十字相乘法——高中常用的解方程方法
十字相乘法
1．2()x p q x pq +++型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：
(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．
22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++
因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式
例1．把下列各式因式分解：
(1) 276x x -+
(2) 21336x x ++
小结：
例2．把下列各式因式分解：
(1) 2524x x +-
(2) 2215x x --
说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．
2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解
大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212
,,,a a c c 写成112
2
a c a c ?，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等
于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成
1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．
例3. (1)22157x x ++ (2) 2384a a -+
例4. (1) 2576x x +- (2) 261110y y --
用十字相乘法对下面的方程进行求解。
(1) a2－7a+6=0； (2)8x2+6x－35=0；
(3)18x2－21x+5=0； (4) 20－9y－20y2=0；
(5)2x2+3x+1=0； (6)2y2+y－6=0；(7)6x2－13x+6=0； (8)3a2－7a－6=0；
(9)6x2－11x+3=0； (10)4m2+8m+3=0；(11)10x2－21x+2=0； (12)8m2－22m+15=0；
(13)4n2+4n－15=0； (14)6a2+a－35=0；(15)5x2－8x－13=0； (16)4x2+15x+9=0；
(17)15x2+x－2=0； (18)6y2+19y+10=0；
(19) 2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2=0； (20)7(x－1) 2+4(x－1)－20=0
参考答案：
(1)(a-6)(a-1)，(2)(2x+5)(4x-7) (3)(3x-1)(6x-5)，(4)-(4y-5)(5y+4) (5)(x+1)(2x+1)，(6)(y+2)(2y-3) (7)(2x-3)(3x-2)，(8)(a-3)(3a+2) (9)(2x-3)(3x-1)，(10)(2m+1)(2m+3) (11)(x-2)(10x-1)，(12)(2m-3)(4m-5) (13)(2n+5)(2n-3)，(14)(2a+5)(3a-7) (15)(x+1)(5x-13)，(16)(x+3)(4x+3) (17)(3x-1)(5x=2)，(18)(2y+5)(3y+2) (19)(3a-b)(5b-a)，(20)(x+1)(7x-17)
高一上学期化学知识点总汇
第一章 打开原子世界的大门 一．原子结构的发现历程 二．放射性实验 #结论：原子是有结构的。原子可以再分为带正电的粒子与带负电的电子. 三．原子与相对原子质量 1．原子的构成与结构示意图 1）微粒间的关系 3）四决定 A. 质子数 = 核电荷数 = 核外电子数 = 原子序数 a. 质子数-决定元素的种类和“位置” B. 质量数 = 质子数 + 中子数 = 相对原子质量的近似值 b. 中子数-决定原子的物性和质量数 C. 阳离子核外电子数 = 质子数 - 电荷数 c. 价电子-决定元素的化学性质 D. 阴离子核外电子数 = 质子数 + 电荷数 d. 质量数-决定原子的近似相对原子质量 说明：最外层电子数相同其化学性质不一定都相同（Mg ，He 最外层电子数为2） 最外层电子数不同其化学性质有可能相似（He ，Ne 均为稳定结构） 2. 同位素 1）含义：具有相同质子数和不同中子数的同一种元素的原子互称为“同位素”。 本质 性质 α辐射 氦核流 带正电，穿透性弱 β辐射 电子流 带负电，穿透性强 γ射线 电磁波 呈电中性，穿透性很强
2）性质：a、同一元素的各种同位素虽然质量不同，化学性质相同 b、在天然存在的某种元素里不论是游离态还是化合态,各同位素所占原子百分率（丰度）不变 3．元素的相对原子质量 对于元素的相对原子质量是各种同位素相对原子质量根据其所占的原子百分率计算而得的平均值。 是元素的相对原子质量，，，是该元素各种同位素的相对原子质量，，，是各同位素所占的原子百分数。 4．十字相乘法算丰度 元素A有两种天然同位素X A、Y A,参考A元素的相对原子质量(B),估算X A，Y A的丰度. X B-Y ╲╱ B ╱╲ Y X-B X A的丰度= (B-Y)/(X -Y) ，Y A的丰度= (B-Y)/(X -Y) 四．核外电子 1．核外电子的运动状态 1）宏观的运动规律： a. 可确定在某一时刻所处的精确位置 b. 有运动轨迹，即固定轨道 2）电子的运动规律 a. 无法确定在某一时刻所处准确位置 b. 不能确定其运动轨迹，即没有确定轨道 2．核外电子的排布规律 A. 各电子层最多容纳的电子数2 n2 B. 最外层不超过8个电子（K层为最外层时，则不超过2个） 当最外层达到8个（K层为2），就达到了稀有气体稳定结构 C. 次外层不超过18个电子，倒数第三层不超过32个电子 如：M层不是最外层最多可排18个电子; M层是最外层时最多可排8个电子。 总结：电子总是由里向外依次排布（能量低的电子层排满了才依次排能量较高的电子层） 3．元素性质与元素的原子核外电子排布的关系 1）稀有气体元素不活泼性：稀有气体元素的原子最外层排满（He 2个），处于8电子，稳定结构，不易失电子，也不易得电子，化学性质稳定，一般不与其他物质反应。 2）金属性与非金属性： 最外层电子数结构的稳定性得失电子 金属元素原子比较少( < 4 ) 不稳定易失电子 非金属元素原子比较多( > 4 ) 不稳定易得电子 稳定结构一般不参加反应 稀有气体元素原子8个( He 2 个) 4．电子式 1）离子的电子式 a、简单阳离子的电子式：就是它们的离子符号如：Na+、Mg 2+、Al 3+ 复杂阳离子的电子式：
八年级因式分解：十字相乘法
x x p q px ＋qx=(p ＋ q)x x 2 pq a 1x a 2x c 1 c 2 a 1c 2+a 2c 1=b c 1c 2=c a 1a 2=a 八年级因式分解完全导学案：十字相乘法 “十字相乘法”虽然比较难学,但是学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。它在分解因式/解一元二次方程中有广泛的应用： 十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 有()()()b x a x ab x b a x ++=+++2 注意：这里常数项是2，只有1×2。当常数项不是质数时，要通过多次拆分的尝 试，直到符合要求为止。通常是拆分常数项，验证一次项 x 2＋(p ＋q)x ＋pq=(x+p)(x+q) 对于一般的二次三项式ax 2+bx+c (a ≠0)此法依然好用。ax 2＋bx ＋c=(a 1x+c 1)(a 2x+c 2) 例1把m 2+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4 ×3，-6×2，- 12×1当-12分成-2×6时，才
