工程测量误差测量理论例题和习题(专题复习)

测量误差理论

一、中误差估值（也称中误差）：

Δi （i=1，2，…，n ） （6-8）

【例】 设有两组同精度观测值，其真误差分别为：

第一组 -3″、+3″、-1″、-3″、+4″、+2″、-1″、-4″； 第二组 +1″、-5″、-1″、+6″、-4″、0″、+3″、-1″。 试比较这两组观测值的精度，即求中误差。

解："2

2222219.28

41243133±=+++++++±=m

"222223.38

1

3046151±=+++++++±=m

由于m 1

二、相对误差：观测值中误差m 的绝对值与相应观测值S 相比，并化为分子为1、分母为整数的形式，即

m

S S

m K 1

=

=

（6-10） 三、误差传播定律

【例】 丈量某段斜距S =106.28 m ，斜距的竖角038'?=δ，斜距和竖角的中误差分别为cm 5m s ±=、"20m ±=δ，求斜距对应的平距D 及其中误差D m 。

解：平距 105.113

m 30'c o s 8106.28c o s =??=?=δS D 由于δcos ?=S D 是一个非线性函数，所以，对等式两边取全微分，化成线性函数，并用“?”代替“d ”得

δδδ???-??=?sin cos S S D

再根据（6-29）式，可以直接写出平距方差计算公式，并求出平距方差值

n m ] [ ??

±

=

2"

"2

222"2

22

2

)(477

.24)20626520()'308sin 28.106(5)'308(cos )()sin ()(cos cm m S m m S

D

=???+??=??+?=ρδδδ

因此，平距的中误差为：m D =±5 cm 。则最终平距可表示为：D =105.113±0.050 m 。

应用误差传播定律时，由于参与计算的观测值的类型不同，则计算单位也可能不同，如角度单位和长度单位，所以，应注意各项单位要统一。例如，上例中的角值需要化为弧度。

综上所述，应用误差传播定律求任意函数中误差的步骤如下： 列独立观测值函数式

对函数式进行全微分

写出中误差关系式

应用误差传播定律应特别注意两点：正确列出函数式；函数式中的各个观测值必须是独立观测值。

【例】 用长度为l =30 m 的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差m =±5 mm ，求全长D 及其中误差m D 。

解：列独立观测值函数式

对函数式进行全微分 写出中误差关系式 则，全长的中误差为 m D =±mm 16105555222±=?±=+++ 如果采用下面方法计算该题，考虑错误之处：先列出函数式D=10l ，写出全长D 的中误差关系式并计算中误差m D =10·m =10·5=±50mm 。答案错误，原因在于错误地列出了函数式。 【例】设有函数式Z=y 1+2y 2+1，而y 1=3x ，y 2=2x+2，已知x 的中误差为m x ，求Z 的中误差。 解：若直接利用式（6-16）和（6-23）计算，则

函数Z 的中误差 x m m m m m m x x y y Z

5)2(4)3(42222

21

±=?+±=+±=

上面答案是错误的！这是因为y1和y2均是x 的函数，它们不是互相独立的观测值，因此，不能直接应用误差传播定律进行计算。正确的做法是先将y 1和y 2代入函数式Z ，合并同类项后即为独立观测值，再应用误差传播定律，即

x

Z m m x x x Z 7571)22(23±=+=+++=

【例】 对某段距离进行了5次等精度观测，观测结果列于表6-3，试计算该段距离的最或然值及

)

,,,(21n x x x f z =n n

dx x f dx x f dx x f dz ??++??+??=

221122

2

22

2212

1n

x n x x m x f m x f m x f z m ???

