第5章 窄带随机过程
第五章 窄带随机过程
5.1 窄带随机过程的概念
1． 通信工程中的信号频率
在通信工程中，如雷达、广播、电视等信号，在传输中信号有相对固定的信号频率。对
于有相对固定频率的信号，其数学表达方法的研究是非常重要的。 2． 窄带随机过程
（1） 带通随机过程的定义
若随机过程)(t X 的谱密度满足：
??
??<-=其它0
)()(0ω
ωωωωS S X 则称)(t X 为带通过程。
带通过程的谱密度的图解如下图。
（2） 窄通随机过程的定义
若)(t X 为带通过程，且0ωω<
3． 窄带随机过程的解析表达方法之一：莱斯表示法
（1）窄带随机过程的莱斯表示
定理：任何一个实窄带随机过程)(t X 都可表示为下式：
)sin()()cos()()(00t t b t t a t X ωω-=
证明：略。
注：证明过程要用到一种重要的数学变换――希尔伯特变换，此变换需掌握。 （2） )(t a 、)(t b 的性质 ①)(t a 、)(t b 都是实随机过程。 ②0))(())((==t b E t a E . 。
③)(t a 与)(t b 各自广义平稳，联合平稳，且：)()(ττb a R R =。
④))(())(())((2
22t X E t b E t a E ==，由此可得方差22b a σσ=。
⑤0)0(=ab R ，这说明)(t a 与)(t b 在同一时刻正交。 ⑥)()(ωωb a S S =。
4． 窄带随机过程的解析表达方法之二：准正弦振荡表示法
定理：实窄带随机过程)(t X 都可表示为下式：
))(cos()()(0t t t A t X Φ+=ω
证明：由莱斯表示法有：
)()()(2
2
t b t a t A +=
， )
()()(t a t b arctg
t =Φ
)(t A 与)(t Φ都是慢变化的随机过程。慢变化是指)(t A 与)(t Φ随时间变化比)
cos(0t ω随时间的变化要缓慢得多。
其中：称0ω这载波频率。
称)(t A 为)(t X 的包络。 称)(t Φ为)(t X 的相位（初相）。
这一表达式称为准正弦振荡表示法。
5.2 窄带高斯过程包络与相位的概率密度
在工程应用中，假定系统的输出是一个窄带高斯随机过程，可使问题的解决得到简化。
实际上，有许多工程实际的系统输出是窄带高斯随机过程。
对于窄带随机过程，包络)(t A 与相位)(t Φ的检测是首要工作。 1． 包络与相位的一维概率密度
（1） 先求)(t a 与)(t b 的联合概率密度),(t t ab b a f
当t 确定后，)(t a 与)(t b 都是高斯随机变量，且相互正交，所以有
?
?????+-=
2
222
2exp 21),(σπσ
t t t t ab b a b a f （2） 求)(t A 与)(t Φ的联合概率密度
定理： ),(),(t t ab t t A b a f J A f =ΦΦ，J 为雅可比行列式。
由 )()()(2
2
t b t a t A +=
， )
()()(t a t b arctg
t =Φ 可得
)(t A J =
所以有
???
??≤Φ≤≥?
?
????-=ΦΦ其它
20,02exp 2),(22
2
π
σπσ
t t t t t t A A A A A f
（3） 求)(t A A f 、)(t f ΦΦ
对),(t t A A f ΦΦ求边缘概率密度，可得)(t A A f 与)(t f ΦΦ
?
?
????-=
ΦΦ?
Φ222
20
2exp ),()(σσ
π
t t
t t t A t A A A d A f A f ＝，（0≥t A ） π
21),()(0
=ΦΦ?
∞
ΦΦt t t A t A d A f f ＝，（π20≤Φ≤t ）
5.3 正弦型信号与窄带高斯噪声之和
1． 模型
设
)()()(t N t s t X +=
其中)(t s 为具有随机相位的正弦型信号
)cos()(0θω+=t a t s
a 与0ω为已知常数，θ为)2,0(π区间均匀分布的随机变量，)(t N 为平稳窄带实高斯随
机噪声过程，均值为0，方差为2σ，功率谱密度对称于0ω±。
可以证明，)(t X 是一窄带随机过程： 设
)sin()()cos()()(00t t b t t a t N ωω-=
)sin(sin )cos(cos )cos()(000t a t a t a t s ωθωθθω?-?=+=
可得
)sin()()cos()()(00t t b t t a t X ωω'-'= 其中?
??+='+=')(sin )()(cos )(t b b t b t a a t a θθ
或
))(cos()()(0t t t A t X Φ+=ω
其中 )()()(2
2t b t a t A '+'=， )
()()(t a t b arctg
t ''=Φ
2． 在θ确定下，求条件概率密度)(θt A A f 、)(θt f ΦΦ （1）求)(t a '与)(t b '的联合概率密度),(θt t b a b a f ''''
?
?????-+-'-=
''''2
222
2)sin ()cos (exp 21),(σθθπσ
θa ba a a b a f t t t t b a （2）求)(t A 与)(t Φ的条件联合概率密度 ),(),(θθt t b a t t A b a f J A f ''=Φ''Φ
?????≤Φ≤≥?
?????Φ--+-=其它
20,02)cos(2exp 22
222
π
σθπσt t t t t t
A aA a A A
（4） 求)(θt A A f 、)(θt f ΦΦ
利用),(θt t A A f ΦΦ求边缘分布密度，可得：
)(2exp ),()(2
02222
20
σσσ
θθπ
t
t t
t t t A t A A a I a A A d A f A f ???
?????+-=
ΦΦ?
