山东大学离散数学题库及答案
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分）
1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )
(1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4）
2、下列公式中哪些是永真式？( )
(1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4）
3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q
(4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式
x((A(x)
B(y ，x))
z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z
5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是
（4） 是，T （5） 不是 （6） 不是
6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死
7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q
→? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →?
8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) x
y(x+y=0) (2)
y
x(x+y=0)
答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值：
(1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3)
x y(x+y=x) ( ) (4)
x y(y=2x) ( )
答：（1） F （2） F （3）F （4）T
10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式
x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( )
(1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1）
11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ）
(1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2）
13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。
答：?P ，Q →P
14、谓词公式x(P(x)yR(y))→Q(x)中量词x的辖域是（）。
答：P(x)yR(y)
15、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（）。答：?x(R(x)→Q(x))
（集合论部分）
16、设A={a,{a}}，下列命题错误的是（）。
(1) {a}∈P(A) (2) {a}?P(A) (3) {{a}}∈P(A) (4) {{a}}?P(A)
答：(2)
17、在0（）Φ之间写上正确的符号。
(1) = (2) ?(3) ∈(4) ?
答：(4)
18、若集合S的基数|S|=5，则S的幂集的基数|P(S)|=（）。
答：32
19、设P={x|(x+1)2≤4且x∈R},Q={x|5≤x2+16且x∈R},则下列命题哪个正确（）
(1) Q?P (2) Q?P (3) P?Q (4) P=Q
答：（3）
20、下列各集合中，哪几个分别相等( )。
(1) A1={a,b} (2) A2={b,a} (3) A3={a,b,a} (4) A4={a,b,c}
(5) A5={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0} (6) A6={x|x2-(a+b)x+ab=0}
答：A1=A2=A3=A6， A4=A5
21、若A-B=Ф，则下列哪个结论不可能正确？( )
(1) A=Ф (2) B=Ф(3) A?B (4) B?A
答：（4）
22、判断下列命题哪个为真?( )
(1) A-B=B-A => A=B (2) 空集是任何集合的真子集
(3) 空集只是非空集合的子集 (4) 若A的一个元素属于B，则A=B
答：（1）
23、判断下列命题哪几个为正确？( )
(1) {Ф}∈{Ф,{{Ф}}} (2) {Ф}?{Ф,{{Ф}}} (3) Ф∈{{Ф}}
(4) Ф?{Ф} (5) {a,b}∈{a,b,{a},{b}}
答：（2），（4）
24、判断下列命题哪几个正确？( )
(1) 所有空集都不相等 (2) {Ф}≠Ф (4) 若A为非空集，则A?A成立。
答：（2）
25、设A∩B=A∩C，A∩B=A∩C，则B( )C。
答：=（等于）
26、判断下列命题哪几个正确？( )
(1) 若A∪B＝A∪C，则B＝C (2) {a,b}={b,a}
(3) P(A∩B)≠P(A)∩P(B) （P(S)表示S的幂集）
(4) 若A为非空集，则A≠A∪A成立。
答：（2）
27、Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，则下列哪几个推理正确：
(1) A ?B ，B ?C=> A ?C (2) A ?B ，B ?C=> A ∈B (3) A ∈B ，B ∈C=> A ∈C 答：（1）
（二元关系部分）
28、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B 的关系Ｒ＝｛〈x,y 〉|x=y 2
｝，求(1)R (2) R -1
。 答：（1）R={<1,1>,<4,2>} (2) R
1
-={<1,1>,<2,4>}
29、举出集合A 上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。( ) 答：A 上的恒等关系
30、集合A 上的等价关系的三个性质是什么？( ) 答：自反性、对称性和传递性
31、集合A 上的偏序关系的三个性质是什么？( ) 答：自反性、反对称性和传递性
32、设S={１,２,３,４}，Ａ上的关系Ｒ＝｛〈1,2〉，〈2,1〉，〈2,3〉，〈3,4〉｝ 求(1)R οR (2) R -1
。
答：R οR ={〈1,1〉，〈1,3〉，〈2,2〉，〈2,4〉} R -1
=｛〈2,1〉，〈1,2〉，〈3,2〉，〈4,3〉｝
33、设Ａ＝｛1，2，3，4，5，6｝，Ｒ是A 上的整除关系，求R= {( )}。 答：R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,
<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}
34、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B 的关系Ｒ＝｛〈x,y 〉|x=2y ｝，求(1)R (2) R -1
。 答：（1）R={<1,1>,<4,2>,<6,3>} (2) R
1
-={<1,1>,<2,4>,(36>}
35、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B 的关系Ｒ＝｛〈x,y 〉|x=y 2
｝，求R 和R -1
的关系矩阵。
答：R 的关系矩阵=????
??
?
?
?
?????????0000000010000
00001
R 1-的关系矩阵=????
??????000000010000000001
36、集合A={1,2,…,10}上的关系R={
(1) 自反的 (2) 对称的 (3) 传递的，对称的 (4) 传递的 答：（2）
（代数结构部分）
37、设A={2,4,6}，A 上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点
38、设A={3,6,9}，A 上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点
（半群与群部分）
39、设〈G,*〉是一个群，则
(1) 若a,b,x ∈G ，a *x=b ，则x=( )； (2) 若a,b,x ∈G ，a *x=a *b ，则x=( )。 答： （1） a
*-1
b （2） b
40、设a是12阶群的生成元，则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。
答： 6,4
41、代数系统
答：单位元
42、设a是10阶群的生成元，则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。
答：5，10
43、群
答：单位元，1
44、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。
答：循环群，任一非单位元
45、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则
(1) 若c*a=b，则c=( )；(2) 若c*a=b*a，则c=( )。
*a (2) b
答：（1） b1-
46、
答：
答：1，单位元，0
48、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。
答：k
49、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）
(1) a*b=a-b (2) a*b=max{a,b} (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b|
答：(2)
50、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。
(1) 不可能是群(2) 不一定是群
(3) 一定是群(4) 是交换群
答：(1)
51、6阶有限群的任何子群一定不是（）。
(1) 2阶(2) 3 阶 (3) 4 阶(4) 6 阶
答：(3)
（格与布尔代数部分）
52、下列哪个偏序集构成有界格（）
(1) （N,≤）(2) （Z,≥）
(3) （{2,3,4,6,12},|（整除关系））(4) (P(A),?)
