高中数学必修一 第一章 集合与常用逻辑用语 解答题专题训练 (17)-200807(解析版)

第一章集合与常用逻辑用语解答题专题训练 (17)

1.设A=[?1,1],B=[?2,2]，函数f(x)=2x2+mx?1．

(1)设不等式f(x)≤0的解集为C，当C?(A∩B)时，求实数m的取值范围；

(2)若对任意x∈R，都有f(1?x)=f(1+x)成立，试求x∈B时，函数f(x)的值域；

(3)设g(x)=2|x?a|?x2?mx(a∈R)，求f(x)+g(x)的最小值．

2.已知数列{a n}满足：a1=1

2,a n+1=n+1

2n

a n．

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)求数列{a n}前n项和S n；

(3)若集合A={n|2?S n?n+2

n2+n

λ}中含有4个元素，求实数λ的取值范围．

3.设n≥3,n∈N?，在集合{1,2,???,n}的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较大

元素相加，和记为a，较小元素之和记为b．

(1)当n=3时，求a,b的值；

(2)求证：对任意的n≥3,n∈N?，b

a

为定值．

4.定义函数f a(x)=4x?(a+1)·2x+a，其中x为自变量，a为常数．

(Ⅰ)若函数f a(x)在区间[0,2]上的最小值为?1，求a的值；

(Ⅱ)集合A={x|f3(x)≥f a(0)}，B={x|f a(x)+f a(2?x)=f2(2)}，且(?R A)?B≠?，求a的取值范围．

5.已知数列{x n}：x1，x2，x3，…，x n，…，对于任意正整数m,n(n≠m,m>1)，记满足不等式：

x n?x m≥t(n?m)的t构成的集合为T(m)．

(1)若给定m=2，数列{x n}满足x n=n2，试求出集合T(2)；

(2)如果T(m)(m∈N?,m>1)均为相同的单元素集合，求证：数列{x n}为等差数列；

(3)如果T(m)(m∈N?,m>1)为单元素集合，那么数列{x n}还是等差数列吗？如果是等差数列，

请给出证明；如果不是等差数列，请说明理由．

6.设p：“?x∈R，sinx≤a+2”；q：“f(x)=x2?x?a在区间[?1,1]上有零点”．

(1)若p为真命题，求实数a的取值范围；(2)若p∨q为真命题，且p∧q为假命题，求实数a的

取值范围．

7.已知函数f(x)=x2?2ax+a+2，

(1)若f(x)≤0的解集A?{x|0≤x≤3}，求实数a的取值范围；

(2)若g(x)=f(x)+|x2?1|在区间(0,3)内有两个零点x1，x2(x1

8. 若数列{c n }同时满足：①对任意n ∈N +均有c n ?c n+2≤c n+12，②存在与n 无关的常数M ，

使c n ≤M ，则称数列{c n }是“P 数列”，设{a n }是各项均为正数且公比为q 的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和．

(1)已知a 3=4,S 3=28，判断数列{S n }是否为“P 数列”，并说明理由；

(2)求证：数列{S n }是“P 数列”的充要条件是0

9. 已知集合P 的元素个数为3n(n ∈N ?)且元素均为正整数，若能够将集合P 分成元素个数相同且

两两没有公共元素的三个集合A ，B ，C ，即P =A ∪B ∪C ，A ∩B =?，A ∩C =?，B ∩C =?，其中A ={a 1,a 2,…,a n }，B ={b 1,b 2,…,b n }，C ={c 1,c 2,…,c n }，且满足c 1

(Ⅰ)若集合P ={1,2，3}，Q ={1,2，3，4，5，6}，判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”？并说明理由；(Ⅱ)已知集合P ={1,x ，3，4，5，6}为“完美集合”，求正整数x 的值； (Ⅲ)设集合P ={x|1≤x ≤3n,n ∈N ?}，证明：集合P 为“完美集合”的一个必要条件是n =4k 或n =4k +1(n ∈N ?).

10. 已知集合A ={x|x+24?x >0},B ={x|x 2?3ax +2a 2<0}．

(1)若B ?A ，求实数a 的取值范围；

(2)若A ∩B =?，求实数a 的取值范围．

11.已知全集为R，函数f(x)=logπ(x?1)的定义域为集合A，集合B={x|x(x?1)≥2}．

(I)求A∪B；

(II)若C={x|1?m

12.设p:对任意实数x，不等式x2?2x+m>0恒成立;q:方程x2

m?t ?y2

m

=1(t>0)表示焦点在x轴上

的双曲线．

(1)若p为真命题，求实数m的取值范围;