Φ＝ 其中)(0?I 是第一类零阶修正贝塞尔函数。 由于)(θt A A f 与θ无关，于是有
)()(θt A t A A f A f =
t t t A t A d A f f ?∞
ΦΦΦΦ0),()(θθ＝
??????Φ---?Φ-ψ?Φ-???????-=2)(cos exp ))
cos((2)cos(2exp 21
t 222t t 22θσθσπθσπa a a a a )(?ψ是概率积分函数。
作业：P174，6.1，6.2，6.3，6.4，6.5，6.6，6.10。
107484-概率统计随机过程课件-第八章(第四节)
第四节 正态分布均值和方差的 区间估计 我们知道，正态随机变量是最为常见的，特别是很多产品的指标服从或近似服从正态分布。因此,我们主要研究正态总体参数的区间估计。先研究均值的区间估计，然后再研究方差的区间估计。这些在实际应用中是很重要的. 一：均值EX 的区间估计 下面分两种情况进行讨论。 1． 方差DX 已知， 对EX 进行区间估计 设总体),(~2 σμN X ，其中2 σ已 知。又n x x x ,,,2 1 为来自于总体的样 本。 由第七章第三节中的结论可知 ),(~)x (12 1n N x n x n σμ++=-
于是 )1,0(~/N n x U σμ -= - , 由标准正态分布可知， 对于给定的α， 可以找到一个数2 1α-z ，使 2 1)(}{2 12 1α α α - =Φ=≤- - z z U P , αα -=≤- 1}|{|2 1z U P , ασμα -=?? ? ???? ???≤-- - 1/2 1z n x P , 即 ασμσ α α -=? ?? ? ?? +≤≤-- - - -12 12 1n z x n z x P , 也就是说，μ落在区间 ? ? ??? ? +-- - - - n z x n z x σσα α 2 12 1,内的概率为α-1。 区间 ? ? ? ?? ? +-- - - - n z x n z x σσ α α 2 12 1, , (8.11)
即为μ的置信区间。称2 1α - z 为在置信 度α-1下的临界值，或称为标准正态分布的双侧分位点。 当α＝0.05时，查标准正态分布表得临界值975 .02 1z z =- α＝1.96，此时 μ的置信区间是 ????? ? +-- - n x n x σσ96.1,96.1 当α＝0.01时，查标准正态分布表得临界值995 .02 1z z =- α＝2.58，此时μ 的置信区间是 ?? ???? +-- - n x n x σσ58.2,58.2 从上可知，α越大，则α-1越小, 置信区间越小，(精度高,难于办到),μ落在区间内的把握也就越小。因此，在实际应用中，要适当选取α。 例1：已知某种滚珠的直径服从正态分布，且方差为0.06，现从某日生产的一批滚珠中随机地抽取6
窄带高斯随机过程的产生
本科实验报告 实验名称：窄带高斯随机过程的产生
一、实验目的 熟悉窄带随机过程的定义，了解窄带随机过程产生的原理与方法，最后估计实验产生的窄带随机过程的功率谱；掌握具有指定功率谱的随机过程产生方法，并以此产生窄带随机过程。 二、实验内容 本实验模拟产生一段时长为5ms 的窄带高频随机过程X(t)的样本函数。根据窄带随机过程的理论，X(t)可表示为 t f t A t f t A t X s c 002cos )(2cos )()(ππ-= 其中，A c (t)和A s (t)均为低频的高斯随机过程，因此，要模拟产生X(t)，首先要产生两个相互独立的高斯随机过程Ac(t)和As(t)，然后用两个正交载波cos2πf 0t 和sin2πf 0t 进行调制，如图所示。 假定Ac(t)和As(t)的功率谱密度均为4 ) /(11 )()(f f f G f G s c ?+= =，其中f ?为功率谱密度的3dB 带宽。在3.7节中介绍了有色高斯随机过程的产生，请按照频域法或时域滤波器法分别产生时长5ms 的低通过程Ac(t)和As(t)，然后按图所示合成X(t)，其中f 0=1000/π，要求分别画出模拟产生的Ac(t)、As(t)、X(t)的波形。 三、实验原理 （一）、有色高斯随机过程的模拟——频域法
首先将X(t)进行周期延拓，得到一个周期信号，再对周期信号进行傅里叶级数展开，即 ∑∞ -∞ == k k f j k e X t X 02~ )(π)1(0d T f = 由于傅里叶级数是X k 的线性组合，所以，如果X k 是零均值的高斯随机变量，那么)(~ t X 也是零均值高斯过程，如果{X k }是两两正交的序列，则周期信号的功率谱为线谱，即 ∑∞ -∞ =-= k k X kf f g f G )()(02~δ))|(|(22 k k X E g = 通过选择g k 就可以得到期望的功率谱。 假定Gx(f)是带限的，即 0)(=f G x (|f|>B) 那么，{g k 2}只有有限项，即{2 2120212,,...,,...,,M M M M g g g g g -+--}，其中M=[B/f 0]，[· ]表示取整，与此对应的傅里叶级数系数{Xk}也是2M+1项。因此，只需产生2M+1个相互正交的零均 值高斯随机变量{M M M M X X X X X ,,...,,...,,101-+--}，其方差22)|(|k k g X E =，并在1式中将时间限定为(0,Td)就可以得到模拟过程X(t)。2k g 应与)(0kf G x 成比例，即)(02kf G g x k β=， 系数β的选择满足下式： ∑? ∑∑-=-=-=== = M M k X B B M M k M M k k k X kf G g X E df f G )(]|[|)(0-2 2 β 即 ∑?-== M M k X B B X kf G df f G ) ()(0 -β 总结如下： 1.根据所需过程的时长Td 确定频率f 0，并确定傅里叶级数系数的长度M=[B/f 0]； 2.根据∑?-==M M k X B B X kf G df f G ) ()(0 -β确定β； 3.产生2M+1个独立的高斯随机变量，即 M M M M k kf G N X X k ,1,...,0,...,1,)),(,0(~0-+--=β