答：(4)
53、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。
(1) 偶数(2) 奇数 (3) 4的倍数(4) 2的正整数次幂
答：(4)
（图论部分）
54、设G是一个哈密尔顿图，则G一定是( )。
(1) 欧拉图 (2) 树(3) 平面图 (4) 连通图
答：(4)
55、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？( )
(1) {0，10，110，101111} (2) {01，001，000，1}
(3) {b，c，aa，ab，aba} (4) {1，11，101，001，0011}
答：（2）
56、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中( )的路。
答：所有结点一次且恰好一次
57、在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示( )，入度deg-(v)表示( )。答：以v为起点的边的条数，以v为终点的边的条数
58、设G是一棵树，则G 的生成树有( )棵。
(1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 不能确定
答：1
59、n阶无向完全图K n 的边数是( )，每个结点的度数是( )。
答：
2)1
(
n
n
, n-1
60、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是( )。
答：m=n-1
61、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。
答：所有边一次且恰好一次
62、有n个结点的树，其结点度数之和是( )。
答：2n-2
63、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。
(1) {a，ab，110，a1b11} (2) {01，001，000，1}
(3) {1，2，00，01，0210} (4) {12，11，101，002，0011}
答：(1)
64、n个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。
答：n(n-1),2n-2
65、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。
答：它是连通图
66、设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则
(1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。
答：（3）
67、设T=〈V,E〉是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在( )片树叶。
答：2
68、任何连通无向图G至少有( )棵生成树，当且仅当G 是( )，G的生成树只有一棵。答：1，树
69、设G是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于:
(1) m-n+2 (2) n-m-2 (3) n+m-2 (4) m+n+2。
答：（1）
70、设T是一棵树，则T是一个连通且( )图。
答：无简单回路
71、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2，则图G有( )个顶点。
(1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 16
答：（4）
72、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G有( )个顶点。
(1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 12
答：(4)
73、设图G=
74、任一有向图中，度数为奇数的结点有( )个。
答：偶数
75、具有6 个顶点，12条边的连通简单平面图中，每个面都是由( )条边围成？
(1) 2 (2) 4 (3) 3 (4) 5
答：（3）
76、在有n个顶点的连通图中，其边数（）。
(1) 最多有n-1条(2) 至少有n-1 条
(3) 最多有n条(4) 至少有n 条
答：（2）
77、一棵树有2个2度顶点，1 个3度顶点，3个4度顶点，则其1度顶点为（）。
(1) 5 (2) 7 (3) 8 (4) 9
答：（4）
78、若一棵完全二元（叉）树有2n-1个顶点，则它（）片树叶。
(1) n (2) 2n (3) n-1 (4) 2
答：（1）
79、下列哪一种图不一定是树（）。
(1) 无简单回路的连通图(2) 有n个顶点n-1条边的连通图
(3) 每对顶点间都有通路的图(4) 连通但删去一条边便不连通的图
答：（3）
80、连通图G是一棵树当且仅当G中（）。
(1) 有些边是割边(2) 每条边都是割边
(3) 所有边都不是割边(4) 图中存在一条欧拉路径
答：（2）
（数理逻辑部分）
二、求下列各公式的主析取范式和主合取范式：
1、(P→Q)∧R
解：(P→Q)∧R?(?P∨Q )∧R
?(?P∧R)∨(Q∧R) （析取范式）
?(?P∧(Q∨?Q)∧R)∨((?P∨P)∧Q∧R)
?(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
?(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧R)（主析取范式）
?((P→Q)∧R)?(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R)∨(P∧?Q∧R)
∨(P∧Q∧?R)∨( P∧?Q∧?R)（原公式否定的主析取范式）
(P→Q)∧R?(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)
∧(?P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨R)（主合取范式）
2、(P∧R)∨(Q∧R)∨?P
解： (P∧R)∨(Q∧R)∨?P（析取范式）
?(P∧(Q∨?Q)∧R)∨((P∨?P)∧Q∧R)∨(?P∧(Q∨?Q)∧(R∨?R))
?(P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)
∨( ?P∧Q∧R)∨( ?P∧Q∧?R)∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)
?(P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧?R) ∨ (?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R) (主析取范式)
?（(P∧R)∨(Q∧R)∨?P）
?(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧?R）（原公式否定的主析取范式）
(P∧R)∨(Q∧R)∨?P ?(?P∨Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)（主合取范式）
3、(?P→Q)∧(R∨P)
解：(?P→Q)∧(R∨P)
?(P∨Q)∧(R∨P)（合取范式）
?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨(Q∧?Q))∨R)
?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)
?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨?Q∨R)（主合取范式）
?((?P→Q)∧(R∨P))
?(P∨?Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)
∧(?P∨?Q∨?R)（原公式否定的主合取范式）
(?P→Q)∧(R∨P)
?(?P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧R)
（主析取范式）
4、Q→(P∨?R)
解：Q→(P∨?R)
??Q∨P∨?R（主合取范式）
?（Q→(P∨?R)）
?(?P∨?Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)
∧(P∨?Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R）（原公式否定的主合取范式）
Q→(P∨?R)
?(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R)
∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R）（主析取范式）
5、P→(P∧(Q→P))
解：P→(P∧(Q→P))
??P∨(P∧(?Q∨P))
??P∨P
? T (主合取范式)
?(?P∧?Q)∨(?P∧Q)∨(P∧?Q)∨(P∧Q)（主析取范式）
6、?(P→Q)∨(R∧P)
解：?(P→Q)∨(R∧P)??(?P∨Q)∨(R∧P)
?(P∧?Q)∨(R∧P)（析取范式）
?(P∧?Q∧(R∨?R))∨(P∧(?Q∨Q)∧R)
?(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧R)
?(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)（主析取范式）
?(?(P→Q)∨(R∧P))?(P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)
∨ (?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R)（原公式否定的主析取范式）
?(P→Q)∨(R∧P)?(?P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)
∧(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)（主合取范式）
7、P∨(P→Q)
∨(?P∨Q)?(P∨?P)∨Q
解：P∨(P→Q)?P
?T(主合取范式)
?(?P∧?Q)∨(?P∧Q)∨(P∧?Q)∨(P∧Q)（主析取范式）
8、(R→Q)∧P
解：(R→Q)∧P?(?R∨Q )∧P
?(?R∧P)∨(Q∧P) （析取范式）
?(?R∧(Q∨?Q)∧P)∨((?R∨R)∧Q∧P)
?(?R∧Q∧P)∨(?R∧?Q∧P)∨(?R∧Q∧P)∨(R∧Q∧P)
?(P∧Q∧?R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)（主析取范式）
?((R→Q)∧P)?(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R）∨(P∧?Q∧R) ∨(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)（原公式否定的主析取范式）
(R→Q)∧P?(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)
∧(P∨?Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)（主合取范式）
9、P→Q
解：P→Q??P∨Q（主合取范式）
?(?P∧(Q∨?Q))∨((?P∨P)∧Q)
?(?P∧Q)∨(?P∧?Q)∨(?P∧Q)∨(P∧Q)
?(?P∧Q)∨(?P∧?Q)∨(P∧Q)（主析取范式）
10、P∨?Q
解： P∨?Q （主合取范式）
?(P∧(?Q∨Q))∨((?P∨P)∧?Q）
?(P∧?Q)∨(P∧Q)∨(?P∧?Q)∨(P∧?Q）
?(P∧?Q)∨(P∧Q)∨(?P∧?Q)（主析取范式）
11、P∧Q
解：P∧Q（主析取范式）?(P∨(Q∧?Q))∧((P∧?P)∨Q)
?(P∨?Q)∧(P∨Q)∧(P∨Q)∧(?P∨Q)
?(P∨?Q)∧(P∨Q)∧(?P∨Q)（主合取范式）
12、（P∨R）→Q
解：（P∨R）→Q
??(P∨R)∨Q
?(?P∧?R)∨Q
?(?P∨Q)∧(?R∨Q)（合取范式）
?(?P∨Q∨(R∧?R))∧((?P∧P)∨Q∨?R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)（主合取范式）
?（P∨R）→Q
?(?P∨?Q∨R)∧(?P∨?Q∨?R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨?R) （原公式否定的主析取范式）（P∨R）→Q
?(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R)
∨(?P∧Q∧R)（主析取范式）
13、（P→Q）→R
解：（P→Q）→R
??(?P∨Q)∨R
?(P∧?Q)∨R(析取范式)
?(P∧?Q∧(R?
∨R))∨((P?
∨Q)∧R)
∨P)∧(Q?
