判定二次函数中的a,b,c的符号
二次函数：图象位置与a, b, c,
(1)a决定抛物线的开口方向：?| .
(2)C决定抛物线与尸轴交点的位置，心aDq抛物线交尸轴于；
=抛物线交轴于；—0Q.
(3)ab决定抛物线对称轴的位置，
当儿"同号时Q对称轴在F轴；对称轴为；以片异号匕对称轴在〉轴，简称为?
一、通过抛物线的位置判断a, b, c, △的符号.
y
例1 .根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断a、b、c、b 2 -4ac的符号
2.看图填空
(1) a+ b+ c _____ 0 (2) a—b+ c ______ 0
(3) 2a— b ______ 0 (4) 4a+ 2b+ c _______ 0
二、通过a, b, c, △的符号判断抛物线的位置：
例1 .若，则抛物线y=ax 2 +bx+c的大致图象为（）
例2.若a>0, b>0, C>0,A> 0,那么抛物线y=ax2+bx+c经过象限.
例 3.已知二次函数y=ax2+bx+c 且a v 0, a-b+c >0;则一定有b2-4ac 0
例4.如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的大致图象是（）
B
D
C
A
1.若抛物线y=ax2+bx+c开口向上，则直线尸血山经过象限.
y
2 .二次函数y=ax 2 +bx+c的图象如图所示,则下列条件不正确的是（
A、甬* “ > 山匕v 0
B、tr - 4ac< 0
C、山十&十°
D、
y
（b ac
3 .二次函数y=ax 2 +bx+c的图象如图，则点心〃丿在.（）
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
y
4 .二次函数y=ax2 +bx+c与一次函数一在同一坐标系中的图象大致是（
5 .二次函数y=ax2+bx+c ''的图象，如图，下列结论①②丄沁③
扁十2b十“0④（八其中正确的有（）
A 1个B、2个
C、3个
D、4个1
6 .已知函数y=ax 2 +bx+c的图象如图所示，关于系数■ ■'有下列不等式①②
I、'；：③④⑤r .：■ .■-：■＜：其中正确个数为.
/ O
第\ *
r
6
7.已知直线y=ax2+bx+c不经过第一象限，则抛物线
F皿人肛一定经过（）
A.第一、二、四象限B .第一、二、三象限
C?第一、二象限D.第三、四象限
8. _如图所示的抛物线是二次函数y = ax2-3x + a2-1的图象，那么a的值是
9. _若抛物线y = x2 —bx+ 9的顶点在＜轴上，贝U b的值为____
若抛物线y = x2 —bx+ 9的顶点在y轴上，贝U b的值为_____
y= ax2+ bx+ c(a工0的图象如图所示，有
③占n —
F列结论：①abc>0;②a+ b+ c=2；':④bv
1.其中正确的结论是(
A.①②B .②③C .②④D .③④
11. 二次函数y = ax2+ bx+ c(a工0的图象开口向上，图象经过点(-1,2 )和(1,0 )，且与y轴负半轴交于一点，给出以下结论① abcv0；②2a+ b>0；③a + c= 1;④a> 1.其中正确的结论是(
A 1个B、2个C、3个D、4个
12. 二次函数y = ax2 —2x —1与x轴有交点，贝U k的取值范围______ 。
13. (2011甘肃兰州，9，4分)如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1) b2-4ac >0;
1
(2 ) c>1 ;
(3) 2a—b<0;(4) a+b+c<0。你认为其中错误的有(
A. 2个B . 3个C . 4个D . 1个
【答案】D
14. （2010湖北孝感，12, 3分）如
图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为-，下列
结论：①ac v 0;②a+b=0;③4ac—b2=4a；④a+b+c v 0.其中正确的个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
15. （2010年杭州月考）已知二次函数y = ax2 + bx + c（a工0的图象如图所示，给出以下结论：①? ②当：时，函数有最大值。③当，
时，函数y的值都等于0.④山沖能匸其中正确结论的个数是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
解：根据函数图象，：a v0, c>0,对称轴x=1，b>0,与x轴交于（-1，
0）（3，0）两点.