第5章 窄带随机过程
第五章 窄带随机过程 5.1 窄带随机过程的概念 1． 通信工程中的信号频率 在通信工程中，如雷达、广播、电视等信号，在传输中信号有相对固定的信号频率。对 于有相对固定频率的信号，其数学表达方法的研究是非常重要的。 2． 窄带随机过程 （1） 带通随机过程的定义 若随机过程)(t X 的谱密度满足： ?? ??<-=其它0 )()(0ω ωωωωS S X 则称)(t X 为带通过程。 带通过程的谱密度的图解如下图。 （2） 窄通随机过程的定义 若)(t X 为带通过程，且0ωω<
4． 窄带随机过程的解析表达方法之二：准正弦振荡表示法 定理：实窄带随机过程)(t X 都可表示为下式： ))(cos()()(0t t t A t X Φ+=ω 证明：由莱斯表示法有： )()()(2 2 t b t a t A += ， ) ()()(t a t b arctg t =Φ )(t A 与)(t Φ都是慢变化的随机过程。慢变化是指)(t A 与)(t Φ随时间变化比) cos(0t ω随时间的变化要缓慢得多。 其中：称0ω这载波频率。 称)(t A 为)(t X 的包络。 称)(t Φ为)(t X 的相位（初相）。 这一表达式称为准正弦振荡表示法。 5.2 窄带高斯过程包络与相位的概率密度 在工程应用中，假定系统的输出是一个窄带高斯随机过程，可使问题的解决得到简化。 实际上，有许多工程实际的系统输出是窄带高斯随机过程。 对于窄带随机过程，包络)(t A 与相位)(t Φ的检测是首要工作。 1． 包络与相位的一维概率密度 （1） 先求)(t a 与)(t b 的联合概率密度),(t t ab b a f 当t 确定后，)(t a 与)(t b 都是高斯随机变量，且相互正交，所以有 ? ?????+-= 2 222 2exp 21),(σπσ t t t t ab b a b a f （2） 求)(t A 与)(t Φ的联合概率密度 定理： ),(),(t t ab t t A b a f J A f =ΦΦ，J 为雅可比行列式。 由 )()()(2 2 t b t a t A += ， ) ()()(t a t b arctg t =Φ 可得 )(t A J =
实验二：窄带高斯随机过程的产生
本科实验报告实验名称：窄带高斯随机过程的产生
一、实验目的 熟悉窄带随机过程的定义，了解窄带随机过程产生的原理与方法，最后估计实验产生的窄带随机过程的功率谱；掌握具有指定功率谱的随机过程产生方法，并以此产生窄带随机过程。 二、实验原理 （一）窄带随机过程的产生原理 窄带随机过程可以表示为下面的准正弦振荡的形式： cos X t A t ωτ?τ0()=()[+()] 或者表示为同相分量与正交分量的合成： 00cos sin c s X t A t t A t t ωω()=()-() 其中c A t ()与s A t ()均为低频变化的随机过程，可以通过模拟其分布及功率谱特性来实现窄带随机过程的产生。 （二）用频域法模拟任意随机过程 模拟一个时长为d T 的高斯随机过程的一个样本函数()X t , 要求功率谱密度满足指定的形式，先将()X t 进行周期性延拓，并做DFS ()0201 ()j k k f k d X e f T X t π∞ ∞ =-== ∑ 若k X 是零均值的高斯随机变量，那么()X t 也是零均值的高斯随机过程。若{}k X 是两两正交的序列 ()2 2 2 0()(())k k k k X g f k G f E X f g δ=-∞ ∞ = -=∑ 即可以控制k g 得到期望的功率谱。 假定()(0 )X G f B f =>，即()X G f 带限，则{}2k g 为有限项，对应的DFS 系数{}k X 也为21M +项0()B M f ?? =???? ，因此只需产生21M +个相互正交的零均值 高斯随机变量{}101,,,,,,M M M M X X X X X --+- ，其方差为2 2()k k E X g =。2 k g 应 与()0X G kf 成比例，即()20X k G g kf β=，则有
MATLAB 窄带随机过程
中山大学移动学院本科生实验报告 （2015学年春季学期） 课程名称：通信原理 任课教师：刘洁 教学助理（TA ）：朱焱 1、 实验要求 1.产生窄带随机过程和其概率谱密度 2.产生多个窄带随机过程 3.求出窄带随机过程的均值和自相关函数 2、 设计思路 00)()sin(2) f t b t f t p p - 对于第一个实验： 首先便是要搞懂如何产生一个窄带随机过程，按照TA 的提示，循序而进，从定义出发，获得答案。按照上面的结构框图 ，由公式： t t b t t a t X 00sin )(cos )()(ωω-= 可以较为轻松的得到窄带随机过程（先产生高斯白噪声g = randn(1,1001)，产生低通[b,a] = butter(1,wn)的B/A 系数，由Y = filter （B ，A ,X ），得到a （t ）和 b （t ），之后zt = a(t)cos(wt) - b(t)sin(wt)，通过这个公式就容易了，再通过plot(zt);便可以得到窄带随机过程），后面的两个实验，是基于第一个实验来做的； 对第二个实验： 加入for 循环，生成五个窄带随机过程，并且利用subplot 画小图。 对第三个实验： 产生窄带随机过程，利用函数mean 和xcorr 两个函数分别产生均值和
自相关函数。 3、运行与测试 Lab1：产生窄带随机过程和其概率谱密度 在command命令框里写入：zhaidai，这是基于随机过程的莱斯表达式，产生一个1000个点的高斯窄带随机过程，和其概率谱密度（基本呈现正态分布）。 Lab2：产生多个窄带随机过程
窄带随机过程的产生及其性能测试
