全等三角形复习基本题型分类
《三角形全等的条件》分类复习
一、三角形全等的条件之 SAS
边角边的判定方法
的两个三角形全等，简称边角边或SAS.
1.如下图，AB=AD，∠BAC=∠DAC，求证：△ABC≌△ADC
2.如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B 的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA。连接BC并延长到E，使CE＝CB。连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？
课堂练习：
1.如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根据“SAS”需要添加条件 .
2. 如图：在△ABE和△ACF中，AB＝AC, BF＝CE.求证：⑴△ABE≌△ACF
⑵AF＝AE
课外延伸：
O D C
图1
A
1．如图1，已知；AC =DB ，要使ABC ?≌DCB ?，只需增加一个条件是_____ ____.
2. 如图2，已知：在ABC ?和DEF ?中，如果AB ＝DE ，BC ＝EF ，只要找出∠ ＝∠
或______＝_____或 // ，就可证得ABC ?≌DEF ?.
3. 如图3，已知AB 、CD 交于点O ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，则在以下结论中：①AD ＝BC ；②AD ∥BC ；③∠A ＝∠C ；④∠B ＝∠D ；⑤∠A ＝∠B ，正确结论的个数为（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4. 如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，试说明：∠B ＝∠C.
5.如图，AB ＝DB ，BC ＝BE ，∠1＝∠2，试说明：△ABE ≌△DBC
6.如图，已知点E 、F 在BC 上，且BE ＝CF ，AB ＝CD ，∠B=∠C ，试说明AF ＝DE
7.如图，已知AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2，试说明：BC ＝ DE
图3
图2 E
D
C
B
A
E
C
D A
B
1
2
8如图，E，F在BC上，BE＝CF，AB＝CD，AB∥CD
说明：（1）△ABF≌△DCE （2）AF∥DE
9.如图（16）AD∥BC，AD＝BC，AE＝CF.求证：（1）DE＝DF，（2）AB∥CD.
二、三角形全等的条件之ASA与AAS
角边角边的判定方法
的两个三角形全等，简称角边角或 .
角角边的判定方法：
的两个三角形全等，简称。
1. 如右图，O是AB的中点，∠A=∠B
求证：△AOC≌△BOD
1.1.若将第一题中的∠A=∠B改为∠C=∠D，其他条件不变，你还能得到△AOC≌△BOD吗？
2. （1）如图，AB＝AC，∠B=∠C，试说明△ABE≌△ACD全等.
（2）如果将上题中的AB＝AC改为AD＝AE，其他条件
不变，你能说明AB＝AC吗？
3.已知：OP是∠MON的平分线，C是OP上一点，CA⊥OM，CB⊥ON，垂足分别是A、B
△AOC与△BOC全等吗？为什么？
4.找出图中的全等三角形，写出表示他们全等的式子，并说明理由.
课外延伸：
1.欲证△ABC≌△DFE，已知DF
AB
D
A=
∠
=
∠,,根据ASA还需要的条件是，理由是
2.如图，已知AO=DO，∠AOB与∠DOC是对顶角，还需补充条件_________=________，就可
根据“ASA”说明△AOB≌△DOC；或者补充条件___________=____________，就可根据“AAS”，说明△AOB≌△DOC
3.3.下面能判断两个三角形全等的条件是（）
A. 有两边及其中一边所对的角对应相等
B. 三个角对应相等
C .两边和它们的夹角对应相等 D. 两个三角形面积相等
4.如图，将一长方形纸片ABCD中沿对角线AC折叠后，点D落在点E处，
与BC 交于点F，图中全等三角形有( )对？ (包含△ADC)
A.1对
B.2对B
C
D
E
F
A
C.3对
D.4对
第4题 第5题
第6题 第7题
5.如图，已知MB=ND ，∠MBA ＝∠NDC ，下列添加的条件中，下列哪一个选项不能用于判定△ABM ≌△CDN 的 选项是 ( )
A.∠M ＝∠N B ．AB ＝CD C ．AM ＝CN D ．AM ∥CN
6.如图，D 是AB 边上的中点，将ABC ?沿过D
50B ∠=?， 则BDF ∠= __________度．
7.如图，△ABC 中，∠C=900
，AD 平分∠CAB ，BC=8cm ， cm.
