =x x y,的图像,正弦函数的图像叫做___________ 请同学们在几何法做出的图像的基础上,画出正弦曲线。 三、合作探究 例1、用五点法画出下列函数在区间] 2,0[π上的简图。 (1)x y sin 3 =(2)x y sin -1 = 6、1正弦函数与余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 (1)函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ,若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值,按照某个对应法则f ,y 都有唯一确定的实数值与它对应,则y 就就是x 的函数,记作 ()x f y =,D x ∈。 (2)三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点(,)P x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α的终边(当α在第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于T 、 规定:当OM 与x 轴同向时为正值,当OM 与x 轴反向时为负值; 当MP 与y 轴同向时为正值,当MP 与y 轴反向时为负值; 当AT 与y 轴同向时为正值,当AT 与y 轴反向时为负值; 根据上面规定,则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有: sin 1 y y y MP r α====; cos 1 x x x OM r α= ===; tan y MP AT AT x OM OA α= ===; 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比,就以正弦(或余弦)为例,对于每一个给定的 角与它的正弦值(或余弦值)之间就是否也存在一种函数关系?若存在,请对这种函数关系下一个定义;若不存在,请说明理由. 1、正弦函数、余弦函数的定义 (1)正弦函数:R x x y ∈=,sin ; (2)余弦函数:R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象? 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 (1)[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1:等分、作正弦线——将单位圆等分,作三角函数线(正弦线)得三角函数值; 步骤2:描点——平移定点,即描点()x x sin ,; 步骤3:连线——用光滑的曲线顺次连结各个点 小结:几何描点法作图精确,但过程比较繁。 【方案2】——五点法 步骤1:列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标;《正切函数的图像与性质》 教案及说明
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