九年级上册 二次函数中考真题汇编[解析版]
九年级上册 二次函数中考真题汇编[解析版]
一、初三数学 二次函数易错题压轴题(难)
1.已知函数2266()
22()
x ax a x a y x ax a x a ?-+>=?-++≤?(a 为常数,此函数的图象为G )
(1)当a =1时,
①直接写出图象G 对应的函数表达式 ②当y=-1时,求图象G 上对应的点的坐标
(2)当x >a 时,图象G 与坐标轴有两个交点,求a 的取值范围 (3)当图象G 上有三个点到x 轴的距离为1时,直接写出a 的取值范围
【答案】(1)①2266(1)
22(1)x x x y x x x ?-+>=?-++≤?
,②(1,1),(31),(31)--+--;(2)
0a <或
2635a <<;(3)1a -<,1
153a <<,113a <<-【解析】 【分析】
(1)①将1a =代入函数解析式中即可求出结论;
②分1x >和1x ≤两种情况,将y=-1分别代入求出x 的值即可;
(2)根据a 和0的大小关系分类讨论,然后根据二次函数的性质逐一求解即可;
(3)先求出2
66y x ax a =-+的对称轴为直线6321
a
x a -=-
=?,顶点坐标为(
)
23,96a a a -+,222y x ax a =-++的对称轴为直线()
221a
x a =-
=?-,顶点坐标为()2
,2a a
a +,然后根据a 和0的大小关系分类讨论,然后根据二次函数的性质逐一求解
即可. 【详解】
(1)①1a =时,2266(1)
22(1)x x x y x x x ?-+>=?-++≤?
②当1x >时,
2661x x -+=-
2670x x -+=
1233x x ==当1x ≤时,
2221x x -++=-
2230x x --=
121,3x x =-=(舍)
∴坐标为(1,1),(31),(31)---- (2)当0a <时
266()y x ax a x a =-+>与y 轴交点坐标(0,6)a ,266y x ax a =-+对称轴为直线
6321
a
x a -=-
=?,过点(1,1) ∴x >a >3a ,此时图像G 与坐标轴有两个交点(与x 轴一个交点,与y 轴一个交点) 当0a ≥时,
266()y x ax a x a =-+>的图像与y 轴无交点
顶点坐标为(
)
2
3,96a a a -+
当x a =时,2
56y a a =-+>0①,且2960a a -+<②时,此时图像G 与x 轴有两个交点
将①的两边同时除以a ,解得65a <; 将②的两边同时除以a ,解得23
a > ∴
2635
a << 即当
26
35
a <<时,图像G 与坐标轴有两个交点, 综上,0a <或26
35
a <<
(3)2
66y x ax a =-+的对称轴为直线6321a
x a -=-
=?,顶点坐标为()
23,96a a a -+ 222y x ax a =-++的对称轴为直线
()
221a x a =-=?-,顶点坐标为()
2,2a a a + ①当a <0时,
()222y x ax a x a =-++≤中,当x=a 时,y 的最大值为22a a +
由()2
10a +≥可得221a a +≥-,即此图象必有一个点到x 轴的距离为1
而()266y x ax a x a =-+>必过(1,1),即此图象必有一个点到x 轴的距离为1,此时x
>3a ,y >225666a a a a a a ?+=-+-
当22
21561
a a a a ?+-+<-?时,()222y x ax a x a =-++≤与x 轴只有一个交点,()266y x ax a x a =-+>与x 轴有两个交点
解得:315
a --<
;
当
2
2
21
561
a a
a a
?+>
?
-+>-
?
时,()
222
y x ax a x a
=-++≤与x轴有两个交点,()
266
y x ax a x a
=-+>与x轴有一个交点
解得:1a
-+<<,与前提条件a<0不符,故舍去;
②当a≥0时,
()
222
y x ax a x a
=-++≤中,当x=a时,y的最大值为22
a a
+,必过点(-1,-1),即此图象必有一个点到x轴的距离为1
而()
266
y x ax a x a
=-+>,此时当x=3a时,y的最小值为2
96
a a
-+,由
()2
310
a
--≤可得2
961
a a
-+≤,即此图象必有一个点到x轴的距离为1
当
2
2
2
2
21
561
961
961
a a
a a
a a
a a
?+<
?