①abc v 0，正确；
②当x=1时，函数有最大值，正确；
③当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0,正确；
④当x=2 时，y=4a+2b+c>0,错误;
答案：C
（2009黄石）已知二次函数y=ax2+bx+c （a^0）的图象如图3所示，下列结论：①abc>0②2a+b v0③4a—2b+c v0④a+c>0,
其中正确结论的个数为（）
A、4个
B、3个
C、2个
D、1个
解：①：???抛物线的开口方向向下，.la v0,
???抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，??? c>0,
???抛物线对称轴在y轴右侧，???对称轴为x=-b/2a > 0,
又??? a v 0，? b> 0，故abc v 0；故本选项错误；
②???对称轴为x=-b/2a v 1，a v0，? -b >2a，? 2a+b v 0;故本选项正确;
③根据图示知，当x=-2时，y v0，即4a-2b+c v 0;故本选项正确；
④由图可知当x=-1 时，y=a-b+c v0，.? a+c v b>0，即不确定a+c v0；故本选项错误；
综上所述，②③共有2个正确.
故选C.
17.小明从图1所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①②…；③—山"0；④阳-3*0；⑤，你认为其中正确信息的个数有.（填序号）
3
解：抛物线的开口向上，贝U a > 0;
I
对称轴为x=-b=3，即3b=-2a，故b v0;
抛物线交y轴于负半轴，则c v0；
①由以上c v 0，正确；
②由a>0, b v0，c v0，得abc>0，正确；
③由图知：当x=-1时，y>0，贝U a-b+c >0，正确；
④由对称轴知：3b=-2a，即3b+2a=0,错误；
3 3
⑤由对称轴知：3b=-2a，即a=- b，函数解析式可写作y=- bx2+bx+c；
3
由图知：当x=2时，y> 0,即-b x 4+2b+c> 0,即c-4b > 0,故⑤正确;
???正确的结论有四个：①②③⑤.
（2011山东日照，17，4分）如图，是二次函数y三ax2土bx土c （a^ 0）的图象的一部分，给出下列命题:①a+b+c=0；②b>
2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1;④a-2b+c>0.其中正确的命题是.
（只要求填写正确命题的序号）
【答案】①③.
二次函数常见关系式符号的判定
二次函数常见关系式符号的判定 例1如图1是抛物线的图像，则① 0；② 0；③ 0； ④ 0；⑤ 0；⑥ 0；⑦ 0。 图3 例 2如图2，已知二次函数的图像与轴相交于( ，0 )，( ， 0)两点，且，与轴相交于(O ，-2)，下列结论：① ； ② ；③ ； ④；⑤ 。． 其中正确结论的个数为( ) A ．1个 B .2个 C .3个 D ．4个 练习1、如图3，的二次函数2y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）2 40b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0. 你认为其中错误．．的有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 2、函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象如图4，下列结论正确的是：__________ ① 0>abc ; ② c a b +<; ③ 4a +2b +c >0; ④ 2c <3b; ⑤ 2a +b =0; ⑥ a +b >m (am +b ); ⑦042 <-ac b 图5 图4 图6
3、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图5，给出下列结论：①b2－4ac>0；② 2a＋b<0； ③ 4a－2b＋c=0；④a︰b︰c=-1︰2︰3.其中正确的是( ) A．①②B．②③C．③④D．①④ 4、如图6为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，则下列说法：①a＞0②2a+b=0③a+b+c＞0④当-1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 压轴题训练：如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y 轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积． （3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B 和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．
二次函数中的符号问题
二次函数中的符号问题 一、基本知识： （1）二次函数y=ax 2+bx+c 的图像是一条抛物线，这条抛物线的形状（开口方向、开口大小）是由 决定的. 抛物线的开口向上 抛物线的开口向下 抛物线的形状相同 （2）抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点的位置是由 决定的. 抛物线与y 轴相交于正半轴上； 抛物线与y 轴相交于原点； 抛物线与y 轴相交于负半轴上. （3）抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴的位置是由 决定的. 对称轴在y 轴的左侧； 对称轴在y 轴的右侧； 对称轴就是y 轴. （4）抛物线与x 轴交点的个数由 决定的. 抛物线与x 轴有2个交点； 抛物线与x 轴有1个交点； 抛物线与x 轴有0个交点. （5）二次函数y=ax 2+bx+c 的值恒大于0（或恒小于0）的条件是: y 恒大于0 y 恒小于0 （6）抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标是（ ， ） 顶点在x 轴上 顶点在y 轴上 二、例题： 例1、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，根据图像填空： （用“＞”、“＝”、“＜”填空 ） （1）a___0，b__0，c___0，（2）a+b+c_____0，a －b+c______0， （3） 例2、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，根据图像填空： （用“＞”、“＝”、“＜”填空 ） （1）a___0；b___0；c___0；a+b+c___0；a －b+c______； （2） 练习： 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，根据图像填空： （用“＞”、“＝”、“＜”填空 ） （1）a_____0，b____0，c_____0； （2）a+b+c_____0，a －2b_____0，9a －3b+c_____0 c_____0b 21a 41+-1_____0b 2 1a 41--