符合本题 解：因为1 -2 1 6 所以m2+4m-12=（m-2）（m+6） 例2把5x2+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。 当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解：因为1 2 5 -4 所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3把14x2-67xy+18y2分解因式 分析：把14x2-67xy+18y2看成是一个关于x的二次三项式, 则14可分为1×14,2×7, 18y2可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为2 -9y 7 所以14x2-67xy+18y2= (2x-9y)(7x-2y) 练习：将下列二次三项式分解因式： 1、7x2-13x+6 2、–y2-4y+12 3、15x2+7xy-4y2 4、10(x+2)2-29(x+2)+10
十字相乘法——高中常用的解方程方法
十字相乘法 1．2() +++型的因式分解 x p q x pq 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 22 x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ ()()()()()因此，2()()() +++=++ x p q x pq x p x q 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式 例1．把下列各式因式分解： (1) 276 x x ++ -+(2) 21336 x x 小结： 例2．把下列各式因式分解： (1) 2524 -- x x +-(2) 2215 x x 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．
2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212 ,,,a a c c 写成112 2 a c a c ?，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等 于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成 1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 例3. (1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ 例4. (1) 2576x x +- (2) 261110y y --
八年级数学：《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳
初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案 编订：XX文讯教育机构
《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 ★★知识体系梳理 ◆分组分解法： 用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性．也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式。 1、分组后能提公因式； 2、分组后能运用公式 ◆十字相乘法： 、型的二次三项式因式分解： （其中，） 、二次三项式的分解： 如果二次项系数分解成、，常数项分解成、；并且等于一次项系数，那么二次三项式： 借助于画十字交叉线排列如下：
◆因式分解的一般步骤：一提二代三分组 ①、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式； ②、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法； ③、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法； ④、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。 ◆因式分解几点注意与说明： ①、因式分解要进行到不能再分解为止； ②、结果中相同因式应写成幂的形式； ③、根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。 ★★典型例题、解法导航 ◆考点一：十字相乘法 1、型三项式的分解 【例1】计算： （1）（2）（3）（4） 运用上面的结果分解因式：
十字相乘法——高中常用的解方程方法
十字相乘法 1．2()x p q x pq +++型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式 例1．把下列各式因式分解： (1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ 小结： 例2．把下列各式因式分解： (1) 2524x x +- (2) 2215x x -- 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．
2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212 ,,,a a c c 写成112 2 a c a c ?，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等 于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成 1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 例3. (1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ 例4. (1) 2576x x +- (2) 261110y y --
初中数学十字相乘法练习(20200710023442)
第十一讲 十字相乘法探究解决： （1）请直接填写下列结果 （x+2）（x+1）= ；（x+2）（x-1）= ；（x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。把上述式子左右对调，你有什么发现？ 二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x 进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 （4）归纳： ab x b a x )(2（）（）将x 2+3x+2分解因式，看下图，你有什么启发？ x 2 +3x +2 2x + x = 3x 例 x 2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式-x + 7x = 6x 例1. 用十字相乘法分解因式： （1）x 2-8x+15 （2）x 2+4x+3 （3）-x 2 -6x+16 练习 1．把下列各式分解因式： （1）1522x x = ； (2) 1032x x 。（3） x 2-2x-3= 。2．若6 52m m (m ＋a )(m ＋b )，则a 和b 的值分别是或。3. 分解因式(1)24142x x (2)36152a a (3)5 42x x (4)22x x (5)1522y y (6) 24 102x x x x 12 x 7x 1
