医药数理统计习题答案解析

第一章数据的描述和整理

一、学习目的和要求

1. 掌握数据的类型及特性；

2.掌握定性和定量数据的整理步骤、显示方法；

3.掌握描述数据分布的集中趋势、离散程度和分布形状的常用统计量；

4.能理解并熟练掌握样本均值、样本方差的计算；

5.了解统计图形和统计表的表示及意义；

6. 了解用Excel软件进行统计作图、频数分布表与直方图生成、统计量的计算。

二、容提要

（一）数据的分类

（二）常用统计量

1、描述集中趋势的统计量

2、描述离散程度的统计量

3、描述分布形状的统计量

* 在分组数据公式中，m i ， f i 分别为各组的组中值和观察值出现的频数。

三、综合例题解析

例1．证明：各数据观察值与其均值之差的平方和（称为离差平方和）最小，即对任意常数C ，有

2

21

1

()()n

n

i

i i i x

x x C ==-≤-∑∑

证一：设 21

()()n

i i f C x C ==-∑

由函数极值的求法，对上式求导数，得

1

1

()2()22, ()2 n n

i i i i f C x C x nC f C n =='''=--=-+=∑∑

令 f '(C )=0，得唯一驻点

1

1= n

i i C x x n ==∑

由于()20f x n ''=>，故当C x =时f (C )y 有最小值，其最小值为

21

()()n

i i f x x x ==-∑。

证二：因为对任意常数C 有

2

2

22

221

1

1

1

1

2

2221

2()()(2)

2(2)

()0

n

n n n n

i

i i

i

i i i i i i n

i i x

x x C x nx x C x nC nx C x nC n x Cx C n x C ======---=---+=-+-=--+=--≤∑∑∑∑∑∑

故有

2

21

1

()()n

n

i

i i i x

x x C ==-≤-∑∑。

四、习题一解答

1．在某药合成过程中，测得的转化率（%）如下：

94.3 92.8 92.7 92.6 93.3 92.9 91.8 92.4 93.4 92.6 92.2 93.0 92.9 92.2 92.4 92.2 92.8 92.4 93.9 92.0 93.5 93.6 93.0 93.0 93.4 94.2 92.8 93.2 92.2 91.8 92.5 93.6 93.9 92.4 91.8 93.8 93.6 92.1 92.0 90.8 （1）取组距为0.5，最低组下限为90.5，试作出频数分布表； （2）作频数直方图和频率折线图；

（3）根据频数分布表的分组数据，计算样本均值和样本标准差。 解：（1）所求频数分布表：

转化率的频数分布表

转化率分组频数频率累积频率

90.5～ 1 0.025 0.025

91.0～0 0.00 0.025

91.5～ 3 0. 0.10

92.0～11 0.275 0.375

92.5～9 0.225 0.60

93.0～7 0.175 0.775

93.5～7 0.175 0.95

94.0～94.5 2 0.05 1.00 （2）频数直方图：

频率折线图：

（3）由频数分布表可得

转化率分组 组中值m i 频数 90.5～ 90.75 1

91.0～ 91.25 0 91.5～ 91.75 3 92.0～ 92.25 11 92.5～ 92.75 9 93.0～ 93.25 7 93.5～ 93.75 7 94.0～94.5

94.25

2

则 825.9240

3713

40225.94025.91175.90181==?++?+?=

≈∑=i i i f m n x Λ i i i f x m n S ∑=--≈8

1

22

)(11 =

39

1

[(90.75－92.825)2×1+(91.25－92.825)2×0+…+(94.25－92.825)2×2] =0.584

或者 )(118

1

22

2

∑=--≈

i i i x n f m n S 584.0)76.9240225.94025.91175.90(39

1

2222=?-?++?+?=

Λ 2S S ==584.0≈0.7642

2．测得10名接触某种病毒的工人的白细胞（109/L ）如下：

7.1，6.5，7.4，6.35，6.8，7.25，6.6，7.8，6.0，5.95 （1）计算其样本均值、方差、标准差、标准误和变异系数。 （2）求出该组数据对应的标准化值； （3）计算其偏度。