二次函数符号abc的判定练习
二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定 一、基础练习 1、已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图 所示，则下列结论中，正确的是（ ） A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞0 2、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果① b 2＞4a c ；②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，则正确的结 论是（ ） A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤ 3、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 1/2，1）， 下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确 结论的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 4、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线 x=1，则下列结论正确的是（ ） A 、ac ＞0 B 、方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3 C 、2a-b=0 D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小 5、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图 所示，有下列结论：①abc ＞0，②b 2-4ac ＜0，③a-b+c ＞0，④4a-2b+c ＜0，其 中正确结论的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6、如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，下面四条信息： （1）b 2-4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a-b ＜0；（4）a+b+c ＜0．错 误的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、1个 7、抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的 是（ ） A 、b 2-4ac ＜0 B 、abc ＜0 C 、 -b/2a ＜-1 D 、a-b+c ＜0 8、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，现有下列结 论： ① b 2-4ac ＞0 ②abc ＞0 ③8a+c ＞0 ④9a+3b+c ＜0， 则其中结论正确 的个数是（ ）A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个
二次函数符号判断练习
读书破万卷下笔如有神 关于二次函数的符号判断 2c?ax?bxy?）例1 已知抛物线的图象如图所示，则a、b、c（a?0,b?0,c?0a?0,b?0,c?0Ａ. B.a?0,b?0?a?0,b0,c?0,c?0 C. D. 2y?ax?bx?c中，b＝4a例2 抛物线，它的图象如图，有以下结论：① 2a?b??0c?0cc?0a?b?b?4ac?0④③；② abc?04a?c；其中正确的为（；⑥⑤） A．①② B．①④ C．①②⑥ D．①③⑤ 2y?ax?b0?ab axy?的图象是时，函数（与例3 下列图象中，当） yyy y
O O xx xx O O A B D C 0，则它的图象可能是图所示的( ) a，且＋b已知二次函数＋y＝ax＋bx＋c，c如果a>b>c4 2＝ 例yy y y O O Ox1x Ox11x1 B D AC2CB?A c?ax?bxy?为等，且、CA的图象与两个坐标轴的交点分别为、例6 如图，二次函数B20c??1a?b?0ac?cS?，其中一定成立；④；③；②腰直角三角形，那么下列结论①ABC?y的有（） x例 读书破万卷下笔如有神
参考下面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是（） x?0时，．贝贝：我注意到当0m?y?1．晶晶：我发现图象的对称轴为?x 2x?a?x．欢欢：我判断出 21 a?1的符号．迎迎：我认为关键要判断 m可以取一个特殊的值．妮妮： 20c??b?a0ac?b?4例8下列命题：①若，则；20?bx?cax?c?a?b，则一元二次方程②若有两个不相等的实数根；20c?ax?bx?c3b?2a?③若有两个不相等的实数根；，则一元二次方程20?b?4ac3. ④若或，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2其中正确的是（）．Ｃ．只有①④Ｄ．只有②③④．Ａ.只有①②③Ｂ．只有①③④ ??22a0?bx?a?b??yaxa( ) 9 已知，二次函数的图像为下列图像之一，则的值为例 4 3 D. － 1 C. A.－1 B ．－
二次函数中的符号问题