例2．已知，如图，现有a a 、b b 的正方形纸片和a b 的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至 少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为22 252a ab b ，并标出此矩形的长和宽。反馈练习 1．若652m m (m ＋a )(m ＋b )，则a 和b 的值分别是或． 2．3522x x (x －3) (__________)．3.如图，正方形卡片 A 类、 B 类和长方形卡片 C 类各若干张，如果要拼一个长为(a ＋2b)、宽为(a ＋b)的大长方形， 则需要C 类卡片张．4．分解因式： （1）22157x x ； (2) 2384a a ；（3）15 22x x (4) 2576x x (5) 261110y y （6）10 32x x 5．先阅读学习，再求解问题： A a a B b b C b a 第3题图
十字相乘法概念
十字相乘法概念 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1?a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。 例题 例1 把2x^2-7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 ╳ 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ╳ 2 1 1×1+2×3 =7 1 -1 ╳ 2 -3 1×(-3)+2×(-1) =-5 1 -3 ╳ 2 -1 1×(-1)+2×(-3) =-7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7. 解2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1). 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1 ╳
a2 c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法. 例2 把6x^2-7x-5分解因式. 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 ╳ 3 -5 2×(-5)+3×1=-7 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式. 解6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5) 指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是 1 -3 ╳ 1 5 1×5+1×(-3)=2 所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5). 例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式. 分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 ╳ 5 -4 1×(-4)+5×2=6 解5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y). 指出：原式分解为两个关于x，y的一次式. 例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式. 分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解. 问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了. 解(x-y)(2x-2y-3)-2 =(x-y)[2(x-y)-3]-2
十字相乘法的运算方法
十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两 十字相乘法 个因数a1,a2的积a1.a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x^2+（p+q)x+pq=(x+p)(x+q)所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x*2+7x+12进行因式分解. 上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以 上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4) 又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5*(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3). 讲解： x^2-3x+2=如下： x 1 ╳ x 2 左边x乘x=x^2 右边-1乘-2=2 中间-1乘x+-2乘x（对角）=-3x 上边的【x+（-1）】*下边的【x+（-2）】 就等于（x-1）*（x-2） x^2-3x+2=（x-1）*（x-2）例题 例1 把2x^2-7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 ╳ 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ╳ 2 1 1×1+2×3
初中数学中十字相乘法分解因式
初中数学中十字相乘法分解因式 总结知识归纳： 掌握这种方法的关键是确定适合条件的 三项式 1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。 下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。 1. 例1. x 的取值范围。 例2. m 的 分析：-2 a 、 b 为整数，去括号，得： c 、 d 为整数，去括号，得： 2. 在几何学中的应用
x、y，周长为16cm，且满足 4. 在代数证明题中的应用 例. 7的倍数，其中x，y49的倍数。 的倍数。 例1. （2000·湖北） 把2 2 2 2 49 5 4y y x y x- -分解因式的结果是________________。 解：2 2 2 2 49 5 4y y x y x- -
说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。 例2. 说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。 m 的值为（ ） 故选择C 。 说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。 说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。 例3. a ，并将原式因式分解。
a，再利用原式有一个因式是实战模拟：
【试题答案】 1. （1）解： （2）解： （3）解： 说明：先正确分解，再判断。 说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。 4.