实验四 窄带随机过程的产生及其性能测试 一、实验目的 1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。 2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、相关函数及功率谱密度等。 二、实验原理 窄带随机过程的产生如下图所示： 00)()sin(2) f t b t f t p p - 三、实验内容 1、按照上面的结构框图，基于随机过程的莱斯表达式t t b t t a t X 00sin )(cos )()(ωω-=，用Matlab 产生一满足条件的窄带随机过程。 m.文件如下： %产生一个p 个点的高斯窄带随机过程 function f=suiji1(p) n=1:p; w=-pi:2*pi/1000:pi; R=100; C=0.001; wn=1/2*pi*R*C; [b,a]=butter(1,wn); g=randn(1,1001); y=filter(b,a,g); at=y.*cos(w.*n); bt=y.*sin(w.*n); ft=at-bt; subplot(211) plot(ft) subplot(212) ksdensity(ft) 在command 命令框里写入： suiji1(1000) 即产生一个1000个点的高斯窄带随机过程 窄带随机过程波形及其概率密度图分别如下所示：
020040060080010001200 -2 -101 2-2.5 -2-1.5-1-0.500.51 1.52 00.5 1 1.5 2、画出该随机过程的若干次实现，观察其形状。 该随机过程的四次实现，代码如下： >> for i=1:1:4 syms R C; n=1:1001; w=-pi:2*pi/1000:pi; R=100; C=0.001; wn=1/2*pi*R*C; [b,a]=butter(1,wn); g=randn(1,1001); y=filter(b,a,g); at=y.*cos(w.*n); bt=y.*sin(w.*n); ft=at-bt; subplot(4,2,2*i-1) plot(ft) subplot(4,2,2*i) ksdensity(ft) end 形状如下：
浙江大学《概率论、数理统计与随机过程》课后习题答案张帼奋主编第七章数理统计习题__奇数
注意： 这是第一稿（存在一些错误） 第七章数理统计习题__奇数.doc 1、解 由θ θθμθ 2 ),()(0 1===? d x xf X E ，204103)(2 221θθθ=-==X D v ，可得θ的矩估计量为X 2^ =θ，这时θθ==)(2)(^X E E ，n n X D D 5204)2()(2 2 ^ θθθ= ? ==。 3、解 由)1(2)1(2)1(2)(21θθθθμ-=-+-==X E ，得θ的矩估计量为： 3 2 62121^ =-=- =X θ。 建立关于θ的似然函数：482232)1(4)1())1(2()()(θθθθθθθ-=--=L 令014 8))1ln(4ln 8()(ln =--=?-+?=??θ θθθθθθL ， 得到θ的极大似然估计值：32^=θ 5、解 由33)1(3)1(3)(222+-=-+-+=p p p p p p X E ，所以得到p 的矩估计量为 ^ 32p = = 建立关于p 的似然函数：32 10)1()2 )1(3()()2)1(( )(22n n n n p p p p p p p L ---= 令0)(ln =??p p L ，求得到θ的极大似然估计值：n n n n p 222 10^++= 7、解 （1）记}4{<=X P p ，由题意有}4{}4{}4{-≤-<=<=X P X P X P p 根据极大似然估计的不变性可得概率}4{<=X P p 的极大似然估计为： 4484.05.0)6 4 ()64( 5.0)25 /2444( )25 /2444( 22^ =-Φ=-Φ-=--Φ--Φ=s s p （2）由题意得：)6 24 ( )25 /244( }{}{105.012-Φ=-Φ=≤=>-=-A s A A X P A X P ，于是经查表可求得A 的极大似然估计为0588.12^ =A
窄带随机过程的模拟与分析
实验报告 实验题目：窄带随机过程的模拟 窄带随机过程的模拟 一、实验目的 （1）了解具有任意功率谱（低频）的正态随机过程的模拟； （2）了解窄带随机过程的模拟方法。 二、实验原理 （1）任意功率谱的正态随机过程的模拟 假定需要产生一个持续时间为d T 的高斯随机过程的一个样本()X t ，要求功率谱
满足()X G f 。为此，可以先将()X t 进行周期延拓，得到一个周期信号，然后对周期信号进行傅里叶级数展开。即 0201 ()()j f k k k d X t X e f T π∞ =-∞ == ∑ 由于傅里叶级数是k X 的线性组合，所以，如果k X 是零均值的高斯随机变量，那么()X t 也是零均值高斯过程，如果{} ()X t 是两两正交的序列，则周期信号的功率谱为线谱。即 2 220 ()()(())k k k X k G f g f kf g E X δ∞ =-∞ = - =∑ 通过选择k g 就可以得到期望的功率谱。 假定()X G f 是带限的，即 ()0()X G f f B = > 那么，{} 2 k g 只有有限项，共21M +项，与此对应的傅里叶级数也是21M +项。因此，只需产生21M +个互相正交的零均值高斯随机变量{}11,,,,M M M M X X X X --+- 。然后据此构造时域样本函数即可，有 02()[]()M j f k i t k k M X i X i t X e π?=-=?= ∑ 其中t ?为任意小的时间间隔。 （2）窄带随机过程的模拟 对于窄带系统，当系统输入白噪声或宽带噪声时，输出可以表示为 0()()cos[()]Y t A t t t ω=+Φ 其中0ω为中心频率，()A t 和()t Φ是满变化的随机过程，对上式展开得 00()()cos ()sin c s Y t A t t A t t ωω=- 其中，()()cos (),()()sin ()c s A t A t t A t A t t =Φ=Φ，是慢变化的随机过程，分别称为窄带随机过程的同向分量和正交分量。 三、实验内容
6.窄带随机过程的产生 - 随机信号分析实验报告