? ????++???? ????+???? ????±= 10

21dl dl dl dD +++= 10

21l l l D +++= 2

210

222110m m m m m l l l D ?±=+++±=

其中误差。计算见表6-3。

表6－3 利用观测值的改正数计算观测值中误差

四、加权平均值及其中误差

【例】 已知观测值分别为L 1、L 2、L 3，其中误差分别为m 1=±1″、m 2=±2″、m 3=±3″,则它们的权分别为：

取μ=1时， 91,4

1,12

3

32

2

22

11=

=

=

===m p m p m p μ

μ

μ

取μ=4时， 9

4,1,423322

22

11====

==m p m p m p μμ

μ

取μ=36时，4,

9,

3623

322

22

11==

==

==

m p m p m p μ

μ

μ

【例】 水准测量中按测站数和水准测量距离定权。设在A 、B 两点间进行水准测量，共设置了n 个测站，各测站的高差分别为h 1、h 2、┅、h n ，则A 、B 点间的高差h AB 为

h AB =h 1+h 2+┅+h n （6-38）

若每个测站的高差中误差为m 站，则根据误差传播定律可得h AB 的中误差为

n m m AB h 站= （6-39）

若设每测站的水准距离相等，均为s ，则A 、B 间的水准测量距离S AB =n ·s ，由式（6-39）可得h AB 的中误差

AB AB h S s

m s S m m AB ?==站

站

（6-40） 设s

m 站=

μ，则式（6-40）变为AB h S m AB ?=μ。当S AB =1 km 时，AB h m =m 公里=μ，可见μ

为每公里水准测量高差的中误差。因此，式（6-40）变为

AB h S m m AB ?=公里 （6-41）

由式（6-39）和（6-41）可得：水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比，与距离的平方根成正比。可见，在水准测量中，测站数越少或距离越短，则观测高差的精度越高。

若取c 个测站的观测高差中误差为单位权中误差μ，根据权定义式（6-37）和式（6-39），可得观测高差h AB 的权为

n c

n

m c m m P AB

AB h

h =

=

=

22站站2

2

μ

（6-42）

若取c 公里观测高差的中误差为单位权中误差m 公里，根据定义权公式（6-37）和式（6-41），可得观测高差h AB 的权为

AB

h

h c m c m m P AB

AB S S AB

22=

=

=

公里公里2

2

μ

（6-43）

由（6-42）和（6-43）式可知：水准测量高差的权与测站数成反比，与水准路线的长度成反比。所以，通过测站数和水准测量距离就可以确定观测高差的权，而不需要利用中误差来定权。 【例】 在相同的观测条件下，对某一未知量分别用不同的次数n 1、n 2、┅、n n 进行n 批观测，

得相应的算术平均值为L 1、L 2、┅、L n ，求 L 1、L 2 、┅、L n 的权。

解：设各观测值的中误差分别为m 1、m 2、┅、m n ，且观测一次的中误差均为m ，则

n

n

n m n m

n m

m

m

m

=

=

=

,,,2

2

1

1

因此，相应的权为i i

i i n n m m p m ???? ??===2

22μμμ，再令m c 2μ=，则i i n c p ?=，若取c=1，则

i i n p = （6-44）

可见，在相同的观测条件下，算术平均值的权与观测次数成正比（或相等）。

设n 个不等精度观测值L 1、L 2、…、L n ，相应的权分别为P 1、P 2、…、P n ，则最或然值（称为加权平均值）为

]

[]

[212211p pL p p p L p L p L p x n n n =++++++=

（6-45）

可以看出，当各观测值为等精度时，则权P 1=P 2=…=P n =1，上式就与算术平均值计算式（6-31）相同。

下面根据式（6-45）推算加权平均值的中误差。设观测值L 1、L 2、…、L n 的中误差分别为m 1、m 2、…、m n ，则根据误差传播定律可得加权平均值的中误差为

[]

[]

[]

2

2

2

22

2

2

22

1

2

2

1

n

n x m P P m P P m P P M +

++

±

= （6-46）

由权定义式（6-37），有i

i

p m 2

2

μ=

，代入式（6-46）可得

[][][][]]

[)(n 212

2

2

2

2

2

2

2

2

1

P P P P P P P P P P P M n

x μμμμμ±

=+++?±

=+

++

±

= （6-47）

实际计算时，上式中的单位权中误差μ可用观测值的改正数来计算，其计算公式为

[]

1-±

=n PVV μ

（6

-48）

将式（6-48）代入式（6-47），可得加权平均值的中误差计算公式

[]