第二十二章二次函数 22.1.4二次函数y= a x2+bx+c的图像和性质 第2课时：二次函数中的符号问题 【教学目标】 1.复习巩固二次函数的图象及其性质。 2.由a,b,c,△的符号确定抛物线的位置；由抛物线的位置确 定a,b,c,△等式子的符号。 【学情分析】 学生之前已经系统学习了二次函数的定义，图像及性质等基本知识，但是缺乏对知识之间内在联系的再认知，本节课内容的复习既是旧知识的再现，又是知识内部联系规律的生成，考虑到本节课要应用图像分析系数，要运用规律综合解决一些问题，所以在设计教学时有意识的注重思路、方法、规律的总结，重视原理的建构和方法的应用。 【教学重、难点】 教学重点是：掌握二次函数y=a x2+bx+c的图像与系数符号之间的关系。 教学难点是：运用数形结合思想，选用恰当的数学关系式解决不同类型的二次函数符号问题。 【教学方法】启发引导、观察、探索 【学法引导】化归迁移举一反三
【教学过程】 一、知识链接温故而知新 （一）回味知识点： 1、抛物线y=a x2+bx+c的开口方向与什么有关？ 2、抛物线y=a x2+bx+c与y轴的交点是。 3、抛物线y=a x2+bx+c的对称轴是。（二）归纳知识点： 抛物线y=a x2+bx+c的符号问题： （1）a的符号：由抛物线的开口方向确定： 开口向上a>0 开口向下a<0 （2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定: 交点在x轴上方c>0 交点在x轴下方c<0 经过坐标原点c=0 （3）b的符号：由对称轴的位置确定： 对称轴在y轴左侧a、b同号 对称轴在y轴右侧a、b异号 对称轴是y轴b=0 简记为：左同右异（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定:
判定二次函数中的a,b,c的符号
二次函数：图象位置与a, b, c, (1)a决定抛物线的开口方向：?| . (2)C决定抛物线与尸轴交点的位置，心aDq抛物线交尸轴于； =抛物线交轴于；—0Q. (3)ab决定抛物线对称轴的位置， 当儿"同号时Q对称轴在F轴；对称轴为；以片异号匕对称轴在〉轴，简称为? 一、通过抛物线的位置判断a, b, c, △的符号. y 例1 .根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断a、b、c、b 2 -4ac的符号 2.看图填空 (1) a+ b+ c _____ 0 (2) a—b+ c ______ 0 (3) 2a— b ______ 0 (4) 4a+ 2b+ c _______ 0 二、通过a, b, c, △的符号判断抛物线的位置：
例1 .若，则抛物线y=ax 2 +bx+c的大致图象为（） 例2.若a>0, b>0, C>0,A> 0,那么抛物线y=ax2+bx+c经过象限. 例 3.已知二次函数y=ax2+bx+c 且a v 0, a-b+c >0;则一定有b2-4ac 0 例4.如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的大致图象是（） B D C A 1.若抛物线y=ax2+bx+c开口向上，则直线尸血山经过象限. y 2 .二次函数y=ax 2 +bx+c的图象如图所示,则下列条件不正确的是（ A、甬* “ > 山匕v 0 B、tr - 4ac< 0 C、山十&十° D、 y （b ac 3 .二次函数y=ax 2 +bx+c的图象如图，则点心〃丿在.（） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 y 4 .二次函数y=ax2 +bx+c与一次函数一在同一坐标系中的图象大致是（
二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)33935
函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为 顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M 为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平 分线与对称轴交点即为所求点P。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方 法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。
二次函数知识点汇总(全)
二次函数知识点(第一讲) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）
3. ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数() 2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为： 顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有
初中数学有关二次函数的符号判断
有关二次函数的符号判断 前面，我们已经学过二次函数c bx ax y ++=2的一些基本性质，现在我们简单地回顾一下这些性质： 二次函数c bx ax y ++=2的图象是 ,应用配方法可将其化为=y ．其中=h ， =k ．其图象与函数2ax y =的图象的 相同，开口方向相同， 那么，我们今天一起来学习抛物 线的位置与?,,,c b a 之间的关系．上面讲过，对于抛物线来说： （1）a 决定抛物线的开口方向：?>0a ；?<0a ． （2）C 决定抛物线与y 轴交点的位置： 0>c ?抛物线交y 轴于 ； 0
二次函数中的符号问题
课题：二次函数中的符号问题 【教学目标】 1.复习巩固二次函数的图象及其性质。 2.由a,b,c,?的符号确定抛物线的位置；由抛物线的位置确定a,b,c,?等式子的符号。 【教学重点】数形结合思想的熟练运用 【教学方法】启发引导、观察、探索 【学法引导】化归迁移举一反三 【教学过程】 一、知识链接温故而知新 自学：抛物线y=a x 2+bx+c的符号问题： （1）a的符号：由抛物线的开口方向确定 开口向上 a>0；开口向下 a<0 （2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定: 交点在x轴上方 c>0 ；交点在x轴下方 c<0 经过坐标原点 c=0 （3）b的符号：由对称轴的位置确定：简记为：左同右异 对称轴在y轴左侧 a、b同号；对称轴在y轴右侧 a、b异号；对称轴是y轴b=0 （4）b 2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定: 与x轴有两个交点b 2-4ac>0；与x轴有一个交点 b 2-4ac=0 ；与x轴无交点 b 2-4ac<0； （5）a+b+c的符号： 由x=1时抛物线上的点的位置确定 （6）a-b+c的符号： 由x=-1时抛物线上的点的位置确定,利用以上知识主要解决以下几方面问 题： （1）由a,b,c,?的符号确定抛物线在坐标系中的大致位置； （2）由抛物线的位置确定系数a,b,c,?等符号及有关a,b,c的代数式的符号； 二、（探究活动）典例学习温故而知新 【活动一】若二次函数c bx ax y+ + =2的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y轴 的正半轴; 则点 ? ? ? ? ? b c a P,在（） .
