ni三角形手拉手模型-专题讲义

手拉手模型

1．等边三角形 导角核心：八字导角

条件：△OAB ，△OCD 均为等边三角形

结论：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB = 60°；③OE 平分∠AED

2．等腰直角三角形 导角核心：

条件：△OAB ，△OCD 均为等腰直角三角形

结论：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB = 90°；③OE 平分∠AED

3．任意等腰三角形 核心图形：核心条件：OA=OB ；OC=OD ；∠AOB=∠COD

条件：△OAB ，△OCD 均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD

结论：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=∠AOB ；③OE 平分∠AED 例题讲解： A 类

1．在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，

等边三角形要得到哪些结论？ 要联想到什么模型？

证明：（1）△ABE ≌△DBC ； （2）AE=DC ；

（3）AE 与DC 的夹角为60°； （4）△AGB ≌△DFB ； （5）△EGB ≌△CFB ； （6）BH 平分∠AHC ； 解题思路：

1．出现共顶点的等边三角形，联想手拉手模型 2．利用边角边证明全等； 3．八字导角得角相等；

2．如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连接AG 、CE ，二者相交于H.

问 （1）△ADG ≌△CDE 是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？

（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分∠AHE ？ 解题思路：

1．出现共顶点的等腰直角三角形，联想手拉手模型 2．利用边角边证明全等； 3．八字导角得角相等；

3．如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 同时向外作等腰直角三角形，其中 AB =AE ，AC =AD ，∠BAE =∠CAD=90°， 点G 为BC 中点，点F 为BE 中点，点H 为CD 中点。探索GF 与GH 的位置及数量关系并说明理由。

多个中点，一般考虑什么？

等腰直角三角形要得到哪些结论？ 要联想到什么模型？

等腰直角三角形要得到哪些结论？ 要联想到什么模型？

解题思路：

1．有两个共顶点的等腰直角三角形，联想手拉手全等，连接BD 、CE ，△BAD ≌△EAC 2．多个中点，联想中位线，得线段关系 B 类

1．如图1，已知∠DAC=90°，△ABC 是等边三角形，点P 为射线AD 任意一点（P 与A 不重合），连结CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CQ ，连结QB 并延长交直线AD 于点E 。

（1）如图1，猜想∠QEP=_______°；

（2）如图2，3，若当∠DAC 是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP 的度数，选取一种情况加以证明；

（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ 的长。

解题思路：

1．旋转60°，出现等边三角形

2．两个共顶点的三角形，联想手拉手全等 3．求线段长度，利用勾股定理

2．在ABC ?中，2AB BC ==，90ABC ∠=?，BD 为斜边AC 上的中线，将ABD ?绕点D 顺时针旋转α(0180α?<

（1）如图1，直接写出BE 与FC 的数量关系：____________;

等腰直角三角形绕顶点旋转，是什么模型？

等腰直角三角形斜边的中线可以得到什么？

求线段长有哪些方法？

有特殊的钝角，需要做什么？ 旋转60°，要做什么？

出现等边三角形，要想到哪些？

（2）如图2，M 、N 分别为EF 、BC 的中点。求证：MN =

CF 2

2

；

（3）连接BF ，CE ，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF 、CE 与AC 之间的数量关系：

解题思路：

1．等腰直角三角形斜边的中线把三角形分成两个相同的等腰直角三角形 2．等腰直角三角形绕顶点旋转，联想手拉手模型 3．等腰直角三角形中出现中点，联想斜边中点 4．利用勾股定理得线段关系

3．在Rt △ABC 中，90ACB ∠=?，D 是AB 的中点，DE ⊥BC 于E ，连接CD 。

（1）如图1，如果30A ∠=?，那么DE 与CE 之间的数量关系是___________。

（2）如图2，在（1）的条件下，P 是线段CB 上一点，连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连接BF ，请猜想DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论。