-+>
?
?
-+>-
?
?-+≠
?
时,()
222
y x ax a x a
=-++≤与x轴只有一个交点,
()
266
y x ax a x a
=-+>与x轴有两个交点
解得:
1
1
5
a
<<-+且1
3
a≠;
当
2
2
2
2
21
561
961
961
a a
a a
a a
a a
?+<
?
-+<
?
?
-+<-
?
?-+≠
?
时,()
222
y x ax a x a
=-++≤与x轴只有一个交点,
()
266
y x ax a x a
=-+>与x轴有两个交点
此不等式无解,故舍去;
当
2
2
2
2
21
561
961
961
a a
a a
a a
a a
?+>
?
-+<
?
?
-+>-
?
?-+≠
?
时,()
222
y x ax a x a
=-++≤与x轴有两个交点,
()
266
y x ax a x a
=-+>与x轴有一个交点
此不等式无解,故舍去;
综上:
3
1
5
a
-
-<或
11
53
a
<<
或
1
1
3
a
<<-
【点睛】
此题考查的是二次函数的性质和分段函数的应用,此题难度较大,掌握二次函数的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键.
2.对于函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0),若存在实数x0,使得a 2
0x +(b+1)x 0+b ﹣2
=x0成立,则称x 0为函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点. (1)当a =2,b =﹣2时,求y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点;
(2)若对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点,求实数a 的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的图象上A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点,且直线y =﹣x+2121
a +是线段AB 的垂
直平分线,求实数b 的取值范围.
【答案】(1)不动点是﹣1或2;(2)a 的取值范围是0<a <2;(3)b 的取值范围是﹣
4
≤b <0. 【解析】 【分析】
(1)将a =2,b =﹣2代入函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0),得y =2x 2﹣x ﹣4,然后令x =2x 2﹣x ﹣4,求出x 的值,即y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点;
(2)对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点,可以得到x =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)时,对于任何实数b 都有△>0,然后再设t =△,即可求得a 的取值范围;
(3)根据y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的图象上A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点,可知点A 和点B 均在直线y =x 上,然后设出点A 和点B 的坐标,从而可以得到线段AB 的中点坐标,再根据直线y =﹣x+2
121
a +是线段AB 的垂
直平分线,从而可以求得b 的取值范围. 【详解】
解:(1)当a =2,b =﹣2时, 函数y =2x 2﹣x ﹣4, 令x =2x 2﹣x ﹣4, 化简,得x 2﹣x ﹣2=0 解得,x 1=2,x 2=﹣1,
即y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点是﹣1或2; (2)令x =ax 2+(b+1)x+b ﹣2, 整理,得 ax 2+bx+b ﹣2=0,
∵对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点, ∴△=b 2﹣4a (b ﹣2)>0,
设t =b 2﹣4a (b ﹣2)=b 2﹣4ab+8a ,对于任何实数b ,t >0, 故(﹣4a )2﹣4×1×8a <0, 解得,0<a <2,
即a 的取值范围是0<a <2; (3)由题意可得, 点A 和点B 在直线y =x 上, 设点A (x 1,x 1),点B (x 2,x 2),
∵A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点, ∴x 1,x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2=0的两个根, ∴x 1+x 2=﹣
b a
, ∵线段AB 中点坐标为(122x x +,122
x x
+), ∴该中点的坐标为(2b a -,2b a
-), ∵直线y =﹣x+2
121
a +是线段AB 的垂直平分线,
∴点(2b a -,2b
a -)在直线y =﹣x+2121
a +上, ∴2b
a -
=21221
b a a ++
∴﹣b =
2
21
a a ≤
+4,(当a =2
时取等号)
∴0<﹣b ≤
4
,
∴﹣
4
≤b <0,
即b 的取值范围是﹣4
≤b <0. 【点睛】
本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.
