高中数学函数的零点教学设计

第4讲与函数的零点相关的问题

函数零点的个数问题

1.函数f(x)=xcos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( D )

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

解析:要使f(x)=xcos 2x=0,则x=0,或cos 2x=0,而在区间[0,2π]上,通过观察y=cos 2x 的函数图象,易得满足cos 2x=0的x的值有,,,,所以零点的个数为5个.

2.(2015南昌二模)已知函数f(x)=函数g(x)是周期为2的偶函数,且当x∈[0,1]时,g(x)=2x-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是( B )

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

解析:函数y=f(x)-g(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数.在同一坐标系中画出这两个函数的图象:

由图可得这两个函数的交点为A,O,B,C,D,E,共6个点.

所以原函数共有6个零点.故选B.

3.(2015南昌市一模)已知函数f(x)=若关于x的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围为.

解析:依题意,得a≠0,令f(x)=0,得lg x=0,即x=1,由f[f(x)]=0,得f(x)=1,

当x>0时,函数y=lg x的图象与直线y=1有且只有一个交点,则当x≤0时,函数y=的图象与直线y=1没有交点,若a>0,结论成立;若a<0,则函数y=的图象与y轴交点的纵坐标-a<1,得-1

答案:(-1,0)∪(0,+∞)

4.(2015北京卷)设函数f(x)=

①若a=1,则f(x)的最小值为;

②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.

解析:①当a=1时,f(x)=其大致图象如图所示:

由图可知f(x)的最小值为-1.

②当a≤0时,显然函数f(x)无零点;

当01,由二次函数的性质可知,当x≥1时,f(x)有2个零点,则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-∞,1)上无零点,则2-a≤0,即a≥2.综上可知,满足条件的a的取值范围是[,1)∪[2,+∞).

答案:①-1 ②[,1)∪[2,+∞)

确定函数零点所在的区间

5.(2015四川成都市一诊)方程ln(x+1)-=0(x>0)的根存在的大致区间是( B )

(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,e) (D)(3,4)

解析:设f(x)=ln(x+1)-,

则f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>0,

得f(1)f(2)<0,函数f(x)在区间(1,2)有零点,故选B.

6.(2015河南郑州市一模)设函数f(x)=e x+2x-4,g(x)=ln x+2x2-5,若实数a,b分别是

f(x),g(x)的零点,则( A )

(A)g(a)<0

(C)f(b)<0

解析:考查函数y=e x与y=4-2x的图象,得其交点的横坐标a应满足0e+2-4>0,可排除

C,D;0

利用导数解决与函数有关的方程根(函数零点)问题

7.(2015河南省六市3月第一次联合调研)设函数f(x)=xln x,g(x)=(-x2+ax-3)e x(a为实数).

(1)当a=5时,求函数y=g(x)在x=1处的切线方程;

(2)求f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值;

(3)若存在两不等实根x1,x2∈[,e],使方程g(x)=2e x f(x)成立,求实数a的取值范围.

解:(1)当a=5时g(x)=(-x2+5x-3)·e x,g(1)=e.

g′(x)=(-x2+3x+2)·e x,故切线的斜率为g′(1)=4e.

所以切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.

(2)f′(x)=ln x+1,

(0,

①当t≥时,在区间(t,t+2)上f(x)为增函数,

所以f(x)min=f(t)=tln t,

②当0

f(x)min=f()=-.

(3)由g(x)=2e x f(x),可得2xln x=-x2+ax-3,

a=x+2ln x+,

令h(x)=x+2ln x+,h′(x)=1+-=.

,1)

h()=+3e-2,h(1)=4,h(e)=+e+2.

h(e)-h()=4-2e+<0.

所以实数a的取值范围为(4,e+2+].

8.(2015湖北八市联考)已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值.

(1)求实数a的值;

(2)若关于x的方程f(x)=-x+b在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围.

解:(1)f′(x)=-2x-1,

因为x=0时,f(x)取得极值,所以f′(0)=0,

故-2×0-1=0,解得a=1,

经检验当a=1时,f(x)在x=0处取得极大值符合题意,

所以a=1.

(2)由a=1知f(x)=ln(x+1)-x2-x,

由f(x)=-x+b,得ln(x+1)-x2+x-b=0,

令φ(x)=ln(x+1)-x2+x-b,则f(x)=-x+b在[0,2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)=0在[0,2]上恰有两个不同的实数根.

φ′(x)=-2x+=,

当x∈(0,1)时,φ′(x)>0,于是φ(x)在(0,1)上单调递增;

当x∈(1,2)时,φ′(x)<0,于是φ(x)在(1,2)上单调递减;

依题意有

解得ln 3-1≤b

所以实数b的取值范围是[ln 3-1,ln 2+).

一、选择题

1.(2015太原一模)已知实数a,b满足2a=3,3b=2,则函数f(x)=a x+x-b的零点所在的区间是( B )

(A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2)

解析:因为实数a,b满足2a=3,3b=2,

所以a=log23>1,0

因为函数f(x)=a x+x-b,

所以f(x)=(log23)x+x-log32单调递增,

因为f(0)=1-log32>0

f(-1)=log32-1-log32=-1<0,

所以根据函数的零点存在性定理得出函数f(x)=a x+x-b的零点所在的区间是(-1,0),故选B.

2.(2015凉山州模拟)设函数f(x)=|ln x|-的两个零点为x1,x2,则有( A )

(A)x1x2<1 (B)x1x2=1

(C)1

解析:由f(x)=|ln x|-=0,

得|ln x|=,

作函数y=|ln x|与y=的图象如图.

不妨设x1

x1<1

则ln x1<0,

且|ln x1|>|ln x2|,

所以-ln x1>ln x2,则ln x1+ln x2<0,即ln (x1x2)<0,

所以x1x2<1.故选A.