?(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)
?(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)
∨(?P∧?Q∧R)(主析取范式）
（P→Q）→R
??(?P∨Q)∨R
?(P∧?Q)∨R(析取范式)
?(P∨R)∧(?Q∨R)(合取范式)
?(P∨(Q∧?Q)∨R)∧((P∧?P)∨?Q∨R)
?(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)
?(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)(主合取范式)
14、(P→(Q∧R))∧(?P→(?Q∧?R))
解：(P→(Q∧R))∧(?P→(?Q∧?R))
?(?P∨(Q∧R))∧(P∨(?Q∧?R))
?(?P∨Q)∧(?P∨R)∧(P∨?Q)∧(P∨?R)（合取范式）
?(?P∨Q∨(R∧?R))∧(?P∨(Q∧?Q)∨R)∧(P∨?Q∨(R∧?R))∧(P∨(Q∧?Q)∨?R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨?Q∨?R)?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨R)
∧(P∨Q∨?R)∧(P∨?Q∨?R)(主合取范式)
?(P→(Q∧R))∧(?P→(?Q∧?R))
?(?P∨?Q∨?R)∧(P∨Q∨R)(原公式否定的主合取范式)
(P→(Q∧R))∧(?P→(?Q∧?R))
?(P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)(主析取范式)
15、P∨(?P→(Q∨(?Q→R)))
解：P∨(?P→(Q∨(?Q→R)))
? P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))
? P∨Q∨R(主合取范式)
?(P∨Q∨R)
?(P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)
∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)∧(?P∨?Q∨?R)
(原公式否定的主合取范式)
(P∨Q∨R)
?(?P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)
∨(P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)(主析取范式)
16、(P→Q)∧(P→R)
解、(P→Q)∧(P→R)
?(?P∨Q)∧(?P∨R) (合取范式)
?(?P∨Q∨(R∧?R)∧(?P∨(?Q∧Q)∨R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)(主合取范式)
(P→Q)∧(P→R)
?(?P∨Q)∧(?P∨R)
??P∨(Q∧R)(合取范式)
?(?P∧(Q∨?Q)∧(R∨?R))∨((?P∨P)∧Q∧R)
?(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧?R)∨(?P∧?Q?R)
∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
?(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧?R)∨(?P∧?Q?R)∨(P∧Q∧R) (主析取范式)
三、证明：
1、P→Q，?Q∨R，?R，?S∨P=>?S
证明：
(1) ?R 前提
(2) ?Q∨R 前提
(3)?Q （1），（2）
(4) P→Q 前提
(5)?P （3），（4）
(6)?S∨P 前提
(7) ?S （5），（6）
2、A→(B→C)，C→(?D∨E)，?F→(D∧?E),A=>B→F
证明：
(1) A 前提
(2) A→(B→C) 前提
(3) B→C （1），（2）
(4) B 附加前提
(5) C （3），（4）
(6) C→(?D∨E) 前提
(7)?D∨E （5），（6）
(8)?F→(D∧?E) 前提
(9) F （7），（8）
(10) B→F CP
3、P∨Q， P→R, Q→S => R∨S
证明：
(1) ?R 附加前提
(2) P→R 前提
(3) ?P （1），（2）
(4) P∨Q 前提
(5) Q （3），（4）
(6) Q→S 前提
(7) S （5），（6）
(8) R∨S CP，（1），（8）
4、(P→Q)∧(R→S)，(Q→W)∧(S→X)，?(W∧X)，P→R => ?P 证明：
（1） P 假设前提
（2） P→R 前提
（3） R （1），（2）
（4） (P→Q)∧(R→S) 前提
（5） P→Q （4）
（6） R→S （5）
（7） Q （1），（5）
（8） S （3），（6）
（9） (Q→W)∧(S→X) 前提
（10） Q→W （9）
（11） S→X （10）
（12） W （7），（10）
（13） X （8），（11）
（14） W∧X （12），（13）
（15）?(W∧X) 前提
（16）?(W∧X)∧(W∧X) （14），（15）
5、(U∨V)→(M∧N), U∨P, P→(Q∨S)，?Q∧?S =>M
证明：
(1) ?Q∧?S 附加前提
（2）P→(Q∨S) 前提
（3）?P （1），（2）
（4） U∨P 前提
（5） U （3），（4）
（6） U∨V （5）
（7）(U∨V)→(M∧N) 前提
（8） M∧N (6),(7)
（9） M （8）
6、?B∨D，(E→?F)→?D，?E=>?B
证明：
(1) B 附加前提
(2) ?B∨D 前提
(3) D （1），（2）
(4) (E→?F)→?D 前提
(5) ?(E→?F) （3），（4）
(6) E∧?F （5）
(7) E （6）
(8) ?E 前提
(9) E∧?E （7），（8）
7、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S)
证明：
（1） P 附加前提
（2） Q 附加前提
（3） P→(Q→R) 前提
（4） Q→R （1），（3）
（5） R （2），（4）
（6） R→(Q→S) 前提
（7） Q→S （5），（6）
（8） S （2），（7）
（9） Q→S CP，（2），（8）
（10） P→(Q→S) CP，（1），（9）8、P→?Q，?P→R，R→?S =>S→?Q
证明：
（1） S 附加前提
（2） R→?S 前提
（3）?R （1），（2）
（4）?P→R 前提
（5） P （3），（4）
（6） P→?Q 前提
（7）?Q (5），（6）
（8） S→?Q CP，（1），（7）
9、P→(Q→R) => (P→Q)→(P→R)
证明：
(1) P→Q 附加前提
(2) P 附加前提
(3) Q (1),(2)
(4) P→(Q→R) 前提
(5) Q→R (2),(4)
(6) R (3),(5)
(7) P→R CP,(2),(6)
(8) (P→Q) →(P→R) CP,(1),(7)
10、P→(?Q→?R)，Q→?P,S→R,P =>?S 证明：
（1） P 前提
（2） P→(?Q→?R) 前提
（3）?Q→?R (1)，(2)
（4） Q→?P 前提
（5）?Q (1)，(4)
（6）?R (3),(5)
（7） S→R 前提
（8）?S (6)，(7) 11、A，A→B， A→C， B→(D→?C) => ?D 证明：
（1） A 前提
（2） A→B 前提
（3） B (1)，(2)
（4） A→C 前提
（5） C (1)，(4)
（6） B→(D→?C) 前提
（7） D→?C (3)，(6)
（8） D (5)，(7)
12、A→(C∨B)，B→?A，D→?C => A→?D
证明：
（1） A 附加前提
(2) A→(C∨B) 前提
(3) C∨B （1），（2）
(4) B→?A 前提
(5)?B （1），（4）
(6) C （3），（5）
(7) D→?C 前提
(8)?D （6），（7）
(9) A→?D CP，（1），（8）
13、(P→Q)∧(R→Q) ?（P∨R）→Q
证明、
(P→Q)∧(R→Q)
?(?P∨Q)∧(?R∨Q)
?(?P∧?R)∨Q
??（P∨R）∨Q
?(P∨R)→Q
14、P→(Q→P)??P→(P→?Q)
证明、
P→(Q→P)
??P∨(?Q∨P)
??(?P)∨(?P∨?Q)
??P→(P→?Q)
15、（P→Q）∧（P→R），?(Q∧R)，S∨P?S
证明、
(1) （P→Q）∧（P→R）前提
（2） P→ (Q∧R) (1)
（3）?(Q∧R) 前提
（4）?P （2），(3)
(5) S∨P 前提
(6) S (4),(5) 16、P→?Q，Q∨?R，R∧?S??P
证明、
(1) P 附加前提
（2） P→?Q 前提
（3）?Q （1），（2）
（4） Q∨?R 前提
(5) ?R （3），（4）
(6 ) R∧?S 前提
（7） R （6）
（8） R∧?R （5），（7）
17、用真值表法证明Ｐ?Ｑ? (Ｐ→Ｑ)∧(Ｑ→Ｐ)
证明、
列出两个公式的真值表：
18、P→Q?P→(P∧Q)
证明、
设P→(P∧Q)为F，则P为T，P∧Q为F。所以P为T，Q为F ，从而P→Q也为F。所以P→Q?P→(P∧Q)。
19、用先求主范式的方法证明(P→Q)∧(P→R) ? (P→（Q∧R）
证明、
先求出左右两个公式的主合取范式
(P→Q)∧(P→R) ?(?P∨Q)∧(?P∨R)
?(?P∨Q∨(R∧?R)))∧(?P∨(Q∧?Q)∨R)
? (?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)
? (?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)
(P→（Q∧R）) ?(?P∨（Q∧R）)
?(?P∨Q)∧(?P∨R)
?(?P∨Q∨(R∧?R))∧(?P∨(Q∧?Q)∨R)
? (?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)
? (?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)
它们有一样的主合取范式，所以它们等价。
20、(P→Q)∧?(Q∨R) ??P
证明、
设(P→Q)∧?(Q∨R)为T，则P→Q和?(Q∨R)都为T。即P→Q和?Q∧?R都为T。故P→Q，?Q和?R)都为T，即P→Q 为T，Q和R都为F。从而P也为F，即?P为T。从而(P→Q)∧?(Q∨R) ??P
21、为庆祝九七香港回归祖国，四支足球队进行比赛，已知情况如下，问结论是否有效?