3.如图1,抛物线2
1:C y x b =+交y 轴于()0,1A .
(1)直接写出抛物线1C 的解析式______________.
(2)如图1,x 轴上两动点,M N 满足:m n X X n -==.若,B C (B 在C 左侧)为线段
MN 上的两个动点,且满足:B 点和C 点关于直线:1l x =对称.过B 作BB x '⊥轴交1
C 于B ',过C 作CC x '⊥轴交1C 于C ',连接B C ''.求B C ''的最大值(用含n 的代数式表示).
(3)如图2,将抛物线1C 向下平移7
8
个单位长度得到抛物线2C .2C 对称轴左侧的抛物线上有一点M ,其横坐标为m .以OM 为直径作K ,记⊙K 的最高点为Q .若Q 在
直线2y x =-上,求m 的值.
【答案】(1)2
1y x =+;(2)251|n -;(3)14m =-
或12
m =- 【解析】 【分析】
(1)将()0,1A 带入抛物线1C 解析式,求得b 的值,即可得到抛物线1C 的解析式; (2)设(),0B q ,则()2,0C q -,求()2
B C ''
并进行化简,由1n q -≤<且12,
q
n <-得21n q -<,则当()
2max
B C ''??????时,取min 2q q n ==-,带入()
2B C '',即可求得
()
max
B C '
'
;
(3)依题意将抛物线1C 向下平移
7
8
个单位长度得到抛物线2C ,求得2C 解析式,根据解析式特点设21,8M m m ??+ ???,得到2
222
18OM m m ??=++ ??
?,由圆的特性易求得,⊙K 的
最高点点Q 坐标为:2111,22
28m OM m ??
??++ ?
?????,设Q y k =,则
2111228k OM m ??=
++ ???,化简得到22211084k m k m ?
?++-= ??
?,由Q 点在2y x =-上,得2Q k x m =-=-,继而得到2
31048m m -
+=,解得14m =-或12
m =-. 【详解】
解:(1)将()0,1A 带入抛物线2
1:C y x b =+,得b=1, 则2
1:1C y x =+,
(2)设(),0B q ,则()2,0C q -, ∴()
2
2
2
22
(2)(2)B C q q q q ''
??=--+--??
2204020q q =-+
()2
201q =-,
∵1n q -≤<且12,q n <-
21n q -<∴,
∴()2
max
B C
'
'
?????
?
时,min 2q q n ==-,
即()2
2220(21)20(1)B C n n ''
=--=-,
∴()
max
1|B C n ''
=-,
(3)根据题意,将抛物线1C 向下平移7
8
个单位长度得到抛物线2C , ∴2
21:8
C y x =+, ∴2
1,8M m m ??+
??
?
, ∴2
22218OM m m ??=++ ??
?,
∴由圆的特性易求得,⊙K 的最高点点Q 坐标为:
2111,22
28m OM m ??
??++ ?
?????, 设Q y k =,则2111228k OM m ??
=
++ ???
,
∴2
22111428OM k m ??
??=-+ ??????
?, 化简上式得:2
2
2
11084
k m k m ?
?++
-= ??
?, ∵Q 点在2y x =-上,则2Q k x m =-=-, ∴k m =-为上述方程的一个解, ∴分析可知1()04k m k m ??
+-
= ???
, 21148
m m m -=+∴,
∴2
31
048
m m -
+=, 解得:114m =-,212m =-(经检验114m =-,212m =-是方程2
31048
m m -+=的
解),
故14m =-
或1
2
m =-. 【点睛】
本题主要考查二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综合应用、最值求法等知识.解题关键是熟练掌握二次函数的性质,充分利用数形结合的思想.
