平行四边形经典证明题例题讲解

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经纬教育 平行四边形证明题 经典例题（附带详细答案）

1．如图，E F 、是平行四边形

ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，

求证：AF CE =．

【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =， ACB CAD ∴∠=∠． 又BE DF ∥，

BEC DFA ∴∠=∠， BEC DFA ∴△≌△，

∴CE AF =

2．如图6，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ，

，

求四边形ABCD 的周长． 【答案】20、

解法一: ∵

∴

又∵

∴

∴∥即得是平行四边形

∴

∴四边形的周长

解法二:

3 ,6==AB BC AB CD ∥?=∠+∠180C B B D ∠=∠?=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=D

C

A

B

E F

A

D C

B

连接

∵

∴

又∵

∴≌

∴

∴四边形的周长解法三:

连接

∵

∴

又∵

∴

∴∥即是平行四边形

∴

∴四边形的周长

3.（在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C

的大小．

【关键词】多边形的内角和

【答案】设x

A=

∠（度），则20

+

=

∠x

B，x

C2

=

∠．

根据四边形内角和定理得，360

60

2

)

20

(=

+

+

+

+x

x

x．

解得，70

=

x．

∴?

=

∠70

A，?

=

∠90

B，?

=

∠140

C．

4．（如图，E F

，是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF CE DF BE DF BE

==

，，∥．

AC

AB CD

∥

DCA

BAC∠

=

∠

B D A

C CA

∠=∠=

，

ABC

△CDA

△

36

AB CD BC AD

====

，

ABCD18

3

2

6

2=

?

+

?

=

BD

AB CD

∥

CDB

ABD∠

=

∠

ABC CDA

∠=∠

ADB

CBD∠

=

∠

AD BC ABCD

36

AB CD BC AD

====

，

ABCD18

3

2

6

2=

?

+

?

=

A D

C

B

A D

C

B

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1 / 1

求证：（1）AFD CEB △≌△． （2）四边形

ABCD 是平行四边形．

【关键词】平行四边形的性质,判定 【答案】证明：（1）

DF BE ∥，DFE BEF ∴∠=∠．180AFD DFE ∠+∠=°，180CEB BEF ∠+∠=°，AFD CEB ∴∠=∠．又AF CE DF BE ==，，

AFD CEB ∴△≌△(SAS)．

（2）由（1）知AFD CEB △≌△，DAC BCA AD BC ∴∠=∠=，，AD BC ∴∥．

∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

5．）25．如图13-1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，

且

AE EF ⊥，2BE =.

（1）求EC ∶CF 的值；

（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点（如图13-2），试判断AE EP 与的大小关系，

并说明理由；

（3）在图13-2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

【关键词】平行四边形的判定

【答案】解：（1）

AE EF ⊥

2390∴∠+∠=°

四边形ABCD 为正方形

90B C ∴∠=∠=°

1390∴∠+∠=° 12∠=∠

A

B

D

E

F

C

A

D

C

B

E

B

C

E

D

A F P

F

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90DAM ABE DA AB ∠=∠==°， DAM ABE ∴△≌△ DM AE ∴=

AE EP =

DM PE ∴=

∴四边形DMEP 是平行四边形．

解法②：在

AB 边上存在一点M ，使四边形DMEP 是平行四边形

证明：在

AB 边上取一点M ，使AM BE =，连接ME 、MD 、DP ．

90AD BA DAM ABE =∠=∠=，° Rt Rt DAM ABE ∴△≌△

14DM AE ∴=∠=∠，

1590∠+∠=°

4590∴∠+∠=°

AE DM ∴⊥

AE EP ⊥

DM EP ∴⊥

∴四边形DMEP 为平行四边形

6．（2009年广州市）如图9，在ΔABC 中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点。 证明：四边形DECF 是平行四边形。

【关键词】平行四边形的判定

【答案】∵D.E 、F 分别为AB.BC.CA 的中点，

∴DF ∥BC ，DE ∥AC ， ∴四边形DECF 是平行四边形.

B

C

E

D

A

F

P

5

4

1

M

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7．（2009年包头）已知二次函数

2y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过点(10)A ，，(20)B ，，

(02)C -，，直线x m =（2m >）与x 轴交于点D ．

（1）求二次函数的解析式； （2）在直线x

m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）

； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？

若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由．

【关键词】二次函数、相似三角形、运动变化、抛物线

解：（1）根据题意，得04202.a b c a b c c ++=??

++=??=-?