3.(2015蚌埠二模)函数f(x)=有且只有一个零点时,a的取值范围是( D )

(A)(-∞,0] (B)(0, )

(C)(,1) (D)(-∞,0]∪(1,+∞)

解析:因为f(1)=ln 1=0,

所以当x≤0时,函数f(x)没有零点,

故-2x+a>0或-2x+a<0在(-∞,0]上恒成立,

即a>2x,或a<2x在(-∞,0]上恒成立,

故a>1或a≤0.

故选D.

4.(2014重庆卷)已知函数f(x)=且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是( A )

(A) (-,-2]∪(0, ] (B) (-,-2]∪(0, ]

(C) (-,-2]∪(0, ] (D) (-,-2]∪(0, ]

解析:g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点就是函数y=f(x)的图象与函数y=m(x+1)的图象有两个交点,在同一直角坐标系内作出函数

f(x)=和函数y=m(x+1)的图象,如图,

当直线y=m(x+1)与y=-3,x∈(-1,0]和y=x,x∈(0,1]都相交时,0

m(x+1)2+3(x+1)-1=0,化简得mx2+(2m+3)x+m+2=0,当Δ=9+4m=0,即m=-时,直线y=m(x+1)与

y=-3相切,当直线y=m(x+1)过点(0,-2)时,m=-2,所以m∈(-,-2].综上,实数m的取值范围是(-,-2]∪(0, ],故选A.

5.(2014湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x.则函数

g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( D )

(A){1,3} (B){-3,-1,1,3}

(C){2-,1,3} (D){-2-,1,3}

解析:当x≥0时,函数g(x)的零点即方程f(x)=x-3的根,由x2-3x=x-3,解得x=1或3;

当x<0时,由f(x)是奇函数得

-f(x)=f(-x)=x2-3(-x),

即f(x)=-x2-3x.

由f(x)=x-3得x=-2-(正根舍去).

故选D.

6.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点,若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( B )

(A)f(x1)<0,f(x2)<0 (B)f(x1)<0,f(x2)>0

(C)f(x1)>0,f(x2)<0 (D)f(x1)>0,f(x2)>0

解析:函数y=2x,y=在(1,+∞)都为单调增函数,

所以f(x)=2x+在(1,+∞)上为单调增函数.

因为f(x0)=0,

所以x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞)时,

f(x1)f(x0)=0,从而答案B正确.

7.(2015山东模拟)已知函数f(x)=则下列关于函数y=f[f(kx)+1]+1(k≠0)的零点个数的判断正确的是( C )

(A)当k>0时,有3个零点;当k<0时,有4个零点

(B)当k>0时,有4个零点;当k<0时,有3个零点

(C)无论k为何值,均有3个零点

(D)无论k为何值,均有4个零点

解析:令f[f(kx)+1]+1=0得,

或

解得f(kx)+1=0或f(kx)+1=;

由f(kx)+1=0得,

或

即x=0或kx=;

由f(kx)+1=得,

或

即e kx=1+(无解)或kx=;

综上所述,x=0或kx=或kx=;

故无论k为何值,均有3个解.

故选C.

8.(2015怀化二模)定义域为R的函数f(x)=若关于x的函数

h(x)=f2(x)+af(x)+有5个不同的零点x1,x2,x3,x4,x5,则++++等于( C )

(A)15 (B)20 (C)30 (D)35

解析:作函数f(x)=的图象如图,

则由函数h(x)=f2(x)+af(x)+有5个不同的零点知,

1+a+=0,解得a=-,

则解f2(x)-f(x)+=0得,

f(x)=1或f(x)=;

故若f(x)=1,则x=2或x=3或x=1;

若f(x)=,则x=0或x=4;

故++++=1+4+9+16=30.故选C.

9.(2015郑州二模)已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( A )

(A)[-1,3) (B)[-3,-1]

(C)[-3,3) (D)[-1,1)

解析:因为f(x)=

所以g(x)=f(x)-2x=

而方程-x+3=0的解为3,

方程x2+4x+3=0的解为-1,-3;

若函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,

则

解得,-1≤a<3.

实数a的取值范围是[-1,3).

故选A.

10.(2015呼和浩特一模)若函数f(x)=ln x+kx-1有两个零点,则实数k的取值范围是( A )

(A) (-,0) (B) (-∞,- )

(C) (-,+∞) (D) (-e2,- )

解析:作函数y=ln x-1与y=-kx的图象如图,

当直线与y=ln x-1相切时,设切点(x,ln x-1),

y′=,

=,

解得,x=e2,

故0<-k<,

故-

故选A.

11.(2013安徽卷)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是( A )

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

解析:先求函数的导函数,由极值点的性质及题意,得出f(x)=x1或f(x)=x2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.

因为f′(x)=3x2+2ax+b,

函数f(x)的两个极值点为x1,x2,

所以f′(x1)=0,f′(x2)=0,

所以x1,x2是方程3x2+2ax+b=0的两根.

所以解关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0得f(x)=x1或f(x)=x2.不妨设x1

又f(x1)=x1

实根,

所以不同实根的个数为3.故选A.

二、填空题

12.(2015兰州二模)设函数f(x)=函数y=f[f(x)]-1的零点个数为.

解析:因为函数f(x)=

当x≤0时,

y=f[f(x)]-1=f(2x)-1=log22x-1=x-1,

令y=f[f(x)]-1=0,x=1(舍去).

当0

y=f[f(x)]-1=f(log2x)-1=-1=x-1,

令y=f[f(x)]-1=0,x=1.

当x>1时,

y=f[f(x)]-1=f(log2x)-1=log2(log2x)-1,

令y=f[f(x)]-1=0,log2(log2x)=1,

则log2x=2,x=4,

故函数y=f[f(x)]-1的零点个数为2个.