(A) 第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限; 【变式训练1】 如图是二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象，点P （a ＋b ，bc ）是坐标平面内的点，则点P 在（ ）A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 【变式训练2】 二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则ac 0．（填“＞”、“＜”或“=”＝）。 （小组交流自学成果并展示） 【活动二】 已知：二次函数y=a x 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中：①b ＞0； ②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④（a+c) 2＜b 2，其中正确的个数是 （ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 三 、 教学互动 效果检测 1.（2008甘肃兰州）已知二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：① abc ＞0；② b ＜a ＋c ；③4a ＋2b+c ＞0；④b 2－4a c ＞0；其中正确的结论有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2.（2009丽水市）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a ＞0. ②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ）A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 O
二次函数中的符号问题专题复习
二次函数中的符号问题专题复习
挑战中考中考链接： 1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M （，a）在（ D ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 第3题第4题 2、已知：一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一 坐标系中的大致图象是图中的（C） (A) (B) (C) (D) 3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论 中： ①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0， 正确的个数是（C） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 4、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论 中： ①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④（a+c)2＜b2， 其中正确的个数是（B）A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 突破中考： 1．(2012年)如图1，在平面直角坐标系中，有两条位置确 定的抛物线，它们的对称轴相同， 则下列关系不正确的是（ A ） A．k=n B．h=m C．k ＜n D．h＜0，k＜0 2．(2013年)已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图 4所示，下列说法错误 ．．的是( D ) （A）图象关于直线x=1对称 （B）函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是-4 （C）-1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根 （D）当x<1时，y随x的增大而增大 3. (2014年)如图3，已知二次函数y =x x2 2+ -，当1 - c b 二次函数特殊符号判断练习 1.二次函数y =ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ） A . a<0,b>0,c>0, b 2-4ac <0 B . a<0,b >0,c <0, b 2-4ac >0 C . a <0,b <0,c >0, b 2-4ac <0 D . a <0,b <0,c <0, b 2-4ac >0 2.抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象经过原点和二、三、四象限， 判断a 、b 、c 的符号情况：a 0,b 0,c 0. 3.二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)，若a >0，b <0，c <0，那么这个二次函数图象的顶点必在第 象限. 4.已知：y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示，则点M （ ，a ）在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示， 下列判断不正确的是（ ）. A. abc >0, B. b 2-4ac <0, C. a-b+c <0, D. 4a+2b+c >0. 6.已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示， 则下列结论错误的是( ) A. a >0 B. c <0 C. b 2-4ac <0 D. a+b+c >0 7.