8.如图，B ，E ，C ，F 在同一直线上，且BC ＝EF ，∠B 一个条件是_____________.
9．如图，点B 在AE 上，∠CAB=∠DAB ，要使ΔABC ≌Δ10．如图，AE=AD ，要使ΔABD ≌ΔACE 11．如图AD ＝AB ，∠C ＝∠E ，∠CDE ＝55°，则∠ABE ＝
第八题第十题
12．△ABC 和△FED 中，AD ＝FC ，∠A ＝∠F ．
当添加条件 时，就可得到△ABC ≌△FED ，依据是 (只需填写一个你认为正确的条件) 写出证明过程。
C B
A
A D M N E
D
C
B A
13.如图，∠B ＝∠E ，∠ACB ＝∠DFE ，BF ＝CE ．△ABC ≌△DEF 吗？为什么？
14．已知：∠ABC ＝∠DCB ，∠ACB ＝∠DBC ，试说明△ABC ≌△DCB ；△AOB ≌△DOC
15．已知，如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，AD ＝EC ，△ABD ≌△EBC 吗？为什么？
16．已知，如图4、点A 、F 、E 、C 在同一条直线上，AF ＝CE ，BE ∥DF ，AB ∥CD 试说明：△ABE ≌△CDF
A D
E
B C
F
A
B
C
D
E 1
2
A
B
C
D
E
F
O
全等三角形证明经典题(含答案)
全等三角形证明经典题(含答案) 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADCBD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即 4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 4. 5. 证明：连接BF 和EF ∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三 角形BEF 中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF 。 ∵∠ABC=∠AED 。∴∠ABE=∠AEB 。∴AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴三角形ABF 和三角形AEF 全等。∴∠BAF=∠ EAF(∠1=∠2)。 6. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC A D B C
过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又EF ∥AB ∴∠EFD ＝∠1∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG 又EF ＝CG ∴EF ＝AC 7. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C 证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E ∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E ∴∠ABC ＝2∠C 8. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF ∵CE ⊥AB ∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° ∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF ∴∠B ＝∠CFE ∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC ∵AC ＝AC ∴△ADC ≌△AFC （SAS ） ∴AD ＝AF ∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 9. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 在BC 上截取BF=AB ，连接EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE ≌⊿FBE （SAS ） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o ∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCECE 平分∠BCDCE=CE ∴⊿DCE ≌⊿FCE （AAS ）∴CD=CF ∴BC=BF+CF=AB+CD 10. 已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C AB ‖ED ，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度， ∵∠EAB=∠BDE ， B A C D F 2 1 E D C B A F E A
全等三角形压轴题
全等三角形压轴题3 1. 在厶ABC中，BC=AC Z BCA=9GD, P为直线AC上一点，过A作ADLBP于D,交直线BC于Q. (1)如图1,当P在线段AC上时，求证：BP=AQ (2)当P在线段AC的延长线上时，请在图2中画出图形，并求/ CPQ (3)如图3,当P在线段CA的延长线上时，/ DBA = 时，AQ =2BD 2. 我们知道三角形的一条中线能将这个三角形分成面积相等的两个三角形，反之，若 经过三角形的一个顶点引一条直线将这个三角形分成面积相等两个三角形，那么这条 直线平分三角形的这个顶点的对边.如图1, S A ABD=5 ADC,贝V BD=CD成立.请你直 接应用上述结论解决以下问题: (1) 已知：如图2,人。是厶ABC的中线，沿A□翻折△ ADC使点C落在点E, DE交AB 1 于卩，若厶ADE与△ ADB重叠部分面积等于厶ABC面积的丄，问线段AE与线段BD有 4 什么关系在图中按要求画出图形，并说明理由. (2) 已知：如图3,在厶ABC中, Z ACB= 90 0, AO2, AB=4，点D是AB边的中 点，点P是BC边上的任意一点，连接PD沿PD翻折△ ADP使点A落在E,若 1 △ PDE与△ PDB S叠部分的面积等于△ ABF面积的-，直接写出BP的值. 4 o o 3. 在厶ABC中，已知D为边BC上一点，若ABC x , BAD y. (1)当D为边BC上一点，并且CD=CA x 40, y 30时，则AB 或“ ”)；AC （填“=”