计算机与信息工程学院综合性实验报告 一、实验目的 1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。 2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、概率密度函数、相关函数及功率谱密度等。 3、掌握窄带随机过程的分析方法。 二、实验仪器或设备 1、一台计算机 2、MATLAB r2013a 三、实验内容及实验原理 基于随机过程的莱斯表达式 00()()cos ()sin y t a t t b t t ωω=- (3.1) 实验过程框图如下：
理想低通滤波器如图所示： 图1 理想低通滤波器 ()20 A H ?ω ?ω≤ ?ω=? ??其它 (3.2) 设白噪声的物理谱0=X G N ω（） ,则系统输出的物理谱为 2 2 0=()=20 Y X N A G H G ?ω ?0≤ω≤ ?ωωω???（）（） 其它 (3.3) 输出的自相关函数为: 01()()cos 2Y Y R G d τωωτωπ∞ = ? /22 1cos 2N A d ωωτωπ?=? (3.4) 2 0sin 242 N A ωτωωτπ ??=? ? 可知输出的自相关函数()Y R τ是一个振荡函数。计算高斯白噪声x(t)、限带白噪声()a t 、 ()b t 及窄带随机过程()y t 的均值，并绘出随机过程各个随机过程的自相关函数，功率谱密 度图形。 四、MATLAB 实验程序 function random(p,R,C) %产生一个p 个点的随机过程 %--------------------------高斯窄带随机过程代码--------------------------% n=1:p; w=linspace(-pi,pi,p); wn=1/2*pi*R*C; [b,a]=butter(1,wn,'low'); %产生低通滤波器 Xt=randn(1,p); %产生p 个点均值为0方差为1的随机数，即高斯白噪声 at=filter(b,a,Xt); %让高斯白噪声通过低通滤波器
6窄带随机过程的产生
——————————————————窄带随机过程的产生 学院：计算机与信息工程学院 专业：通信工程 姓名： 学号：1108224070
计算机与信息工程学院验证性实验报告 一、实验目的 1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。 2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、相关函数及功率谱密度等。 二、实验仪器 装MATLAB 软件微机一台 三、实验原理 窄带随机过程的产生原理： 00)()sin(2) f t b t f t p p - 四、实验内容 1、基于随机过程的莱斯表达式X （t)=a(t)coswt-b(t)sinwt,用matlab 产生一满足条件的窄带随机过程。 2、画出该随机过程的若干次实现，观察其形状。 3、编写matlab 程序计算该随机过程的均值函数，自相关函数，功率谱，包络，包络平方及相位的一维概率密度画出相应的图形并给出解释。 五、实验步骤 根据实验内容，利用matlab 编写程序。 1、 n=1500; a=randn(1,n); %产生随机数 b=randn(1,n); wsize = 9;
at=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,a);%经过滤波器 bt=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,b); sf=1500; t=1/sf; f0=1000; y=at*cos(2*pi*f0*t)-bt*sin(2*pi*f0*t);%形成窄带波形tt=[0:t:(n-1)*t]; plot(tt,a); %绘制产生的白躁声 2、 n=1500; a=randn(1,n); %产生随机数 b=randn(1,n); wsize = 9; at=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,a);%经过滤波器 bt=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,b); sf=1500; t=1/sf; f0=1000; y=at*cos(2*pi*f0*t)-bt*sin(2*pi*f0*t);%形成窄带波形tt=[0:t:(n-1)*t]; plot(tt,b); %绘制产生的白躁声 3、 n=1500; a=randn(1,n); %产生随机数 b=randn(1,n); wsize = 9; at=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,a);%经过滤波器 bt=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,b); sf=1500; t=1/sf; f0=1000; y=at*cos(2*pi*f0*t)-bt*sin(2*pi*f0*t);%形成窄带波形tt=[0:t:(n-1)*t]; plot(tt,at); %绘制经过滤波器后的白躁声 4、 n=1500;
最新随机过程知识点总结