4.在平面直角坐标系中,点(),p tq 与(),q tp ()0t ≠称为一对泛对称点. (1)若点()1,2,
()3,a 是一对泛对称点,求a 的值;
(2)若P ,Q 是第一象限的一对泛对称点,过点P 作PA x ⊥轴于点A ,过点Q 作QB y ⊥轴于点B ,线段PA ,QB 交于点C ,连接AB ,PQ ,判断直线AB 与PQ 的位
置关系,并说明理由;
(3)抛物线2
y ax bx c =++()0a <交y 轴于点D ,过点D 作x 轴的平行线交此抛物线
于点M (不与点D 重合),过点M 的直线y ax m =+与此抛物线交于另一点N .对于任意满足条件的实数b ,是否都存在M ,N 是一对泛对称点的情形?若是,请说明理由,并对所有的泛对称点(),M M M x y ,(),N N N x y 探究当M y >N y 时M x 的取值范围;若不是,请说明理由. 【答案】(1)
2
3
;(2)AB ∥PQ ,见解析;(3)对于任意满足条件的实数b ,都存在M ,N 是一对泛对称点的情形,此时对于所有的泛对称点M(x M ,y M ),N(x N ,y N ),当y M >
y N时,x M的取值范围是x M<1且x M≠0
【解析】
【分析】
(1)利用泛对称点得定义求出t的值,即可求出a.
(2)设P,Q两点的坐标分别为P(p,tq),Q(q,tp),根据题干条件得到A(p,0),B (0,tp),C(p,tp)的坐标,利用二元一次方程组证出k1=k2,所以AB∥PQ.
(3)由二次函数与x轴交点的特征,得到D点的坐标;然后利用二次函数与一元二次方程的关系,使用求根公式即可得到答案.
【详解】
(1)解:因为点(1,2),(3,a)是一对泛对称点,
设3t=2
解得t=
2
3
所以a=t×1=
2
3
(2)解:设P,Q两点的坐标分别为P(p,tq),Q(q,tp),其中0<p<q,t>0.
因为PA⊥x轴于点A,QB⊥y轴于点B,线段PA,QB交于点C,
所以点A,B,C的坐标分别为:A(p,0),B(0,tp),C(p,tp)
设直线AB,PQ的解析式分别为:y=k1x+b1,y=k2x+b2,其中k1k2≠0.
分别将点A(p,0),B(0,tp)代入y=k1x+b1,得
11
1
pk b tp
b tp
+=
?
?
=
?
. 解得1
1
k t
b tp
=-
?
?
=
?
分别将点P(p,tq),Q(q,tp)代入y=k2x+b2,得
22
22
pk b tp
qk b tp
+=
?
?
+=
?
. 解得2
2
k t
b tp tp
=-
?
?
=+
?
所以k1=k2.
所以AB∥PQ
(3)解:因为抛物线y=ax2+bx+c(a<0)交y轴于点D,
所以点D的坐标为(0,c).
因为DM∥x轴,
所以点M的坐标为(x M,c),又因为点M在抛物线y=ax2+bx+c(a<0)上.
可得ax M 2+bx M+c=c,即x M(ax M+b)=0.
解得x M=0或x M=-b a .
因为点M不与点D重合,即x M≠0,也即b≠0,
所以点M的坐标为(-b
a
,c)
因为直线y=ax+m经过点M,
将点M(-b
a
,c)代入直线y=ax+m可得,a·(-
b
a
)+m=c.
化简得m=b+c
所以直线解析式为:y=ax+b+c.
因为抛物线y=ax2+bx+c与直线y=ax+b+c交于另一点N,由ax2+bx+c=ax+b+c,可得ax2+(b-a)x-b=0.
因为△=(b-a)2+4ab=(a+b)2,
解得x1=-b
a
,x2=1.
即x M=-b
a
,x N=1,且-
b
a
≠1,也即a+b≠0.
所以点N的坐标为(1,a+b+c)
要使M(-b
a
,c)与N(1,a+b+c)是一对泛对称点,
则需c=t ×1且a+b+c=t ×(-b
a ).
也即a+b+c=(-b
a )·c
也即(a+b)·a=-(a+b)·c.
因为a+b≠0,
所以当a=-c时,M,N是一对泛对称点.
因此对于任意满足条件的实数b,都存在M,N是一对泛对称点的情形.
此时点M的坐标为(-b
a
,-a),点N的坐标为(1,b).
