高中导数教案
高中导数教案
教学目标：让学生理解导数的概念、性质和计算方法，并能够应用导数解决一些实际问题。
教学重点：导数的定义及其计算方法。
教学难点：理解导数的概念和性质。
教学准备：教师准备好课件、教材、黑板、笔等教学工具。
教学过程：
步骤一：导入导数的概念
1. 教师通过提问激发学生对导数的认识，例如“在日常生活中你们见到过什么与速度有关的例子？”学生可以举例讨论，如车辆行驶的速度、物体下落的速度等。
2. 引导学生思考这些速度的变化过程，及变化率的意义。
步骤二：导数的定义
1. 引导学生通过观察速度变化的过程，认识到速度的变化率就是速度的导数。
2. 教师提出导数的定义：“函数f(x)在点x=a处的导数，定义为函数在该点处的变化率。”
3. 通过示例让学生理解导数的定义：例如f(x) = x²，求x=2处的导数。
步骤三：导数的计算方法
1. 通过示例教学，引导学生了解导数的计算方法，如常数函数的导数为0，幂函数的导数等。
2. 进一步教授导数法则和求导法则，让学生能够独立计算函数的导数。
步骤四：导数的性质
1. 引导学生发现导数的性质，如导数与函数的图形关系、导数与原函数的关系等。
2. 让学生通过练习题来巩固导数的性质和计算方法。
步骤五：应用导数解决实际问题
1. 通过实际问题，引导学生应用导数来求解，如求函数的极大值、极小值等。
2. 鼓励学生积极参与讨论，思考并解决问题。
步骤六：总结和评价
1. 教师对本节课的教学内容进行总结回顾，强调导数的概念、性质和计算方法。
2. 学生对本节课的收获和问题进行讨论和反思，教师适时进行评价和点评。
步骤七：作业布置
1. 布置练习题，巩固学生对导数的理解和计算。
2. 鼓励学生进行综合运用，解决一些较为复杂的导数问题。
教学反思：
导数是高中数学的重要内容，学生需要通过理论学习和实践应
用来加深对导数的认识。在教学中，教师需要结合实际问题，引导学生进行思考和讨论，培养学生的分析和解决问题的能力。同时，教师也应该及时记录学生的学习情况和反馈，及时调整教学策略，提高教学效果。
学新教材高中数学导数及其应用导数导数及其几何意义教案新人教B版选择性必修第三册
6.１．２导数及其几何意义 学 习目标核心素养 １．理解瞬时变化率、导数的概念．（重点、难点）２．理解导数的几何意义．（重点、难点） ３．会用导数的定义及几何意义求曲线在某点处的切线方程．（易混点）１．借助瞬时变化率的学习，培养数学抽象的素养． ２．通过导数的几何意义，提升直观想象的素养. 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h时，原油的温度（单位：℃）为y＝f（x）＝x２—7x＋１５（0≤x≤8）．你能计算出第２h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义吗？ １．瞬时变化率与导数 （１）瞬时变化率： 一般地，设函数y＝f（x）在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率错误!＝错误!无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率．简记为：当Δx→0时，错误!→k或错误!错误!＝k. （２）导数 １f（x）在x0处的导数记作f′（x0）； ２f′（x0）＝错误!错误!. 拓展：导数定义的理解 （１）函数应在x0处的附近有定义，否则导数不存在． （２）在极限式中，Δx趋近于0且Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正、可负，但不能为0．当Δx>0（或Δx<0）时，Δx→0表示x0＋Δx从右边（或从左边）趋近于x0. （３）函数在一点处的导数就是在该点附近的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是个常数，不是变量．
２．导数的几何意义 （１）割线的斜率 已知y＝f（x）图像上两点A（x0，f（x0）），B（x0＋Δx，f（x0＋Δx）），过A，B两点割线的斜率是错误!＝错误!，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率． （２）导数的几何意义 曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数f′（x0）的几何意义为曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率． （３）曲线的切线方程 曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程是y—f（x0）＝f′（x0）（x—x0）． １．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”） （１）函数y＝f（x）在某点处的导数是一个变量．（） （２）瞬时变化率是刻画某函数在区间[x１，x２]上函数值变化快慢的物理量． （）（３）直线与曲线相切，则直线与已知曲线有且只有一个公共点．（） （４）若函数y＝f（x）在某点处可导，则在该点处一定有切线，反之也成立． （）[答案] （１）×（２）×（３）×（４）× ２．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，那么这个函数的图像是（） Ａ．圆Ｂ．抛物线 Ｃ．椭圆Ｄ．直线 D[结合导数的几何意义可知，该函数的图像是平行或重合于x轴的直线，故选Ｄ．] ３．已知曲线y＝f（x）在点（１，f（１））处的切线方程为２x—y＋２＝0，则f′（１）＝________. ２[由导数的几何意义可知f′（１）＝２．] ４．质点M的运动规律为S＝４t２，则质点M在t＝１时的瞬时速度为________． 8 [ΔS＝S（１＋Δt）—S（１）＝４（１＋Δt）２—４＝４（Δt）２＋8（Δt），