第一章： 考试范围1.3,1.4 1、计算指数分布的矩母函数. 2、计算标准正态分布)1,0(~N X 的矩母函数. 3、计算标准正态分布)1,0(~N X 的特征函数. 第二章： 1. 随机过程的均值函数、协方差函数与自相关函数 2. 宽平稳过程、均值遍历性的定义及定理 3. 独立增量过程、平稳增量过程，独立增量是平稳增量的充要条件 1、设随机过程()Z t X Yt =+，t -∞<<∞.若已知二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵为2122σρρσ?????? ，求()Z t 的协方差函数. 2、设有随机过程{(),}X t t T ∈和常数a ，()()()Y t X t a X t =+-，t T ∈，计算()Y t 的自相关函数（用(,)X R s t 表示）. 3、设12()cos sin X t Z t Z t λλ=+，其中212,~(0,)Z Z N σ是独立同分布的随机变量，λ为 实数，证明()X t 是宽平稳过程. 4、设有随机过程()sin cos Z t X t Y t =+，其中X 和Y 是相互独立的随机变量，它们都分别以0.5和0.5的概率取值-1和1，证明()Z t 是宽平稳过程. 第三章： 1. 泊松过程的定义（定义3.1.2）及相关概率计算 2. 与泊松过程相联系的若干分布及其概率计算 3. 复合泊松过程和条件泊松过程的定义 1、设{(),0}N t t ≥是参数3λ=的Poisson 过程，计算： (1). {(1)3}P N ≤； (2). {(1)1,(3)3}P N N ==； (3). {(1)2(1)1}P N N ≥≥. 2、某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数. 假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程. (1)．试求到某时刻t 时到达商场的总人数的分布；
107499-概率统计随机过程课件-第七章(第一,二节)
第七章统计量及其分布 数理统计学的任务 在实际问题中，经常遇到要确定一个随机变量的概率分布或它的某些数字特征。 例确定某厂年生产灯泡的次品率。灯泡的质量通常用寿命这个指标来衡量，若规定，寿命低于1000小时者为次品，那么确定该厂生产灯泡的次品率可以归结为求灯泡的寿命x这个随机变量的分布函数F(x)，因为若F(x)已知，则X (F P= <就是所要确定 ( ) 1000 1000 ) 的次品率。 如何确定灯泡寿命x的分布函数呢？一个很自然的想法是：把每个灯泡的寿命都测试出来，根据测试的结果，就可以确定x的分布函数。然而这种做法在实际中是不可行的，因为灯泡的寿命试验具有破坏性，一旦我们获得所有灯泡的寿命数据，这些灯泡也就全部报废了。
因此，在灯泡寿命试验中，一般只能从整批灯泡中选取若干个来进行测试，这样就产生一个问题，如何从试验所得的部分数据推断整批灯泡的寿命x的分布函数呢？ 例确定某半导体厂生产的三极管的电流放大倍数X的平均值。这个问题就是确定X的数字特征E(X)。此时，测试三极管电流放大倍数虽不会遇到上例中的破坏性问题，但想通过逐个测试来计算算术平均值求得E(X)也是不可取的，因为逐个测试需要耗费大量的人力、物力和时间。因此，在实际工作中，也只能对其中一部分三极管进行测试。这样又产生与上例相类似的问题，即如何从试验所得到的部分数据来推断三极管电流放大倍数的平均值呢？ 从以上两例可以看到，在实际问题中经常需要通过试验所得的部分（或局部）数据来推断整体的种种性质（如分布、数字特征等）。怎
样进行合理的推断呢？这就是数理统计所要解决的主要任务。 由于这种从局部观察去推断整体的方法有着普遍的意义，因此数理统计的方法应用非常广泛，目前已应用于教育科学、工程技术、管理科学、自然科学以及社会科学等领域。例如，教育科学中的教学质量评估、预测以及试卷质量的评价，工业生产中的产品质量控制于抽样检查，气象学中的天气预报，地震学中地震预报，医学中的疾病分析、药品疗效检验，农业生产中的产品估计于种子优选，人口学中的优生学和人口控制等等都渗透了数理统计的方法。 第一节总体与样本 在概率论部分，我们初步研究了随机事件的概率、随机变量及其分布。在实际问题中，随机现象可以用随机变量来描述。为了较全面的了解随机变量的规律性，就必须知道它的概率分布，或至少要知道
Matlab仿真窄带随机过程
随机过程数学建模分析 任何通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，即输出信噪比，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带随机过程的规律是重要的。 一、窄带随机过程。 一个实平稳随机过程X(t)，若它的功率谱密度具有下述性质： 中心频率为ωc，带宽为△ω=2ω0，当△ω<<ωc时，就可认为满足窄带条件。若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。随机过程通过窄带滤波器传输之后变成窄带随机过程。 图1 为典型窄带随机过程的功率谱密度图。若用一示波器来观测次波形，则可看到，它接近于一个正弦波，但此正弦波的幅度和相位都在缓慢地随机变化，图2所示为窄带随机过程的一个样本函数。 图1 典型窄带随机过程的功率谱密度图 图2 窄带随机过程的一个样本函数 二、窄带随机过程的数学表示 1、用包络和相位的变化表示 由窄带条件可知,窄带过程是功率谱限制在ωc附近的很窄范围内的一个随机过程,从示波器观察(或由理论上可以推知):这个过程中的一个样本函数(一个实现)的波形是一个频率为?c且幅度和相位都做缓慢变化的余弦波。
写成包络函数和随机相位函数的形式： X(t)=A(t)*cos[ωc t+ Φ(t)] 其中:A(t)称作X(t)的包络函数; Φ(t)称作X(t)的随机相位函数。包络随时间做缓慢变化，看起来比较直观，相位的变化，则看不出来。 2、莱斯（Rice）表示式 任何一个实平稳随机过程X(t)都可以表示为： X(t)=A c(t) cosωc t-A S(t) sinωc t 其中同相分量： A c(t)= X(t) cosφt= X(t) cosωc t＋sinωc t=LP[X(t) *2cosωc t] 正交分量： A S(t) = X(t)sinφt=cosωc t— X(t) sinωc t= LP[-X(t) *2sinωc t] （LP[A]表示取A的低频部分）。A c(t)和A S(t)都是实随机过程，均值为0，方差等于X(t)的方差。 三、窄带随机过程仿真建模要求 1、用Matlab 编程仿真窄带随机信号：X(t)=(1+ A(t))*cos(ωc t+φ)+n(t)。其中包络A(t)频率为1KHz，幅值为l V。载波频率为：4KHz，幅值为l V，φ是一个固定相位，n(t)为高斯白噪声，采样频率设为16KHz。实际上，这是一个带有载波的双边带调制信号。 2、计算窄带随机信号的均值、均方值、方差、概率密度、频谱及功率谱密度、相关函数，用图示法来表示。 3、窄带系统检测框图如图3所示。 图3 窄带系统检测框图