所以M,N两点都在函数y=b
x
(b≠0)的图象上.
因为a<0,
所以当b>0时,点M,N都在第一象限,此时 y随x的增大而减小,所以当y M>y N时,0<x M<1;
当b<0时,点M在第二象限,点N在第四象限,满足y M>y N,此时x M<0.
综上,对于任意满足条件的实数b,都存在M,N是一对泛对称点的情形,此时对于所有的泛对称点M(x M,y M),N(x N,y N),当y M>y N时,x M的取值范围是x M<1且x M≠0.
【点睛】
本题主要考察了新定义问题,读懂题意是是做题的关键;主要考察了二元一次方程组,二次函数、一元二次方程知识点的综合,把握题干信息,熟练运用知识点是解题的核心.
5.如图,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1,0),B两点,与y轴交于点
C,过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D,作DE⊥x轴,垂足为点E,双曲线y=6
x
(x>0)
经过点D,连接MD,BD.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点N,F分别是x轴,y轴上的两点,当以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小时,求出点N,F的坐标;
(3)动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动,运动时间为t秒,当t为何值时,∠BPD的度数最大?
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)N(5
7
,0),F(0,
5
3
);(3)t=9﹣15
【解析】
【分析】
(1)由已知求出D点坐标,将点A(-1,0)和D(2,3)代入y=ax2+bx+3即可;
(2)作M关于y轴的对称点M',作D关于x轴的对称点D',连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F,则以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长;
(3)设P(0,t),作△PBD的外接圆N,当⊙N与y轴相切时,∠BPD的度数最大;【详解】
解;(1)C(0,3)
∵CD⊥y,
∴D点纵坐标是3.
∵D在y=6
x
上,
∴D(2,3),
将点A(﹣1,0)和D(2,3)代入y=ax2+bx+3,
∴a=﹣1,b=2,
∴y=﹣
x2+2x+3;
(2)M(1,4),B(3,0),
作M关于y轴的对称点M',作D关于x轴的对称点D',连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F,
则以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长;
∴M'(﹣1,4),D'(2,﹣3),
∴M'D'直线的解析式为y=﹣7
3
x+
5
3
,
∴N(5
7
,0),F(0,
5
3
);
(3)设P(0,t).
∵△PBO和△CDP都是直角三角形,
tan∠CDP=3
2
t-
,tan∠PBO=
3
t
,
令y=tan∠BPD=
3
23
3
1
23
t t
t t
-
+
-
-
,
∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0,△=﹣15y2+30y+1=0时,
y =
15415-+(舍)或y =15415
+,
∴t =32﹣12×1y
,
∴t =9﹣215, ∴P (0,9﹣215). 【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质;熟练掌握二次函数的图象及性质,利用轴对称求最短距离,学会利用辅助圆解决问题,属于中考压轴题.
6.如图,抛物线y =ax 2+bx +2经过点A(?1,0),B(4,0),交y 轴于点C ; (1)求抛物线的解析式(用一般式表示);
(2)点D 为y 轴右侧抛物线上一点,是否存在点D 使S △ABC =2
3
S △ABD ?若存在,请求出点D 坐标;若不存在,请说明理由;
(3)将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°,与抛物线交于另一点E ,求BE 的长.
【答案】(1)213
222
y x x =-++(2)存在,D (1,3)或(2,3)或(5,3-)(3)10 【解析】 【分析】
(1)由A 、B 的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)由条件可求得点D 到x 轴的距离,即可求得D 点的纵坐标,代入抛物线解析式可求得D 点坐标;
(3)由条件可证得BC ⊥AC ,设直线AC 和BE 交于点F ,过F 作FM ⊥x 轴于点M ,则可得BF=BC ,利用平行线分线段成比例可求得F 点的坐标,利用待定系数法可求得直线BE 解析式,联立直线BE 和抛物线解析式可求得E 点坐标,则可求得BE 的长. 【详解】
解:(1)∵抛物线y=ax 2+bx+2经过点A (-1,0),B (4,0),
∴2016420a b a b -+=??++=?,解得:12
32a b ?=-????=??