，，

解得132a b c =-==-，，．

232y x x ∴=-+-．

（2）当EDB AOC △∽△时，

得

AO CO ED BD =或AO CO

BD ED

=

， ∵

122AO CO BD m ===-，，，

当

AO CO ED BD =时，得12

2ED m =

-， ∴2

2

m ED

-=， ∵点E 在第四象限，∴122m E m -??

??

?

，

． y

x

O y

x

O

B

A D

C

(x =m )

(F 2)F 1 E 1 (E 2)

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当

AO CO BD ED =时，得12

2m ED

=

-，∴24ED m =-， ∵点E 在第四象限，∴2(42)E m m -，

． （3）假设抛物线上存在一点F ，使得四边形

ABEF 为平行四边形，则

1EF AB ==，点F 的横坐标为1m -，

当点1E 的坐标为22m m -?

? ???，

时，点1F 的坐标为212m m -?

?- ??

?，，

∵点1F 在抛物线的图象上，

∴

22(1)3(1)22

m

m m -=--+--， ∴2

211140m m -+=，

∴(27)(2)0m m --=，

∴7

22

m m =

=，（舍去）

， ∴15324F ??

- ??

?，， ∴33

144

ABEF

S

=?

=． 当点2E 的坐标为(42)m m -，时，点2F 的坐标为(142)m m --，，

∵点2F 在抛物线的图象上，

∴2

42(1)

3(1)2m m m -=--+--，

∴2

7100m

m -+=，

∴(2)(5)0m m --=，∴2m =（舍去），5m =，

∴2(46)F -，

， ∴166ABEF

S

=?=．

注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分． 8．（2009年莆田）已知：如图在

ABCD 中，过对角线BD 的中点O 作直线EF 分别交DA

的延长线、AB 、DC 、BC 的延长线于点E 、M 、N 、F 。

（1）观察图形并找出一对全等三角形：△________≌△____________，请加以证明；

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（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换

得到？

【关键词】四边形、全等三角形、变换

（1）DOE BOF ①△≌△；

证明：∵四边形

ABCD 是平行四边形

∴AD BC ∥

∴EDO FBO E F ∠=∠∠=∠，

又∵OD OB = ∴()DOE BOF

AAS △≌△

BOM DON ②△≌△

证明：∵四边形

ABCD 是平行四边形

∴AB CD ∥

∴MBO NDO BMO DNO ∠=∠∠=∠，

又∵BO DO =

∴()BOM

DON AAS △≌△

ABD CDB ③△≌△；

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形

∴AD CB AB CD ==，

又∵BD DB = ∴()ABD CDB

SSS △≌△

（2）绕点O 旋转180°后得到或以点O 为中心作对称变换得到．

8分

9．(2009年温州)在所给的9×9方格中，每个小正方形的边长都是1．按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．

(1)在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数；(2)在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数．(注：图甲、图乙在答题纸上)

【关键词】平行四边形的性质，判定 【答案】解：（1）

E

B M O

D N

F C

A E

B

M

O

D

N

F

C

A

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（2）

10．（2009年中山）在ABCD 中，10AB =，AD m =，60D ∠=°，

以

AB 为直径作O ⊙，

（1）求圆心O 到CD 的距离（用含m 的代数式来表示）； （2）当m 取何值时，CD 与O ⊙相切．

【关键词】利用平行四边形证明线段相等

【答案】（1）分别过A O ，两点作

AE CD OF CD ⊥⊥，，垂足分别为点E ，点F ，

AE OF OF ∴∥，就是圆心O 到CD 的距离．

四边形

ABCD 是平行四边形，

AB CD AE OF ∴∴=∥，．

在Rt ADE △中，60sin sin 60AE AE

D D AD AD

∠=∠=

=

°，，°， A

D B

C

O

A

D B

C O

E

F

A

D B

C O

E

F

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333222

AE AE m OF AE m m ====，，， 圆心到CD 的距离PF 为

3

2

m ． （2）

3

2

OF m =，

AB 为O ⊙的直径，且10AB =，

∴当5OF =时，CD 与O ⊙相切于F 点，

即

3103523

m m ==，， ∴当103

3

m =时，CD 与O ⊙相切．

11．(2009年宁德市)（本题满分8分）如图：点A.D.B.E 在同一直线上，AD =BE ，AC =DF ，AC ∥DF ，请从图中找出一个与∠E 相等的角，并加以证明．（不再添加其他的字母与线段）

