(完整版)六年级奥数分数的速算与巧算
第一讲 分数的速算与巧算
教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容,分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.
1、 裂项:是计算中需要发现规律、利用公式的过程,裂项与通项归纳是密不可分的,本讲要求学生掌握
裂项技巧及寻找通项进行解题的能力
2、 换元:让学生能够掌握等量代换的概念,通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分:掌握循环小数与分数的互化,循环小数之间简单的加、减运算,涉及循环小数
与分数的主要利用运算定律进行简算的问题. 4、通项归纳法
通项归纳法也要借助于代数,将算式化简,但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算,使计算过程更加简便,而通项归纳法能将“形似”的复杂算式,用字母表示后化简为常见的一般形式. 知识点拨
一、裂项综合 (一)、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即1
a b
?形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a b <,那么有
1111()a b b a a b
=-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即:
1(1)(2)n n n ?+?+,1
(1)(2)(3)
n n n n ?+?+?+形式的,我们有:
1111
[](1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-?+?+?+++
1111
[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)
n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+
裂差型裂项的三大关键特征:
(1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
(2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” (3)分母上几个因数间的差是一个定值。 (二)、“裂和”型运算:
常见的裂和型运算主要有以下两种形式:
(1)11
a b a b a b a b a b b a
+=+=+??? (2)
2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比:
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。
三、整数裂项
(1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1
(1)(1)3
n n n =
-??+ (2) 1
123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4
n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+
二、换元
解数学题时,把某个式子看成一个整体,用另一个量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,将复杂的式子化繁为简.
三、循环小数化分数
0.9a =
; 0.99ab =; 0.09910990
ab =?=
; 0.990abc =,…… 2、单位分数的拆分:
例:
110=11
2020+
=()()11+=()()11+=()()11+=()()
11+ 分析:分数单位的拆分,主要方法是:
从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有:
11()()()()m n m n N N m n N m n N m n +==+
+++=11
A B
+ 本题10的约数有:1,10,2,5.。 例如:选1和2,有:
11(12)12111010(12)10(12)10(12)3015
+==+=++++ 本题具体的解有:
1111111111011110126014351530
=+=+=+=+ 例题精讲
模块一、分数裂项
【例 1】
11111
123423453456678978910
+++???++
???????????????
【巩固】 333
(1234234517181920)
+++
?????????
【例 2】 计算:
5719
1232348910
+++=??????L .
【巩固】 计算:571719
1155234345891091011
?++++????????L (
)
【巩固】 计算:
34512
12452356346710111314
++++
????????????L
【例 3】
12349
223234234523410
+++++
?????????L L
【例 4】
1111
11212312100
++++
++++++L L L
23450
1(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350)
++++
?++?++++?+++++++?++++L L L
234100
1(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)
++++
?++?++++?++++++?+++L L L
【巩固】 2310
1112(12)(123)(1239)(12310)
-
---
?++?++++++?++++L L L ()
【例 5】
2
22222111111
31517191111131
+++++=------ .
【巩固】 计算:
2
2
22222235715
12233478++++????L 【巩固】 计算:22222222223151711993119951
3151711993119951++++++++++=-----L .
【巩固】 计算:2222
1235013355799101++++=????L .
【巩固】 224466881010
133********?????++++
?????
【例 6】 111
3199921111111(1)(1)(1)(1)(1)223231999
+++
++?++?+??+L L 【巩固】 计算:111
112123122007
+++?
+++++? 【巩固】 1111
33535735721++++
+++++++L L 【例 7】 12123123412350
2232342350++++++++++????
++++++L L L 【例 8】 2222222222222
33333333333
33
1121231234122611212312341226++++++++?+-+-+?-++++++++?+ 【巩固】 2221111112131991??????+?+??+ ? ? ?---??????
L
【例 9】 计算:222
22223992131991
???=---L
【巩固】 计算:222
222129911005000220050009999005000
+++=-+-+-+L
【例 1】 ??? ??+++++++-??? ???++?+??2
2222210211211112120154132124ΛΛΛ
模块二、换元与公式应用
【例 10】 计算:3333333313579111315+++++++
【巩固】 132435911?+?+?+?L
【巩固】 计算:1232343458910??+??+??++??L
【例 11】 计算:23456111111
1333333
++++++
【例 12】 计算:22222222(246100)(13599)
12391098321
+++???+-+++???++++???+++++???+++
【巩固】 ⑴()2
314159263141592531415927-?=________;
⑵2
2
1234876624688766++?=________.