窄带随机过程的模拟
实验报告 实验题目：窄带随机过程的模拟 一、实验目的 了解随机过程特征估计的基本概念和方法，学会运用MATLAB软件产生各种随机过程，对随机过程的特征进行估计，并通过实验了解不同估计方法所估计出来的结果之间的差异。 二、实验原理 （1）高斯白噪声的产生 提示：利用MATLAB函数randn产生 （2）自相关函数的估计
1 1 1 ()()?()1?()N m n x N m x n m n n x n m x n N R m R m x x N m --=--+=?+??=??=?-? ∑∑对有偏估计 对无偏估计 提示：MATLAB 自带的函数为xcorr()，阐述xcorr 的用法 （3）功率谱的估计 利用周期图方法估计功率谱，2 1?()()x G X N =ωω 其它谱估计方法：……. 提示：MATLAB 自带的函数为periodogram()，阐述periodogram()的用法; 阐述其它谱估计方法的用法。 （4）均值的估计 1 1 1?()N x n m x n N -==∑ 提示：MATLAB 自带的函数为mean() （5）方差的估计 1 22 1 1?[()] N x n x n x N -==-∑σ 提示：MATLAB 自带的函数为var() (6)AR(1)模型的理论自相关函数和理论功率谱 对于AR(1)模型()(1)()X n aX n W n =-+，自相关函数为2|| 2 ()1m X a R m a = -σ，其功率谱 为2 2 ()(1)X j G ae ωσω-= -。 三、实验内容 1. 相关高斯随机序列的产生 按如下模型产生一组随机序列()(1)()x n ax n w n =-+，其中()w n 为均值为1，方差为4的正态分布白噪声序列。 （1）产生并画出a=0.8和a=0.2的x(n)的波形； （2）估计x(n)的均值和方差； （3）估计x(n)的自相关函数，并画出相关函数的图形。
实验四 窄带信号的仿真和分析
实验四 窄带信号的仿真和分析 一、实验目的 1熟悉窄带随机过程的定义，了解窄带随机过程产生的原理与方法。 2估计实验产生的窄带随机过程的功率谱。 二、实验仪器 1计算机一台。 2 MATLAB 软件。 三、实验原理 如果带通信号的带宽与中心频率相比非常小，即|ω2-ω1|<<ω0(或ωm<<ω0)，则称它为窄带信号或准单频信号。 22 2000002022()cos[()] ()()() ()()cos()()sin() ()()cos()()sin()()cos ()() ()cos ()() (;/),0 n v v v n n v n v n r A r n n s t A t t v t s t n t v t i t t q t t n t i t t q t t i t A t i t q t A t q t r rA f r t e I r σωωωωω?σσ+=+Φ=+=-=-=Φ+=Φ+??=≥ ??? 只有噪声时，输出噪声幅度服从正态分布，而包络服从瑞利分布。 四 实验内容 本实验模拟产生一个窄带随机过程。首先产生两个相互独立的随机过程 Ac(t)和 As(t)， 并将用两个正交载波 cos 2πf0t 和 sin 2πf0t 进行调制，如下图所示，然后进行抽样得到窄带过程的抽样。 πf 0tnT πf 0nT 4.1 窄带随机过程的产生
实验步骤： 步骤一，理解窄带随机过程产生的框图，如图所示。 步骤二，根据所设计框图，产生两个独立的白噪声，并设计一个低通滤波器（本实验选 择为）。白噪声通过同一个低通滤波器产生两个相互独立的随机过程Ac(t)和As(t)的抽样Ac(n)和As(n)； 步骤三，用两个正交载波cos2πf0nT和sin2πf0nT（T为抽样间隔，假定T=1，f0=1000/π）分别对Ac(n)和As(n)进行调制，然后通过两者相减得到窄带随机过程的抽样值； 步骤四，根据计算相关函数和功率谱的数学表达式估计其值； 步骤五，MATLAB编程完成上述内容。 六、实验报告要求 1写出题目要求的MATLAB程序 2窄带随机过程产生的原理与方法。 3估计实验产生的窄带随机过程的功率谱。 4程序调试过程中所遇到问题解决方法的心得、体会。
随机过程习题及答案
随机过程习题及答案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
第二章随机过程分析 学习指导 1.1.1要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1.随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2.随机过程的分布函数和概率密度函数 如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ξ(t 1)≤x 1]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1,t 1)=P [ξ(t 1)≤x 1](2-1) 如果F 1(x 1,t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为 对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1)≤x 1和ξ(t 2)≤x 2同时成立的概率 称为随机过程(t )的二维分布函数。如果 存在，则称f 2(x 1,x 2;t 1,t 2)为随机过程(t )的二维概率密度函数。 对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5) =≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程(t )的n 维分布函数。如果 存在，则称f n (x 1,x 2,…,x n ;t 1,t 2,…,t n )为随机过程(t )的n 维概率密度函数。 3.随机过程的数字特征