二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图26-18所示，有下列结论： ①0c <；②0b >;③420a b c ++>；④22()a c b +<, 其中正确的有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8.已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如所示，则下列结论: ①ac >0；② a ＋b ＋c <0 ；③a －b ＋c <0；④2a ＋b ＝0. 错误的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9.已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴ a+b+c =0; ⑵ a-b+c <0; ⑶ abc <0; ⑷ b =2a. 其中正确的结论的个数是（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10.已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图3所示， 二次函数判断符号问题大全 1、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ） 2、抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）A 、y=x 2 -x-2 B 、y=12 1 212++- x C 、y=12 1 212+-- x x D 、y=22++-x x 3、已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论： 0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增 大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 3题图 4题图 5题图 4、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．21y y < B ．21y y = C ．21y y > D ．不能确定 5、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论： ①a ＞0.②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 6、二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数2 4y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x ++=在同一坐标系内的图象大致为（ ） x y O 1 B ． C ． D ． 1 1 1 1 x o y y o x y o x x o y O 专题2：二次函数中的系数符号问题 2-的符号与谁有关： (一) a、b、c、△=ac b4 1、抛物线y=ax2+bx+c 的开口方向由决定，当开口向上时，则 ; 当开口向下时，则； 若交点在y轴的正半轴上则 2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是（），若交点在y轴的负半轴上则 若交点经过坐标原点则 若对称轴在y轴左侧，则a、b符号 3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线，若对称轴在y轴右侧，则a、b符号 若对称轴是y轴，则 与x轴有两个交点，则 4、抛物线与x轴的交点个数由决定，与x轴有一个交点，则 与x轴无交点，则 （二）抛物线y=ax2+bx+c的其他符号问题： 点在x轴上方，则a+b+c 。 1.a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定点在x轴下方，则a+b+c 。 点在x轴上，则a+b+c 。 点在x轴上方，则a－b+c 。 2.a-b+c的符号：由x= －1时抛物线上的点的位置确定点在x轴下方，则a－b+c 。 点在x轴上，则a－b+c 。 3.2a±b的符号：由对称轴与x=1或x=-1的位置相比较的情况决定 （三）常用方法 1、图象上的其他点的纵坐标与顶点纵坐标比较 2、作差法比较 3、数形结合方法：二次函数c + =2，若 x=m时，y<0，当x=n时，y>0,则，则 y+ ax bx + =2和x轴必有交点 y+ ax bx c （四）你还可以补充： 练习Ⅰ 1、已知二次函数2y ax bx c =++，如图所示，若0a <，0c >，那么它的图象大致是 （ ） y y y y x x x A B C D 2、已知二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、已知二次函数 2y ax bx c =++的图象如下， 则下列结论正确的是 （ ） A 0ab < B 0bc < C 0a b c ++> D 0a b c -+< 4、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a>0；②c>0；?③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1，则点M （b ，c a ）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6、二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示，则（ ） A 、0a >，240b ac -< B 、0a >，2 40b ac -> C 、0a <，240b ac -< D 、0a <，2 40b ac -> 7、已知函数y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限，那么y=ax 2+bx+1的图象大致为( ) 二次函数abc组合的符号判断（一）（通用版） 单选题(本大题共7小题，共100分) 1.(本小题12分)如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，且图象经过点（3，0），则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 2.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②； ③；④b+2a=0；⑤．