平行四边形-经典例题

平行四边形

一、 基础知识平行四边形

二、1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。 2、由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三、例题 例1、如图1，平行四边形ABCD 中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E 、F. 求证：∠BAE =∠DCF.

例2、如图2，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE⊥AC 于E ，CF⊥BD 于F. 求证：BE = CF.

例3、已知：如图3，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB = DC ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且BE = 2EA ，

CF = 2FD. 求证：∠BEC =∠CFB.

（图1） B

O A B C D E F （图2）

例4、如图6，E 、F 分别是 ABCD 的AD 、BC 边上的点，且AE = CF. （1

（2）若、N 分别是BE 、DF 的中点，连结MF 、EN ，试判断四边形MFNE 是怎样的四边

形，并证明你的结论.

例5、如图的对角线AC 的垂直平分线与边AD

，BC 分别相交于点E ，F.，求证：四边形AFCE 是菱形.

例6、如图8，四边形ABCD 是平行四边形，O 是它的中心，E 、F 是对角线AC 上的点.

（1）如果 ，则△DEC≌△BFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件）；

（2）证明你的结论.

例7、如图9，已知在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB = DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上一个动点（点E 不与B 、C 两点重合），EF∥BD 交AC 于点F ，EG∥AC 交BD 于点C.

（1）求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ；

（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD∥BC，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG 的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.

例8、有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图13(1)、(2)上），并给予合理的解释.

A D

B

C E

F (图M N 备用图（1） 备用图（2）

B C B

R

P

D

C

B

A

E

F 第12题图

四、练习 一、选择题

1.下列命题正确的是（ ）

(A)、一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 (B)、对角线相等的四边形一定是矩形

(C)、两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 (D)、在两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 2. 已知平行四边形ABCD 的周长32, 5AB=3BC,则AC 的取值范围为( ) A. 6

4．延长平形四边形ABCD 的一边AB 到E ，使BE ＝BD ，连结DE 交BC 于F ，若∠DAB ＝120°,∠CFE ＝135°，AB ＝1，则AC 的长为（ ）（A ）1 （B ） （C ）

3

2

（D ） 5．若菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC 于E ，AE ＝1cm ，则BD 的长是（ ） （A ）1cm （B ）2cm （C ）3cm （D ）4cm

6.若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线( ) （A ）互相垂直 （B ）相等 （C ）互相平分 （D ）互相垂直且相等

7. 如图，等腰△ABC 中，D 是BC 边上的一点，DE ∥AC ，DF ∥AB ，AB=5那么四边形AFDE 的周长是

（ ）

（A ）5 （B ）10 （C ）15 （D ）20

(第7题） （第8题） （第9题） （第10题）

8.如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）． （A ）3cm （B ）4cm （C ）5cm （D ）6cm

9. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AC 将梯形分成两个三角形，其中△ACD 是周长为18 cm 的等边三角形，则该梯形的中位线的长是( )． (A)9 cm (B)12cm (c)

2

9

cm (D)18 cm 10.如图，在周长为20cm 的□ABCD中，AB≠AD，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE的周长为（ ） (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm

11. 如图2，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ）

（A ）34 （B ）33 （C ）24

（D ）８

12.如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是 AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论 成立的是 （ )

A 、线段EF 的长逐渐增大

B 、线段EF 的长逐渐减小

C 、线段EF 的长不变

D 、线段EF 的长与点P

13. 在梯形ABCD 中，AD

cm AC 5

B. 7cm

C.

D. 6cm

A

B C

D

O

E

A B

C

D

E

F

图 2

A E

D

A

B

C

D

E

F

O

第10题图

D

A

B

C

P

M

N

（1）

（2）

图9

A B C

D E F

O 图

平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花． 如果有

AB EF DC ∥∥，BC GH AD ∥∥，那么下列说法中错误的是（ ）

A ．红花、绿花种植面积一定相等

B ．紫花、橙花种植面积一定相等

C ．红花、蓝花种植面积一定相等

D ．蓝花、黄花种植面积一定相等 二、填空题

1.如果四边形四个内角之比1：2：3：4，则这四边形为＿＿＿＿形。

2.若正方形的对角线长为2cm ，则正方形的面积为＿＿＿。

3.若矩形一个内角的平分线，把另一边分为4cm,5cm 两部分，则这个矩形周长是＿＿＿

4.已知：平行四边形ABCD 的周长是30cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，△AOB的周长比△BOC的周长长5cm ，则这个平行四边形的各边长为＿＿＿＿＿。

5. 已知：平行四边形ABCD 中， AE ⊥BC 交CB 的延长线于点E ，AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F ，AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝32cm ，BC ＝3

5

AB ，

∠EAF ＝2∠C ，则BE 长为＿＿＿，则∠C ＿＿＿.

