数学学科发展前沿专题答案

1.叙述高等代数或近世代数中以数学家名字命名的5个定理(需写具体内容) 答：1、 罗尔定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数值相等,即f(a)= f(b),那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ

3、柯西中值定理：如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且F ’(x)在(a,b)内的每一点处均不为零,那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使的等式[f(b)-f(a)]/[ F(b)-F(a)]= f ’(ξ)/ F ’(ξ)成立。

4、费马定理：当整数 时，关于 的方程 没有正整

数解。

5、高斯（Gauss ）引理两个本原多项式的乘积还是本原多项式. 2.矩阵在中学数学应用的三个例子. 1、二元一次方程组的解法

消元法包括代入消元法与加减消元法

法就是从方程组中的某一个方程解出一个未知数（用含有其他未知数的代数式表示），再将这个未知数的表达式代入这个方程组的其他方程中，在其他方程中消去这个未知数。

加减消元法就是将方程组的一些方程分别乘适当的数，使得某一个未知数的系数相加减等于0，然后将这些方程相加减，消去这个未知数。下面我们以一般的方程为例。 （1）代入消元法

111222(1)

(2)

x a b y c a x b y c +=??

+=? 当10b ≠时，有方程（1）解出111

(3)c a x

y b -= 此时方程组与下列方程组同解：

111

222

(3)(2)c a x y b a x b y c -?=?

??+=? 方程（3）要代入（2）消去未知数y

112221

c a x

a x

b y

c b -+=

= （4） 有方程（4）解出

x ，再将x 的值代入方程（3）求出y 的值，也可以将x 的

值代入方程（2）求出y 的值 （2）加减消元法

111222

(1)

(2)a x b y c a x b y c +=??

+=? 将两个方程各乘适当的数，使未知数y 或x 的系数相同或互为相反数，经相加或相减后消去未知数y 或x ，得出一元一次方程

33a x c = （3）

此时，原方程组与下列方程组中有同解：

1113

3(1)

(3)a x b y c a x c +=??

=? 因此，有方程（3）解出x 的值后，将x 的值代入方程（1）求出y 的值。 2、三元一次方程组的解法及四元一次方程的解法

如果利用上面的两种方法来做也是可以完成的，但就是非常的麻烦，我们利用矩阵的知识来完成。

给定的方程组111122223

333(1)

(2)(3)

a x

b y

c z

d a x b y c z d a x b y c z d ++=??

++=??++=?

系数的行列式

1

11

2

221232313123212131323

3

3

0a b c D a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ==++---≠方程组有唯一的解

x y

Z D x D D y D D Z D ?=??

?=?

?

?=??

其中，1

11

2

223

3

3x d b c D d b c d b c = 111

2

22

3

3

3

y a d c D a

d c a d c =1112

223

3

3

z a d d D a d d a d d = 3,下面以一例题为例具体的说一说用矩阵的解法:

2314

273211x y z x y z x y z ++=??

++=??++=?

系数的行列式：

123

2114312D ==-142371141112

x D ==-1143

27183112y D ==-

1214

217123111z D ==-1

23x y z =??

=??=?

四元一次方程组我就不举例了跟解三元一次方程组的方法一样，依次方法我们还可以解五元、六元等方程。 三，多项式在中学数学中的应用

四， 所谓空间X 内的一条闭路是指一个满足()()10αα=的连续映射

X I →:α,并且说闭路α是以()0α为基点的。若α与β是以X 的同一点为基点的

两条闭路，定义乘积βα?为由下列公式给出的闭路

()()()??

??

?

≤≤-≤≤=?.

121

,12,210,2s s s s s βαβα 公式中s 是从21分成了两个区间，但实际上，s 可以从() ,3,21

=n n

处分，对应的公式为

()()??????

?

≤≤??? ??--≤≤=?.11,11,10,s n

n ns n s ns s βαβα 设X 为拓扑空间，选取一点X p ∈作为基点而考虑X 内以p 为基点的闭路全体(相对于{}1,0的同伦是这个集合的一个等价关系)。我们称这些等价类为同伦类，闭路α的同伦类记作α.

闭路的乘积诱导了同伦类的乘积:

βαβα?=?.

验证 若

α'

αrel {}1,0，β'

βrel {}1,0，

则αα='，ββ=' ，于是有

βα'

?'αβrel {}1,0，

从而βαβα?='?', 这里

()()()??

???≤≤-≤≤=.