说明：用因式分解可简化计算。
初二数学经典习题 十字相乘法及分组分解法(提高)巩固练习
完全平方公式（提高）巩固练习 【巩固练习】 一.选择题 1. 多项式22 3x xy ay -+可分解为()()5x y x by --，则a b 、的值为( ). A.a ＝10，b ＝－2 B.a ＝－10，b ＝－2 C.a ＝10，b ＝2 D.a ＝－10，b ＝2 2. 若()2230x a b x ab x x +++=--，且b a <，则b 的值为( ). A.5 B.－6 C.－5 D.6 3. 将()()2 56x y x y +-+-因式分解的结果是( ). A.()()23x y x y +++- B. ()()23x y x y +-++ C.()()61x y x y +-++ D. ()()61x y x y +++- 4．分解结果等于()()4225x y x y +-+-的多项式是 ( ) A ．
B ． C ． D ． 5. 对224293x x y y +--运用分组分解法分解因式，分组正确的是( )
A. 22(42)(93)x x y y ++-- B. 22(49)(23)x y x y -+- C. 22(43)(29)x y x y -+- D. 22(423)9x x y y +-- 6．如果3233x x x m +-+有一个因式为()3x +，那么m 的值是（ ） A. －9 B.9 C.－1 D.1 二.填空题 7. 分解因式： 3223636a a b a c abc +--； 8. 分解因式：224202536a ab b -+-； 9．5321x x x -+-分解因式的结果是__________. 10. 如果代数式 有一因式，则a 的值为_________． 11．若3223a a b ab b --+有因式()a b -,则另外的因式是_________.
八年级数学十字相乘法因式分解
八年级数学十字相乘法因式分解人教四年制 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 1. pq x q p x +++)(2 型式子的因式分解。 2. 十字相乘法因式分解。 二. 教学重点、难点： 1. 重点： pq x q p x +++)(2型式子因式分解。 2. 难点： 常数项分解成两个数时，如何确定符号。 三. 教学要点： 1. q p x q p x ?+++)(2型二次三项式子的特点是： （1）二次项的系数是1。 （2）常数项是两个数之积。 （3）一次项系数是常数的两个因数之和。 对这个式子先去括号，得到： pq x q p x +++)(2)()(22pq qx px x pq qx px x +++=+++= ))(()()(q x p x p x q p x x ++=+++= 利用此式的结果可以直接将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。 2. 十字相乘法： 将))((2211c x a c x a ++计算得： 211221221211221221)(c c x c a c a x a a c c x c a x c a x a a +++?=+++= 反之：))(()(22112112212 21c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++ 利用这个等式，我们可以用下面的写法，尝试把某些二次三项式如c bx ax ++2 分解因式，先把a 分解成21a a a =，把c 分解成21c c c =，并且排列如下： 2 2 1 1c a c a 这里按斜线交叉相乘的积的和就是1221c a c a +，如果它正好等于二次三项式 c bx ax ++2中一次项的系数b ，那么c bx ax ++2就可以分解成))((2211c x a c x a ++，其中1a 、1c 是上图中上面一行的两个数，2a 、2c 是下面一行的两个数。 例如：把二次三次式101132 ++x x 分解因式。 我们知道：313?=，5210?=写成 5 3 2 1 后发现113251=?+?，所以)53)(2(101132 ++=++x x x x
高一上学期化学知识点总汇
第一章打开原子世界的大门 历程中的观点代表人物和时间具体内容提出模型的主要 依据 古典原子论公元前 5 世纪 古希腊哲学家德 谟克利特 物质由极小的称为“原子”的微粒构 成 , 物质只能分割到原子 近代原子论19 世纪初英国物 理学家和化学家 道尔顿 化学元素均由不可再生的微粒构 成 , 这种微粒称为原子 葡萄干面包模型1903 年英国科学 家汤姆孙 原子中的正电荷是均匀地分布在整 个原子的球形体内 , 电子则均匀地 分布在这些正电荷之间 电子的发现 行星模型1911 年英国物理 学家卢瑟福 原子是由带正电荷的质量很集中的 很小的原子核和在它周围运动着的 带负电荷的电子组成 元素放射性的发 现, α 粒子散射 实验结果分析 壳层模型1913 年丹麦物理 学家波尔 电子在原子核外空间的一定轨道上 分层绕核做高速的圆周运动。 电子云模型1935 年奥地利物 理学家薛定谔 电子在原子核外很小的空间内作 高速运动，其运动规律跟一般物体 不同，它没有明确的轨道。 一．原子结构的发现历程 二．放射性实验 本质性质 α 辐射氦核流带正电，穿透性弱 β 辐射电子流带负电，穿透性强 γ 射线电磁波呈电中性，穿透性很强