高中数学教案：导数与微积分的引入
高中数学教案：导数与微积分的引入 一、导数的引入 在高中数学中，导数是微积分的重要概念之一。导数的引入帮助学生更好地理 解函数的变化规律，掌握函数的变化速率。本教案将介绍导数的引入过程，帮助学生深入理解导数的概念与意义。 1.1 函数的变化 在介绍导数之前，首先需要引导学生思考函数的变化。函数是一种映射关系， 描述了自变量和因变量之间的关系。当自变量发生变化时，函数的值也会随之变化。例如，在描述球的运动时，时间是自变量，球的位置是因变量。掌握函数的变化规律，能够更好地理解事物的变化趋势。 1.2 平均变化率 了解函数变化的基本概念后，引入平均变化率的概念。平均变化率表示在给定 区间内因变量的增量与自变量的增量之比。数学上，平均变化率可以用以下公式表示： 平均变化率 = (函数的增量) / (自变量的增量) 通过计算平均变化率，可以了解函数在一个区间内的平均变化情况。 1.3 导数的引入 引导学生思考在一个点上的瞬时变化率。瞬时变化率可以看作函数在某个点上 的变化速率。为了找到这个瞬时变化率，我们可以考虑取自变量增量无限趋近于零的情况。在数学中，我们称这个瞬时变化率为导数。导数的定义可以用以下公式表示： 导数 = 极限[(函数的增量) / (自变量的增量)]
通过引入导数的概念，我们可以更准确地衡量函数在某个点上的变化速率，深 入探讨函数的特性与行为。 二、微积分的引入 微积分是导数的理论基础，也是高中数学中的重要内容之一。通过引入微积分 的概念，帮助学生理解导数与微积分的关系，并为后续学习奠定基础。 2.1 积分与导数的关系 在介绍微积分之前，首先引导学生回顾导数的概念与求导的方法。导数可以被 看作函数变化率的度量，而积分则是导数的逆运算。导数与积分之间存在紧密的关系，两者互为逆运算。 2.2 定积分的引入 引导学生思考一个自变量在一个区间内的变化情况。我们可以将该区间分成若 干小区间，并在每个小区间内计算变化的量。然后，将这些变化的量相加，得到整个区间的变化情况。这个求和过程就是定积分。 定积分可以用以下公式表示： 定积分 = 极限[Σ(函数的变化量) * (自变量的增量)] 通过引入定积分的概念，我们可以更准确地描述函数在一个区间内的变化情况，并计算出具体的变化量。 2.3 微分与积分的关系 引导学生思考微分与积分的关系。微分可以看作是在一个点上的线性近似，而 积分则是通过微小的无穷小量的累加得到的。 微分与积分之间的关系可以总结为以下定理： 微分定理：函数在一个点上的微分等于函数的导数乘以自变量的微小增量。
沪教版高中数学导数的基本性质与应用教案2023
沪教版高中数学导数的基本性质与应用教案 2023 一、导数的定义及性质 导数是微积分中的重要概念，它刻画了函数在某一点上的变化率。在高中数学中，我们主要关注导数的定义及其一些基本性质，以及它 在实际问题中的应用。 1. 导数的定义 在函数f(x)的定义域内，如果极限lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)存在，那么这个极限值就是函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)。导数 的定义可以用极限的形式进行表示。 2. 导数的几何意义 导数可以被理解为函数曲线在某一点的切线斜率。具体来说，如 果一个函数在某一点处的导数为正，那么函数在该点附近的图像呈现 上升的趋势；如果导数为负，函数图像呈现下降的趋势；而导数为零，则表明函数在该点处有极值点。 3. 导数的基本性质 - 导函数存在性：如果函数f(x)在某一点具有导数，那么称f(x)在 该点可导。 - 常数导数性质：如果函数f(x)是常数函数，则其导数恒为0。
- 线性性质：设函数f(x)和g(x)都在点x0处有导数，那么 [f(x)+g(x)]' = f'(x0) + g'(x0)。 - 乘法法则：若函数f(x)和g(x)分别在点x0处可导，则[f(x)g(x)]' = f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0)。 - 除法法则：若函数f(x)在点x0处可导，且g(x0)≠0，那么函数 h(x)=[f(x)/g(x)]在x0处可导，且[h(x)]' = [f'(x0)g(x0) - f(x0)g'(x0)] / [g(x0)]^2。 二、导数的应用 导数在实际问题中的应用广泛，包括但不限于函数的极值、函数图像的描绘以及最优化问题等。 1. 极值问题 函数导数的性质使得我们能够找到函数的极值点。根据极值点的判定条件，我们可以通过求函数的导数，进而找到函数的极大值和极小值。这种方法在经济学、物理学以及管理学等各个领域都得到了广泛的应用。 2. 函数图像的描绘 通过分析函数的导数，我们能够描绘函数的图像特征。特别地，导数的正负性能够帮助我们确定函数的增减区间，进而得到函数的凸凹性以及拐点的位置。这些信息对于我们理解函数的整体走势非常有帮助。
高中数学《导数》教案