答案:2

13.(2015潍坊模拟)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,f′(x)是f(x)的导函数,若对?x∈(0,+∞),都有f[f(x)-2x]=3,则方程f′(x)-=0的解所在的区间是.(区间长度不大于1)

解析:由题意,可知f(x)-2x是定值,令t=f(x)-2x,则f(x)=2x+t,

又f(t)=2t+t=3,解得t=1,

所以有f(x)=2x+1,

所以f′(x)=2x·ln 2,

令F(x)=f′(x)-=2x·ln 2-,

可得F(1)=21·ln 2-4<0,F(2)=22·ln 2-2>0,

即F(x)=2x·ln 2-零点在区间(1,2)内,

所以f′(x)-=0的解所在的区间是(1,2).

答案:(1,2)

14.(2011山东卷)已知函数f(x)=1og a x+x-b(a>0,且a≠1).当2

解析:对函数f(x),因为2

所以f(2)=log a2+2-b<1+2-b=3-b<0,

f(3)=log a3+3-b>1+3-b=4-b>0.

即f(2)f(3)<0,易知f(x)在(0,+∞)单调递增,

所以f(x)存在唯一的零点x0,

且x0∈(2,3),所以n=2.

答案:2

利用导数研究方程根的问题

训练提示: 利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程解的个数问题的一般思路

(1)将问题转化为函数的零点问题,进而转化为函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点问题.

(2)利用导数研究出该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质,进而画出其图象.

(3)结合图象求解.

1.(2015贵州七校联盟第一次联考)已知函数f(x)=(ax2+x)e x,其中e是自然对数的底数,a ∈R.

(1)当a>0时,解不等式f(x)≤0;

(2)当a=0时,求整数t的所有值,使方程f(x)=x+2在[t,t+1]上有解.

解:(1)因为e x>0,所以不等式f(x)≤0,即为ax2+x≤0,

又因为a>0,所以不等式可化为x(x+)≤0,

所以不等式f(x)≤0的解集为[-,0].

(2)当a=0时,方程即为xe x=x+2,由于e x>0,

所以x=0不是方程的解,

所以原方程等价于e x--1=0,

令h(x)=e x--1,

因为h′(x)=e x+>0对于x≠0恒成立,

所以h(x)在(-∞,0)和(0,+∞)内是单调增函数,

又h(1)=e-3<0,h(2)=e2-2>0,h(-3)=e-3-<0,h(-2)=>0,

所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根,且分别在区间[1,2]和[-3,-2]上,所以整数t的所有值为{-3,1}.

2.(2015广东江门市3月模拟)设函数f(x)=e x(ln x-a),e是自然对数的底数,a∈R为常数.

(1)若y=f(x)在x=1处的切线l的斜率为2e,求a的值;

(2)在(1)的条件下,证明切线l与曲线y=f(x)在区间(0, )至少有1个公共点.

解:(1)f′(x)=e x(ln x-a+),

依题意,k=f′(1)=e(ln 1-a+1)=2e,解得a=-1,

(2)由(1)f(1)=e,直线l的方程为y-e=2e(x-1),

即y=2ex-e,

令g(x)=f(x)-(2ex-e)=e x(ln x+1)-2ex+e,

则g()=(1-ln 2)>0,

g(e-4)=-3e e-4-2e-3+e<-3+e<0(用其他适当的数替代e-4亦可)

因为y=g(x)在(e-4, )上是连续不断的曲线,

g(e-4)g()<0,y=g(x)在(e-4, )内有零点,

而(e-4, )? (0, ),从而切线l与曲线y=f(x)在区间(0, )至少有1个公共点.

3.(2015菏泽市一模)设函数f(x)=ln x-ax2-bx.

(1)当a=b=时,求函数f(x)的单调区间;

(2)令F(x)=f(x)+ax2+bx+(0

(3)当a=0,b=-1时,方程f(x)=mx在区间[1,e2]内有唯一实数解,求实数m的取值范围.

解:(1)依题意,知f(x)的定义域为(0,+∞),

当a=b=时,f(x)=ln x-x2-x,

f′(x)=-x-=.

令f′(x)=0,解得x=1或x=-2(舍去),

当00;当x>1时,f′(x)<0,

所以f(x)的单调增区间为(0,1),减区间为(1,+∞);

(2)由题意知F(x)=ln x+,x∈(0,3],

则有k=F′(x0)=≤在(0,3]上恒成立,

所以a≥(-+x0)max,

当x0=1时,-+x0取得最大值,

所以a∈[,+∞);

(3)当a=0,b=-1时,f(x)=ln x+x,

由f(x)=mx,得ln x+x=mx,又x>0,

所以m=1+,

要使方程f(x)=mx在区间[1,e2]上有唯一实数解,

只需m=1+有唯一实数解,

令g(x)=1+(x>0),所以g′(x)=,

由g′(x)>0得0e,

所以g(x)在区间[1,e]上是增函数,在区间[e,e2]上是减函数. g(1)=1,g(e2)=1+,g(e)=1+,

故1≤m<1+.

4.(2015威海5月模拟)已知函数f(x)=+ax,x>1.

(1)若f(x)在(1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围;

(2)若a=2,求函数f(x)的极小值;

(3)若方程(2x-m)ln x+x=0在(1,e]上有两个不等实根,求实数m的取值范围. 解:(1)f′(x)=+a,

由题意可得f′(x)≤0在x∈(1,+∞)上恒成立;

所以a≤-=(-)2-,

因为x∈(1,+∞),

所以ln x∈(0,+∞),

所以-=0时函数t=(-)2-的最小值为-,

所以a≤-.

(2)当a=2时,f(x)=+2x,f′(x)=,

令f′(x)=0得2ln2x+ln x-1=0,

解得ln x=或ln x=-1(舍去),即x=.

当1时,f′(x)>0,

所以f(x)的极小值为f()=+2=4.