[][])

1(-±

=±

=n P P v v

P M x μ

（6-50）

【例】 如图6-3所示，从已知水准点A 、B 、C 经三条水准路线，测得E 点的观测高程H i 及水准路线长度S i （见表6-4），求E 点的加权平均值及其中误差。

各条水准路线权： i

i S p 1

= （由式6-43可得） 加权平均值： )m (469.527]

[]

H [==

p p x

加权平均值中误差：)(84.8)

1]([]

[M x mm n p pvv ±=-±

=

则E 点高程： H E =527.469±0.009 （m ）

图6-3 不等精度水准路线

表6-4 不等精度高程计算表

五、思考题习题：

1.观测条件主要由那些因素构成？

2.观测误差分为哪几类？它们各自是怎样定义的？试举例说明。

3.在水准测量中，有下列几种情况使水准尺读数有误差，试判断误差的性质及符号：

（1）视准轴与水准管轴不平行；（2）仪器下沉；（3）读数不准确；（4）水准尺下沉；（5）水准尺倾斜。 4.何谓多余观测？测量中为什么要进行多余观测？

5.偶然误差的统计规律是什么？偶然误差的概率分布曲线能说明哪些问题?

6.已知两段距离的长度及其中误差分别为：300.465 m ±4.5 cm 及660.894 m ±4.5 cm ，试说明这两段距离的真误差是否相等？它们的相对中误差是否相等？

7.在三角形ABC 中，已测出,'3'0060,'4'0030±?=∠±?=∠B A

求C ∠的值及其中误差。

8．两个等精度观测角度之和的中误差为"10±，问每个角的观测值中误差是多少？

9.以相同精度观测某角5次，观测值分别为39°40.5’、39°40.8′、39°40.9′、39°40.8′、39°40.6′，试计算该角的最或然值及其中误差。

10.丈量两段直线得 D 1=164.86m,D 2=131.34m,其中误差分别为m m m m D D 03.0,04.021

±=±=，求：（1）

每段直线的相对中误差；（2）两段直线之和的相对中误差；（3）两段直线之差的相对中误差。

11.在水准测量中,已知每次读水准尺的中误差为mm 2±,假定视线平均长为50m ，容许误差为中误差的两倍，求测段长为S km 的水准路线往返测高差的容许闭合差应为多少？ 12.水准测量从点A 到点B ，如附图所示。已知A 、B 点高

程分别为m H m H B A 533.48,145.50==。 观测高差及其水准测量距离分别为：

;

2,527.0;3,127.2;2,131.2;4,134.244332211km S m h km S m h km S m h km S m h =+==-==-==-= 求C 点的最或然高程及其中误差。 附图

13.等精度观测了12个三角形的所有内角，求得每个三角形的闭合差ω见附表，试计算测角中误差。

参考答案： 7. '5'0090±?=∠C 8．7.071"

9．'1.0'7.4039±?

10．670

159241

4378141211

11．

)(25

4

mm S 12. 48.012±0.002(m)

13. ω为真误差，可得三角形内角和的中误差2.2]

[''±=±

=n M ωω，则测角中误差3.13

''±=±=M m 。

六、追加练习：

1. 对某基线丈量六次，其结果为：L1＝246.535m，L2＝246.548m，L3＝246.520m，

L4＝246.529m，L5＝246.550m，L6＝246.537m。

试求：(1)算术平均值; 246.5365m

(2)每次丈量结果的中误差；11.36mm

(3)算术平均值的中误差和基线相对误差。4.6mm，1/53000

2. 观测BM1至BM2间的高差时，共设25个测站，每测站观测高差中误差均为±3mm，

问：（1）两水准点间高差中误差多少？（2）若使其高差中误差不大于±12mm，应设置几个测站? 16站

3. 在等精度观测条件下，对某三角形进行四次观测，其三内角之和分别为：179o59′59″，

180o00′08″，179o59′56″，180o00′02″。

试求：（1）三角形内角和的观测中误差？4.6秒

（2）每个内角的观测中误差？2.66秒