前提: (1) 若A队得第一，则B队或C队获亚军;
(2)若C队获亚军，则A队不能获冠军;
(3)若D队获亚军，则B队不能获亚军;
(4) A 队获第一;
结论: (5) D队不是亚军。
证明、
设A：A队得第一;B: B队获亚军;C: C队获亚军;D: D队获亚军;则前提符号化为A→（B∨C），C→?A，D→?B，A；结论
符号化为?D。
本题即证明 A→（B∨C），C→?A，D→?B，A??D。
（1） A 前提
（2） A→（B∨C）前提
（3） B∨C （1），（2）
（4） C→?A 前提
（5）?C （1），（4）
（6） B （3），（5）
（7） D→?B 前提
（8）?D （6），（7）
22、用推理规则证明P→Q, ?(Q∨R),P∧R不能同时为真。
证明、
(1) P∧R 前提
(2) P (1)
(3) P→Q 前提
(4) Q (2),(3)
(5) ?(Q∨R) 前提
∧R (5)
(6) ?Q?
(7) ?Q (6)
(8) ?Q∧Q (4),(7)
(集合论部分)
四、设Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，证明：
1、A? (B－C)＝(A?B)－(A?C)
证明：
A?=(A?B) ?（A?C）(A?B)－(A?C)= (A?B) ?C
=(A?B?A)?(A?B?C)= A?B?C=A?（B?C）
=A?（B-C）
2、(A－B)?(A－C)=A－(B?C)
证明：
(A-B)?(A-C)=(A?B)?(A?C) =A? (B?C)
B?= A-(B?C)
=A?C
3、A?B=A?C，A?B=A?C，则C=B
证明：
B=B?(A?A)=(B?A)? (B?A)
=(C?A)? (C?A)=C?(A?A)=C
4、A?B=A?(B-A)
证明：
A?(B-A)=A?(B?A)=(A?B)?(A?A)
=(A?B)?U= A?B
5、A=B A⊕B=Φ
证明：
?设A=B，则A⊕B=（A-B）?（B-A）=Φ?Φ=Φ。
?设A⊕B=Φ，则A⊕B=（A-B）?（B-A）=Φ。故A-B=Φ，B-A=Φ，从而A?B，B?A，故A=B。
6、A?B = A?C，A?B=A?C，则C=B
证明：
B=B?(A?B)= B?(A?C)= (B?A)?(B?C)
= (A?C)?(B∩C)= C?(A?B)
= C?(A?C)
=C
7、A?B=A?C，A?B=A?C，则C=B
证明：
B=B?(A?A)=(B?A)?(B?A)
=(C?A)?(C?A)=C?(A?A)
=C
8、A－(B?C)＝(A－B)－C
证明：
B?
A－(B?C)= A?C
=A?(B?C)=(A?B)?C
=(A-B)?C=(A-B)-C
9、(A－B)?(A－C)=A－(B?C)
证明：
(A-B)?(A－C)
=(A?B)?(A?C)
=(A?A)?(B?C)
B?=A－(B?C)
=A?C
10、A-B=B，则A=B=Φ
证明：
因为B=A-B，所以B=B?B=（A-B）?B=Φ。从而A=A-B=B=Φ。
11、A=(A-B)?(A-C)?A?B?C=Φ
证明：
?因为(A-B)?(A-C) =(A?B)?(A?C) =A?(B?C)
B?= A-(B?C)，且A=(A-B)?(A-C)，
=A?C
所以A= A-(B?C)，故A?B?C=Φ。
?因为A?B?C=Φ，所以A-(B?C)=A。而A-(B?C)= (A-B)?(A-C)，
所以A=(A-B)?(A-C)。
12、(A-B)?(A-C)=Φ?A?B?C
证明：
?因为(A-B)?(A-C) =(A?B)?(A?C) =A?(B?C)
B?= A-(B?C)，且(A-B)?(A-C)=Φ，
=A?C
所以Φ= A-(B ?C)，故A ?B ?C 。
? 因为A ?B ?C ，所以A-(B ?C)=A 。而A-(B ?C)= (A-B)?(A-C)，
所以A=(A-B)?(A-C)。 13、(A-B)?(B-A)=A ? B=Φ 证明：
? 因为(A-B)?(B-A)=A ，所以B-A ?A 。但(B-A)?A=Φ，故B-A=Φ。
即B ?A ，从而B=Φ（否则A-B ?A ，从而与(A-B)?(B-A)=A 矛盾）。
? 因为B=Φ，所以A-B=A 且B-A=Φ。从而(A-B)?(B-A)=A 。 14、(A-B)-C ?A-(B-C)
证明：
?x ∈(A-B)-C ，有∈x A-B 且x ?C ，即∈x A ，x ?B 且x ?C 。 从而∈x A ，x ?B-C ，故x ∈A-(B-C)。从而(A-B)-C ?A-(B-C)
15、P(A)?P(B)?P(A ?B) （P(S)表示S 的幂集） 证明：
?S ∈P(A)?P(B)，有S ∈P(A)或S ∈P(B)，所以S ?A 或S ?B 。
从而S ?A ?B ，故S ∈P(A ?B)。即P(A)?P(B)?P(A ?B) 16、P(A)?P(B)=P(A ?B) （P(S)表示S 的幂集） 证明：
?S ∈P(A)?P(B)，有S ∈P(A)且S ∈P(B)，所以S ?A 且S ?B 。
从而S ?A ?B ，故S ∈P(A ?B)。即P(A)?P(B)?P(A ?B)。
?S ∈P(A ?B)，有S ?A ?B ，所以S ?A 且S ?B 。
从而S ∈P(A)且S ∈P(B)，故S ∈P(A)?P(B)。即P(A ?B)?P(A)?P(B)。 故P(A ?B)=P(A)?P(B)
17、（A-B ）?B=（A ?B ）-B 当且仅当B=Φ。 证明：
?当B=Φ时，因为（A-B ）?B=（A-Φ）?Φ=A ，（A ?B ）-B=（A ?Φ）-Φ =A ，所以（A-B ）?B=（A ?B ）-B 。
?用反证法证明。假设B Φ≠，则存在b ∈B 。因为b ∈B 且b ∈ A ?B ，所以b ?（A ?B ）-B 。而显然b ∈（A-B ）?B 。
故这与已知（A-B ）?B=（A ?B ）-B 矛盾。
五、证明或解答：
（数理逻辑、集合论与二元关系部分）
1、设个体域是自然数，将下列各式翻译成自然语言：
(1) ?x ?y （xy=1）; (2) ?x ?y(xy=1); (3) ?x ?y (xy=0); (4) ?x ?y （xy=0）; (5) ?x ?y (xy=x); (6) ?x ?y （xy=x ）; (7) ?x ?y ?z (x-y=z) 答：
（1）存在自然数x ，对任意自然数y 满足xy=1; （2）对每个自然数x ，存在自然数y 满足xy=1; （3）对每个自然数x ，存在自然数y 满足xy=0;