(2)如果把(1)中的条件“ CD=C”变为“ CD=AB，且x，y的取值不变，那么(1) 中的结论是否仍成立若成立请写出证明过程，若不成立请说明理由； (3)若CD= CA =AB请写出y与x的关系式及x的取值范围. (不写解答过程，直接写出结果) 4. 在Rt△ ABC中, AC=BC P是BC垂直平分线MN上一动点，直线PA交CB于点E, F 是点E关于MN的对称点，直线PF交AB于点D,连接CD交PA于点G. (1)如图1,若P点在△ ABC的边BC上时，此时点P、E、F重合，线段AP上的点Q关 于的对称点D恰好在边AB上，连接CQ求证：CQ平分/ ACB (2)如图2,若点P移到BC上方，且/ CAP=，求/ CDP的度数； (3)若点P移动到△ ABC的内部时，线段AE、CD DF有什么确定的数量关系，请 画出图形,并直接写出结论：. 5. 如图1,已知A ( a, 0), B (0, b)分别为两坐标轴上的点，且a、b满足 ： 0A=1： 3. 22 a b 12a 12b 72 0, OC (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若D (1, 0),过点D的直线分别交AB BC于E、F两点，设E、F两点的横坐标分别为X E、X F .当BD平分△ BEF的面积时，求X E+X F的值； (3)如图2,若M (2, 4),点P是x轴上A点右侧一动点，AH L PM于点H,在HM 上取点G,使HG=H,连接CG当点P在点A右侧运动时，/ CGM勺度数是否改变若不变，请求其值；若改变，请说明理由.
全等三角形练习题及答案
一、填空题（每小题4分,共32分）. 1．已知：///ABC A B C ??≌，/A A ∠=∠，/B B ∠=∠，70C ∠=?，15AB cm =，则/ C ∠=_________，//A B =__________． 2．如图1，在ABC ?中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D 点，E 、F 分别为DB 、DC 的中点，则图中共有全等三 角形_______对． 图1 图2 图3 3． 已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，若△ABC 的面积为10 cm 2，则△A ′B ′C ′的面积为______ c m 2，若△A ′B ′C ′的周长为16 cm ，则△ABC 的周长为________cm ． 4． 如图2所示，∠1=∠2，要使△ABD ≌△ACD ，需添加的一个条件是________________(只添一个条件即可)． 5．如图3所示，点F 、C 在线段BE 上，且∠1=∠2，BC =EF ，若要使△ABC ≌△DEF ，则还需补充一个条件________，依据是________________． 6．三角形两外角平分线和第三个角的内角平分线_____一点，且该点在三角形______部． 7．如图4，两平面镜α、β的夹角 θ，入射光线AO 平行于β，入射到α上，经两 次反射后的出射光线CB 平行于α，则角θ等于________． 8．如图5，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE ＝4，BD ＝8，△ABD 的面积为16，则ACE △ 的面积为 ______． 二、选择题（每小题4分,共24分） 9．如图6，AE ＝AF ，AB ＝AC ，E C 与BF 交于点O ，∠A ＝600，∠B ＝250，则∠E O B 的度数为（ ） A 、600 B 、700 C 、750 D 、850 10．△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为100 cm ，A 、B 分别与D 、E 对应，且AB ＝35 cm ，DF =30 cm ，则EF 的长为( ) A ．35 cm B ．30 cm C ．45 cm D ．55 cm 11．图7是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种加固木条的方法，不能固定形状的是钉在________两点上的木条．( ) A ．A 、F B ． C 、E C ．C 、A D ． E 、F 12．要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD=?BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在一条直线上，可以证明△EDC ?≌△ABC ，?得到ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长（如图8），判定△EDC ≌△ABC 的理由是（ ） N A M C B 图7 图8 图9 图10
全等三角形经典题型50题带答案
全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2又∵CD=DE∴⊿ADC≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=E G ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ， ∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE⊥AB 所以∠CEB＝∠CEF＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° 所以∠D＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC≌△AFC（SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD, 则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F= C D B D E A B A C D F 2 1 E 全等三角形典型例题： 例1：把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D 在BC 上，连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ．求 证：AF ⊥BE ． 练习1：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ， AE 是过点A 的直线，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ， 如果CE=3，BD=7，请你求出DE 的长度。 例2： △DAC, △EBC 均是等边三角形，AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N, 求证：（1）AE=BD ； (2)CM=CN ； (3) △CMN 为等边三角形；（4）MN ∥BC 。 例3：（10分）已知，△ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC ，过A 任作一直线l ，作BD ⊥l 于D ，CE ⊥l 于E ，观察三条线段BD ，CE ，DE 之间的数量关系． ⑴如图1，当l 经过BC 中点时，DE = （1分），此时BD CE （1分）． ⑵如图2，当l 不与线段BC 相交时，BD ，CE ，DE 三者的数量关系为 ，并证明你的结论．（3分） ⑶如图3，当l 与线段BC 相交，交点靠近B 点时，BD ，CE ，DE 三者的数量关系为 ． 证明你的结论（4分），并画图直接写出交点靠近C 点时，BD ，CE ，DE 三者的数量关系为 ．（1分） 图1 图2 图3 C B A l B C A B C D E l A B C l E D 练习1：以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边，分别向外作等边三角形△ABE和等边△BCF，连结EF、EC。试说明：（1）EF＝EC；（2）EB⊥CF B A F E 练习2： 如图（1）A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC若AB=CD，G是EF的中点吗？请证明你的结论。 若将⊿ABC的边EC经AC方向移动变为图（2）时，其余条件不变，上述结论还成立吗？为什么？ . 七年级下三角形综合题归类 考点2：利用角相等证明垂直 1.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系 Q A F D E P B C 2.如图，在等腰△R t ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．(1)求证：CD=BF；(2)求证：AD⊥CF；(3)连接AF，试判断△ACF的形状. 拓展巩固：如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交 AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE． C F D A 图9 E B 3.如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC. （1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论； （2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由 4.如图1，?ABC的边BC在直线 l上，AC⊥BC,且AC=BC,?EFP的边FP也 在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的 (1) （ 2 数量关系和位置关系； A （2） 将 ?EFP 沿直线 l 向左平移到图 2 的位置时， EP 交 AC 于点 Q ,连接 AP , BQ .猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； E F （3）将 ?EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 的位置时， EP 的延长线交 AC 的延长 B D C 线于点 Q,连结 AP , BQ ,你认为（2）中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成 立，给出证明；若不成立，请说明理由. E A A (E) E A Q F P B C l B C (F) 三、 等腰三角形（中考重难点之一） P l B F (2) C P l (3) Q 考点 1：等腰三角形性质的应用 1. 两个全等的含 30 ，60 角的三角板 ADE 和三角板 ABC ，如图所示放置，E, A, C 三点在一条直线上，连结 BD ， 取 BD 的中点 M ，连结 ME, MC ．试判断 ?EMC 的形状，并说明理由． M B D E A C 压轴题拓展： 三线合一性质的应用）已知 Rt ?ABC 中， AC = BC ，∠C = 90? ， D 为 AB 边的中点，∠EDF = 90? ， ∠EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC 、 CB （或它们的延长线）于 E 、 F ． 当 ∠EDF 绕 D 点旋转到 DE ⊥ AC 于 E 时（如图 1），易证 S ?DEF + S 1 ?CEF = S ?ABC ．当 ∠EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，S ?DEF ，S ?CEF ，S ?ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． A A A D E D D E C F 图1 B C 图2 C F B E 图3 B F 2. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于 D ，BE 平分∠ABC ，且 BE ⊥AC 于 E ，与 CD 相交于点 F ，H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G 。(1) BF =AC (2) CE = 1 2 BF (3)CE 与 BC 的大小关系如何。 考点 2：等腰直角三角形（45 度的联想） 1. 如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点 D ，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线 BF 相交于点 F . ⑴ 如图 14―1，当点 E 在 AB 边的中点位置时： ① 通过测量 DE ，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 ； B C 全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性， 常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平 分线上一点作两边的垂线 。另外掌握两个常用的结论：角平分 线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角 形。 1. 如图，在ΔABC 中，D 是边 BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在 AB 上截取 AE=AC ， 连结 DE ，已知 DE=2cm ，BD=3cm ，求线段 BC 的长。 A E D 2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点 P 在 BD 上，PM⊥AD 于 M ， ?PN⊥CD 于 N ，判断 PM 与 PN 的关系． A M D P N C B 3. 已知：如图 E 在△ABC 的边 AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线 AF 交 BE 于 F ，FD∥BC 交 AC 于 D ，设 AB=5，AC=8，求 DC 的长。 ． 2 5、如图所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M，求证：2∠M=（∠ACB-∠B） A 12 E P B F D C M 6、如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E． 1 （1）若BD平分∠ABC，求证CE=BD； （2）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围； 若不变，求出它的度数，并说明理由。 C D E B A 8、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB， 求证：AC=AE+CD． 二、中点型 由中点应产生以下联想： 1、想到中线，倍长中线 全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ， AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°， 求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ， CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则 ⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C AB//ED,AE//BD 推出AE=BD, C D B D C B A F E A B A C D F 2 1 E 第十二章 全等三角形 第Ⅰ卷（选择题 共30 分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列说法正确的是（ ） A.形状相同的两个三角形全等 B.面积相等的两个三角形全等 C.完全重合的两个三角形全等 D.所有的等边三角形全等 2. 如图所示，a,b,c 分别表示△ABC 的三边长，则下面与△ABC 一定全等的三角形是（ ） 3.如图所示，已知△ABE ≌△ACD ，∠1=∠2，∠B=∠C ， 下列不正确的等式是（ ） A.AB=AC B.∠BAE=∠CAD C.BE=DC D.AD=DE 4. 在△ABC 和△A /B /C /中,AB=A /B /,∠B=∠B /,补充条件后 仍不一定能保证△ABC ≌△A /B /C /,则补充的这个条件是 ( ) A ．BC= B / C / B ．∠A=∠A / C ．AC=A /C / D ．∠C=∠C / 5.如图所示，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ） A.△ACE ≌△BCD B.△BGC ≌△AFC C.△DCG ≌△ECF D.△ADB ≌△CEA 6. 要测量河两岸相对的两点A,B 的距离，先在AB 的垂 线BF 上取两点C,D ，使CD=BC ，再作出BF 的垂线DE ， 使A,C,E 在一条直线上（如图所示），可以说明 △EDC ≌△ABC ，得ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是（ ） A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.边边角 7.已知：如图所示，AC=CD ，∠B=∠E=90°，AC ⊥CD ，则不 正确的结论是（ ） A ．∠A 与∠D 互为余角 B ．∠A=∠2 C ．△ABC ≌△CE D D ．∠1=∠2 8. 