解：（1）75.6795.55.61.710

1

=+++=∑=Λi i x ，n =10

=+++=∑=22210

1

2

95.55.61.7Λi i

x

462.35

样本均值775.610

75

.6711==

=∑=n i i x n x 方差)(11122

2

∑=--=

n i i x n x n S 371.0)775.61035.462(9

12=?-= 标准差2S S ==371.0≈0.609

标准误193.040

609.0==

=

n

S S x

变异系数CV =

%100||?x S

=

%100775

.6609.0?=8.99%； （2）对应的标准化值公式为

609

.0775

.6-=-=

i i i x S x x u 对应的标准化值为

0.534,-0.452,1.026,-0.698,0.041,0.78,-0.287,1.683,-1.273,-1.355； （3）3

3)2)(1()(S

n n x x n S i k ---=

∑=0.204。

3. 已知某年某城市居民家庭月人均支出分组数据如下表所示

按月人均支出分组（元）

家庭户数占总户数的比例（%）

200以下 200～ 500～ 800～

1.5 18.2 46.8 25.3

1000以上 8.2 合计

100

试计算（1）该市平均每户月人均支出的均值和标准差； （2）并指出其月人均支出的中位数与众数所在组。 解：（1）由原分组数据表可得

支出分组（元）

组中值 比例（%）

200以下 200～ 500～ 800～ 1000以上

100 350 650 900 1100

1.5 18.2 46.8 25.3 8.2

则 3.6872.811002.183505.1100100

1

151=?++?+?=

≈∑=）（i i i f m n x Λ )(115

1

22

2

∑=--≈

i i i x n f m n S 39.524683.68752.811002.183505.110099

12222=?-?++?+?=

）

（Λ 06.22939.524682===S S ；

（2）由原分组数据表可得

支出分组（元）

比例（%）

累积比例（%）

200以下 200～ 500～ 800～ 1000以上

1.5 18.2 46.8 25.3 8.2

1.5 19.7 66.5 91.8 100

中位数所在组，即累积比例超过50的那个最低组，即为500～组。 众数所在组是频数即比例最大的组，也是500～组。

4．设x 1, x 2, …，x n 和y 1, y 2, …，y n 为两组样本观察值，它们有下列关系：

b

a

x y i i -=

i =1,2,…,n 其中a 、b 为常数且b ≠0，求样本均值x 与y 及样本方差2x S 和2

y S 之间的关系。

解：b a

x n na x n b b a x n y n y n i i

n i i n i i -=-=-==∑∑∑===)1(1)(111

11 ∑∑∑===--=----=--=n i n i n i i y

b

x x n b a x b a x n y y n S 121212

2)(11)(11)(11 22

1

221)(111x n i i S b x x n b =--=∑=。

五、思考与练习

（一）填充题

1． 统计数据可以分为 数据、 数据、 数据、 据等三类，其中 数据、 数据属于定性数据。

2． 常用于表示定性数据整理结果的统计图有 、 ；而 、 、 、 等是专用于表示定量数据的特征和规律的统计图。

3. 用于数据整理和统计分析的常用统计软件有 等。

4. 描述数据集中趋势的常用测度值主要有 、 、 和 等，其中最重要的是 ；描述数据离散程度的常用测度值主要有 、 、 、 等，其中最重要的是 、 。

1. 各样本观察值均加同一常数c后( )