(3)将方程(2x-m)ln x+x=0两边同除ln x得(2x-m)+=0,

整理得+2x=m,

即函数f(x)与函数y=m在(1,e]上有两个不同的交点.

由(2)可知,f(x)在(1,)上单调递减,在(,e]上单调递增f()=4,f(e)=3e,

当x→1时,→+∞,

所以4

实数m的取值范围为(4,3e].

类型:利用导数研究方程根的问题

1.已知函数f(x)=x3-x-.

(1)判断的单调性;

(2)求函数y=f(x)的零点的个数;

解:(1)设φ(x)=x2-1-,其中x>0,

φ′(x)=2x+>0,所以φ(x)在(0,+∞)单调递增,

即在(0,+∞)单调递增.

(2)因为φ(1)=-1<0,φ(2)=3->0,

又φ(x)在(0,+∞)单调递增,

故φ(x)在(1,2)内有唯一零点.

又f(x)=x3-x-=x·φ(x),显然x=0为f(x)一个零点,

因此y=f(x)在[0,+∞)有且仅有2个零点.

2.设a∈R,函数f(x)=ln x-ax.

(1)讨论函数f(x)的单调区间和极值;

(2)已知x1=(e为自然对数的底数)和x2是函数f(x)的两个不同的零点,求a的值并证明:x2>.

(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞).

求导数,得f′(x)=-a=.

①若a≤0,则f′(x)>0,f(x)是(0,+∞)上的增函数,无极值;

②若a>0,令f′(x)=0,得x=.

当x∈(0, )时,f′(x)>0,f(x)是增函数;

当x∈(,+∞)时,f′(x)<0,f(x)是减函数.

所以当x=时,f(x)有极大值,极大值为f()=ln -1=-ln a-1.

综上所述,当a≤0时,f(x)的递增区间为(0,+∞),无极值;

当a>0时,f(x)的递增区间为(0, ),递减区间为(,+∞),

极大值为-ln a-1.

(2)证明:因为x1=是函数f(x)的零点,

所以f()=0,即-a=0,解得a==.

所以f(x)=ln x-x.

因为f()=->0,f()=-<0,

所以f()f()<0.

由(1)知,函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,

所以函数f(x)在区间(,)上有唯一零点,因此x2>.

3.(2015郑州质量预测)已知函数f(x)=(x2-2x)ln x+ax2+2.

(1)当a=-1时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)当a>0时,设函数g(x)=f(x)-x-2,且函数g(x)有且仅有一个零点,若e-2

解:(1)当a=-1时,f(x)=(x2-2x)ln x-x2+2,定义域为(0,+∞),

f′(x)=(2x-2)ln x+(x-2)-2x.

所以f′(1)=-3,又f(1)=1,f(x)在(1,f(1))处的切线方程为3x+y-4=0.

(2)令g(x)=f(x)-x-2=0,则(x2-2x)ln x+ax2+2=x+2,即a=,

令h(x)=,

则h′(x)=--+=.

令t(x)=1-x-2ln x,t′(x)=-1-=,

因为t′(x)<0,所以t(x)在(0,+∞)上是减函数,

又因为t(1)=h′(1)=0,

所以当00,当x>1时,h′(x)<0,

所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,

所以h(x)max=h(1)=1.

因为a>0,所以当函数g(x)有且仅有一个零点时,a=1.

当a=1,g(x)=(x2-2x)ln x+x2-x,

若e-2

函数的零点教案

函数的零点 【教学目标】 １、了解函数零点的概念及函数零点的等价描述; 2、能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数； 3、理解判断函数零点存在性的结论并能研究简单的函数零点的存在性问题; ４、体现、感受并理解方程和函数图象在零点问题中的应用，渗透数形结合思想, 运用数形结合来研究和解决数学问题,并能应用从特殊到一般的数学方法去探索和认识数学知识。 【教学重难点】 １、重点:理解零点的概念利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；应用函数零点存在性的结论研究函数零点的存在问题 2、难点：理解判断函数零点的存在性的结论 【教学过程】 一、概念引入 请同学们一起来看投影上的问题 画出下列函数图象并指出x取何值时,y=0 21 (1)y x 2 (2)y=x2x 3 (3)y=1 x (图象保留) 处理:学生上黑板板书(上黑板画出图像并求出x值) 师：(1)所求x就是对应方程的实数根 (2）从图象上来看,我们所求的x就是什么？

师:这里所求的x 就是我们今天要来研究的函数的零点 那么,什么是函数的零点呢? 二、概念认识 一般地，对于函数ｙ=f(x ），若f(ｘ)＝0则实数x 称为该函数的零点 师:了解了函数零点的定义，同学们对函数零点有怎样的认识？ （１）等价描述：①函数y= f(x ）的零点就是方程ｆ(ｘ)=0的实数根 ②函数y= f （x)的零点就是它的图象与x 轴交点的横坐标 （2）函数的零点是实数,不是点（板书） 师:认识了函数零点的定义后,请同学们来求下面几个函数的零点 练习１:求下列函数的零点 x-32x 1(1)y (2)y=log x - 1 (3)y=2x 1 （投影展示） 归纳:求函数零点的步骤：(板书） (1)令f （x ）=0 (2）解方程f(x ）=０ (３)写出零点 师：通过上面的研究我们认识了函数零点的定义，掌握了函数零点的求法 下面请同学们继续看例1的问题 三、应用例题 例1:求证：二次函数2y x 3x 2有两个不同的零点 练习2：（1）函数2y x 3x k 没有零点，求k 的取值范围 (２）函数2 y x kx 2有零点,求ｋ的取值范围 (3）函数2y kx 3x 2有一个零点，求实数k 的值 (投影展示）(看情况或学生回答） 师:由例1和练习2的研究，请大家总结一下