121

,,12,210,,2,s t s G s t s F t s H

故有

βα'?'βα?=，

可见这样的定义是有意义的。

定理3.2.1 X 内以p 为基点的闭路同伦类的全体在乘积

βαβα?=?

之下构成一个群。

证明 (1)显然此集合对于乘法是封闭的。 (2)定义连续映射

F

G

H

()????

?

????

≤≤+≤≤+≤≤=.121,2121,

2141,41,410,2s s s s s s s f

其中f 是从I 到I 的连续映射。

由于是I 凸集，且()00=f ，()11=f ，有直线同伦相对于{}1,0从f 到恒等映射1。按引理3.1.3有

()()()f

γβαγβα??=??

()()1 γβα??，rel {}1,0

=()γβα??

所以有γβαγβα??=??，即结合律成立。

(3)单位元素由点p 处常值闭路e 的同伦类担任，e 的定义是

()p s e =，10≤≤s .

定义映射

()??

???≤≤-≤≤=.

121

,12,210,0s s s s f I I f →:,

因此

f

e αα=?1 α，rel {}1,0α=，

所以ααα=?=?e e .

(4)定义同伦类α的逆为1-α，这里

()()s s -=-11αα，10≤≤s ，

定义映射

()??

??

?

≤≤-≤≤=.

121

,22,210,2s s s s s f I I f →:. 由于()()010==f f ，于是

f

g rel {}1,0，其中()0=s g ，10≤≤s .

所以

f

ααα=?-1g αrel {}1,0e =，

故有e =?=?--11αααα.

综合(1)(2)(3)(4),集合构成一个群。 补充：若(2)中的s 是从

() ,3,21

=n n

处分的，由公式有 ()()??????

?

≤≤??? ??--≤≤=?.11,11,10,s n

n ns n s ns s βαβα 从而

()()()???????

≤≤??? ??--≤≤?=??.11,11,10,s n

n ns n s ns s γβαγβα

()

???

??????≤≤??? ?

?--≤≤???? ??--≤

≤=.11

,

11,11,

11,1

0,22

2

2

s n n ns n s n n s n n s s n γβα

又由公式有

()()??????

?

≤≤??? ??--≤≤=?.11

,11,10,s n

n ns n s ns s γβγβ 从而

()()()???

???

?

≤≤??? ??--?≤≤=??.11,11,10,s n n ns n s ns s γβαγβα

()()()??????

???≤≤-???? ?

?-+--≤≤??? ??--≤

≤=.11

2,

112,121,

11,1

0,222

2s n n n n s n n n s n n ns n n

s ns γβα

下求()s f .设

()b ks s f +=.

(1)当21

0n

s ≤

≤时，显然有 ()ns s f =.

(2)当

n

s n 1

12≤

≤时，有 ?????-=+?=+?.121,112

2n n b n

k n b n k ??????-==.1,12n n b k (3)当11

≤≤s n

时，有

?????=+?-=+?.

11,1212b k n n b n k ???

???

=-=.1

,1n b n n k 综合(1)(2)(3)有

()?????

????

≤≤+-≤≤-+≤

≤=.11

,11,11,

1,1

0,222

s n n s n

n n s n n n s n s ns s f

所以有

()()()()???????????

?

?

????≤≤?

???

?? ?

?+-??? ??+-≤≤??????

??--??? ??-+≤

≤?=??.11

,

1211,11,11,1

0,22222

s n

n n s n n n n

s n n n n n s n n s ns n s f γβαγβα

()

?????????≤≤??? ?

?--≤≤???? ?

?--≤

≤=.11

,

11,11,

11,1

0,22

2

2s n n ns n s n n s n n s s n γβα

()()s γβα??=

也就是说，s 并不是一定要从2

1

处分开，只是一般都习惯那样分，而实际上从

() ,3,21

=n n

分也是可以的。 定义 定理3.2.1所构造出的群，叫作基于点p 的基本群。记作()p X ,1π. 定理3.2.2 若X 为道路连通，则对于任何两点X q p ∈,，()p X ,1π同构于

()q X ,1π.

补充 假设γ，σ是空间内两条道路，且满足()()01σγ=，则根据乘积公式

()()()??

??

?

≤≤-≤≤=?.

121

,12,210,2s s s s s σγσγ 可得到一条新道路。由此可验证下列事实。

(a)若γ

γ'rel {}1,0，σσ'rel {}1,0，则 σ

γ?σγ'?'rel {}1,0.