高中数学《导数》教案 一、教学目标 1. 理解导数的概念，能熟练运用导数法则解决实际问题。 2. 掌握基本的微分法则以及其应用，如函数微分法则、极限法则、链式法则等。 3. 能够熟练求解函数的单调性，极值，与相关考试题目。 二、教学重难点 1. 教学重点：理解导数的概念，掌握导数的基本法则，掌握函数的单调性，极值，与相关考试题目。 2. 教学难点：掌握基本的微分法则以及其应用，如函数微分法则、极限法则、链式法则等。 三、教学方法与手段 1. 讲授法：老师以讲授和讲解的形式来指导学生们正确的理解导数的概念，并让学生们能够掌握导数的基本法则。 2. 课堂练习法：老师在讲授完成后，会让学生们进行相应的课堂练习，使学生们能够加深理解，并熟练运用。 3. 实例讨论法：老师准备一些实际问题，让学生们通过讨论得出结论，让学生们能够更加深入理解导数的概念和法则。 四、教学过程 1. 引导学生了解导数的概念：先让学生们明确了解什么是导数，以及什么情况下存在导数。 2. 掌握基本的微分法则：介绍函数微分法则、极限法则、链式法则等基本微分法则，让学生们能够熟练掌握。 3. 求解函数的单调性和极值：让学生们能够熟练求解函数的单
调性和极值，以及应用到实际问题中。 4. 练习题讲解：老师准备一些相关的练习题，让学生们尝试解决，然后结合老师的讲解，使学生们能够更好的理解，应用到实际问题中。 五、教学反思 1. 根据学生的学习水平、学习兴趣来调整教学内容，使学生更加轻松愉快的学习导数课程。 2. 根据学生的反馈，及时调整教学内容，使学生能够更好的理解。 3. 加强教学实践，让学生更加深入的理解导数的概念和应用，使学生能够胜任考试中的各种考题。
导数的概念及其意义的单元教学设计-高中数学人教版选择性必修第二册
“导数的概念及其意义”单元教学设计 一、内容和及其解析 （一）内容 导数的概念及其意义。 （二）内容解析 1.内容本质： 按照概念教学的基本环节（引入、明确、巩固、应用），本单元引导学生经历4次由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程： 过程1 物理学中由平均速度过渡到瞬时速度的过程——典型实例分析； 过程2 几何学中特殊曲线由割线过渡到切线、由割线斜率过渡到切线斜率的过程——典型实例分析； 过程3 一般函数y＝f（x）从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程——给出导数的概念； 过程4 一般曲线y＝f（x）由割线过渡到切线、由割线斜率过渡过渡到切线斜率的过程——给出导数的几何意义． 前3个过程的重心是对两个不同类型的典型实例进行属性的分析、比较、综合，概括它们的共同本质特征得到本质属性，进而抽象概括出导数概念——用准确的数学语言表述的导数概念，属于概念教学一般进程中的“概念的形成”和“概念的明确与表示”环节；过程2、过程4是从特殊到一般得到一般切线概念以及导数的几何意义的过程，其中过程4让学生又一次经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，有利于建立多元联系，进一步理解导数的概念．这样多次、反复经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，极大地助力学生初步理解导数的内涵——导数是瞬时变化率 需要特别注意的是，在上述4个过程尤其是过程1和过程2中，还应不断渗透和多次使用“运动变化的观点”、“在局部小范围内以不变代变、以直代曲”等微积分基本思想以及“极限思想”解决问题，这样在抽象概括导数的概念和几何意义时，可以对研究问题思想方法、过程，极限思想和结果形式的一致性等“内容及其蕴含的思想、方法”一并进行适度总结概括；在过程2和过程4中，让学生通过函数图象直观体会 割线逼近切线过程，理解导数的几何意义． 2.蕴含的思想方法 在介绍两个典型实例、导数的概念及其几何意义的过程中，引导学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，不断渗透“用运动变化的观点研究问题”、“逼近（极限）”、“以直代曲”等微积分
第五章 一元函数的导数及其应用(导数在三次函数中的应用)教案 数学人教A版(2019)选择性必修二
第五章 一元函数的导数及其应用（导数在三次函数中的应用）教案 高二下学期数学人教A 版（2019）选择性必修第二册 一.教学内容分析 三次函数 是高中数学利用导数研究函数单调性、极值、 最值等内容的一个重要载体，是应用二次函数图像和性质的重要素材.本节课是要归纳出一 元三次函数的单调性的两种情况，一种是在整个定义域内是单调的，一种是在整个定义域内 有三个单调区间。 二．学生学习情况分析 学生已经学习了导数在研究函数单调性及其极（最）值的应用，掌握了利用导数求函数单调 区间、求极值最值、求切线方程，求参数取值范围的一般方法. 三．教学目标 一是利用导数研究函数的单调性，二是用导数研究函数的极（最）值，以三次函数为载体， 掌握利用导数研究三次函数单调性，求极值最值 四．教学重点与难点 教学重点：用导数解决三次函数的单调性、极值最值、切线方程等问题 教学难点：分类讨论,数形结合，化归思想在解决问题中的综合应用 五．教学过程 一、课前练习 1.3()31=--f x x x 的单调递减区间为 2. 322()3=+++f x x ax bx a 在1=-x 时有极值0，则-=a b 3. 3()1=--f x x ax 在(2,)-+∞上既有极大值又有极小值，则a 的取值范围是 4. 3 ()3=-+f x x x a 有三个零点，则a 的取值范围