高一数学函数的零点与二分法教案

一. 教学内容： 函数的零点与二分法 二. 学习目标 1、理解函数零点的概念与性质，会求函数的零点。 2、理解零点的意义，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程的根的关系； 3、通过具体实例了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解用二分法求函数零点的原理，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用． 4、在函数与方程的联系中，初步体会事物间相互转化的辩证思想；体验探究的过程、发现的乐趣。 三. 知识要点 1、函数的零点 一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零，即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。 归纳：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现的。 说明： （1）函数的零点是一个实数，即当函数的自变量取这一实数时函数值为零； （2）对于函数的零点问题我们只在实数范围内讨论； （3）方程的根、函数的图象与x 轴交点的横坐标以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式 2、函数零点的意义： 函数)x (f y =的零点就是方程0)x (f =的实数根，亦即函数)x (f y =的图象与x 轴交点的横坐标． 归纳：方程0)x (f =有实数根?函数)x (f y =的图象与x 轴有交点?函数)x (f y =有零点． 3、函数零点存在性的判定方法 对于函数相对应的方程能求解的，可以直接求解方程的实数根，从而确定函数的零点；对于函数相对应的方程不能直接求解的，又该怎样处理？ 如果函数)x (f y =在区间[]b ,a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)b (f )a (f

高中数学函数的零点和最值

函数的零点 1、函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x 轴有交点?函数y=f(x)有零点 注意：零点是一个实数,不是点。 练习：函数23)(2 +-=x x x f 的零点是（ ） Ａ．()0,1 Ｂ．()0,2 Ｃ．()0,1，()0,2 Ｄ.１，２ 方程f(x)=0的根的个数就是函数y=f(x)的图象与x 轴交点的个数。 方程f(x)=0的实数根就是函数y=f(x)的图象与x 轴交点的横坐标。 方法：①（代数法）求函数的零点就是求相应的方程的根，一般可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点。 ②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 练习：Ⅰ求零点 ①y=x 3-1, ② y=2^x-1, ③y=lg(x 2-1)-1, ④y=2^|x|-8, ⑤y=2+log 3x Ⅱ结合函数的图像判断函数f(x)=x 3-7x+6的零点 Ⅲ判断函数f(x)=lnx+2x 是否存在零点及零点的个数 2、一元二次方程和二次函数 例，当a>0时，方程ax 2+bx+c=0的根与函数y=ax 2+bx+c 的图象之间的关系如下表： 练习：如果函数f(x)= ax 2-x-1仅有一个零点，求实数a 的范围。 3、零点存在性定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根。 例1：观察二次函数f (x)=x 2- 2x - 3的图象: ① 在区间[-2，1]上有零点_______； f (-2)=_____，f (1)=_____， f (-2) · f(1)___0（< 或 > 或 =） ② 在区间[2，4]上有零点_______； f (2) · f(4)___0（< 或 > 或 =） 例1图 例2图 例2：观察函数 y = f (x)的图象: ①在区间[a ，b]上___(有/无)零点； f (a) · f(b)___0（< 或 > 或 =） ②在区间[b ，c]上___(有/无)零点； f (b) · f(c)___0（< 或 > 或 =） 练习：①判断函数f(x)=x2-2x-1在区间（2，3）上是否存在零点? 4、函数最值： 最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；（2）存在x0∈I ，使得f(x0) = M ，那么，称M 是函数y=f(x)的最大值． 方法：利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 利用图象求函数的最大（小）值 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b). 练习：①函数 f （x ）= )1(11 x x --的最大值是______ ②函数f （x ）=ax （a ＞0，a ≠1）在［1，2］中的最大值比最小值 大2a ，则a 的值为______ ③设a 为实数，函数f （x ）=x2+|x －a|+1，x ∈R. （1）讨论f （x ）的奇偶性；（2）求f （x ）的最小值. ④已知二次函数f （x ）＝（lga ）x2＋2x ＋4lga 的最大值为3，求a 的值.

高中数学函数的零点教学设计

第4讲与函数的零点相关的问题 函数零点的个数问题 1.函数f(x)=xcos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( D ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:要使f(x)=xcos 2x=0,则x=0,或cos 2x=0,而在区间[0,2π]上,通过观察y=cos 2x 的函数图象,易得满足cos 2x=0的x的值有,,,,所以零点的个数为5个. 2.(2015南昌二模)已知函数f(x)=函数g(x)是周期为2的偶函数,且当x∈[0,1]时,g(x)=2x-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是( B ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解析:函数y=f(x)-g(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数.在同一坐标系中画出这两个函数的图象: 由图可得这两个函数的交点为A,O,B,C,D,E,共6个点. 所以原函数共有6个零点.故选B. 3.(2015南昌市一模)已知函数f(x)=若关于x的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围为. 解析:依题意,得a≠0,令f(x)=0,得lg x=0,即x=1,由f[f(x)]=0,得f(x)=1, 当x>0时,函数y=lg x的图象与直线y=1有且只有一个交点,则当x≤0时,函数y=的图象与直线y=1没有交点,若a>0,结论成立;若a<0,则函数y=的图象与y轴交点的纵坐标-a<1,得-1

答案:(-1,0)∪(0,+∞) 4.(2015北京卷)设函数f(x)= ①若a=1,则f(x)的最小值为; ②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是. 解析:①当a=1时,f(x)=其大致图象如图所示: 由图可知f(x)的最小值为-1. ②当a≤0时,显然函数f(x)无零点; 当01,由二次函数的性质可知,当x≥1时,f(x)有2个零点,则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-∞,1)上无零点,则2-a≤0,即a≥2.综上可知,满足条件的a的取值范围是[,1)∪[2,+∞). 答案:①-1 ②[,1)∪[2,+∞) 确定函数零点所在的区间 5.(2015四川成都市一诊)方程ln(x+1)-=0(x>0)的根存在的大致区间是( B ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,e) (D)(3,4) 解析:设f(x)=ln(x+1)-, 则f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>0, 得f(1)f(2)<0,函数f(x)在区间(1,2)有零点,故选B. 6.(2015河南郑州市一模)设函数f(x)=e x+2x-4,g(x)=ln x+2x2-5,若实数a,b分别是 f(x),g(x)的零点,则( A )