A．样本均值不变，样本标准差改变B．样本均值改变，样本标准差不变

C．两者均不变 D. 两者均改变

2．关于样本标准差，以下哪项是错误的（）。

A．反映样本观察值的离散程度B．度量了数据偏离样本均值的大小

C．反映了均值代表性的好坏D．不会小于样本均值

3．比较腰围和体重两组数据变异度大小宜采用（）

A．变异系数（CV）B．方差（S2）

C．极差（R）D．标准差（S）

（三）计算题

1. 在某次实验中，用洋地黄溶液分别注入10只家鸽，直至动物死亡。将致死量折算至原来洋地黄叶粉的重量。其数据记录为（单位：mg/kg）

97.3，91.3，102，129，92.8，98.4，96.3，99.0，89.2，90.1

试计算该组数据的样本均值、方差、标准差、标准误和变异系数。

六、思考与练习参考答案

（一）填充题

1. 定类，定序，数值，定类，定序

2. 条形图、圆形图；直方图、频数折线图、茎叶图、箱形图

3.SAS、SPSS、Excel

4. 均值、众数、中位数，均值，极差、方差、标准差、变异系数，方差、标准差

1. B；

2.D；

3.A

（三）计算题

1．均值98.54、方差132.27、标准差11.501、标准误3.637、变异系数11.67%。

第二章随机事件与概率

一、学习目的和要求

1.掌握事件等的基本概念及运算关系；

2.熟练掌握古典概率及计算；

3.理解统计概率、主观概率和概率的公理化定义；

4.熟练掌握概率的加法公式、乘法公式及计算；

5.理解并掌握条件概率与事件独立性的概念并进行计算；

6.掌握并应用全概率公式和贝叶斯公式进行计算。

二、容提要

（一）基本概念

（二）事件间的关系

（三）事件的运算规律

（四）概率的定义

（五）概率的计算公式

三、综合例题解析

例1 从某鱼池中取100条鱼，做上记号后再放入该鱼池中。现从该池中任意捉来50条鱼，发现其中有两条有记号，问池大约有多少条鱼？

解：设池大约有n 条鱼，令

A ={从池中捉到有记号鱼}

则从池中捉到有记号鱼的概率

P (A )=

n

100

由统计概率的定义知，它近似于捉到有记号鱼的频率f n (A ) =

50

2

，即

50

2

100≈

n 解之得n =2500，故池大约有2500条鱼。

例2 口袋里有两个伍分、三个贰分和五个壹分的硬币，从中任取五个，求总值超过一角的概率。

解一：令A ={总值超过一角}，现将从10个硬币中任取5个的每种取法作为每个基本事件，显然本例属于古典概型问题，可利用组合数来解决。所取5个硬币总值超过一角的情形，其币值由大到小可根据其中有2个伍分、有1个伍分和没有伍分来考虑。则

252126

)(5

10

2

533122523123822=++=C C C C C C C C C A P =0.5。 解二：本例也可以先计算其对立事件

A ={总值不超过一角}

考察5个硬币总值不超过一角的情形，其币值由小到大先根据壹分硬币、贰分硬币的不同个数来计算其有利情形的组合数。则

252126

1)(1)(1)(5

10

3

32512132335154555-=++++-=-=C C C C C C C C C C A P A P =0.5 或 2521261)1)(1)(5

10

3

513451258-=++-=-=C C C C C C A P A P （=0.5 例3 将n 个人等可能地分配到N （n ≤N ）间房中去，试求下列事件的概率： （1）A ={某指定的n 间房中各有一人}； （2）B ={恰有n 间房，其中各有一人}； （3）C ={某指定的房中恰有m （m ≤n ）个人}。

解：把n 个人等可能地分配到N 间房中去，由于并没有限定每一间房中的人数，故是一可重复的排列问题，这样的分法共有N n 种。

（1）对事件A ，对指定的n 间房，第一个人可分配到该n 间房的任一间，有n 种分法；第二个人可分配到余下的n －1间房中的任一间，有n －1种分法，以此类推，

得到A 共含有n !个基本事件，故

n

N

n A P !)(=

（2）对事件B ，因为n 间房没有指定，所以可先在N 间房中任意选出n 间房（共

有n N C 种选法），然后对于选出的某n 间房，按照上面的分析，可知B 共含有n N C ·n ！

个基本事件，从而

n

n

N N

n C B P !

)(?=

（3）对于事件C ，由于m 个人可从n 个人中任意选出，故有m

n C 种选法，而其余

n －m 个人可任意地分配到其余的N －1间房中，共有(N －1)n -m 种分配法，故C 中共含

有m n C ·(N －1)n -m 个基本事件，因此

m n m m

n n

m

n m

n N

N C N N C C P ---=-=

)1

1()1(

)1()( 注意：可归入上述“分房问题”来处理的古典概型的实际问题非常多，例如： （1）生日问题：n 个人的生日的可能情形，这时N =365天（n ≤365）； （2）乘客下车问题：一客车上有n 名乘客，它在N 个站上都停，乘客下车的各种可能情形；

（3）印刷错误问题：n 个印刷错误在一本有N 页的书中的一切可能的分布（n 不超过每一页的字符数）；

（4）放球问题：将n 个球放入N 个盒子的可能情形。

值得注意的是，在处理这类问题时，要分清什么是“人”，什么是“房”，一般不能颠倒。

例4（1994年考研题）设A ，B 为两事件，且P (A )=p ，P (AB )=)(B A P ，求P (B )。 解：由于

)],()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=+-=+=

现因为P (AB )=)(B A P ，则

)()()(1)(AB P B P A P AB P +--=

又P (A )=p ，故

p A P B P -=-=1)(1)(。

注意：事件运算的德·摩根律及对立事件公式的恰当应用。

例5 设某地区位于河流甲、乙的交汇处，而任一何流泛滥时，该地区即被淹没。已知某时期河流甲、乙泛滥的概率分别为0.2和0.3，又当河流甲泛滥时，“引起”河流乙泛滥的概率为0.4，求