32()0f x ax bx cx d a =+++>（）类似于二次函数的图像和性质表： 232(0）=++>ax bx c a 二、问题分析 ③f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞),单 调递减区间为(0,2); ④f(0)=0是极大值,f(2)=-4是极小值. 其中正确的命题有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 032>-ac b 032≤-ac b 图像 ()0 f x =根的个 数 与x 轴 的交点 单调性 极值 类型一 求函数的极值 【典例1】(1)对于函数f(x)=x 3-3x 2,给出命题: ①f(x)是增函数,无极值; ②f(x)是减函数,无极值;
高中数学教案三角函数的导数与微分
高中数学教案三角函数的导数与微分高中数学教案：三角函数的导数与微分 一、导言 在高中数学学科中，三角函数是一个重要的内容。学习三角函数的导数与微分，可以帮助学生深入理解三角函数的性质，并为后续的微积分学习打下坚实的基础。本教案将详细介绍三角函数的导数与微分的相关概念、性质和求解方法。 二、导数与微分的基本概念 1. 导数的定义 导数是函数在某一点上的变化率，可以表示为函数的极限。 2. 微分的定义 微分是函数在某一点附近的近似线性近似。 三、三角函数的导数与微分 1. 正弦函数的导数与微分 a. 导数的定义：求解正弦函数导数的极限表达式。 b. 微分的定义：推导正弦函数微分的近似线性近似表达式。 2. 余弦函数的导数与微分 a. 导数的定义：求解余弦函数导数的极限表达式。
b. 微分的定义：推导余弦函数微分的近似线性近似表达式。 3. 正切函数的导数与微分 a. 导数的定义：求解正切函数导数的极限表达式。 b. 微分的定义：推导正切函数微分的近似线性近似表达式。 四、三角函数导数的性质 1. 正弦函数导数的性质 a. 周期性：导数为周期函数。 b. 复合函数：导数的复合函数性质。 2. 余弦函数导数的性质 a. 周期性：导数为周期函数。 b. 复合函数：导数的复合函数性质。 3. 正切函数导数的性质 a. 周期性：导数为周期函数。 b. 复合函数：导数的复合函数性质。 五、三角函数导数的求解技巧 1. 使用导数定义求解 a. 利用导数定义求解三角函数的导数。
b. 利用导数定义求解三角函数的微分。 2. 利用导数的性质求解 a. 利用正弦函数导数的性质求解相关问题。 b. 利用余弦函数导数的性质求解相关问题。 c. 利用正切函数导数的性质求解相关问题。 六、综合应用示例 在教学中，通过综合应用示例，让学生能够将所学的知识应用于实际问题的求解和分析中。例如，通过求解特定函数的导数与微分，解决相关几何问题、物理问题等。 七、总结 三角函数的导数与微分是高中数学中的重要内容，掌握好导数的概念、性质和求解技巧，对学生的数学学习和思维能力的培养具有重要意义。通过本教案的学习，相信学生能够对三角函数的导数与微分有更加全面和深入的理解。 八、教学反思 作为教师，我们应该根据教学内容的难易程度，采用不同的教学方法和策略，引导学生主动思考和独立解决问题。同时，应根据学生的学习情况和兴趣，设计多样化的教学活动，提高学生的学习主动性和参与度。
高二导数教案
高二导数教案 一、教学目标 •了解导数的定义与基本性质 •掌握常见函数的导数计算方法 •能够应用导数解决实际问题 二、教学内容 1. 导数的定义与基本性质 •导数的几何意义 •导数的物理意义 •导数的定义式 •导数的基本性质 2. 常见函数的导数计算方法 •常数函数 •幂函数 •指数函数 •对数函数 •三角函数 •反三角函数 3. 导数运算法则 •和差法则 •乘法法则 •高阶导数计算 •链式法则 4. 应用导数解决实际问题 •函数的极值与最值 •函数的单调性与凹凸性 •方程的近似解 •弹簧的问题 •推箱子问题
三、教学方法 1. 演讲教学法 通过讲解导数的定义、性质和计算方法，梳理知识点的逻辑关系，使学生对导数有整体的认识。 2. 实例分析法 通过分析和解决实际问题的示例，培养学生应用导数解决实际问题的能力。 3. 讨论互动法 在教学过程中适时引入思考问题，让学生积极参与讨论，加深对知识的理解。 四、教学过程 1. 导数的定义与基本性质 •导数的几何意义：切线斜率 •导数的物理意义：速度与加速度 •导数的定义式：$f'(x) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(x+\\Delta x)-f(x)}{\\Delta x}$ •导数的基本性质：加法法则、常数倍法则、乘法法则 2. 常见函数的导数计算方法 •常数函数：f(x)=C导数为f′(x)=0 •幂函数：f(x)=x n导数为 $f'(x) = n \\cdot x^{n-1}$ •指数函数：f(x)=a x导数为 $f'(x) = a^x \\cdot \\ln a$ •对数函数：$f(x) = \\log_a(x)$ 导数为 $f'(x) = \\frac{1}{x \\cdot \\ln a}$ •三角函数：$f(x) = \\sin x$ 导数为 $f'(x) = \\cos x$ •反三角函数：$f(x) = \\arcsin x$ 导数为 $f'(x) = \\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$ 3. 导数运算法则 •和差法则：$(u \\pm v)' = u' \\pm v'$ •乘法法则：$(u \\cdot v)' = u' \\cdot v + u \\cdot v'$ •高阶导数计算：f″(x)表示f′(x)的导数，f″(x)称为f(x)的二阶导数 •链式法则：$h = f \\circ g$ 时，$h'(x) = f'(g(x)) \\cdot g'(x)$