窄带随机信号的产生及分析
信息与通信工程学院实验报告 （软件仿真性实验） 课程名称：随机信号分析 实验题目：窄带随机信号的产生及分析 班级：学号： 实验目的和任务 1?掌握窄带随机信号的产生方法以及窄带滤波器的设计 2?掌握窄带随机信号包络相位的提取 实验内容及原理 （一）实验原理 在一般无线电接收机中，通常都有高频或中频放大器，它们的通频带往往远小于中心频 率，既有 这种线性系统通称为窄带线性系统 在通信、雷达等许多电子系统中，都常常用一个宽带平稳随机过程来激励一个窄带滤波 器，这是在滤波器输出端得到的便是一个窄带随机过程。若用示波器观测此波形，则可看到, 它接近一个正弦波，但此正弦波的幅度和相位都在缓慢的随机变化。我们可以证明，任何一 个是窄带随机过程X(t)都可以表示为： 成绩 指导教师：陈友兴 学生姓名：
X(t) = A(t)cos( .0t ⑴) 式中，「。是固定值，对于窄带随机过程来说，0 一般取窄带滤波器的中心频率或载波频率。 在实际应用中，常常需要检测出包络A(t)和「t的信息。若将窄带随机过程X(t)送入包络检波器，则在检波器的输出端可得到包络A(t)，若将窄带随机过程X(t)，送入一个相位检波器，便可检测出相位信息」t，如图3.1所示。 (二)实验内容 1.产生一输入信号X(t)二A(t)cos[ st (t)] N(t)，其中A(t戶1 cqst， ?■i=2n二1000( n 为学号)，，'。「'i，：(t)与A(t) 一样，N(t)为高斯白噪声； 2?按图3.1的系统，设计一个低通滤波器，使得X(t)通过系统后的输出W(t)为窄带信号。 三、实验步骤或程序流程 1. 输入信号，求输入信号的均值、方差、自相关函数、傅里叶变换、功率谱密度，分析各参数的 特性；
第三章随机过程作业
第三章 随机过程 A 简答题： 3-1 写出一维随机变量函数的均值、二维随机变量函数的联合概率密度（雅克比行列式）的定义式。 3-2 写出广义平稳（即宽平稳）随机过程的判断条件，写出各态历经随机过程的判断条件。 3-3 平稳随机过程的自相关函数有哪些性质功率谱密度有哪些性质自相关函数与功率谱密度之间有什么关系 3-4 高斯过程主要有哪些性质 3-5 随机过程通过线性系统时，输出与输入功率谱密度之间的关系如何 3-6 写出窄带随机过程的两种表达式。 3-7 窄带高斯过程的同相分量和正交分量的统计特性如何 3-8 窄带高斯过程的包络、正弦波加窄带高斯噪声的合成包络分别服从什么分布 3-9 写出高斯白噪声的功率谱密度和自相关函数的表达式，并分别解释“高斯”及“白”的含义。 3-10 写出带限高斯白噪声功率的计算式。 B 计算题： 一、补充习题 3-1 设()()cos(2)c y t x t f t πθ=?+，其中()x t 与θ统计独立，()x t 为0均值的平稳随机过程，自相关函数与功率谱密度分别为：(),()x x R P τω。 ①若θ在（0，2π）均匀分布，求y()t 的均值，自相关函数和功率谱密度。 ②若θ为常数，求y()t 的均值，自相关函数和功率谱密度。 3-2 已知()n t 是均值为0的白噪声，其双边功率谱密度为：0 ()2 N P ω= 双，通过下图()a 所示的相干解调器。图中窄带滤波器（中心频率为c ω）和低通滤波器的传递函数1()H ω及2()H ω示于图()b ，图()c 。
试求：①图中()i n t （窄带噪声）、()p n t 及0()n t 的噪声功率谱。 ②给出0()n t 的噪声自相关函数及其噪声功率值。 3-3 设()i n t 为窄带高斯平稳随机过程，其均值为0，方差为2 n σ，信号[cos ()]c i A t n t ω+经过下图所示电路后输出为()y t ，()()()y t u t v t =+，其中()u t 是与cos c A t ω对应的函数，()v t 是与()i n t 对应的输出。假设()c n t 及()s n t 的带宽等于低通滤波器的通频带。 求()u t 和()v t 的平均功率之比。
107500-概率统计随机过程课件-第七章第三节(上)
第七章 统计量及其分布 第三节 统计量的分布 在数理统计中，统计量是对总体的分布或数字特征进行推断的基础。因此求统计量的分布是数理统计的基本问题之一。 一般地说，要确定一个统计量的精确分布是非常复杂的，但对于一些特殊情形，如正态总体，这个问题就有简单的方法。由于正态总体是最常见的总体，所以在这里只研究正态总体的统计量的分布。 一、正态总体样本的线性函数的分布 设总体),(~2 σμN X ， n X X X ,,,2 1 ???是来自于X 的一个样本; (n X X X ,,,2 1 ???相互独立且与X 有相同分布, ),(~2 σμN X i ,2 ,σμ==i i DX EX ),
则样本的线性函数 b X a X a X a Y n n ++???++=2211 也服从正态分布，且它的数学期望和方差分别是 b a EY n i i +=∑=1μ, ∑==n i i a DY 1 2 2 σ 这里的n a a a ,,,2 1 ???是不全为零的常数,b 为常数。 上述结论，在概率论中的多维随机变量部分里得到证实(用归纳法或特征函数法证明). 特别地，当 n a i 1 =， n i ,,2,1???=,0=b 时,线性函数Y 正好 是样本的均值X ，即 ∑==n i i X n X 1 1 服从正态分布，且 μ=X E , (μμμ=?===∑∑==n n n EX n X E n i n i i 1 111 1 )
n X D 2 σ = , (2 2 2 1 2 2 1 2 1111σσσn n n n DX n X D n i n i i =?= ==∑∑==) 即), (~2 n N X σ μ. 由此可见，X 的均值与总体X 的 均值相等,而方差等于总体方差的n 分之一.这就是说, n 越大,X 越向总体均值μ集中. 常用结论 )1,0(~N n X σ μ -, )1,0(~N X i σ μ - , )1,0(~)(1 1 N X n n i i ∑=-σμ ,