(2)若p是q的充分条件，求实数t的取值范围．

13.已知a∈R，命题p：?x∈[?2,?1]，x2?a≥0，

命题q：?x0∈R,x02+2ax0?(a?2)=0．

(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

14. 设n ∈N ?且n ≥4，集合M ={1,2,3,?,n }的所有3个元素的子集记为A 1,A 2,?,A C n

3． (1)当n =4时，求集合A 1,A 2,?,A C n

3中所有元素之和S ； (2)记m i 为A i (i =1,2,3,?,C n 3)中最小元素与最大元素之和，求∑m i C n 3

i=1C n 3的值．

15. 若命题p:关于x 的方程x 2?2x +a =0有实根；

命题q:函数f(x)=x 3+ax 2+x 在R 上是增函数． (1)若命题p ∧q 是真命题，求实数a 的取值范围．

(2)若命题p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，求实数a 的取值范围．

16. 命题p ：实数x 满足x 2?4ax +3a 2<0，其中a <0，命题q ：实数x 满足x 2?x ?6≤0或x 2+

2x ?8>0，且 p 是 q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．

17. 对于非负整数集合S(非空)，若对任意x ，y ∈S ，或者x +y ∈S ，或者|x ?y|∈S ，则称S 为一

个好集合，以下记|S|为S 的元素个数．

(1)给出所有的元素均小于3的好集合，(给出结论即可)

(2)求出所有满足|S|=4的好集合．(同时说明理由)

(3)若好集合S 满足|S|=2019，求证：S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍．

18. 已知函数f(x)=x 2?4x +a +3．

(1)若函数f(x)在区间[?1,1]上存在零点，求实数a 的取值范围；

(2)设函数g(x)=bx +5?2b ，当a =0时，若对任意x 1∈[1,4]，总存在x 2∈[1,4]，使得f(x 1)=g(x 2)，求实数b 的取值范围．

19. 设n ∈N ?，对于1,2,3,?,n ?1,n ，其所有全排列组成的集合为A n ，对于(a 1,a 2,?,a n )∈A n ，

若恰有两个不同的整数i,j ∈{1,2,?,n ?1}，使得a i >a i+1，a j >a j+1都成立，则称该排列为“美

好排列”.记集合A n 中“美好排列”的个数为f(n)．

(1)求f(3)，f(4)的值；

(2)求f(n)的表达式(用n 表示)．

20. 已知集合A n+k 中含有n +k 个元素，其中1≤k ≤n ，n ∈N ?，集合A n+k 的含n 个元素的子集的

个数为a n+k ，即集合A n+1的含n 个元素的子集的个数为a n+1，集合A n+2的含n 个元素的子集的个数为a n+2，…记S n =∑k n k=1a n+k ．

(1)求S 1，S 2；

(2)证明：S n =(n +1)C 2n+1n+2．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：解：(1)由A =[?1,1]，B =[?2,2]，知：A ∩B =[?1,1]；

且二次函数f(x)的开口向上，f(0)=?1，

由题意知不等式f(x)≤0的解集为C ，

当C ?(A ∩B)时，函数f(x)必有两零点，且两零点均在区间[?1,1]内，

故只需：{f (?1)?0f (1)?0

，解得?1≤m ≤1， ∴实数m 的取值范围为[?1,1]；

(2)对任意x ∈R ，都有f(1?x)=f(1+x)成立，

∴函数f(x)的图象关于直线x =1对称；

∴?m

4=1，解得m =?4，

∴函数f(x)=2(x ?1)2?3，x ∈[?2,2]，

∴x =?2时，f(x)取最大值15，x =1时，f(x)取最小值?3 ，

∴函数f(x)在区间B 上的值域为[?3,15]；

(3)令?(x)=f(x)+g(x)，

则?(x)=x 2+2|x ?a|?1={x 2+2x ?2a ?1,x ?a x 2?2x +2a ?1,x

, ①当a ≤?1时，函数?(x)在区间(?∞,?1)是减函数，(?1,+∞)是增函数，

此时?(x)min =?(?1)=?2a ?2；

②当?1

此时?(x)min =?(a)=a 2?1；

③当a ?1时，在区间(?∞,1)是减函数，(1,+∞)是增函数，此时?(x)min =2a ?2；

综上：当a ≤?1时，?(x)min =?2a ?2；当?1

?(x)min =2a ?2．

解析：本题考查了函数的值域，函数的最值及其几何意义，二次函数的图象与性质，子集与真子集，属于较难题．

(1)可先求出A ∩B =[?1,1]，并求出f(0)=?1，从而根据f(x)≤0的解集为C ，而C ?(A ∩B)，这

样即可判断函数f(x)有两个零点，从而得出{f (?1)?0f (1)?0

，这样便可求出实数m 的取值范围； (2)根据f(1?x)=f(1+x)便可得出f(x)的对称轴为x =1，从而可求出m ，进而得出f(x)，配方即可求出f(x)在[?2,2]上的最大、最小值，即得出其值域；

(3)可令?(x)=f(x)+g(x)，并去绝对值号得出?(x)={x 2+2x ?2a ?1,x ?a x 2?2x +2a ?1,x

，从而可看出需讨论a ：a ≤?1，?1

2.答案：解：(1)由题意得，

当时，

，

又也满足上式，故；

(2)由(1)可得①

∴②

①?②，得，

;

所以S n=2?n+2

2n

(3)由(2)可得，

所以，即.

令

则，，，，，

因为，所以，当时，，即．

因为集合含有4个元素，所以的解个数为4，因为，