2.4函数的零点的教学设计

2.4函数的零点 【学情分析】 本节课从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，借助对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，并将这种关系推广到了一般情形． 初学者大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法直接求方程的根．所以，教学时可首先考虑解决这一问题．通过举例让学生知道，有许多方程都不能用公式法求解，为了研究更多方程的根，就有必要学习函数的零点．如果带着这样的疑问学习，必然会激发其求知欲，从而提高学习的效率．零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念。而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。 【学习内容分析】 本节课是在学生学习了《一次函数和二次函数》的基础上，学习函数与方程的第一课时，通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念及存在个数问题，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求函数零点的近似值》做准备．本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、探究函数零点存在性。 函数零点是研究当函数的值为零时，相应的自变量的取

值，反映在函数图象上，也就是函数图象与轴的交点横坐标。 由于函数的值为零亦即，其本身已是方程的形式，因而函数的零点必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程 有解，则函数存在零点，且方程的根就是相应函数的零点，也是函数图象与轴的交点横坐标．顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题。这是函数与方程关系认识的第一步。 零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。如果函数在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线，并且满足f(a)·f(b)<0，则函数在区间(a,b)内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断．方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；零点存在性的研究，也同样采用了类似的方法，同时还体现了“数形结合思想”及“转化与化归思想”。 【课程目标】 一.知识与技能目标 通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想,领会函数零点与相应方程实数根之间的关系， 二.过程与方法目标 体现从特殊到一般的认识规律,通过合作探究理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系，通过对现实问题的分析，体会用函数系统

高中数学《方程的根与函数的零点》公开课优秀教学设计一

2016年全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动交流课案 课 题：3.1.1 方程的根与函数的零点 教 材：人教A 版高中数学·必修1 【教材分析】 本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。 第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根，即函数 ()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零 点的判定方法：如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。这些内容是求方程近似解的基础。本节课的 教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。 【教学目标】 1.理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。 2.通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。 3.通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法。 【学情分析】 1.学生具备的知识与能力 (1)初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x 轴的交点横坐标之间的关系。 (2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。 2. 学生欠缺的知识与能力 (1)超越函数的相关计算及其图象性质. (2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出

高中数学《方程的根与函数的零点》公开课优秀教学设计二

第三章函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点 一．教学内容分析 本节内容是高中数学人教版必修一，第三章函数的应用，第一节函数与方程第一课时方程的根与函数的零点；课本选取探究具体的一元二次方程的根与其 对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.本节设计特点是由特殊到一般的化归转化思想，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：“数形结合”思想和“转化”思想.本节充分体现了函数图象和性质的应用.因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生 认知规律，数学思想方法. 二、教学目标 1、了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者的关系； 2、理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是 函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个； 3、能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间 4.经历“类比—归纳—应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳 概括能力．体会从特殊到一般的转化的数学思想。 三、学情分析 通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础．其次，学生对于方程已经有了一定的认知基础，对方程的根并不陌生，这样 就使得方程与函数联系的过度学生容易掌握，但学生对于数形结合的数学思想仍不能胜任，故本节课关键在于通过图像去突破重难点，学生会表现出不适。而本节的零点存在定理只为零点的存在提供充分非必要条件，所以定理的逆命题、否命题都不成立，在函数连续性、简单逻辑用语未学习的情况下，学生对定理的理解常常不够深入．这就要求教师引导学生体验各种成立与不成立的情况，从不同的角度审视定理的条件与适用范围 四、教学策略选择与设计 本节课在概念的形成和深化、定理的概括和应用方面，都给予自主探究、辨析实践、动手画图及交流讨论的机会，只有充分激活了学生的思维，这节课的各环节才能顺利推进，内容才会丰富充实，方法才会异彩纷呈．所以这节课总的设计理念是以学生为主概念与定理的建立是一个感知、探究的过程，不仅关注知识的掌握，也关注学生的学习过程，把体验、尝试、发现的机会交给学生，紧扣教材，注重思维、注重过程 五、教学重点及难点 教学重点：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理． 教学难点：对零点存在性定理的准确理解

函数零点教学设计

《函数零点》教学设计 一、教学目标： 1.函数零点理解函数零点的概念，了解函数的零点与方程根的联系； 2.理解“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”这一结论的实质，并运用其解决有关一元 二次方程根的分布问题； 3.通过函数零点内容的学习，分析解决对一元二次方程根的分布的有关问题，转变学生对 数学学习的态度，加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识。 二、教学重点：函数零点存在性的判断。 三、教学难点：数形结合思想，转化化归思想的培养与应用。 四、教学方法： 在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，在合作交流中完成学习任务，尝试指导与自主学习相结合。 五、教学过程： 1、实例引入 解方程：（1）2-x=4；（2）2-x=x． 意图：通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求的热情． 2、一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系．