【关键词】平行四边形的判定

【答案】解法1：图中∠CBA ＝∠E

证明：∵AD ＝BE

∴AD ＋DB ＝BE ＋DB 即AB ＝DE ∵AC ∥DF ∴∠A ＝∠FDE

又∵AC ＝DF

∴△ABC ≌△DEF

∴∠CBA ＝∠E

解法2：图中∠FCB ＝∠E

A F

E D C B

A

F

E D C B

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证明：∵AC ＝DF ，AC ∥DF

∴四边形ADFC 是平行四边形 ∴CF ∥AD ，CF ＝AD

∵AD ＝BE ∴CF ＝BE ，CF ∥BE ∴四边形BEFC 是平行四边形 ∴∠FCB ＝∠E

12．（2009年山东青岛市）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6cm AD =，4cm CD =，

10cm BC BD ==，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（05t <<）．解答下列问题：

（1）当t 为何值时，PE AB ∥？ （2）设PEQ △的面积为

y （cm 2）

，求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使2

25

PEQ BCD S S =

△△？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．

（4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．

【关键词】全等三角形的性质与判定、相似三角形判定和性质、平行四边形有关的计算 【答案】

解：（1）∵PE AB ∥

∴

DE DP

DA DB

=

． 而10DE t DP t ==-，，

∴

10610

t t -=，

∴15

4

t =

． A

E D

Q

P

B

F

C

A E D Q

P

B

F

C

N M

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∴当15

(s)4

t

PE AB =

，∥． （2）∵EF 平行且等于CD ， ∴四边形CDEF 是平行四边形．

∴DEQ C DQE

BDC ∠=∠∠=∠，．

∵10BC BD ==，

∴DEQ C

DQE BDC ∠=∠=∠=∠．

∴DEQ BCD △∽△．

∴

DE EQ

BC CD

=

． 104

t EQ

=

． ∴2

5

EQ

t =． 过B 作BM CD ⊥，交CD 于M ，过P 作PN EF ⊥，交EF 于N ．

BM ====

∵ED DQ BP t ===，

∴102PQ t =-．

又PNQ BMD △∽△，

PQ PN

BD BM

=，

10210t -=，

15t PN ?

=-??

211212255

PEQ t S

EQ PN t ?

=

=??-=+??

△． （3）11

422

BCD

S CD BM =

=??=△ 若2

25

PEQ

BCD S S =

△△，

1 / 1

则有22

25525

-+=?， 解得1

214t t ==，．

（4）在PDE △和FBP △中，

10DE BP t PD BF t PDE FBP PDE FBP ==?

?

==-???∠=∠?

，

，△≌△， ∴PDE PFCDE

PFCD S S S =+△五边形四边形

FBP PFCD S S =+△四边形

BCD S ==△

∴在运动过程中，五边形PFCDE 的面积不变．

13． (2009年达州)如图10，⊙O 的弦AD ∥BC,过点D 的切线交BC 的延长线于点E ，AC ∥DE 交BD 于点H ，DO 及延长线分别交AC.BC 于点G 、F.

(1)求证：DF 垂直平分AC ； （2）求证：FC ＝CE ；

（3）若弦AD ＝5㎝，AC ＝8㎝，求⊙O 的半径.

【关键词】圆,平行四边形,勾股定理 【答案】

（1）∵DE 是⊙O 的切线，且DF 过圆心O

∴DF ⊥DE

又∵AC ∥DE

∴DF ⊥AC

∴DF垂直平分AC

（2）由（1）知：AG=GC

又∵AD∥BC

∴∠DAG=∠FCG

又∵∠AGD=∠CGF

∴△AGD≌△CGF（ASA）

∴AD=FC

∵AD∥BC且AC∥DE

∴四边形ACED是平行四边形

∴AD=CE

∴FC=CE5分

（3）连结AO；∵AG=GC，AC=8cm，∴AG=4cm

在Rt△AGD中，由勾股定理得GD=AD2-AG2=52-42=3cm 设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3

在Rt△AOG中，由勾股定理得AO2=OG2+AG2

有：r2=(r-3)2+42解得r=256

∴⊙O的半径为256cm.