（1）当河流乙泛滥时，“引起”河流甲泛滥的概率； （2）该时期该地区被淹没的概率。 解：令A ={河流甲泛滥}，B ={河流乙泛滥} 由题意知

P (A )=0.2，P (B )=0.3，P (B |A )=0.4

再由乘法公式

P (AB )=P (A )P (B |A)=0.2×0.4=0.08，

则（1）所求概率为

267.03

.008

.0)()()|(===

B P AB P B A P （2）所求概率为

P (A +B )=P (A )+P (B )－P (AB ) =0.2+0.3－0.08=0.42。

例6 设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，求P (A )。

解：由题设可知因为A 和B 相互独立，则

P (AB ) = P (A )P (B )，

再由题设可知

9

1

)()()(=

=B P A P B A P ，

)()(B A P B A P =

又因为

)()(B A P B A P =，

即 P (A －B ) = P (B －A )， 由事件之差公式得

)()()()(AB P B P AB P A P -=-

则有P (A ) = P (B )，从而有

)()(B P A P =

故有

3

1

)( ,91))((2==A P A P

即 3

2

)(1)(=

-=A P A P 。 例7（1988年考研题） 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0，0.8，0.1和0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求

（1）顾客买下该箱的概率α；

（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率β。

解：由于玻璃杯箱总共有三类，分别含0，1，2只残次品。而售货员取的那一箱可以是这三类中的任一箱，顾客是在售货员取的一箱中检查的，顾客是否买下这一箱是与售货员取的是哪一类的箱子有关系的，这类问题的概率计算一般可用全概率公式解决，第二问是贝叶斯公式也即条件概率问题。

首先令 A ={顾客买下所查看一箱}；

B ={售货员取的箱中恰好有i 件残次品}，i =0，1，2。

显然，B 0，B 1，B 2构成一组完备事件组。且

.19

12)(,54)(,1)(,1.0)(,1.0)(,8.0)(4204182420

41910210====

====C C B A P C C B A P B A P B P B P B P

（1）由全概率公式，有

94.019

12

1.054

1.018.0)()()(2

≈?

+?+?===∑=i i i B A P B P A P α （2）由逆概率公式，得

85.094

.01

8.0)

()

()()(000≈?≈

=

=A P B A P B P A B P β 注意：本题是典型的全概率公式与贝叶斯公式的应用。

例8．（小概率事件原理）设随机试验中某事件A 发生的概率为ε，试证明，不论ε>0如何小，只要不断独立重复地做此试验，事件A 迟早会发生的概率为1。

证：令 A i ={第i 次试验中事件A 发生}, i =1,2,3,… 由题意知，事件A 1, A 2, …, A n , …相互独立且

P (A i )=ε，i =1,2,3,…，

则在n 次试验中事件A 发生的概率

P (n A A A +++Λ21)=1－P (n A A A Λ21)

=1－n

n A P A P A P )1(1)()()(21ε--=Λ

当n →+∞, 即为事件A 迟早会发生的概率

P (ΛΛ++++n A A A 21)=n n )1(1lim ε--+∞

→=1。

四、习题二解答

1．考察随机试验：“掷一枚骰子，观察其出现的点数”。如果设

i={掷一枚骰子所出现的点数为i }, i =1,2,…,6

试用i 来表示该试验的基本事件、样本空间Ω和事件A ={出现奇数点}和事件B ={点数至少是4}。

解：基本事件：{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}。 样本空间Ω={ 0，1，2，3，4，5，6}。 事件A ={1，3，5}；B ={4，5，6}。 2．用事件A 、B 、C 表示下列各事件： （1）A 出现，但B 、C 不出现； （2）A 、B 出现，但C 不出现； （3）三个都出现；

（4）三个中至少有一个出现； （5）三个中至少有两个出现； （6）三个都不出现； （7）只有一个出现； （8）不多于一个出现； （9）不多于两个出现。

解：（1）ABC （2）ABC （3）ABC

（4）ABC BC A C B A C AB C B A C B A C B A ++++++

或A +B +C 或C B A -Ω （5）ABC BC A C B A C AB +++ （6）ABC 或Ω－(A +B +C )或C B A ++ （7）ABC ABC ABC ++ （8）ABC ABC ABC ABC +++

（9）BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ++++++

或Ω－ABC 或ABC

3．从52扑克牌中，任取4，求这四花色不同的概率。

解：现将从52扑克牌中任取4的每种取法作为每个基本事件，其结果与顺序无关，故可用组合数来解决该古典概型问题。