# 结论：原子是有结构的。原子可以再分为带正电的粒子与带负电的电子 . 三．原子与相对原子质量 1 ．原子的构成与结构示意图 1 ）微粒间的关系 3 ）四决定 A . 质子数 = 核电荷数 = 核外电子数 = 原子序数 a. 质子数 - 决定元素的种 类和“位置” B . 质量数 = 质子数 + 中子数 = 相对原子质量的近似值 b. 中子数 - 决定原 子的物性和质量数 C . 阳离子核外电子数 = 质子数 - 电荷数 c. 价电子 - 决定元素的化学性 质 D . 阴离子核外电子数 = 质子数 + 电荷数 d. 质量数 - 决定原子的近似相对 原子质量 说明：最外层电子数相同其化学性质不一定都相同（ Mg ， He 最外层电子数为 2 ） 最外层电子数不同其化学性质有可能相似（ He ， Ne 均为稳定结构） 2. 同位素 1 ）含义：具有相同质子数和不同中子数的同一种元素的原子互称为“同位素”。 2 ）性质： a 、同一元素的各种同位素虽然质量不同，化学性质相同 b 、在天然存在的某种元素里不论是游离态还是化合态 , 各同位素所占原子百分率（丰度）不变 3 ．元素的相对原子质量 对于元素的相对原子质量是各种同位素相对原子质量根据其所占的原子百分率计 算而得的平均值。 是元素的相对原子质量，是该元素各种同位素的相对原子质量，是各同位素所占的原子百分数。 4 ．十字相乘法算丰度
十字相乘法的用法
十字相乘法 “十字相乘法”虽然比较难学,但是学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。它在分解因式/解一元二次方程中有广泛的应用： 十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 例1把m2+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题 解：因为 1 -2 1 ╳ 6 所以m2+4m-12=（m-2）（m+6） 例2把5x2+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解：因为 1 2 5 ╳ -4 所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3解方程x2-8x+15=0 分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15， 3×5。 解：因为 1 -3 1 ╳ -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5
例4、解方程 6x2-5x-25=0 分析：把6x2-5x-25看成一个关于x的二次三项式， 则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。 解：因为 2 -5 3 ╳ 5 所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3 用十字相乘法解一些比较难的题目： 例5把14x2-67xy+18y2分解因式 分析：把14x2-67xy+18y2看成是一个关于x的二次三项式, 则14可分为1×14,2×7, 18y2可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为 2 -9y 7 ╳ -2y 所以 14x2-67xy+18y2= (2x-9y)(7x-2y) 例6 把10x2-27xy-28y2-x+25y-3分解因式 分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式 的形式 解法一、10x2-27xy-28y2-x+25y-3 =10x2-（27y+1）x -（28y2-25y+3） 4y -3 7y ╳ -1 =10x2-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） 2 -（7y – 1） 5 ╳ 4y - 3
高中化学十字相乘法原理及经典题目讲解学习
高中化学的十字相乘法 十字交叉法又称图解法，应用于二元混合体系所产生的具有平均意义的计算问题，表现出实用性强，能准确、简便、迅速求解的特点。 适用范围： “十字交叉法”适用于两组分混合物（或多组分混合物，但其中若干种有确定的物质的量比，因而可以看做两组分的混合物），求算混合物中关于组分的某个化学量（微粒数、质量、气体体积等）的比值或百分含量。 例1：实验测得乙烯与氧气的混合气体的密度是氢气的14.5倍。可知其中乙烯的质量分数为（ ） A.25.0% B.27.6% C.72.4% D.75.0% 解析：要求混合气中乙烯的质量分数可通过十字交叉法先求出乙烯与氧气的物质的量之比（当然也可以求两组分的质量比，但较繁，不可取），再进一步求出质量分数。 这样，乙烯的质量分数是： ω（C 2H 4）=321283283?+??×100％=72.4% 答案：C 。 （解毕） 二、十字交叉法的解法探讨： 1.十字交叉法的依据： 对一个二元混合体系，可建立一个特性方程： ax+b(1－x)=c (a 、b 、c 为常数，分别表示A 组分、B 组分和混合体系的某种平均化学量，如：单位为g/mol 的摩尔质量、单位为g/g 的质量分数等) ；x 为组分A 在混合体系中某化学量的百分数（下同）。 如欲求x/(1－x)之比值，可展开上述关系式，并整理得： ax －bx=c －b 解之，得： b a c a x b a b c x --=---=1, 即：c a b c x x --=-1 2.十字交叉法的常见形式： 为方便操作和应用，采用模仿数学因式分解中的十字交叉法，记为： 3.解法关健和难点所在： 十字交叉法应用于解题快速简捷，一旦教给了学生，学生往往爱用，但是也往往出错。