（4）存在自然数x ，对任意自然数y 满足xy=1; （5）对每个自然数x ，存在自然数y 满足xy=x; （6）存在自然数x ，对任意自然数y 满足xy=x; （7）对任意自然数x,y ，存在自然数z 满足x-y=z 。
2、设A(x,y,z): x+y=z, M （x,y,z ）: xy=z, L(x,y): x
（1）?x （G(x,0)∨M （0,0,x ）） 或??x L(x,0) （2）?x ?y ?z ((L(x,y)∧L(y,z))→L(x,z)) （3）?x ?y ((L(x,y)?→z(L(z,0)∧G(xz,yz))) （4）?x ?yM （x,y,y ） （5）?x ?yA(x,y,x) 3、列出下列二元关系的所有元素：
（1）A={0,1,2}，B={0,2,4}，R={
（2）A={1,2,3,4,5}，B={1,2}，R={
(1) R={<0,0>,<0,2>,<2,0>,<2,2>} (2) R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}; (3) R={<1,1>,<1,-1>,<2,-2>,<3,-3>}。
4、对任意集合A,B ，证明：若A ?A=B ?B ，则B=B 。 证明：
若B=Φ，则B ?B=Φ。从而A ?A =Φ。故A=Φ。从而B=A 。
若B Φ≠，则B ?B Φ≠。从而A ?A Φ≠。
对B x ∈?,
5、对任意集合A,B ，证明：若A Φ≠，A ?B=A ?C ，则B=C 。 证明：
若B=Φ，则A ?B=Φ。从而A ?C =Φ。因为A Φ≠，所以C=Φ。即B=C 。
若B Φ≠，则A ?B Φ≠。从而A ?C Φ≠。
对B x ∈?,因为A Φ≠，所以存在y ∈A, 使
6、设A={a,b}, B={c}。求下列集合：
(1) A ?{0,1}?B ； (2) B
2
?A ；
(3) (A ?B)2
; (4) P(A)?A 。 解：
（1） A ?{0,1}?B={
（2） B
2
?A={
（3） (A ?B)2
={
（4） P(A)?A={<Φ,a>,<Φ,b>,<{a},a>,<{a},b>,<{b},a>,<{b},b>
,
7、设全集U={a,b,c,d,e}, A={a,d}, B={a,b,c}, C={b,d}。求下列各集合：
（1）A ?B ?
C ； （2）C B A ??；（3）(A ?B )Y C;
（4）P(A)-P(B); （5）(A-B)Y (B-C); （6）(A ⊕B)?C; 解 ：
(1) A ?B ?C ={a}; (2) C B A ??={a,b,c,d,e};
(3) （A ?
B ）Y C={b,d}; (4) P(A)-P(B)={{d},{a,d}};
(5) (A-B)Y (B-C)={d,c,a}; (6) (A ⊕B) ?C={b,d}。
8、设A,B,C 是任意集合，证明或否定下列断言： （1）若A ?B ，且B ?C ，则A ?C ； （2）若A ?B ，且B ?C ，则A ∈C; （3）若A ∈B ，且B ∈C ，则A ∈C ； （4）若A ∈B ，且B ?C ，则A ∈C ； 证明：
(1) 成立。
对?x ∈A, 因为A ?B ，所以x ∈B 。又因为B ?C ，所以x ∈C 。即A ?C 。
(2) 不成立。反例如下：A={a}, B={a,b},C={a,b,c}。虽然A ?B ，且B ?C ，但A ?C 。 (3) 不成立。反例如下：A={a}, B={{a},b},C={{{a},b},c}。虽然A ∈B ，且B ∈C ，但A ?C 。 (4) 成立。因为A ∈B, 且B ?C ，所以A ∈C 。
9、A 上的任一良序关系一定是A 上的全序关系。 证明：
?a ，b ∈A ，则{a,b}是A 的一个非空子集。Θ≤是A 上的良序关系，∴{a,b}有最小元。若最小元为a ，则a ≤b ；否则b ≤
a 。从而≤为A 上的的全序关系。
10、若R 和S 都是非空集A 上的等价关系，则R ?S 是A 上的等价关系。 证明：
?a ∈A ，因为R 和S 都是A 上的等价关系，所以xRx 且xSx 。故xR ?Sx 。从而R ?S 是自反的。
?a,b ∈A ，aR ?Sb ，即aRb 且aSb 。因为R 和S 都是A 上的等价关系，所以bRa 且bSa 。故bR ?Sa 。从而R ?S 是对称的。
?a,b,c ∈A ，aR ?Sb 且bR ?Sc ，即aRb ，aSb,bRc 且bSc 。因为R 和S 都是A 上的等价关系，所以aRc 且aSc 。故aR ?Sc 。
从而R ?S 是传递的。
故R ?S 是A 上的等价关系。
11、设R ?A ×A ，则R 自反 ?I A
?R 。
证明：
??x ∈A ，ΘR 是自反的，∴xRx 。即
?R 。
??x ∈A ，ΘI A
?R ，∴
12、设A 是集合，R ?A ×A ，则R 是对称的?R ＝R －1
。
证明：
??
_1
。从而R ?R -1
。
反之?
,即
_1
?R 。
故R=R -1
。
??x ，y ∈A ，若
。Θ R=R -1
，∴
13、设A,B,C 和D 均是集合，R ?A ×B ，S ?B ×C ，T ?C ×D ，则 (1) R ο(S ?T)=(R οS)?(R οT)； (2) R ο(S ?T)?(R οS)?(R οT)；
证明：
（1）?
同理可证（R οS ）?（R οT ）?R ο(S ?T)。 故R ο(S ?T)=（R οS ）?（R οT ）。
(2) ?
14、设〈A,≤〉为偏序集，≠ΦB ?A ，若B 有最大(小)元、上(下)确界，则它们是惟一的。 证明：
设a,b 都是B 的最大元，则由最大元的定义a ≤b ，b ≤a 。Θ
≤是A 上的偏序关系，∴a=b 。即B 如果有最大元则它是惟一的。
15、设A={1,2,3},写出下列图示关系的关系矩阵，并讨论它们的性质：
1 1 1
2 3 2 3 2 3
解：
（1）R={<2,1>,<3,1>,<2,3>};M R
=???
?
? ??001101000;它是反自反的、反对称的、传递的；
（2）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>};M R
=???
?
? ??011101110;它是反自反的、对称的；
（3）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,3>};M R
=???
?
?