在△ABC 和△FED 中，已知∠C=∠D ，∠B=∠E ，要判定 这两个三角形全等，还需要条件（ ） 第3题图 第5题图 第7题图 第2题图 第6题图 A B C D B A O D C E 图2 三角形全等综合题归类 一、 双等边三角形模型 1. （1）如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图2，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 2、如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 3. 如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点 （1）△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD BE =是否成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由； （2）△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由． 4、已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =； （2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接 写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 5. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ． （1）证明：△ABG ≌△ADE ； （2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由； （3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜∠BAE ＜180°），设△ABE 的面积 为1S ，△ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系，并给予证明． 6.已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取 点E ，使DE DB =，连接AE CD ，． （1）求证：AGE DAC △≌△； （2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论． C G A E D B F 二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容） 考点1：利用垂直证明角相等 1、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ． 求证：（1）AE ＝CD ； （2）若AC ＝12 cm ，求BD 的长． 2、如图(1), 已知△ABC 中, ∠BAC=900, AB=AC, AE 是过A 的一条直线, 且B 、C 在A 、E 的异侧, BD ⊥AE 于D, CE ⊥AE 于E 。 C F G E D B A H C B O D 图 A E C E N D A B M 图① C A E M B D N 图② 全等三角形的证明 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 专题1、常见辅助线的做法 典型例题 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： 全等三角形的典型习题 一、全等在特殊图形中的运用 1、如图，等边△ABC 中，D 、E 分别是AB 、CA 上的动点，AD ＝CE ，试求∠DFB 的度数． 2、如下图所示，等边△ABC 中，D 、E 、F 是AB 、BC 、CA 上动点，AD ＝BE ＝CF ，试判 断△DEF 的形状． 3、如下图所示，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，且点B 、A 、D 在同一直线上，AC 、BE 相交于点G ，AE 、CD 相交于点F ，试说明△AGF 是等边三角形． Ex 、如图，四边形ABCD 与BEFG 都是正方形，AG 、CE 相交于点O ，AG 、BC 相交于点M ，BG 、CE 相交于点N ，请你猜测AG 与CE 的关系(数量关系和位置关系)并说明理由． 4、△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°，D 是底边BC 的中点，DE ⊥DF ，试说明BE 、CF 、EF 为边长的三角形是直角三角形。 A B A A m 二．证明全等常用方法（截长法或补短法） 5、如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝2∠C ，∠BAC 的平分线交BC 于点D ．请你试说明AB ＋BD ＝AC ． Ex1，∠C ＋∠D ＝180°，∠1＝∠2，∠3＝∠4．试用截长法说明AD ＋BC ＝AB ． Ex2、五边形ABCDE 中,AB ＝AE,∠BAC ＋∠DAE ＝∠CAD,∠ABC ＋∠AED ＝180°,连结AC ，AD ．请你用补短法说明BC ＋DE ＝CD ．（也可用截长法，自己考虑） 6、如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上的点，F 是BC 上的点，且∠EDF ＝45°．请你试用 补短法说明AE ＋CF ＝EF ． Ex1.、如图所示，在△ABC 中，边BC 在直线m 上，△ABC 外的四边形ACDE 和四边形ABFG 均为正方形，DN ⊥m 于N ，FM ⊥m 于M ．请你说明BC ＝FM ＋DN 的理由．(分别用截长法和补短法) （连结GE ，你能说明S △ABC ＝S △AGE 吗？） B B C F C A B ,. 七年级下三角形综合题归类 一、双等边三角形模型 1.（ 1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC．求∠ AEB 的大小； （ 2）如图 8，OAB 固定不动，保持OCD 的形状和大小不变，将OCD 绕着点 O 旋转（OAB 和 OCD不能重叠），求∠ AEB 的大小 . B C B C E E D O A O A D 图 7图 8 2. 