其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 D. 4个 3.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②；③；④．其中正确的是( ) A. ②③ B. ③④ C. ②④ D. ①④ 4.(本小题16分)如图所示，二次函数的图象中，王刚同学观察得出了下面四条结论：①；②；③；④．其中错误的有( ) A. 1个 B. 2个 D. 4个 5.(本小题16分)已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线 ，则下列结论正确的是( ) A. B. a+b=0 C. D. 6.(本小题16分)如图，二次函数图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（-1，0）．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的有( ) A. 1个 B. 4个 D. 2个 7.(本小题16分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④；⑤．其中正确的是( ) A. ②③⑤ B. ①②③⑤ C. ①②④⑤ D. ①③④⑤ 二次函数abc组合的符号判断（二）（通用版） 单选题(本大题共6小题，共100分) 1.(本小题15分)二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴为直线x=-1，且过点 （-3，0）．下列说法：①；②2a-b=0；③；④若， 是抛物线上的两点，则．其中正确的是( ) 专题训练(二)二次函数图象与a，b，c，b2－4ac等符号问题 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a，b，c及判别式b2－4ac的符号之间的关系： 一、选择题 1．2016·宁波已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( ) A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1) B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点 C ．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小 D ．若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大 2．二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象如图2－ZT －1所示，则下列关系式错误的是( ) 图2－ZT －1 A ．a ＜0 B ．b ＞0 C ．b 2 －4ac ＞0 D ．a ＋b ＋c ＜0 3．以x 为自变量的二次函数y ＝x 2 －2(b －2)x ＋b 2 －1的图象不经过第三象限，则实数 b 的取值范围是( ) A ．b ≥5 4 B ．b ≥1或b ≤－1 C ．b ≥2 D ．1≤b ≤2 4．2017·威海已知二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图2－ZT －2所示，则正比例函数y ＝(b ＋c )x 与反比例函数y ＝ a － b －c x 在同一坐标系中的大致图象是( ) 图2－ZT －2 图2－ZT －3 5．2017·安徽已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 与反比例函数y ＝b x 的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y ＝bx ＋ac 的图象可能是( ) 图2－ZT －4 6．2017·烟台二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图2－ZT －5所示，对称轴是直线x ＝1.下列结论：①ab ＜0；②b 2 ＞4ac ；③a ＋b ＋2c ＜0；④3a ＋c ＜0.其中正确的是( ) 图2－ZT －5 A ．①④ B ．②④ C ．①②③ D ．①②③④ 7．2017·鄂州如图2－ZT －6，抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象交x 轴于点A (－2，0)和 二次函数的图象与a,b,c 的符号问题 【学习目标】 【课前自学】 22 2. 抛物线31-+-=x y 的图象开口向 ，顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 ；对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大. 3. 抛物线342 +-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ； 把它转化为顶点式是： ，则顶点坐标是 . 【课堂学习】 一、自主探索： 1.观察c bx ax y ++=2 的图象，你能得到关于c b a 、、的哪些信息？ 2.归纳： ⑴a 的符号由 决定： ①开口方向向 ? a 0；②开口方向向 ? a 0⑵b 的符号由 决定； ① 在y 轴的左侧 ?b a 、 ； ② 在y 轴的右侧 ?b a 、 ； ③ 是y 轴 ?b 0. ⑶c 的符号由 决定： ①点（0，c ）在y 轴正半轴 ?c 0； ②点（0，c ）在原点 ?c 0； ③点（0，c ）在y 轴负半轴 ?c 0. ⑷ac b 42 -的符号由 决定： ①抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0 ?方程有 实数根； ②抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0 ?方程有 实数根； ③抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0 ?方程 实数根； ④特别的，当抛物线与x 轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点. ⑸特别的，当x =1时，y = ，对应的点的坐标记为： ； 当x =-1时，y = ，对应的点的坐标记为： . 