导数的教学设计
导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法是人类智慧的骄傲. 一、教材分析 导数的概念是高中新教材人教A版选修1-1第三章3.1.2的内容,是在学生学习了平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。 新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。 问题1气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率 问题2高台跳水的平均速度--→瞬时速度 根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点 二、教学目标 1、知识与技能： 通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。 2、过程与方法： ①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力 ②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从非凡到一般的数学思想方法
3、情感、态度与价值观： 通过运动的观点体会导数的内涵，使学生把握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的爱好. 三、重点、难点 重点：导数概念的形成，导数内涵的理解 难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵 通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点 四、教学设想（具体如下表） 教学环节教学内容师生互动设计思路创设情境引入新课幻灯片回顾上节课留下的思考题：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位： s）存在函数关系h（t）=－4.9t2＋6.5t＋10.计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？首先回顾上节课留下的思考题：在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。为什么会产生这样的情况呢？引起学生的好奇，意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。使学生带着问题走进课堂，激发学生求知欲初步探索、展示内涵根据学生的认知水平,概念的形成分了两个层次： 结合跳水问题，明确瞬时速度的定义 问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？提出问题一，组织学生讨论，引导他们自然地想到选取一个具体时刻如t=2，研究它四周的平均速度变化情况来寻找到问题的思路，使抽象问题具体化理解导数的内涵是本节课的教学重难点，通过层层设疑，把学生推向问题的中心，让学生动手操作，直观感受来突出重点、突破难点根
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.3 导数的几何意义》优质课教案_7
导数的几何意义 一、教材分析： 1、地位和作用： 《导数的几何意义》是一节新知概念课，内容选自于选修1－1中第§3．1．3节，是在学生学习了平均变化率，瞬时变化率，及用瞬时变化率定义导数基础上，进一步从几何意义的基础上认识导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容。 《导数的几何意义》还是下位内容——常见函数导数的计算，导数在研究函数中的应用的基础．因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用，是本章的关键内容，也是高考中的一个常见考点。 2、教学目标的拟定： 【知识与技能】 （1）概括曲线的切线定义，明确导数的几何意义及应用； （2）培养观察、分析、合作、归纳与应用（知识与思想方法）等方面的能力 【过程与方法】 （1）由问题引发认知冲突，引导学生经历割线“逼近”切线的过程，推广切线的定义； （2）利用几何画板直观展示知识发生的过程，帮助学生寻找导数的几何意义； 【情感态度价值观】 （1）通过对切线定义的探究，培养学生严谨的科学态度； （2）通过渗透无限“逼近”的思想，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系。 （3）利用“以直代曲”的近似替代的方法，培养学生分析问题解决问题的习惯，初步体会发现问题的乐趣 3、教学重点、难点 重点：导数的几何意义及应用 难点：对导数几何意义的推导过程 二、学情分析 1、从认知上看，学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变化率来刻画现实问题的过程，知道瞬时变化率就是导数，体会了导数的思想和实际背景，但这些都是建立在“代数”的基础上的，学生也渴求寻找导数的另一种体现形式——图形。