??100001110;它既不是自反的、反自反的、也不是对称的、反对称的、传递的。
16、设A={1,2,…,10}。下列哪个是A 的划分？若是划分，则它们诱导的等价关系是什么？ （1）B={{1,3,6},{2,8,10},{4,5,7}}; （2）C={{1,5,7},{2,4,8,9},{3,5,6,10}}; （3）D={{1,2,7},{3,5,10},{4,6,8},{9}} 解：
（1）和（2）都不是A 的划分。 （3）是A 的划分。其诱导的等价关系是
I A
?{<1,2>,<2,1>,<1,7>,<7,1>,<2,7>,<7,2>,<3,5>,<5,3>,<3,10>,
<10,3>,<10,5>,<5,10>,<4,6>,<6,4>,<4,8>,<8,4>,<6,8>,<8,6>}。
17、R 是A={1,2,3,4,5,6}上的等价关系，
计算机网络答案-山东大学期末考题目答案
计算机网络答案-山东大学期末考题目答案
第一章概述 1-3试从多个方面比较电路交换、报文交换和分组交换的主要优缺点。 答：1、电路交换电路交换是一种必须经过“建立连接-通话-释放链接”三个步骤的一条专用物理通路。从建立连接开始，通讯就一直占用信道资源，直到释放。它具有实施性强，时延小，交换设备成本低的优点。同时，其线路利用效率低，通信效率低，不同类型终端之间不可通讯。电路交换适用于信息量大，较长的报文。 2、报文交换报文交换本质上也是存储转发方式，但是它将整个报文从一个结点传到下一个。它的优点是中继电路利用率高，可以多个用户同时在一条线路上传送。缺点在于报文信息量大，时延长，且占用交换机内存较大，不具有实时性。它适用于报文较短，实时性较低的通讯。 3、分组交换分组交换是将报文分组，在每个分组之前加上地址信息，通过路由器经接收，存储，再转发到下一个接口，直到将分组传到目标地址，再去掉地址信息将其重组为完整报文。在分组传输的过程中动态分配传输宽带，逐
段占用通信链路，多个分组数可同时传送。它传输效率高，且保证数据传输有很高可靠性。同时分组排队会造成时延，但比报文交换小，且成本较高。 1-12 因特网的两大组成部分（边缘部分与核心部分）的特点是什么？他们的工作方式各有什么特点？ 答：边缘部分由所有连接在因特网上的主机组成，由用户直接使用，进行通信和资源共享。核心部分，是由大量网络和连接这些网络的路由器组成，主要为边缘部分服务提供连通性和交换。边缘部分不同终端上的程序通信方式有客户-服务器方式和对等方式。客户-服务器方式指进行通讯的双方中一方为服务请求方，一方为服务提供方。客户向服务器发送远程服务请求，因此客户程序必须知道服务器程序地址，而服务器只需要被动接受请求，不需要知道客户程序地址，但需要强大硬件和高级操作系统支持。对等方式是双方均可既为服务提供者，也可以为服务请求
离散数学作业答案
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月19日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1 ． 2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 (PQ)R ． 3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式PQ 的主析取范式是 (PQR) (PQR) ． 4．设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 (x)(P(x) →Q(x)) ． 5．设个体域D ＝{a, b},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b)) ． 6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A(x)为“x 大于3”，则谓词公式(x)A(x) 的真值为 ． 7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 ． 8．谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x ，y))中的约束变元为 X ． 三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 1．解：设P ：今天是天晴； 则 P ． 2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式． 解：设P ：小王去旅游，Q ：小李去旅游， 则 PQ ． 3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式． 解：设P:明天天下雪 。 Q:我去滑雪 则 P Q ． 4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式． 7．解：设 P ：他去旅游，Q ：他有时间， 则 P Q ． 5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式． 11．解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去工作，
山东大学离散数学题库及答案
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些就是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个就是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式?x((A(x)→B(y,x))∧ ?z C(y,z))→D(x)中,自由变元就是( ),约束变元就是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句就是不就是命题。若就是,给出命题的真值。( ) (1) 北京就是中华人民共与国的首都。 (2) 陕西师大就是一座工厂。 (3) 您喜欢唱歌不？ (4) 若7+8＞18,则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答:(1) 就是,T (2) 就是,F (3) 不就是 (4) 就是,T (5) 不就是 (6) 不就是 6、命题“存在一些人就是大学生”的否定就是( ),而命题“所有的人都就是要死的”的否定就是( )。 答:所有人都不就是大学生,有些人不会死 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义就是( )。 (1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 就是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( ) (3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 就是奇数,Q(x):x 就是偶数,谓词公式 ?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2就是偶数或-3就是负数”的否定就是( )。 答:2不就是偶数且-3不就是负数。 12、永真式的否定就是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能
(完整版)离散数学作业答案一
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、 数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型(除单项选择题外) 安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第17周末前完成并上交任课教师(不收电子稿)。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1 .命题公式P (Q P)的真值是T或1 ______ . 2?设P:他生病了，Q:他出差了. R:我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P V Q)-R 3. ____________________________________________________________ 含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P Q的主析取范式是__________________ _(P Q R) (P Q R)_ 4. 设P(x): x是人，Q(x): x去上课，则命题“有人去上课.” 可符号化为— x(P(x) Q(x))_ 5. 设个体域D = {a, b},那么谓词公式xA(x) yB(y)消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b))_ 6 .设个体域D = {1,2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(x)A(x)的真值为F 或0 ________________ . 7.谓词命题公式(x)((A(x) B(x)) C(y))中的自由变元为 ________ . 8 .谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x，y))中的约束变元为x _______ . 三、公式翻译题 1 .请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式
《离散数学》题库及答案
《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式x((A(x)B(y，x))z C(y，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式x A和x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在x A和x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( )