（3）如图3，如果A α∠=（090α?<

线段关系，一般有哪些？

旋转60°，要做什么，还要联想什么？ 直角+中点，联想什么？

线段的关系都有哪些？

出现中点要想到什么？

图1 图2 图3

解题思路：

1．直角三角形斜边的中线是斜边的一半

2．30°的直角三角形，得到等边三角形

3．线段关系一般有和差倍，勾股定理

4．等腰三角形共顶点旋转，联想手拉手模型

C类

1．已知：在△ABC中，∠BAC=60°．

（1）如图1，若AB=AC，点P在△ABC内，且∠APC=150°，PA=3，PC=4，把△APC绕着点A顺时针旋转，使点C 旋转到点B处，得到△ADB，连接DP，①依题意补全图1；②直接写出PB的长；

（2）如图2，若AB=AC，点P在△ABC外，且PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC的度数；

（3）如图3，若AB=2AC，点P在△ABC内，且PA=3，PB=5，∠APC=120°，请直接写出PC的长。

图1 图2 图3

给出共顶点的三条线段，要做什么？当看到3，4，5，要来你想什么？

旋转60°，要做什么，还要联想什么？

解题思路：

1．共点的三条线段，利用旋转，构造手拉手模型，使之放在同一三角形中 2．勾股定理，勾股数

3．沿用前两问思路，构造手拉手相似

2．在□ABCD 中，E 是AD 上一点，AE=AB ，过点E 作直线EF ，在EF 上取一点G ，使得∠EGB=∠EAB ，连接AG 。 （1）如图1，当EF 与AB 相交时，若∠EAB=60°，求证：EG =AG+BG ；

（2）如图2，当EF 与AB 相交时，若∠EAB= α（0o﹤α﹤90o），请你直接写出线段EG 、AG 、BG 之间的数量关系（用含α的式子表示）；

（3）如图3，当EF 与CD 相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG 、AG 、BG 之间的数量关系，并证明你的结论。

解题思路：

1．有60°角，联想等边三角形，联想手拉手 2．线段和差，联想截长补短 3．等腰三角形，构造手拉手模型 4．三条线段的关系：和差倍、勾股定理 课堂练习 A 类

1．如图，已知ABC ?和ADE ?都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE 与AC CD +相等的理由。

2．如图，点C 是线段AB 上除点A 、B 外的任意一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同旁作等边△ACD 和等边△BCE ，连接AE 交DC 于M ，连接BD 交CE 于N ，连接MN 。

（1）求证：AE=BD ；（2）求证：MN ∥AB 。

3．已知：如图，△ABC 、△CDE 都是等边三角形，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点。

（1）求证：AD=BE ；（2）求∠DOE 的度数；（3）求证：△MNC 是等边三角形。

B 类

1．在ABC △中，AB AC =，BAC ∠=α()060?<α

（2）如图2，150BCE ∠=?，60ABE ∠=?，判断ABE △的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若45DEC ∠=?，求α的值

2．如图1，在四边形ABCD 中，BA=BC ，∠ABC=60°，∠ADC=30°，连接对角线BD 。 （1）将线段CD 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CE ，连接AE 。

①依题意补全图1；②试判断AE 与BD 的数量关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件下，直接写出线段DA 、DB 和DC 之间的数量关系；

（3）如图2，F 是对角线BD 上一点，且满足∠AFC=150°，连接FA 和FC ，探究线段FA 、FB 和FC 之间的数量关系并证明。

（图1） （图2）

3．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=CD ，∠ACD=α，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ，AE ，BD 。 （1）依题意补全图1；

（2）判断AE 与BD 的数量关系与位置关系并加以证明；

（3）若0°＜α≤64°，AB=4，AE 与BD 相交于点G ，求点G 到直线AB 的距离的最大值．请写出求解的思路（可以不．．．写出计算结果．．．．．．）． C 类

1．已知：4PA PB =

=，以AB 为一边做正方形ABCD ，使P 、D

两点落在直线AB 的两侧。

（1）如图，当45APB ∠=时，求AB 及PD 的长

（2）当APB ∠变化， 且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应的APB ∠的大小

方法总结：手拉手辅助线构造方法：