,
∴抛物线解析式为:213
222
y x x =-
++; (2)由题意可知C (0,2),A (-1,0),B (4,0), ∴AB=5,OC=2,
∴S △ABC =12AB?OC=1
2×5×2=5, ∵S △ABC =2
3S △ABD ,
∴S △ABD =315
522
?=,
设D (x ,y ), ∴11155222
AB y y ?=??=, 解得:3y =; 当3y =时,213
2322
y x x =-
++=, 解得:1x =或2x =,
∴点D 的坐标为:(1,3)或(2,3); 当3y =-时,213
2322
y x x =-
++=-, 解得:5x =或2x =-(舍去), ∴点D 的坐标为:(5,-3);
综合上述,点D 的坐标为:(1,3)或(2,3)或(5,-3); (3)∵AO=1,OC=2,OB=4,AB=5,
∴AC ==
BC == ∴222AC BC AB +=,
∴△ABC 为直角三角形,即BC ⊥AC ,
如图,设直线AC 与直线BE 交于点F ,过F 作FM ⊥x 轴于点M ,
由题意可知∠FBC=45°, ∴∠CFB=45°, ∴25CF BC == ∴
AO AC OM CF =,即15
25OM = 解得:2OM =, ∴
OC AC FM AF =,即25
35
FM = 解得:6FM =,
∴点F 为(2,6),且B 为(4,0), 设直线BE 解析式为y=kx+m ,则
2640k m k m +=??
+=?,解得3
12k m =-??=?
, ∴直线BE 解析式为:312y x =-+;
联立直线BE 和抛物线解析式可得:
231213
222y x y x x =-+??
?=-++??
, 解得:40x y =??=?
或53x y =??=-?,
∴点E 坐标为:(5,3)-,
∴22(54)(3)10BE =-+-= 【点睛】
本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.在(1)中注意待定系数法的应用,在(2)中求得D 点的纵坐标是解题的关键,在(3)中由条件求得直线BE 的解析式是解题的关键.本题考查知识点较多,综合性较强,
特别是最后一问,有一定的难度.
7.如图,若抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,直线y=x﹣3经过点B,C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点,过点P作PH⊥x轴于点H,交BC于点M,连接PC.
①线段PM是否有最大值?如果有,求出最大值;如果没有,请说明理由;
②在点P运动的过程中,是否存在点M,恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)①有,9
4
;②存在,(2,﹣3)或(32,2﹣2)
【解析】
【分析】
(1)由直线表达式求出点B、C的坐标,将点B、C的坐标代入抛物线表达式,即可求解;
(2)①根据PM=(x﹣3)﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣(x﹣3
2
)2+
9
4
即可求解;
②分PM=PC、PM=MC两种情况,分别求解即可.
【详解】
解:(1)对于y=x﹣3,令x=0,y=﹣3,y=0,x=3,故点B、C的坐标分别为(3,0)、(0,﹣3),
将点B、C的坐标代入抛物线表达式得:
930
3
b c
c
++=
?
?
=-
?
,
解得:
3
2 c
b
=-
?
?
=-
?
,
故抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣3;
(2)设:点M(x,x﹣3),则点P(x,x2﹣2x﹣3),
①有,理由:PM=(x﹣3)﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣(x﹣3
2
)2+
9
4
,
∵﹣1<0,故PM有最大值,当x=3
2
时,PM最大值为:
9
4
;
②存在,理由:
PM2=(x﹣3﹣x2+2x+3)2=(﹣x2+3x)2;
PC2=x2+(x2﹣2x﹣3+3)2;
MC2=(x﹣3+3)2+x2;
(Ⅰ)当PM=PC时,则(﹣x2+3x)2=x2+(x2﹣2x﹣3+3)2,
解得:x=0或2(舍去0),
故x=2,故点P(2,﹣3);
(Ⅱ)当PM=MC时,则(﹣x2+3x)2=(x﹣3+3)2+x2,
解得:x=0或3±2(舍去0和3+2),
故x=3﹣2,则x2﹣2x﹣3=2﹣42,
故点P(3﹣2,2﹣42).