(完整版)十字相乘法
十字相乘法分解因式 因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相 乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复 进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试 一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 1．二次三项式 （1）多项式c bx ax ++2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项． 例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． （2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式． （3）在多项式3722 2+-ab b a 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容 (1)对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． 例1、 因式分解。 分析：因为 7x + (-8x) =-x 解：原式=（x+7）（x-8）
例2、 因式分解。 分析：因为 -2x+（-8x ）=-10x 解：原式=（x-2）（x-8） (2)对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++= 它的特征是“拆两头，凑中间” 当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同 注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉 相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 例3、 因式分解。 分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。 因为 9y + 10y=19y 解：原式=（2y+3）（3y+5） 例4、 因式分解。 分析：因为 21x + (-18x)=3x 解：原式=（2x+3）（7x-9） 例5、 因式分解。 分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。 因为 -25（x+2）+[-4(x+2)]= -29（x+2） 解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2] =（2x-1）（5x+8）
高中化学十字相乘法原理及经典题目
高中化学的十字相乘法 十字交叉法又称图解法，应用于二元混合体系所产生的具有平均意义的计算问题，表现出实用性强，能准确、简便、迅速求解的特点。 适用范围： “十字交叉法”适用于两组分混合物（或多组分混合物，但其中若干种有确定的物质的量比，因而可以看做两组分的混合物），求算混合物中关于组分的某个化学量（微粒数、质量、气体体积等）的比值或百分含量。 例1：实验测得乙烯与氧气的混合气体的密度是氢气的14.5倍。可知其中乙烯的质量分数为（ ） A.25.0% B.27.6% C.72.4% D.75.0% 解析：要求混合气中乙烯的质量分数可通过十字交叉法先求出乙烯与氧气的物质的量之比（当然也可以求两组分的质量比，但较繁，不可取），再进一步求出质量分数。 这样，乙烯的质量分数是： ω（C 2H 4）=32 1283283?+??×100％=72.4% 答案：C 。 （解毕） 二、十字交叉法的解法探讨： 1.十字交叉法的依据： 对一个二元混合体系，可建立一个特性方程： ax+b(1－x)=c (a 、b 、c 为常数，分别表示A 组分、B 组分和混合体系的某种平均化学量，如：单位为g/mol 的摩尔质量、单位为g/g 的质量分数等) ；x 为组分A 在混合体系中某化学量的百分数（下同）。 如欲求x/(1－x)之比值，可展开上述关系式，并整理得： ax －bx=c －b 解之，得： b a c a x b a b c x --=---=1, 即：c a b c x x --=-1 2.十字交叉法的常见形式： 为方便操作和应用，采用模仿数学因式分解中的十字交叉法，记为： 3.解法关健和难点所在： 十字交叉法应用于解题快速简捷，一旦教给了学生，学生往往爱用，但是也往往出错。
初中数学十字相乘法练习