学生对曲线的切线有一定的认识，特别是对抛物线的切线的概念在学习圆锥曲线与直线关系时有很深的与认识． 2、从能力上看，通过一年多的高中学习，学生积累了一定的探究问题的经验，具有一定的想象能力和研究问题的能力． 3、从学习心理上看，学生已经从“公共点个数”方面知道了圆锥曲线切线的含义，当然在思维方面，也形成了定势：“直线与曲线相切，直线与切线只有一个公共点”。在本节中，我们在概念上不是从公共点上定义切线，而是由割线的逼近来定义曲线的切线，把曲线的切线上升到新的思维层面上，以此激发学生的好奇心和思维的兴奋点。 三、教法： 1、采用“DJP学案”教学模式：运用了“探究+小组合作”的教学方法，将全班学生分为6小组，并分配给他们相应任务，让学生亲身经历“实验、探究、论证、应用”的过程，体验从特殊到一般的认知规律，增强学生的参与和责任意识，教给学生获取知识的途径和思考问题的方法，使学生真正成为教育的主体。 2、利用多媒体辅助教学：通过几何画板的动态演示，让学生直观感受无限“逼近”的思想方法，这能使学生更好的明确导数的几何意义，有利于难点的突破． 四．学法指导： 采用“学案”教学，让学生学会： 1、实验观察：利用几何画板的几何直观与数值计算功能，感知曲线的切线的定义和导数的几何意义； 2、反思探究：明确曲线的切线的逼近定义的科学性； 3、小组合作：激活学生的思维，经历用导数几何意义进行定性分析； 4、思想渗透：借助几何画板局部放大的直观性，学生直观体会“以直代曲”“无限逼近”的数学思想． 五、教学过程
5.1.2 导数的概念及其几何意义教案2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
5.1.2 导数的概念及其几何意义 教学设计 一、教学目标 1.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景. 2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 3.根据导数的几何意义，会用导数的概念求简单函数在某点处的导数及曲线的切线方程. 二、教学重难点 1、教学重点 平均变化率的概念及求法、利用导数概念求导数、导数的几何意义及其应用. 2、教学难点 导数概念及其几何意义的理解和应用. 三、教学过程 1、新课导入 在上节课的学习中，我们研究了平均速度和瞬时速度的物理问题，以及割线斜率和切线斜率的几何问题，在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法，这节课我们就来探究一下平均变化率、导数的概念及其几何意义. 2、探索新知 一、平均变化率的概念 对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +∆，相应地，函数值y 就从0()f x 变化到0(Δ)f x x +. 这时，x 的变化量为Δx ，y 的变化量为00Δ(Δ)()y f x x f x =+-. 我们把比值ΔΔy x ，即00(Δ)()ΔΔΔf x x f x y x x +-=叫做函数()y f x =从0x 到0x x +∆的平均变化率. 二、瞬时变化率（导数）的概念 如果当Δ0x →时，平均变化率 ΔΔy x 无限趋近于一个确定的值，即ΔΔy x 有极限，则称()y f x =在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做()y f x =在0x x =处的导数（也称为瞬时 变化率），记作0()f x '或0 x x y ='，即000Δ0Δ0Δ()Δ()lim lim ()ΔΔx x f x x f x y f x x x →→+-=='. 三、求函数在0x x =处的导数（瞬时变化率） 例1 设1 ()f x x = ，求(1)f '. 解：Δ0Δ0Δ01 1 (1Δ)(1)11Δ(1)lim lim lim 1ΔΔ1Δx x x f x f x f x x x →→→-+-⎛⎫+===-=- ⎪+⎝⎭ '. 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 已
高二导数教案
高二导数教案 高二导数教案 作为一名辛苦耕耘的教育工作者，时常需要用到教案，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。我们该怎么去写教案呢？以下是帮大家整理的高二导数教案，希望对大家有所帮助。 高二导数教案1 【课题】导数与函数的单调性 【教材】北京师范大学出版社《数学》选修1-1 【教材分析】 “导数与函数的单调性”是北师大版普通高中课程标准实验教科书数学选修1－1第四章《导数应用》第一节的内容。本节的教学内容是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础。 函数的单调性是函数极为重要的性质。在高一学生利用函数单调性的定义、函数的图像来判断函数的单调性，通过本节课学习，利用导数来判断函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。同时，为下一节学习利用导数研究函数的极值、最值有重要的帮助。因此，学习本节内容具有承上启下的作用。 【学生学情分析】 由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言），充分体现了导数解决问题的优越性。