综上,点P的坐标为:(2,﹣3)或(3﹣2,2﹣42).
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等,其中(2)②,要注意分类求解,避免遗漏.
8.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+(k﹣1)x﹣k与直线y=kx+1交于A,B两点,点A 在点B的左侧.
(1)如图1,当k=1时,直接写出A,B两点的坐标;
(2)在(1)的条件下,点P为抛物线上的一个动点,且在直线AB下方,试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)如图2,抛物线y=x2+(k﹣1)x﹣k(k>0)与x轴交于点C、D两点(点C在点D的左侧),在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°?若存在,请求出此时k 的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)A(-1,0) ,B(2,3)
(2)△ABP最大面积s=1927
322
288
?=; P(
1
2
,﹣
3
4
)
(3)存在;
25【解析】
【分析】
(1)当k=1时,抛物线解析式为y=x2﹣1,直线解析式为y=x+1,然后解方程组21
1
y x
y x
?=
?
=+
?
﹣
即可;
(2)设P(x,x2﹣1).过点P作PF∥y轴,交直线AB于点F,则F(x,x+1),所以利用S△ABP=S△PFA+S△PFB,
,用含x的代数式表示为S△ABP=﹣x2+x+2,配方或用公式确定顶点坐标即可.(3)设直线AB:y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F,用k分别表示点E的坐标,点F的坐标,以及点C的坐标,然后在Rt△EOF中,由勾股定理表示出EF的长,假设存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°,则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q,设点N为OC中点,连接NQ,根据条件证明△EQN∽△EOF,然后根据性质对应边成比例,可得关于k的方程,解方程即可.
【详解】
解:(1)当k=1时,抛物线解析式为y=x2﹣1,直线解析式为y=x+1.
联立两个解析式,得:x2﹣1=x+1,
解得:x=﹣1或x=2,
当x=﹣1时,y=x+1=0;当x=2时,y=x+1=3,
∴A(﹣1,0),B(2,3).
(2)设P(x,x2﹣1).
如答图2所示,过点P作PF∥y轴,交直线AB于点F,则F(x,x+1).
∴PF=y F﹣y P=(x+1)﹣(x2﹣1)=﹣x2+x+2.
S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF(xF﹣xA)+PF(xB﹣xF)=PF(xB﹣xA)=PF
∴S△ABP=(﹣x2+x+2)=﹣(x﹣
1
2
)2+
27
8
当x=
1
2
时,yP=x2﹣1=﹣
3
4
.
∴△ABP面积最大值为,此时点P坐标为(
1
2
,﹣
3
4
).
(3)设直线AB:y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F,
则E(﹣
1
k
,0),F(0,1),OE=
1
k
,OF=1.
在Rt△EOF中,由勾股定理得:EF=
22
11
1=
k
k
+
??
+
?
??
.
令y=x2+(k﹣1)x﹣k=0,即(x+k)(x﹣1)=0,解得:x=﹣k或x=1.
∴C(﹣k,0),OC=k.
假设存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°,如答图3所示,
则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q,根据圆周角定理,此时∠OQC=90°.
设点N为OC中点,连接NQ,则NQ⊥EF,NQ=CN=ON=
2
k
.
∴EN=OE﹣ON=
1
k
﹣
2
k
.
∵∠NEQ=∠FEO,∠EQN=∠EOF=90°,
∴△EQN∽△EOF,
∴
NQ EN
OF EF
=,即:
1
2
2
1
k
k
k
k
-
=,
解得:
25
,
∵k>0,
∴
25
.
∴存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°,此时
25
.
考点:1.二次函数的性质及其应用;2.圆的性质;3.相似三角形的判定与性质.
9.如图,已知抛物线2
y x bx c
=-++与x轴交于A,B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中点A的坐标是()
1,0,点C的坐标是()
2,3
-,抛物线的顶点为点D.
(1)求抛物线和直线AC 的解析式.
(2)若点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点,求APC ?的面积的最大值及此时点P 的坐标.