(1)北京是中华人民共和国的首都。(2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？(4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！(6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。） 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在，换成”，然后将命题的结论否定，“且变或或变且”） 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校(2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P ?（注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个 Q→ 形式的）（2）Q P→ ? P? ?（4）Q P? →（3）Q 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0 （2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1）F (反证法：假若存在，则（x- 1）*y=0 对所有的x都成立，显然这个与前提条件相矛盾) （2）F （同理）（3）F （同理）（4）T（对任一整数x存在整数y满足条件y=2x 很明显是正确的）
山东大学期末考试知识点复习
第七章新闻图片编辑 【知识框架】 【重点难点归纳】 一、新闻图片的种类及其地位 1．报纸上常见的图片种类 (1)照片 新闻照片就是以新闻事件、新闻人物为拍摄对象，再现新闻现场情景的照片，它可以作为独立的新闻报道出现在版面上，也可以配合文字报道一同编发。 (2)漫画 漫画在现代报纸上的使用非常广泛，有根据新闻事实进行艺术加工的新闻漫画，时效性较强，经常刊登在新闻版上；也有反映社会生活现象的社会性漫画，通常刊登在专刊副刊上；还有用来配合文字报道的图解式漫画以及连环漫画、幽默画等。 (3)图示 图示包括统计图表、示意图和新闻地图三类。 统计图表就是将统计数字制成表格图，便于读者集中阅读，一目了然。
示意图不但将统计数字集中绘制成图，而且用形象化的手法表示这些数据所说明的意义。 新闻地图则是根据标准地图，将新闻发生地的地理位置绘制成更加简洁明确的地图。 (4)图饰 图饰一般是用美术图案点缀和烘托报纸的报头、报眉、标题、栏题、版头或版面的其他部位，使整个版面更加美观生动，恰当地运用图饰还能使版面编排思想得到更加充分的体现。 2．图片的地位与作用 (1)纪实性作用 作为独立报道体裁的新闻照片具有再现新闻现场、记载真实瞬间的作用，这类照片成为报纸上不可或缺的重要组成部分。 (2)证实性作用 非独立使用的新闻照片与非新闻照片具有证实文字报道的作用，这类照片对新闻资源的充分发掘，对提高新闻报道的可信度具有重要意义。 (3)解说性作用 图表、示意图、新闻地图、漫画等能够以形象性的符号统计和描绘新闻报道中的某些内容，从而对相对比较枯燥的文字表述进行生动易懂的解释。 (4)装饰性作用 图片的形象性特征使其可以作为文字稿件的美化装饰手段。 (5)视觉冲击性作用 图片的形象性和直观性能够产生强烈的视觉冲击效果，产生巨大的吸引力与震撼力，这是文字报道所难以达到的。
吉林大学离散数学课后习题答案
第二章命题逻辑 §2.2 主要解题方法 2.2.1 证明命题公式恒真或恒假 主要有如下方法： 方法一.真值表方法。即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每
一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。 真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。 例2.2.1 说明G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。 解：该公式的真值表如下： 表2.2.1 由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故
G恒真。 方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。 例2.2.2 说明G= ((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。 解：由(P→R) ∨? R=?P∨ R∨? R=1，以及 ? (Q→P) ∧ P= ?（?Q∨ P）∧ P = Q∧? P∧ P=0 知，((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)=0，故G恒假。 方法三.设命题公式G含n个原子，若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项，则G是恒假的。 方法四. 对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1，P2，…，P n，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2，…，P n，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G
大学本科高等数学《离散数学》试题及答案
本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
山东大学考研有靠谱的辅导机构吗
山东大学考研有靠谱的辅导机构吗 随着考研人数日趋增多，考研的竞争也是日渐加大。对于考名校的同学来说，竞争对手数量多实力强，怎么才能突出重围成功考上呢？有没有什么捷径可走呢？ 我的回答是真的没有，要想成功上岸只能靠自己一步一个脚印去努力，一蹴而就是没可能的，但是可以有策略。就我自己而言，我是成功考上山东大学的计算机专业。其实我本科并不是计算机专业，但是择校的时候通过各方信息收集，实现了曲线救国。 具体过程是这样的：19年4月份了解到山东大学的数学学院的网络空间安全专业要独立出来成立网络空间安全(研究院)学院，而我本科也很喜欢计算机方向，本科也上了不少课程，但当时就心动了，就进一步进行了解，原来山东大学的网络空间安全原来属于数学系，在数学系下招生，而且有一个非常厉害的教授叫王小云院士，破解了几个非常难以破解的密码，一举带领山东大学走上国际顶级水平；并且在国家大力推行人工智能、数据分析、网络安全的研究，山东大学成立网络空间安全学院，顺势而为，非常具有吸引力，我感觉找到了一个非常不错的专业，看了学院的2020年的招生计划，计划2020年招收17个学硕，20个专硕和10个左右的非全，感觉招生人数虽然只有37个左右，但是考虑到今年第一年招生，是第一个吃螃蟹的人，报
考的人应该不会很多，所以机会还是很大的，但是弊端就是由于第一年招生没有往年的真题，所以准备专业课可能有一点困难，但是看到招生目录上的专业课有三个方向，专业课都是数据结构+计算机网络(824)或是离散数学(826)，可以根据自己选择考824还是826，这些专业课本科都学过而且也学得不错，但是离散数学感觉难度有一点大，就选择了数据结构和计算机网络。 其实择校的话就是一个信息收集的过程，能够获得一手信息就能领先一步。对于考山大的学弟学妹们来说，如果你对哪个专业有疑问，可以多向专业的机构咨询，这就是策略。 在这方面我推荐新祥旭考研辅导机构，他们做一对一的辅导已经15年了。对山大各专业的情况都有非常全面的信息，能够结合你的实际情况快速的帮你分析各专业方向的利弊，把专业确定下来。 当然除此之外，他们也有各专业比较优秀的辅导老师，只要你考虑辅导，他们就能结合你的实际情况快速的给你匹配到适合你学习风格的辅导老师，提高整体的复习效率。 考研不易，择校有策略。备考找辅导也是策略，只要能实现梦想突出重围大家可以多多尝试。
计算机网络答案 山东大学期末考题目答案
第一章概述 1-3试从多个方面比较电路交换、报文交换和分组交换的主要优缺点。 答：1、电路交换电路交换是一种必须经过“建立连接-通话-释放链接”三个步骤的一条专用物理通路。从建立连接开始，通讯就一直占用信道资源，直到释放。它具有实施性强，时延小，交换设备成本低的优点。同时，其线路利用效率低，通信效率低，不同类型终端之间不可通讯。电路交换适用于信息量大，较长的报文。 2、报文交换报文交换本质上也是存储转发方式，但是它将整个报文从一个结点传到下一个。它的优点是中继电路利用率高，可以多个用户同时在一条线路上传送。缺点在于报文信息量大，时延长，且占用交换机内存较大，不具有实时性。它适用于报文较短，实时性较低的通讯。 3、分组交换分组交换是将报文分组，在每个分组之前加上地址信息，通过路由器经接收，存储，再转发到下一个接口，直到将分组传到目标地址，再去掉地址信息将其重组为完整报文。在分组传输的过程中动态分配传输宽带，逐段占用通信链路，多个分组数可同时传送。它传输效率高，且保证数据传输有很高可靠性。同时分组排队会造成时延，但比报文交换小，且成本较高。 1-12 因特网的两大组成部分（边缘部分与核心部分）的特点是什么？他们的工作方式各有什么特点？ 答：边缘部分由所有连接在因特网上的主机组成，由用户直接使用，进行通信和资源共享。核心部分，是由大量网络和连接这些网络的路由器组成，主要为边缘部分服务提供连通性和交换。边缘部分不同终端上的程序通信方式有客户-服务器方式和对等方式。客户-服务器方式指进行通讯的双方中一方为服务请求方，一方为服务提供方。客户向服务器发送远程服务请求，因此客户程序必须知道服务器程序地址，而服务器只需要被动接受请求，不需要知道客户程序地址，但需要强大硬件和高级操作系统支持。对等方式是双方均可既为服务提供者，也可以为服务请求者。 网络核心部分要想网络边缘部分提供连通性和交换，起关键作用的是路由器，其任务是转发收到的分组，使得边缘部分的每一个终端都能够向其他主机通信。 1-14 计算机网络有哪些常用的性能指标？ 答：1、速率：连结在计算机网络上的主机在数字信道上传送数据的速率，单位为b/s（其中 b 为bit，表示一个二进制数字，比特是计算机中数据量的单位） 2、带宽：带宽本来指的是某个信号具有的频带宽度，单位为赫；由于通信的主干线传送的是模拟信号，所以，带宽表示通信线路允许通过的信号频带范围，表示在单位时间内，从网络中的某一点到另一点所能通过的“最高数据率”，单位是比特每秒。 3、吞吐量：表示单位时间内通过某个网络口的数据量，经常用于对现实世界中的网络的一种测量，以便知道实际上到底有多少数据量能通过网络 4、时延：时延指数据从网络的一段传送到另一端所需要的时间。有以下几个部分组成：（1）发送时延从主机发送数据帧的第一个比特算起，到该帧的最后一个比特发送完毕所需要的
慕课 离散数学 电子科技大学 课后习题十 答案