【课堂练习】 二次函数的图象与性质具体如下图所示： 【典型例题】 例1、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列 4个结论中：①abc>0；②b 二次函数系数符号的确定 活动一：复习引入： 1.复习用“>”“<”填空 ①，反比例函数x k y = k 0 ② ,b kx y +=一次函数k 0, b 0. 2.思：二次函数c bx ax y ++=2呢 a 0, b 0, c 0 活动二 a.c 符号 1.开口方向向上，则a 开口方向向下，则a 2.抛物线与x 轴的交点在x 轴上方，则c 0, 与x 轴交点在下方，则c 0, 练习： 活动三:b 的符号 1.对称轴：a b x 2-= 分析图1 学生练习图2 x y O x y O y O x y 2.思考：a.b 同号，则对称轴在y 轴 侧；a.b 异号，则对称轴在y 轴 侧。 3.练习：快速说出b 的符号。（图略） 活动4： 1.看图填空 （1）a ＋b ＋c_______0（2）a －b ＋c_______0 （3）2a －b _______0（4）4a ＋2b ＋c_______0 2.练习： ②（稍难二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a ≠0)的图象开口向上，图象经过点（-1,2） 和（1,0），且与y 轴负半轴交于一点，给出以下结论①abc ＜0；②2a ＋b ＞0；③a ＋c ＝1；④a ＞1．其中正确的结论是( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 ①.（2009黄石）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ④a+c ＞0，其中正确结论的个数为（ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 活动5：画草图 1. 4-22x x y += 4-2-2x x y += 2. 归纳：①开口方向 ②与y 轴交点，x 轴交点， ③顶点坐标 活动6.达标测评 1．二次函数y=ax 2+bx+c 与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图象大致是( ) 2（岳阳2013）.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④ b ＋2a ＝0；⑤a ＋b ＋ c ＜0.其中正确的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 O A x y O B x y O C x y O D x y 一、选择题 1. (2010 天津市) 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论： ①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>； ④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2. (2011 甘肃省兰州市) 如图所示的二次函数 2y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）2 40b ac ->；（2）1c >；（3）20a b -<；（4）0a b c ++<．你认为其中错误．．的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 3. (2011 湖北省孝感市) 如图，二次函数 2y ax bx c =++的图像与y 轴正半轴相交， 其顶点坐标为112?? ??? ，，下列结论：①0ac ＜；②0a b +=； ③2 44ac b a -=；④0a b c ++＜.其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. (2012 山东省威海市) 已知二次函数 ()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论错误的是 （ ）． （A ）0abc > （B ）32a b > （C ）()m am b a b +-≤（m 为任意实数） （D ）42 0a b c -+< 5. (2012 湖北省仙桃潜江天门江汉油田) 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，它与x 轴的 两个交点分别为 ()()1030.-，，，对于下列命题：①20b a -=；②0abc <；③240a b c -+<；④ 二次函数abc组合的符号判断 对于二次函数中abc组合的符号判断套路掌握情况，分为三个层次，首先根据函数图象确定a，b，c符号以及对称轴信息，其次是找特殊点的函数值，获取等式和不等式，最后在判断残缺型符号时，将等式代入不等式。过程中考查学生读图，数形结合以及逻辑分析能力。 单选题(本大题共7小题，共100分) 1.(本小题12分)如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，且图象经过点（3，0），则下列结论正确的是( ) ? A. ? B. ? C. ? D. 核心考点: 二次函数图象与系数的关系 abc组合的符号判断 2.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：① ；②； ③；④b+2a=0；⑤．其中正确的有( ) ? A. 1个 ? B. 2个 ? C. 3个 ? D. 4个 核心考点: 二次函数图象与系数的关系abc组合的符号判断 3.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②；③；④．其中正确的是( ) ? A. ②③ ? B. ③④ ? C. ②④ ? D. ①④ 核心考点: 二次函数图象与系数的关系 abc组合的符号判断 4.(本小题16分)如图所示，二次函数的图象中，王刚同学观察 得出了下面四条结论：①；②；③；④．其中错误的有( ) ? A. 1个 ? B. 2个 ? C. 3个 ? D. 4个 核心考点: 二次函数图象与系数的关系abc组合的符号判断 5.(本小题16分)已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论正确的是( ) ? A. ? B. a+b=0 ? C. ? D. 核心考点: 二次函数图象与系数的关系 abc组合的符号判断二次函数特殊值判断专题
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