(3)若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点E ,点M 为直线AC 上的任意一点,过点
M 作//MN DE 交抛物线于点N ,以D ,E ,M ,N 为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求出点M 的坐标;若不能,请说明理由.
【答案】(1)y=-x 2-2x+3,y=-x+1;(2)最大值为278
,此时点P(12-,15
4);(3)能,
(0,1),(
1172-+,3172
)或(1172--,
317
2) 【解析】 【分析】
(1)直接利用待定系数法进行求解,即可得到答案;
(2)设点P(m ,-m 2-2m+3),则Q(m ,-m+1),求出PQ 的长度,结合三角形的面积公式和二次函数的性质,即可得到答案;
(3)根据题意,设点M(t ,-t+1),则点N(t ,-t 2-2t+3),可分为两种情况进行分析:①当点M 在线段AC 上时,点N 在点M 上方;②当点M 在线段AC (或CA )延长线上时,点N 在点M 下方;分别求出点M 的坐标即可. 【详解】
解:(1)∵抛物线y=-x 2+bx+c 过点A(1,0),C(-2,3),
∴10423b c b c -++=??--+=?,,解得:23b c =-??=?
,
.
∴抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3. 设直线AC 的解析式为y=kx+n . 将点A ,C 坐标代入,得 023k n k n +=??
-+=?,,解得11k n =-??=?
,
. ∴直线AC 的解析式为y=-x+1. (2)过点P 作PQ ∥y 轴交AC 于点Q . 设点P(m ,-m 2-2m+3),则Q(m ,-m+1).
2018年中考数学真题汇编:二次函数(含答案)
中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数:①y=﹣3x+2;②y= ;③y=2x2;④y=3x,上述函数中符合条作“当x>1时,函数值y随自变量x增大而增大“的是() A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是 () A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数,下列说法正确的是() A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时,的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示,下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( ) A. B. C. D.
【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点() A. (-3,-6) B. (-3,0) C. (-3,-5) D. (-3,-1) 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=﹣t2+24t+1.则下列说法中正确的是() A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),则①二次函数的最大值为a+b+c;②a﹣b+c<0;③b2﹣4ac<0;④当y>0时,﹣1<x<3,其中正确的个数是() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数(,,是常数,)图象的一部分,与轴的交点在点 和之间,对称轴是.对于下列说法:①;②;③;④ (为实数);⑤当时,,其中正确的是() A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A
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北京国子监中学数学二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题(难) 1.如图,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(1,0)和点B(3,0),交y轴于点C,抛物线上一点D的坐标为(4,3) (1)求该二次函数所对应的函数解析式; (2)如图1,点P是直线BC下方抛物线上的一个动点,PE//x轴,PF//y轴,求线段EF的最大值; (3)如图2,点M是线段CD上的一个动点,过点M作x轴的垂线,交抛物线于点N,当△CBN是直角三角形时,请直接写出所有满足条件的点M的坐标. 【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)EF的最大值为 2 4 ;(3)M点坐标为可以为(2, 3),(55 2 + ,3),( 55 2 - ,3). 【解析】 【分析】 (1)根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上,设二次函数解析式的交点式,将D点坐标代入求出a的值,最后将二次函数的交点式转化成一般式形式. (2)由题意可知点P在二次函数图象上,坐标为(p,p2﹣4p+3).又因为PF//y轴,点F 在直线BC上,P的坐标为(p,﹣p+3),在Rt△FPE中,可得FE2PF,用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值. (3)根据题意求△CBN是直角三角形,分为∠CBN=90°和∠CNB=90°两类情况计算,利用三角形相似知识进行分析求解. 【详解】 解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x﹣b)(x﹣c), ∵y=ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为(1,0)和(3,0), ∴二次函数解析式:y=a(x﹣1)(x﹣3). 又∵点D(4,3)在二次函数上, ∴(4﹣3)×(4﹣1)a=3, ∴解得:a=1. ∴二次函数的解析式:y=(x﹣1)(x﹣3),即y=x2﹣4x+3.
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