问题2：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？ 学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标． 意图：通过回顾二次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备． 3、一般函数的图象与方程根的关系． 问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例！ 师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，现场在几何画板下展示类似如下函数的图象：y＝2x－4，y＝2x－8，y＝ln(x－2)，y＝(x－1)(x＋2)(x－3)．比较函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，从而得出一般的结论： 方程f(x)＝0有几个根，y＝f(x)的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标． 意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫 4、函数零点． 概念：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 即兴练习：函数f(x)=x(x2－16)的零点为（D ）A．(0，0)，(4，0) B．0，4 C．(–4，0)，(0，0)，(4，0) D．–4，0，4 设计意图：及时矫正“零点是交点”这一误解． 说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值． ②求函数零点就是求方程f(x)＝0的根． 5、归纳函数的零点与方程的根的关系． 问题4：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？ （1）联系：①数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根； ②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． （2）区别：零点对于函数而言，根对于方程而言． 以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样，有些方程问题可以转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础． 6、零点存在性定理的探索． 探究：（1）观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象： 在区间[-2，1]上有零点______； f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）． 在区间(2，4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）． （2）观察函数的图象： ①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b) ___ 0（“＜”或“＞”）． ②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）． ③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）． 意图：通过归纳得出零点存在性定理． 7、零点存在性定理： 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断一条曲线， 并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点． 即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 即兴练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？ ，2]；（2）f(x)=e x-1+4x-4，x∈[0，1]． （1）f(x)=log2x，x∈[1 2

二分法求函数零点教案

用二分法求方程的近似解 １、二分法的概念 对于在区间[a, b]上连续不断且)(a f ·)(b f < 0的函数)(x f y =, 通过不断把函数 )(x f 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似 值的方法叫二分法。 ２、用二分法求函数)(x f 的零点的近似值的步骤： （１）确定区间[a, b], 验证：)(a f ·)(b f < 0，确定精确度ε （２）求区间(a , b)的中点1x （３）计算)(1x f 若)(1x f =0, 则就1x 是函数的零点 若)(a f ·)(1x f <０，则令b =1x （此时零点x 0∈(a, 1x )） 若)(1x f ·)(b f <０，则令a =1x （此时零点x 0∈(1x , b)） （４）判断是否达到精确度ε 即若 | a – b | <ε, 则得到零点的近似值为a （或b ），否则重复（２）～（４） 3、用二分法求函数零点的条件： 若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点，从图象来看，若图象穿过零点，则此零点为变号零点。否则为不变号零点。二分法只能求函数的变号零点。 例题讲解： 例1：下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ） 解：应选B ，利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号。 例2、 利用二分法求方程x x -=31 的一个近似解（精确到0.1）。 解：设()31-+=x x x f ，则求方程x x -=31 的一个近似解，即求函数()x f 的一个近似零 点。∵()0212<-=f ，()03 1 3>=f ，∴取区间[]3,2作为计算的初始区间。

函数零点的教学设计

函数的零点教案设计 ※教案背景 （1）、课题：函数的零点 （2）、教材版本：人教B版数学必修（一）第二章2.4.1函数的零点 （3）、课时：1课时 ※教材分析 （1）本节课的主要内容有函数零点的概念、函数零点存在性判定定理。 函数f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图形表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。 （2）本节是函数应用的第一课，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其他知识的联系的角度来引入较为适宜。 ※教学目标： 1、知识与技能 （1）理解函数（结合二次函数）零点的概念。 （2）领会函数零点与相应方程的根的关系，掌握零点存在的判定条件。 2、过程与方法 （1）通过观察例题的图象，发现函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法。 （2）让学生归纳整理本节所学知识。 3、情感、态度与价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，培养学生的观在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．体验数学内在美,激发学习热情,培养学生创新意识和科学精神。 ※教学重点：是函数零点的概念及求法 ※教学难点：是利用函数的零点作图教学方法： ※教学方法：以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，利用课件，视频等引导学生对问题的思考，运用学生自主学习、小组合作探究的教学方式。 ※教学环节 （一）、课前延伸 1、知识链接，温故知新 求方程x2－2x－3＝0的实数根，并画出函数y＝x2－2x－3的图象。 通过学生熟悉一元二次方程入手，观察函数图像与x轴的交点与相应方程根的关系，让学生建立数型结合的思想。（用投影仪展示函数图象） 【百度搜索】https://www.360docs.net/doc/1a1182275.html,/testdetail/26588/

2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法----二分法教案学生版

2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 【学习要求】 1.理解变号零点的概念，掌握二分法求函数零点的步骤及原理； 2.了解二分法的产生过程，会用二分法求方程近似解． 【学法指导】 通过借助计算器用二分法求方程的近似解，了解数学中逼近的思想和程序化地处理问题的思想；通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的相对统一，体会“近似是普遍的，精确则是特殊的”辩证唯物主义观点. 填一填：知识要点、记下疑难点 如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值，即，则这个函数在这个区间上，至少有，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为零点. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境]一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根．但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，但是没有公式求根，如何求得方程的根呢？ 探究点一变号零点与不变号零点 问题函数y＝3x＋2，y＝x2，y＝x2－2x－3的图象，如下图所示，在图象上零点左右的函数值怎样变化？ 小结：如果函数f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点． 探究点二二分法的概念 问题1由变号零点的概念我们知道，函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，那么如何求出这个零点的近似值？ 例1利用计算器，求方程x2－2x－1＝0的一个正实数零点的近似解(精确到0.1)． 问题2例1中求方程近似解的方法就是二分法，根据解题过程，你能归纳出什么是二分法吗？ 问题3给定精确度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤是怎样的？ 跟踪训练1借助计算器或计算机，用二分法求函数f(x)＝x3＋1.1x2＋0.9x－1.4在区间(0,1)内的零点(精确到0.1)．

高中数学专题练习-函数零点问题

高中数学专题练习-函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(2015·北京)设函数f (x )＝??? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (·天津)已知函数f (x )＝??? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：