经典例题（附带答案2）

例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？

分析根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数．

解设平行四边形的一个内角的度数为x，则它的邻角的度数为3x，根据题意，得，解得，∴

∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°．

例2 已知：如图，的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长比的周长多8cm，求这个平行四边形各边的长．

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分析由平行四边形对边相等，可知平行四边形周长的一半＝30cm，又由的周长比的周长多8cm，可知cm，由此两式，可求得各边的长．

解∵四边形为平行四边形，∴

，∴

，∴

∴

答：这个平行四边形各边长分别为19cm，11cm，19cm，11cm．

说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半．（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差．

例 3 已知：如图，在中，交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，说明理由．

分析观察图形，，从而可说明

证明在中，交于O，∴

，∴，

∴，∴

例4 已知：如图，点E在矩形ABCD的边BC上，且，垂足为F。求证：

分析观察图形，与都是直角三角形，且锐角

，斜边，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结AE，则与全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。

证明∵四边形ABCD是矩形，∴，∴

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，∴，

又，∴。∴

例5 O是ABCD对角线的交点，的周长为59，，，则________，若与的周长之差为15，则______，ABCD的周长=______.

解答：ABCD中，，.

∴的周长

∴.

在ABCD中，. ∴

的周长－的周长

∴

∴ABCD的周长

说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将与的周长的差转化为两条线段的差.

例6 已知：如图，ABCD的周长是，由钝角顶点D向AB，BC引两条高DE，DF，且，. 求这个平行四边形的面积.

解答：设.

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴.

又∵四边形ABCD的周长为36，∴①

∵，

∴

∴②

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解由①，②组成的方程组，得.

∴.

说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题.

经典例题（附带详细答案3）

例1 （2006年·河北）如图1，平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE、EC的长度分别是（）。

A、2和3

B、3和2

C、4和1

D、1和4

解析：因四边形ABCD是平行四边形，故AD//BC，AD=BC。所以∠DAE=∠BEA。又AE 平分∠BAD，故∠BAE=∠DAE=∠BEA。所以AB=BE=3，CE=5－3=2。故选B。

例2（2006年·枣庄市）如图2，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（）

A、10

B、2

C、1

D、5

解析：因四边形ABCD是平行四边形，故AO=CO，DO=BO，又AC=12，BD=10，则AO=6，BO=5。故6－5

例3（2006年·北京市海淀区）如图3，平行四边形ABCD中，E、F分别是BC和AD

上

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的点，并且BE=DF 。

求证：CDF ABE ???。

证明：因四边形ABCD 是平行四边形，故AB=CD ，∠B=∠D 。又BE=DF ，所以△ABE ≌△CDF （SAS ）。

点评：平行四边形具有以下性质：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③两组对角分别相等；④对角线互相平分。

二、考查平行四边形的判定

例4 （2006年·攀枝花市）如图4，AD=BC ，要使四边形ABCD 是平行四边形，还需补充的一个条件是___________。

解析：可选择AD//BC ，AB=CD ，∠A+∠B=80°，∠C+∠D=180°等条件中的一个。此题是答案不唯一的开放题，所添的条件灵活多样，主要考查平行四边形的判定方法。

例5 如图5，四边形ABCD 中，AB//DC 、E 是BC 的中点，AE 、DC 的延长线相交于点F ，连接AC 、BF 。四边形ABFC 是什么四边形？说明你的理由。

解析：因AB//DC ，故∠CFA=∠BAF 。又E 是BC 的中点，故CE=BE 。又∠CEF=∠BEA ，则△CEF ≌△BEA 。则EF=EA 。故四边形ABFC 是平行四边形。

点评：平行四边形的判定方法有很多：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组

对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。证明四边形是平行四边形，要根据题目所给的条件及图形的特点，选择适当的判定方法。

三、考查性质与判定的综合应用

例6 如图6，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 在BD 上，且BF=DE 。

（1）写出图中所有你认为全等的三角形；

（2）延长AE交BC的延长线于点G，延长CF交DA的延长线于点H（请补全图形），并证

明四边形AGCH是平行四边形。

解析：（1）图中全等的三角形有△ABE≌△CDF，△AED≌△CFB，△ABD≌△CDB。

（2）补全后的图形如图7所示。

因四边形ABCD是平行四边形，故AB//CD，AB=CD，∠ABD=∠CDB。又BF=DE，故

BF+FE=DE+FE，即BE=DF。所以△ABE≌△CDF，故∠AEB=∠DFD，HC//AG。又HA//CG，

故四边形AGCH是平行四边形。

点评：平行四边形是一种重要的四边形，中考中与之相关的试题较多。此题综合考查了平行

四边形的性质、平行四边形的判定及全等三角形等知识。（1）要先找出图中所有的三角形，然后

根据三角形全等的条件及平行四边形的特征进行分析判断。（2）是补图证明题，熟练掌握平行四

边形的判定方法是解题的关键。

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