6. 在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ．

7.已知：如图8，正方形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 、F 分别是边AB 、BC 上的点，若AE ＝4cm ，DF ＝3cm ，且OE ⊥OF ，则EF 的长为 。

8． 如图9（1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图10(2)所示的一个菱形．对于图10(1)中的等腰梯形，

请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：

．

9．如图，在四边形

ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E F ，分别是AB CD ，的中点，18

AD BC PEF =∠=，，

则PFE ∠的度数是 ．

10．如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM +PN 的最小值是_____________．

11. 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH

是菱形，四边形ABCD 还应满足的一个条件是 。

（12题） （13题） （14题）

12、 如图所示，O 为矩形ABCD 的对角线交点，DF 平分∠ADC 交AC 于E ，BC 于F ，∠BDF=15°，则∠COF=______． 13. 如图，矩形ABCD 的对角线

AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ，23AB BC ==，，

则图中阴影部分的面积为 ．

14、如图，矩形1111ＡＢＣＤ的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形2222ＡB ＣＤ，再顺次连结四边形2222ＡB ＣＤ四边中点得

到四边形3333ＡＢＣＤ，依此类推，求四边形n n n n ＡＢＣＤ的面积是 。

15、如图⑴已知O 是□ABCD 的对角线交点，AC ＝24，BD ＝38，AD ＝14，那么△OBC 的周长等于＿＿＿＿＿。

C

F

D

B

E

A

P

（第9题）

O F

E

D

C

B

A

16、在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D,则∠A＝＿＿＿，∠D＝＿＿＿。

17、一个平行四边形的周长为70cm，两边的差是10cm，则平行四边形各边长为＿＿＿＿cm。

18、已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为__________cm。

19、菱形ABCD中，∠A＝60o，对角线BD长为7cm，则此菱形周长＿＿＿＿＿cm。

202，那么它的面积＿＿＿＿＿＿。

21、如图2矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠AOB＝60o,AB＝8,则矩形对角线的长＿＿＿。

22、如图3,等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，BC＝8，AB＝6，AD＝5则△CDE周长＿＿＿。

21、正方形的对称轴有＿＿＿条

22、如图4，BD是□ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是＿＿＿＿＿＿

23、要从一张长为40cm，宽为20cm的矩形纸片中，剪出长为18cm，宽为12cm的矩形纸片，最多能剪出＿＿＿＿＿＿张。

三、解答题

1.如图，在四边形ABCD中，∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,求AB的长。

2.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=2,∠BAD=120°,对角线AC平分∠BCD，求等腰梯形ABCD的周长。

3.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．

（1）求证：△ABE≌△AD′F；

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形证明你的结论

4．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于点E，

∠ADB=60°，BD=10，BE∶ED=4∶1，求梯形ABCD的腰长.

A

B C

D

E

F

D′

E

D

A

A

B

D

C

O

⑴

A

B C

O

⑵

A

B

D

⑶

5. 如图，菱形ABCD，E，F分别是BC，CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，

∠BAE＝18°求∠CEF的度数。

6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，

（1）求证：四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形

ADCE是一个正方形并给出证明．

7. 如图，四边形ABCD中，一组对边AB=DC=4，另一组对边AD≠BC，对角线BD与边DC互相垂直，M、N、H分别是AD、BC、BD的中点，且∠ABD=30°求：（1）MH的长（2）MN的长。

8. 如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°,AD⊥B,BE平分∠ABC,EF∥BC,那么AE=CF吗证明你的结论。

9. 如图，ABCD是正方形，CE∥BD，BE＝BD，BE交DC于点F，

求证：（1）∠BEC＝30°（2）DE＝DF

10.如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，

PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD，垂足为F，

求证：EF＝AP

A

M

N

E

(第6题)

F

D

C

B

A

E

A D

C

B

F E

11. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E,交BC于点F。若PE=PF,且AP+AE=CP+CF

（1）求证：PA=PC;

（2）若AD=12,AB=15,∠DAB=60°,求四边形ABCD的面积.

10．如图所示，已知在□ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：MN∥BC．

11．已知：如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE

分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB＝2OF．

12.如图，在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm，点A处有一动点E以1cm∕s的速度由点A向点B运动，同时点C处也有一动点F以2cm∕s 的速度由点C向点D运动，设运动的时间为x（s），四边形EBFD的面积为y（cm2），求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。

21，如图16，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD 的平分线CF 交边AB 于F ，∠ADC 的平分线DG 交边AB 于G .

（1）线段AF 与GB 相等吗

（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG 为等腰直角三角形,并说明理由.

22，如图17，已知□ABCD 中，E 为AD 的中点，CE 的延长线交BA 的延长线于点E . （1）试说明线段CD 与FA 相等的理由； （2）若使∠F ＝∠BCF ，□ABCD 的边长之间还需再添加一个什么条件请你补上这个条件，并说明你的理由(不要再增添辅助线).

23，（08上海市）如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且

ACE △是等边三角形．

（1）求证：四边形ABCD 是菱形；

（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．

24，已知：如图19，四边形ABCD 是菱形，E 是BD 延长线上一点，F 是DB 延长线上一点，且DE ＝BF .请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）. （1）连结____________；（2）猜想：______=______；（3）证明：

25，如图20，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连结EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 交BD 于点F .

(1)试说明OE ＝OF ；

(2)如图21，若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE ＝OF ”还成立吗如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由.