已知 :点 C 为线段 AB 上一点，△ ACM,△ CBN 都是等边三角形，且AN、 BM 相交于 O. ①求证： AN=BM ②求∠ AOB 的度数。 ③若 AN、 MC 相交于点 P， BM、 NC 交于点 Q，求证： PQ∥AB。 （湘潭·中考题） N M O P Q A C B 同类变式：如图 a，△ ABC和△ CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 连接 AF 和 BE. C， (1)线段 AF 和 BE有怎样的大小关系 ?请证明你的结论； (2)将图 a 中的△ CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到图 b，(1) 中的结论还成立吗 ?作出判 断并说明理由； (3) 若将图 a 中的△ ABC绕点 C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形 c( 草图即可) ，(1) 中的结论还成立吗 ?作出判断不必说明理由 . 图 c 3.如图 9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M , N分别为EB, CD的中点，易证： CD BE ，△ AMN 是等边三角形． ,. （ 1）当把△ADE绕A点旋转到图10 的位置时，CD BE 是否仍然成立？若成立, 请证明；若不成立，请说明理由； （2）当△ADE绕A点旋转到图 11 的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由． 图 9图10图11 同类变式：已知，如图①所示，在△ ABC 和△ ADE 中， AB AC ，AD AE，BACDAE ，且点 B， A， D 在一条直线上，连接 BE， CD， M ， N 分别为 BE， CD 的中点． （ 1）求证：①BE CD；②AM AN ； （ 2）在图①的基础上，将△ ADE 绕点A按顺时针方向旋转180o，其他条件不变，得到 图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立 . C C N N E D A M B B D M A E 图①图② 4.如图，四边形 ABCD和四边形 AEFG均为正方形，连接 BG与 DE相交于点 H． （1）证明：△ABG≌△ADE； （2）试猜想BHD的度数，并说明理由； 全等三角形练习题及答案 1、下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（） A、两条直角边对应相等。 B、斜边和一锐角对应相等。 C、斜边和一条直角边对应相等。 D、两锐角相等。 2、在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（） A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C 3、下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（） A.已知两边和夹角 B.已知两角和夹边 C.已知两边和其中一边的对 角 D.已知三边 4、在△ABC与△DEF中，已知AB=DE；∠A=∠D；再加一个条件，却不能判断 △ABC与△DEF全等的 是（）. A． BC=EF B．AC=DF C．∠B=∠E D．∠C=∠F 5、使两个直角三角形全等的条件是（） A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等 C．一条边对应相等D．两条直角边对应相等 6、在△ABC和△A'B'C'中有①AB=A'B'，②BC=B'C'，③AC=A'C'，④∠A=∠A'， ⑤∠B=∠B'，⑥∠C=∠C'，则下列各组条件中不能保证△ABC≌△A'B'C'的是（） A、①②③ B、①②⑤ C、①②④ D、②⑤⑥ 7、如图，已知∠1=∠2，欲得到△ABD≌△ACD，还须从下列条件中补选一个，错误的选法是 （） A、∠ADB=∠ADC B、∠B=∠C C、DB=DC D、AB=AC 8、如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC的度数为 A. 40° B. 80° C.120° D. 不能确定 9、如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝600，∠B＝250，则∠EOB的度数为（） A．600 B．700C．750D．850 10、如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E.F在DB上两点且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF= ( ) A. 150° B.40° C.80° D. 90° 11、①两角及一边对应相等②两边及其夹角对应相等③两边及一边所对的角对应相等④两角及其夹边对应相等，以上条件能判断两个三角形全等的是( ) A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 12、下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（） A．三条边对应相等 B．两边和一角对应相等 C．两角及其一角的对边对应相等 D．两角和它们的夹边对应相等 13、如图，已知，，下列条件中不能判定⊿≌⊿的是（） （A）（B） （C）（D）∥ 14、如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠A=50°，∠B＝30°， 则∠D的度数为（）. 全等三角形经典题型题带答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥ AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. C D B A B A C D F 2 1 E八年级上数学_全等三角形典型例题(一)
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