作业参考答案——10-特殊图 1.(a)(c)(d)是欧拉图，(a)(b)(c)(d)(e)可以一笔画，(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)是 哈密顿图。 2.根据给定条件建立一个无向图G=
数至少为2，而V2中的每个结点度数至多为2，从而它满足t条件t=1，因此存在从V1到V2的匹配，故可分配。 5.此平面图具有五个面，如下图所示。 a b c d e f g r1r2 r3 r4 r5 ?r1，边界为abca，D(r1)=3; ?r2，边界为acga，D(r2)=3; ?r3，边界为cegc，D(r3)=3; ?r4，边界为cdec，D(r4)=3; ?r5，边界为abcdefega，D(r5)=8;无限面 6.设该连通简单平面图的面数为r，由欧拉公式可得，6?12+r=2，所以 r=8，其8个面分别设为r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8。因是简单图，故每个面至少由3条边围成。只要有一个面是由多于3条边所围成的，那就有所有面的次数之和 8∑ i=1 D(r i)>3×8=24。但是，已知所有面的次数之和等于边数的两倍，即2×12=24。因此每个面只能由3条边围成。 2
中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案
《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群
19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设
离散数学作业答案
第一章 1.假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 2.试求： (1)P(φ) (2)P(P(φ)) (3)P(P(P(φ))) 3.在1~200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？ 能被5整除的有40个， 能被15整除的有13个， ∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。 第三章 1.下列语句是命题吗？ (1)2是正数吗？ (2)x2+x+1=0。 (3)我要上学。 (4)明年2月1日下雨。 (5)如果股票涨了，那么我就赚钱。 2.请用自然语言表达命题(p?→r)∨(q?→r)，其中p、q、r为如下命题： p：你得流感了 q：你错过了最后的考试
3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。 4.给出p→(q→s),q,p∨?r?r→s的形式证明。 第四章 1.将?x(C(x)∨?y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同 班同学，个体域是学校全体学生的集合。 解： 学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。 2.构造?x(P(x)∨Q(x)),?x(Q(x)→?R(x)),?xR(x)??xP(x)的形式证明。 解： ①?xR(x) 前提引入 ②R(e) ①US规则 ③?x(Q(x)→?R(x)) 前提引入 ④Q(e) →?R(e) ③US规则 ⑤?Q (e) ②④析取三段论 ⑥?x(P(x)∨Q(x)) 前提引入 ⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则 ⑧P(e) ⑤⑦析取三段论 ⑨?x (P(x)) ⑧EG规则 第五章
山东大学离散数学题库及答案
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式 x((A(x) B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。 答：?P ，Q →P
K826离散数学2020年山东大学
826-离散数学 考试要求 要求考生系统地理解与掌握离散数学的基本概念、计算和证明方法，以及应用概念和方法进行应用问题离散建模、计算求解和逻辑推理的能力。要求考生具有抽象思维能力，逻辑推理能力，和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。考试内容 1. 逻辑和证明基础：命题逻辑及其应用、命题等价式、命题逻辑等价演算、谓词、量词、嵌套量词、推理规则、证明方法和策略 2. 基本结构：集合基本概念及其运算、函数、序列及求和、集合的基数 3. 算法：算法的基本概念、搜索算法、排序问题、贪婪算法、函数的增长、算法的复杂度 4. 初等数论：整除性和模算术、整数进制表示和运算算法、素数、最大公约数、最小公倍数、欧几里得算法、最大公约数的线性组合表示、线性同余方程、中国剩余定理、费马小定理、原根、离散对数问题 5. 归纳与递归：数学归纳法原理及其运用、强归纳法及其运用、良序性质、递归定义与结构归纳法、递归算法、程序正确性 6. 计数：计数基础、鸽巢原理、排列与组合及其推广、二项式系数与恒等式、生成排列和组合 7. 关系：二元关系基本概念及其性质、n元关系及其应用、关系的表示（关系矩阵、关系图）、关系的闭包、等价关系、偏序 8. 图：图的基本概念、图模型、图的基本术语、几种特殊类型图、二部图和匹配、图的表示与图的同构、图的连通性、欧拉通路、哈密顿通路、最短通路算法、平面图及其应用、图的着色问题。 9. 树：树的基本概念、树的基本性质及其应用、树的遍历算法、树的编码、生成树、最小生成树。 10.布尔代数：布尔函数及其表示、逻辑门电路、电路极小化。 考试形式 考试形式为闭卷、笔试，考试时间为180分钟，满分为150分。 参考教材 离散数学及其应用（原书第7版），Kenneth H. Rosen，机械工业出版社 原作名: Discrete Mathematics and Its Applications，译者: 徐六通、杨娟、吴斌
山东大学网络教育期末考试试题及答案-生理学B
生理学 B 一、单项选择题 1.引起组织发生反应的环境变化称为 A.刺激 B.反射 C.反馈 D.兴奋 2.寒冷引起甲状腺激素分泌增多,是属于 A.神经调节 B.体液调节 C.局部调节 D. 自身调节 3.心室肌收缩期及舒张早期相当于兴奋性的 A．低常期 B.相对不应期 C.有效不应期 D. 超常期 4.肾上腺素对受体的结合力是 A.都很强 B.对α强,弱 C.对β强，α弱 D.只对α 5.使细胞去极化达阈电位的刺激是 A.阈刺激 B.刺激阈 C.阈下刺激 D.阈强度 6.细胞膜主动转运的特点是 A．转运脂溶性物质 B.耗能 C.靠通道协同 D.顺电-化学梯度7.细胞膜内外存在的电位差通称为 A．动作电位 B.静息电位 C.跨膜电位 D. 局部电位 8.房室瓣关闭与动脉瓣开放间的时间相当 A.快速射血期 B.射血期 C.室缩期 D. 心室等容收缩期 9.下列哪种情况可使心输出量增加 A．刺激迷走神经 B.由卧位转为站立位 C.心率>180次 D. 颈动脉窦内压降低 10.静脉回心血量增多时，可引起 A.心室后负荷减少 B.心室舒张期延长 C. 心室前负荷增加 D.充盈期缩短 11.血浆pH值主要通过下列哪条途径维持的？ A．血液B．消化道C．肾D．皮肤 12.呼吸频率从12次/分增加到24次/分，潮气量从500ml减少到250ml，则： A．肺通气量增加B．肺泡通气量增加 C．肺泡通气量不变D．肺泡通气量减少 13.在下列哪一时相中，肺内压等于大气压？ A．吸气和呼气初B．吸气末和呼气初 C．呼气初和呼气末D．呼气末和吸气末 14.使胰蛋白酶原活化的最主要的物质是： A．盐酸B．组织液C．肠致活D．糜蛋白酶 15.促胰液素能促进胰腺分泌的特点是： A.大量的水分和碳酸氢盐，而胰酶含量很少 B.少量的水分和碳酸氢盐，而胰酶含量也很少 C.少量的水分和碳酸氢盐，而胰酶含量很丰富 D.大量的水分，而碳酸氢盐和胰酶含量很少 16.滤过分数是指： A．肾血流量/ 心输出量B．肾血浆流量/ 肾血流量 C．肾血流量/ 肾血浆流量D．肾小球滤过率/ 肾血浆流量
国开放大学离散数学本离散数学作业答案
国开放大学离散数学本离 散数学作业答案 The pony was revised in January 2021
离散数学集合论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业． 要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择： 1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅． 2. 在线提交word文档 3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传． 一、填空题
1．设集合{1,2,3},{1,2} ==，则P(A)-P(B )= {{1,2}，{2,3}，{1,3}， A B {1,2,3}} ，A B= {< 1,1>，<1,2>，<2，1>，<2，2>，<3，1>，<3， 2> } ． 2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ． 3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系， 则R的有序对集合为 {< 2,2>，<2,3>，<>，<> } ．4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系 R＝} y x y x∈ ∈ < > = A , , 2 , y {B x 那么R－1＝ {< 6，3>，<8，4> } ． 5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={
山东大学网络教育离散数学期末考试复习题
离散数学试卷 一、选择题 1、设}}8,7,6{},5,4{},3,2,1{{=A ，下列选项正确的是： （1）A ∈1 （2）A ?}3,2,1{ （3）A ?}}5,4{{ （4）A ∈? 2、对任意集合C B A ,,，下述论断正确的是： （1）若C B B A ?∈,，则C A ∈ （2）若C B B A ?∈,，则C A ? （3）若C B B A ∈?,，则C A ∈ （4）若C B B A ∈?,，则C A ? 3、假设},,{c b a A =上的关系如下，具有传递性的关系是： （1）},,,,,{>><><><><><><><