【巩固】 计算:2222222
1234200520062007-+-++-+L
【例 13】 计算:2222222222
12233445200020011223344520002001
+++++++++???+
?????
【例 14】 ()20078.58.5 1.5 1.5101600.3-?-?÷÷-=???? .
【巩固】 计算:53574743?-?= .
【巩固】 计算:1119121813171416?+?+?+?= . 【巩固】 计算:1992983974951?+?+?++?=L .
【巩固】 看规律 32
11=,332123+=,33321236++=……,试求3 3.36714+++L
【例 15】 计算:1111111111
(1)()(1)()2424624624
+
+?++-+++?+ 【巩固】 11111111111111
(1)()(1)()23423452345234
+++?+++-++++?++
【巩固】 11
1111111111111111213141213141511121314151213141????????+++?+++-++++?++ ? ? ? ?????????
【巩固】 1111111111111111
())()5791179111357911137911
+++?+++-++++?++()(
【巩固】 计算
11111111111111111111234523456234562345????????++++?++++-+++++?+++ ? ? ? ?????????
2
123
9123911292391234
1023410223103410????????+++++++++?-++++?+++ ? ? ? ?????????L L L L
21239123911239239()()(1)()23410234102234103410
+++++++++?-+++++?+++L L L L
【巩固】 计算
111121113111431
1412009
2009
++
++
+++
+
++
L L
【巩固】
(7.88 6.77 5.66++)?(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)?(9.3110.98+)
【巩固】 计算(10.450.56++)?(0.450.560.67++)-(10.450.560.67+++)?(0.450.56+)
三、循环小数与分数互化
【例 16】 计算:0.1+0.125+0.3+0.16&&&,结果保留三位小数.
【巩固】 ⑴ 0.540.36+=&&& ; ⑵
19
1.21.2427????+=
【巩固】 计算:0.010.120.230.340.780.89+++++&&&&&& 【巩固】 计算 (1)0.2910.1920.3750.526-++&&&&&&&& (2)0.3300.186
?&&&&
【例 17】 某学生将1.23
&乘以一个数a 时,把1.23&误看成1.23,使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少?
【巩固】 将循环小数0.027&&与0.179672&&相乘,取近似值,要求保留一百位小数,那么该近似值的最后一
位小数是多少?
【例 18】 有8个数,0.51&&,23,59,0.51&,2413,4725
是其中6个,如果按从小到大的顺序排列时,第4个数是0.51&,那么按从大到小排列时,第4个数是哪一个数?
【例 19】 真分数
7
a
化为小数后,如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992,那么a 是多少?
【巩固】 真分数
7
a
化成循环小数之后,从小数点后第1位起若干位数字之和是9039,则a 是多少?
【巩固】 真分数
7
a
化成循环小数之后,小数点后第2009位数字为7,则a 是多少?
【例 20】
20022009和1
287
化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.
【巩固】 纯循环小数0.abc &&写成最简分数时,分子和分母的和是58,则三位数_________abc =
【例 21】 在下面的括号里填上不同的自然数,使等式成立.
(1)()()()()()()()()
11111111111102020=+=+=+=+=+
; (2)
()()
111
10=-
【巩固】 在下面的括号里填上不同的自然数,使等式成立.
()()()()()()1111111
10=--=++
【例 22】
()()()()()()()()()()
11111111111
45=+=-=++=--
【巩固】 110=()()1
1--()1=()()()
111++
【例 23】 所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加,和是__________。
【巩固】 分母为1996的所有最简分数之和是_________。
【例 24】 若
111
2004a b
=+,其中a 、b 都是四位数,且a
【巩固】 如果
111
2009A B
=-,A
B ,均为正整数,则B 最大是多少? 课后练习: 练习1.
123456
121231234123451234561234567
+++++
?????????????????????
练习2. 12389(1)(2)(3)(8)(9)234910-?-?-??-?-L
练习3. 计算:3333
13599++++=L ___________.
练习4. 计算:
练习5.
1
111111111112200723200822008232007????????+++?+++-+++?+++ ? ? ? ?????????L L L L
练习6. ⑴ ····110.150.2180.3111??+?? ???
; ⑵ ()
2.2340.98
11-÷&&&& (结果表示成循环小数) 【备选1】计算:2399
3!4!100!+++=L .
【备选2】计算:22222222
1223200420052005200612232004200520052006++++++++
????L 【备选3】计算:333
1232006
1232006
+++???++++???+
【备选4】计算:
621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947????????
++?++-+++?+ ? ? ? ?????????
【备选5】计算200920091199900999909901??-? ???
(结果表示为循环小数)