高中数学人教B版必修一第二章2.4.1《函数的零点》 教学设计

《函数的零点》课堂教学设计 一．教学内容 本课内容选自经全国中小学教材审定委员会2004年初审通过的人教版普通高中课程标准试验教科书，数学必修①，B 版第二单元《函数》中的《函数的零点》，新授课，第一课时。 1．知识背景 2．4节《函数与方程》作为新课程改革试验教材中的新增内容，其课程目标是想 通过对本节的学习，使学生学会用二分法求函数零点近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系，同时达到“方法构建、技术运用、算法渗透”这一隐性的教学目标。建立实际问题的函数模型，利用已知函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的。方程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”，这也是本章渗透的主要数学思想． 2．本节内容 《函数的零点》通过对二次函数图像的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步 探索一般函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，对函数图像进行全新的认识，在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。 二．教学目标 知识与技能:（1）通过对二次函数增图像的描绘，理解函数零点的概念，体会我们在 研究和解决问题过程的一般思维方法。 （2）通过对一般函数图像的描绘分析，领会函数零点与相应方程之间的 关系，掌握零点存在的判定条件。 （3）培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。 过程与方法: 通过画函数图像，分析零点的存在性。 情感态度与价值观: 使学生再次领略“数形”的有机结合，渗透由抽象到具体的思想, 理解动与静的辨证关系,体会数学知识之间的紧密联系。 三．教学重点 重点：理解零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点． 具体流程设计 一、创设情境 画函数322--=x x y 的图像，并观察其图象与其对应的一元二次方程0322=--x x [师生互动] 师：引导学生通过配方，画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系。

高中数学-函数零点问题

函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(北京)设函数f (x )＝????? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (天津)已知函数f (x )＝? ??? ? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实 数a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：

高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法

高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有 0)()(

高中数学第四届全国青年教师优秀课观摩大赛方程的根与函数零点教案说明.doc

方程的根与函数的零点教案说明 一、教材分析 1、教材的地位与作用 本节对“方程的根与函数零点”的认识，是从初中一次、二次函数与其相应的方程关系的 具体学习，过渡到了高中一般方程与其相应函数关系的抽象研究, 其学习平台是学生已经掌握了 函数的概念、函数的性质以及基本初等函数等相关知识. 对本节课的研究，不仅为“用二分法求方程的近似解”这一“函数的应用”做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种 联系正是中学数学重要的思想方法之一——“函数与方程思想”的理论基础，起到了承前起后 的作用 . 2、内容分析 “方程的根与函数的零点”一课的主要教学内容有函数的零点的定义和函数零点存在的 判定方法 ( 即零点存在定理) ，不仅为后继学习做铺垫, 而且从中学数学内容结构来看, 本课的内容也可以看作是函数概念的一个子概念，是函数概念外延的一次扩充。给出函数零点概念 的目的是把函数与方程联系起来，用函数的观点统领中学代数知识，把所有的中学代数问题 都统一到函数的思想之下，从这个角度看本节课还应承载建立函数与方程数学思想的任务. “函数的零点”这个概念体现了联系的观点、整体地看问题，通过转化解决问题，蕴涵 了数形结合、化归的数学思想。因此在概念的教学中不但要注重知识的学习，而且要把它作 为一个载体，通过概念的获得培养学生的抽象概括等能力，领会数形结合、化归等数学思想. 教学的重点是理解函数零点与相应方程根的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识. 教学的难点是连续函数在某个区间上存在零点的判定方法的深入理解与初步应用. 3、教学目标分析 课程标准要求“结合二次函数图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了 解函数的零点与方程根的联系”. 第三章“函数的应用”的课程目标之一是“通过本章的学习，使学生学会用二分法求方 程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系. “ 因此 , 本节课具体目标如下： 1．能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、相应函数图象与x 轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系. 2．正确理解函数零点存在的结论, 了解图象连续不断的意义及作用；知道结论只是函数 存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个. 3．能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数. 4．能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，写出与方程对应的函数, 并会判断存在零点的区间（可使用计算器）． 4、教学方法分析 用成语串联堂课，激发学生的学习兴趣 , 按照 MM教学方式“学习、教学、研究同步协调原则 “和二主方针”。运用问题性，给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口的机 给，提高能力，增长才干，采用学导式、启发式和观察探索法相结合的方法。 二．教学诊断分析

31【数学】3.1.1《方程的根与函数的零点》教案(人教A版必修1)

课题：§3.1.1方程的根与函数的零点 教学目标： 知识与技能理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件． 过程与方法零点存在性的判定． 情感、态度、价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．教学重点： 重点零点的概念及存在性的判定． 难点零点的确定． 教学程序与环节设计： 创设情境组织探究尝试练习探索研究作业回馈课外活动结合二次函数引入课题． 二次函数的零点及零点存在性的． 零点存在性为练习重点． 进一步探索函数零点存在性的判定． 重点放在零点的存在性判断及零点的确定上． 研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符号，并尝试进行系统的总结．

教学过程与操作设计： 环节 教学内容设置 师生双边互动 创 设 情 境 先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象： ○ 1方程0322 =--x x 与函数322 --=x x y ○ 2方程0122=+-x x 与函数122 +-=x x y ○ 3方程0322=+-x x 与函数322 +-=x x y 师：引导学生解方程， 画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系，引出零点的概念． 生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流． 师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？ 组 织 探 究 函数零点的概念： 对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点． 函数零点的意义： 函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数 根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标． 即： 方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 函数零点的求法： 求函数)(x f y =的零点： ○ 1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○ 2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法． 生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法： ○ 1 代数法； ○ 2 几何法．

函数的零点教学设计

<<函数的零点>>教学设计 尚志市一曼中学:张丽颖 一、内容和内容解析 本节课是在学生学习了《基本初等函数（Ⅰ）》的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求方程的近似解》做准备． 从教材编写的顺序来看，《方程的根与函数的零点》是必修1第三章《函数的应用》一章的开始，其目的是使学生学会用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系．利用函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的．方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”，建立和运用函数模型中蕴含的“数学建模思想”，是本章渗透的主要数学思想． 从知识的应用价值来看，通过在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体会符号化、模型化的思想，体验从系统的角度去思考局部问题的思想． 基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断． 二、目标和目标解析 1．通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想,领会函数零点与相应方程实数根之间的关系， 2．零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念。而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。 3．通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辨证关系．掌握函数零点存在性的判断．