(b)若δσγ,,为任意三条道路，满足()()01σγ=，()()01δσ=，则有

()δσγ??()δσγ??rel {}1,0.

(c)若1-γ定义为()()s s -=-11γγ，则1-?γγ相对于{}1,0同伦于在()0γ处常值道路。同理，γγ?-1相对于{}1,0同伦于()1γ处常值道路。

定理3.2.2的证明 选取一条道路γ，以p 为起点，q 为终点。(因X 是道路连通的，故这样一条道路一定存在)。若α是一条基于p 的闭路，则()γαγ??-1 是一条基于q 的闭路。于是定义

()(),,,11*

q X p X ππγ?→?

.1γαγα??-

利用上面补充的(a)(b)(c),可验证*γ有意义，且是一个同态，且具有逆同态

()*

1

-γ，因此，*

γ

是一个同构。

定理3.2.3 对于迭合映射Z Y X g f ?→??→?

有 ()***f g f g =.

精确表达：选定基点

X p ∈，()Y p f q ∈=，()Z q g r ∈=，

并且说

()()()r Z p X f g ,,:11*ππ→

是迭合同态

()()()r Z q Y p X g

f ,,,111*

*

πππ?→??→?.

特别当Y X h →:为同胚时，可将定理3.2.3应用于

X Y X h h ?→??→?

-1

与Y X Y h

h ?→??→?-1

， 得

()()(),,,:111**1*p X p X h h X ππ→=-

()()()()().,,:11*1**p h Y p h Y h h Y ππ→=-

很明显，恒等映射所诱导的是恒等同态，因此，

()()()p h Y p X h ,,:11*ππ→

是同构。所以同胚的（道路连通）空间具有同构的基本群。

五，黎卡提方程是最简单的一类非线性方程。形如

y'=P(x)y 2+Q(x)y+R(x)的方程称为黎卡提方程。十七世纪，意大利数

学家黎卡提提出如下方程：dy/dx=P(x)y 2+Q(x)y+R(x)，称为黎卡提方程。

黎卡提方程自从十七世纪黎卡提提出以来，历经三百多年一直未有一般解法，虽然有众多特例解法，但是都未能从根本上解决这个方程。但是许多非线性偏微分方程可以用Riccati-Bernoulli 辅助常微分方程方法求得精确解, 而且在Maple 等数学软件的帮助下, 使得Riccati-Bernoulli 辅助常微分方程方法可以高效和便捷地求得非线性偏微分方程的行波解.

所以，无论在微分方程的经典理论或在近代科学的有关分支，黎卡提方程均有重要应用。

六，1、定理1（莱布尼茨判别法） 若交错级数11234(1)n n u u u u u +-+-+

+-+

满足下述两个条件：（i ）数列{}n u 单调递减；（ii ）lim 0n n u →∞

=。则交错级数收敛。2、定理2（阿贝尔判别法）若{}n a 为单调有界数列，且级数n b ∑收敛，则级数

1122n n

n n a b

a b a b a b =++++

∑收敛。

3、

定理3（狄利克雷判别法）若数列{}n a 单调递减，且lim 0n n a →∞

=，又级数n b ∑的

部分和有界，则级数1122n n n n a b a b a b a b =++++

∑收敛。

4、

定理4（魏尔斯特拉斯判别法）设函数项级数()n u x ∑定义在数集D 上，n M ∑为收敛的正项级数，若对一切x D ∈，有(),1,2,,

n n u x M n ≤=则函数项级数()n

u x ∑在D 上一致收敛。

5、

定理5（阿贝耳定理）若幂级数20120

n n n n n a x a a x a x a x ∞

==+++

++

∑在0

x x =≠收敛，则对满足不等式x x <的任何x ，幂级数

20120n

n n n n a x

a a x a x a x ∞

==+++++

∑收敛而且绝对收敛；若幂级数

20120

n

n n n n a x

a a x a x a x ∞

==+++++

∑在x x =时发散，则对满足不等式x x >的

任何x ，幂级数发散。

七，贝叶斯它本质上是一 种分类手段，但是它的优势不仅仅在于高分类准确率，更重要的是，它会通过训练集学习一个因果关系图（有向无环图）。其工作原理就相对简 单很多。我们甚至可以把它归结为一个如下所示的公式：

选取其中后验概率最大的c ，即分类结果，可用如下公式表示

贝叶斯

统计的应用范围很广，如计算机科学中的“统计模式识别”、勘探专家所采用的概率推理、计量经济中的贝叶斯推断、经济理论中的贝叶斯模型等。