虽然函数单调性的概念在高一学过，但现在可能已忘记；因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是学生刚学习的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点。 【教学目标】 1.知识与能力： 会利用导数解决函数的单调性及单调区间。 2.过程与方法： 通过利用导数研究单调性问题的探索过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。 3.情感态度与价值观： 通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，同时通过学生动手、观察、思考、总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。通过导数研究单调性的步骤的形成和使用，使得学生认识到利用导数解决一些函数（尤其是三次、三次以上的多项式函数）的问题，因而认识到导数的实用价值。 【教学重点和难点】 对于本节课学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由特殊到一般、数到形、直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。 教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。 教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。 【教学设计思路】 现代教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本节可从单调性与导数的关系的发现到
高中数学选择性必修二 5 1 2导数的概念及其几何意义 教案
导数的概念及其几何意义教学设计
一般地，f′(x0)(0≤x0≤8)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况. 例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度（单位：m/s）为y=v(t)=−t2+ 6t+60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义. 分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率，因此，在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为v′(2 ),v′(6 ). 解：在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为v′(2 )和 v′(6 ). 根据导数的定义， ∆y ∆t =v(2+∆t)−v(2) ∆t = −(2+∆t)2+6(2+∆t)+60−(−22+6×2+60) ∆t =−∆t+3,所以 v′(2 )=lim ∆t→0∆y ∆t =lim ∆t→0 (−∆t+2)=2 同理可得v′(6 )=−6 在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别2 m/s2与−6 m/s2. 说明在第2 s附近，汽车的速度每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s . 思考 观察函数y=f (x)的图象（图5.1-3），
平均变化率 ∆y ∆x = f(x0+∆x)−f(x0) ∆x 表示什么？瞬时变化率 f′(x0)=lim ∆x→0∆y ∆x =lim ∆x→0 f(x0+∆x)−f(x0) ∆x 表示什么？ 提示：平均变化率 ∆y ∆x = f(x0+∆x)−f(x0) ∆x 表示割线P0P的斜率. 如图5.1-4， 在曲线y=f (x)上任取一点P (x , f (x))， 如果当点P (x , f (x))沿曲线y=f (x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f (x)在点P0处的切线. 易知，割线P0P的斜率 k=f(x)−f(x0) x−x0 记∆x=x−x0，当点P沿着曲线y=f (x)无限趋近于点P0时，即当∆x→0时，k无限趋近于函数y=f (x)在x=x0处的导数. 因此，函数y=f (x)在x=x0处的导数f′(x0 )（即瞬时变化率），就是切线P0T的斜率k0，
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 导数的概念教案 新人教A版选修2-2(2021年整理)
江苏省苏州市高中数学第一章导数及其应用1.1.2 导数的概念教案新人教A版选修2-2 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省苏州市高中数学第一章导数及其应用1.1.2 导数的概念教案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省苏州市高中数学第一章导数及其应用1.1.2 导数的概念教案新人教A版选修2-2的全部内容。