第十一讲 十字相乘法 探究解决： （1）请直接填写下列结果 （x+2）（x+1）= ； （x+2）（x-1）= ； （x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。 把上述式子左右对调，你有什么发现？ 二次项系数为1的二次三项式的二次三项式 直接利用公式直接利用公式————))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解进行分解。。 特点特点：：（（11）二次项系数是1； （（2）常数项是两个数的乘积常数项是两个数的乘积；； （3）一次项系数是常数项的两因数的和一次项系数是常数项的两因数的和。。 （4）归纳归纳：：=+++ab x b a x )(2（ ）（）（）（ ）） 将x 2+3x+2分解因式，看下图，你有什么启发？ x 2 +3x +2 2x + x = 3x 例 x 2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤步骤 步骤： ①竖分竖分竖分二次项与常数项 ②交叉交叉 交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写横写横写因式 -x + 7x = 6x 例1. 用十字相乘法分解因式： （1）x 2-8x+15 （2）x 2+4x+3 （3）-x 2-6x+16 练习 1．把下列各式分解因式： （1）1522??x x = ； (2) =?+1032x x 。 （3） x 2-2x-3= 。 2．若=??652m m (m ＋a )(m ＋b )，则 a 和b 的值分别是 或 。 3. 分解因式(1)24142++x x (2)36152+?a a (3)542?+x x (4)22?+x x (5)1522??y y (6)24102??x x x x 1 2×x ??7× x 1?
十字相乘法的方法
十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。 4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。 5、十字相乘法解题实例： 1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目 例1把m²+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题 解：因为1 -2 1 ╳6 所以m²+4m-12=（m-2）（m+6） 例2把5x²+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解：因为1 2 5 ╳-4 所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3解方程x²-8x+15=0 分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。 解：因为1 -3 1 ╳-5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例4、解方程6x²-5x-25=0 分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。 解：因为2 -5 3 ╳5 所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以x1=5/2 x2=-5/3 2)、用十字相乘法解一些比较难的题目 例5把14x²-67xy+18y²分解因式 分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为2 -9y 7 ╳-2y 所以14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y) 例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式
公式法和十字相乘法
公式法和十字相乘法 概念回顾： 1.公式法 因式分解的平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 因式分解的完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2, a2－2ab+b2=(a－b)2 2．十字相乘法 定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 要将二次三项式x2+ px + q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p, 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即 x2 + px + q = x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b). 用十字交叉线表示: x +a x +b ax + bx = (a + b)x 由于把x2+ px + q中的q分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行因式分解. 将二次三项式x2+ 4x + 3因式分解，就需要将二次项x2分解为x·x，常数项3分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示: x2+ 4x + 3 = (x + 3)(x + 1). x +3 x +1 3x + x = 4x 把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p 符号规律：当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同； 当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同。 例题精讲：
基础训练： 1. 用完全平方公式分解因式： 2.用完全平方公式分解因式：
3.用十字相乘法分解因式 4.用十字相乘法分解因式