几何辅助线之手拉手模型初

手拉手模型教学目标:

1：理解手拉手模型的概念，并掌握其特点

2：掌握手拉手模型的应用

知识梳理：

1、等边三角形

条件：△OAB，△OCD均为等边三角形

结论：；；

导角核心：

2、等腰直角三角形

条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形

结论：；；

导角核心：

3、任意等腰三角形

条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD

结论：；；

核心图形：

核心条件：；；

典型例题：

例1:在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；

（3）AE与DC的夹角为60°；（4）△AGB≌△DFB；

（5）△EGB≌△CFB；（6）BH平分∠AHC；GF∥AC

例2：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC

例3：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC

例4：如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H

问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？

例5：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.问（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？

例6：两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE，连接AE与CD. 问（1）△ABE≌△DBC是否成立？

（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？

（4）HB是否平分∠AHC？

例7：如图，分别以△ABC 的边AB、AC 同时向外作等腰直角三角形，其中 AB =AE ，

AC =AD，∠BAE =∠CAD=90°，点G为BC中点，点F 为BE 中点，点H 为CD中点。探

索GF 与GH 的位置及数量关系并说明理由。

例8：如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD任意一点（P与A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD 于点E.

（1）如图1，猜想∠QEP=_______°；

（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；

（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．

例9：在△ABC中，AB AC

=，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD AE

=，DAE BAC

∠=∠，连接CE．

1）如图1，当点D在线段CB上，且90

∠=_______度；

BAC

∠=?时，那么DCE

（2）设BACα

∠=．

∠=，DCEβ

①如图2，当点D在线段CB上，90

∠≠?时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明

BAC

你的结论；

②如图3，当点D在线段CB的延长线上，90

∠≠?时，请将图3补充完整，并直接写出

BAC

此时α与β之间的数量关系．

（3）结论：α与β之间的数量关系是____________．

例10：在ABC

?绕点D顺

ABC

∠=?，BD为斜边AC上的中线，将ABD

==，90

AB BC

?中，2

时针旋转α(0180

α

?，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，BE ?<

与FC相交于点H.

（1）如图1，直接写出BE与FC的数量关系：____________;

（2）如图2，M、N分别为EF、BC的中点.求证：MN=__________;

（3）连接BF，CE，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF、CE与AC之间的数量关系：.

当堂练习：

1：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为

边作正方形ADEF ，使点E 与点B 在直线AD 的异侧，射线BA 与射线CF 相交于点G ．若点D 在线段BC 上，①依题意补全图1；

②判断BC 与CG 的数量关系与位置关系，并加以证明；

2：已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．CG 、CH 分别是ACN ?、MCB ? 的高．求证：CG CH =．

3：如图，已知ABC ?和ADE ?都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，

试说明CE 与AC CD +相等的理由．

4：已知，如图，P 是正方形ABCD 内一点，且::1:2:3PA PB PC =，求APB ∠的度数．

5：如图所示，P 是等边ABC ?中的一点，2PA =，PB =4PC =，试求ABC ?的边长. 6：在Rt △ABC 中，90ACB ∠=?，D 是AB 的中点，DE ⊥BC 于E ，连接CD ．

（1）如图1，如果30A ∠=?，那么DE 与CE 之间的数量关系是___________．

（2）如图2，在（1）的条件下，P 是线段CB 上一点，连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连接BF ，请猜想DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论．

（3）如图3，如果A α∠=（090α?<

课后练习：

1：在ABC △中，AB AC =，BAC ∠=α()060?<α

（1）如图1，直接写出ABD ∠的大小（用含α的式子表示）；

（2）如图2，150BCE ∠=?，60ABE ∠=?，判断ABE △的形状并加以证明；

（3）在（2）的条件下，连结DE ，若45DEC ∠=?，求α的值

2：如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，边BA 绕点B 顺时针旋转α角得到线段BP ，连结PA ，PC ，过点P 作PD ⊥AC 于点D ．

（1）如图1，若α=60°，求∠DPC 的度数；

（2）如图2，若α=30°，直接写出∠DPC 的度数；

（3）如图3，若α=150°，依题意补全图，并求∠DPC 的度数．

3：在△ABC 中，AB AC =，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为α，且0180α?<

（1）如图1，当100BAC ∠=?，60α=o 时，CBD ∠的大小为_________；

（2）如图2，当100BAC ∠=?，20α=?时，求CBD ∠的大小；

（3）已知∠BAC 的大小为()60120m m ?<

4：如图1，正方形ABCD 与正方形AEFG 的边()AB AE AB AE <、在一条直线上，正方形AEFG 以点A 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α，在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，

其它顶点均不重合，连接BE DG 、．

（1）当正方形AEFG 旋转至如图2所示的位置时，求证：=BE DG ；

（2）当点C 在直线BE 上时，连接FC ，直接写出FCD ∠的度数；

（3）如图3，如果45242AB AE α=?==，，，求点G 到BE 的距离

5：将等腰Rt ABC △和等腰Rt ADE △按图1方式放置，90A ∠=?，AD 边与AB 边重合，2AB =，4AD =．将ADE △绕点A 逆时针方向旋转一个角度()α0α180?≤≤?，BD 的延长线交直线CE 于点P ．

（1）如图2，BD 与CE 的数量关系是__________，位置关系是__________；

（2）在旋转的过程中，当AD BD ⊥时，求出CP 的长；

（3）在此旋转过程中，求点P 运动的路线长．

6：△ABC 中，45ABC ∠=?，AH ⊥BC 于点H ，将△AHC 绕点H 逆时针旋转90°后，点C 的对应点为点D ，直线BD 与直线AC 交于点E ，连接EH ．

（1）如图1，当∠BAC 为锐角时，

①求证：BE ⊥AC ；②求∠BEH 的度数；

（2）当∠BAC 为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC ，ED ，EH 之间的数量关系．

7：如图1，在ACB ?和AED ?中，AC BC =，AE DE =，90ACB AED ∠=∠=?，点E 在AB 上，F

是线段BD 的中点，连接CE 、FE ．

（1）请你探究线段CE 与FE 之间的数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）；

（2）将图1中的AED ?绕点A 顺时针旋转，使AED ?的一边AE 恰好与ACB ?的边AC 在同一条直线上（如图2），连接BD ，取BD 的中点F ，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）将图1中的AED ?绕点A 顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD ，取BD 的中点F ，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．