E

D

B

A

O

O

C 图19

D A B

E

F 图20 E

M F C O

D B A 图21

E

F O C

M D

A B

A B C D

E F 图17

图16 O F D

B C A · 图18

A

13.如图在直角梯形ABCD 中, AD ∥BC, ∠B=90°AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P 从A 开始沿AD 边向D 以1cm/s 的速度运动,动点Q 从C 开始沿CB 向B 以3cm/s 的速度运动,P,Q 分别从点A,C 同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间t,t 分别为何值时,四边形PQCD 为平行四边形,等腰梯形

14已知：如图，在直角梯形ABCD 中，∠B ＝90o

,AD ∥BC ，AD ＝24cm ，BC ＝26cm ，动点P 从A 点开始沿AD 边

向D 以1cm/秒的速度运动，动点Q 从C 点开始沿CB 边向B 以3cm/秒的速度运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒，t 分别为何值时，四边形PQCD 是平行四边形等腰梯形

.在△ABC 中，借助作图工具可以作出中位线EF ，沿着中位线EF 一刀剪切后，用得到的△AEF 和四边形EBCF 可以拼接成平行四边形EBCP ，接切线与拼图过程如图所示，依照上述方法，安要求完成下列操作设计，并画出图形说明。 （1）在△ABC 中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成矩形。 （2）在△ABC 中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成菱形。 （3）在△ABC 中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成正方

形。

（4）在△ABC （AB ≠AC ）中，一刀剪切后也可以拼接成等腰梯形，画出切线与拼图示意图。

15如图把一个正方形割去四分之一，将余下的部分分成3个全等的图形（图甲）；将余下的部分分成4个全等的图形（图已）仿照示例，请你将一个正三角形割去四分之一后余下的部分。（1）分成3个全等的图形（在图一中画出示意图）； （2）分成四个全等的图形（在图二中画出示意图）；

（3）你还能利用所得的4个全等的图形拼成一个平行四边形吗若能，画出大致的示意图。

16.如图是 王大爷的一块四边形菜地，在A 处有一口井，王大爷要想从A 处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分.请你为王大爷设计一条引水渠的方案，画出图形,并简要写出作图的主要步骤.

A B Q C

D

P

A P

B DD Q

C

F

E

D

C

B A

17. (1)如图25-1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12

∠BAD.求证:EF ＝

BE ＋FD;

(2) 如图25-2在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12

∠BAD, (1)中的结论

是否仍然成立不用证明.

(3) 如图25-3在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，

∠B+∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF=12

∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立若成立，请证明；若不

成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

18. 将边长OA=8，OC=10的矩形OABC 放在平面直角坐标系中，顶点O 为原点，顶点

C 、A 分别在x 轴和y 轴上.在OA 、OC 边上选取适当的点E 、F ，连接EF ，将△EOF 沿EF 折叠，使点O 落在AB 边上的点

D 处．

图① 图② 图③

（1）如图①，当点F 与点C 重合时，OE 的长度为 ；

（2）如图②，当点F 与点C 不重合时，过点D 作DG ∥y 轴交EF 于点T ，交OC 于点G .

求证：EO=DT ；

（3）在（2）的条件下，设()T x y ，，写出

y 与x 之间的函数关系式为 ，自变量x 的取值范围是 ；

（4）如图③，将矩形OABC 变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且OC=10，OC 边上的高等于8，点F 与点C 不重合，过

点D 作DG ∥y 轴交EF 于点T ，交OC 于点G ，求出这时()T x y ，的坐标

y 与x 之间的函数关系式（不求自变量x 的取

x

y

T

G F E

C O

B

A D y x

E

B

A C(F)O

D

x

y

G

T

F E

B

A C

O

D

值范围）．

19. (1)如图10－1所示，BD, CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD, AG ⊥CE,垂足分别为F ，G ，连结FG ，延长AF, AG ，与直线BC 分别交于点M 、N ，那么线段FG 与△ABC 的周长之间存在的数量关系是什么即：FG ＝ （AB ＋BC+AC ） （直接写出．．．．．结果即可）．．．．．

（2）如图10－2，若BD ，CE 分别是△ABC 的内角平分线；其他条件不变，线段FG 与

ΔABC 三边之间又有怎样的数量关系请写出你的猜想，并给予证明．

（3）如图10－3，若BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线，其他条件不变，线段FG 与ΔABC 三边又有怎样的数

量关系

直接写出你的猜想即可．不需要证明。

20.已知正方形ABCD 和等腰Rt

0,,90,BEF EF BE BEF =∠=按图1放置，使点F 在BC 上，取DF 的中点G ，连EG 、CG. (1)探

索EG 、CG 的数量关系，并说明理由； （2）将图1中BEF 绕B 点顺时针旋转045得图2，连结DF,

取DF 的中点G ，问（1）

中的结论是否成立，并说明理由； （3）将图1中

BEF 绕B 点转动任意角度（旋转角在0到090之间）得图3，连结DF ，取DF 的中点G ，问（1）中的结论是

否成立，请说明理由；

图1

G

F

B

D

A

C

E

图2

G

F

B

D

A

C

E 图3

G

F

B

D

A

C

E

G

F

E D

C

B

A

N M

F

G E

D C

B A