导数的概念 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时． 教学内容分析 1．导数的地位、作用 导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时,导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具。 2．本课内容剖析 教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因,一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想,这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面,函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数． 基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型,并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．
人教版高中数学《导数》全部教案
导数的背景（5月4日） 教学目标理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点极限思想 教学过程 一、导入新课 1.瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是（其中g是重力加速度）. 当时间增量很小时，从3秒到（3＋）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大.因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到（3＋）秒这段时间内位移的增量： 从而，. 从上式可以看出，越小，越接近29.4米/秒；当无限趋近于0时，无限趋近于29.4米/秒.此时我们说，当趋向于0时，的极限是29.4. 当趋向于0时，平均速度的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度. 一般地，设物体的运动规律是s＝s（t），则物体在t到（t＋）这段时间内的平均速度为.如果无限趋近于0时，无限趋近于某个常数a，就说当趋向于0时，的极限为a，这时a就是物体在时刻t的瞬时速度. 2.切线的斜率 问题2：P（1,1）是曲线上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况. 析：设点Q的横坐标为1＋，则点Q的纵坐标为（1＋）2，点Q对于点P的纵坐标的增量（即函数的增量）， 所以，割线PQ的斜率. 由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，变得越来越小，越来越接近2；当点Q无限接近于点P时，即无限趋近于0时，无限趋近于2.这表明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线.我们把这条直线叫做曲线在点P处的
切线.由点斜式，这条切线的方程为：. 一般地，已知函数的图象是曲线C，P（），Q（）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.当点Q沿着曲线无限接近点P，即趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.此时，割线PQ的斜率无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当趋向于0时，割线PQ的斜率的极限为k. 3.边际成本 问题3：设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关系式为，我们来研究当q ＝50时，产量变化对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：. 产量变化对成本的影响可用：来刻划，越小，越接近300；当无限趋近于0时，无限趋近于300，我们就说当趋向于0时，的极限是300. 我们把的极限300叫做当q＝50时的边际成本. 一般地，设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），当产量为时，产量变化对成本的影响可用增量比刻划.如果无限趋近于0时，无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本.它表明当产量为时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）. 二、小结 瞬时速度是平均速度当趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率当趋近于0时的极限；边际成本是平均成本当趋近于0时的极限. 三、练习与作业： 1.某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s）求它在t＝2s时的速度. 2.判断曲线在点P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3.已知成本C与产量q的函数关系式为，求当产量q＝80时的边际成本. 4.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单 位：s）之间的函数关系为，求t＝4s时此球在垂直方向的瞬时速度.