根轨迹实验报告

自动控制原理实验报告

实验三控制系统根轨迹实验及课后习题4-22

1．G ＊=

)()1(2a s s K s ++, 当系统具有一个、两个或没有分离点时，作出系统跟轨迹。解：由d 1+d 1+a d +1=1

1+d 得 2d 2+（3+a ）d+2a=0; 当△=a 2-10a+9>0，即a>9或a<1时有两个分离点。当△=a 2-10a+9=0，即a=9或a=1时有一个分离点。当△=a 2-10a+9<0，即1

当a 分别取9、1、5、20。代码如下，根轨迹如下图

a1=9;

a2=1;

a3=5

a4=20;

G1=zpk([-1],[0 0 -a1],1)

G2=zpk([-1],[0 0 -a2],1)

G3=zpk([-1],[0 0 -a3],1)

G4=zpk([-1],[0 0 -a4],1)

subplot(141)

rlocus(G1)

title('a=9')

subplot(142)

rlocus(G2)

title('a=1')

subplot(143)

rlocus(G3)

title('a=5')

subplot(144)

rlocus(G4)

title('a=20')

从上图可以看出

a=9时，有一个分离点，与计算出的分离点-3相符。

a=1时，有一个分离点，与计算出的分离点-1相符。

a=5时，没有分离点。

a=20时，有2个分离点，与计算出的分离点-8.9221、-2.5779相符。

2．G =)

3)(1)(1(++-s s s K ，增加零点分别为:-2,-0.5,作出不同情况下的根轨迹。解：代码和根轨迹如下：

a1=2;

a2=0.5;

G1=zpk([],[1 -1 -3],1)

G2=zpk([-a1],[1 -1 -3],1)

G3=zpk([-a2],[1 -1 -3],1)

subplot(141)

rlocus(G1)

title('原图')

axis([-5 5 -6 6])

subplot(142)

rlocus(G2)

title('增加-2零点')

axis([-5 5 -6 6])

subplot(143)

rlocus(G3)

title('增加-0.5零点')

axis([-5 5 -6 6])

通过根轨迹图可以清楚的发现增加负零点，根轨迹左移，零点与虚轴越近，作用越显著。

3.G=)

5.0(+s s K ，其中增加极点分别为：0，-2，作出系统三种情况的根轨迹。解：代码和根轨迹如下：

a1=0;

a2=-2;

G1=zpk([],[0 -0.5],1)

G2=zpk([],[0 -0.5 -a1],1)

G3=zpk([],[0 -0.5 -a2],1)

subplot(141)

rlocus(G1)

title('原图')

axis([-5 5 -6 6])

subplot(142)

rlocus(G2)

title('增加0极点')

axis([-5 5 -6 6])

subplot(143) rlocus(G3)

title('增加-2极点')

axis([-5 5 -6 6])

通过根轨迹图可以清楚的发现增加负极点，根轨迹右移，极点与虚轴越近，作用越显著。

4．G=)

1)(1(++s s s K T a ，参数K （如K=0.5、2、4）不同取值，绘制系统时间常数T a 从零到无穷大的根轨迹簇。

解：由s(s+1)(T a s+1)+K=0得，G ＊=)

1()1(*+++S S K S S S T a 代码和根轨迹簇如下：

K1=0.5;

K2=2;

K3=4;

G1=tf([1 1 0 0],[1 1 K1]);

G2=tf([1 1 0 0],[1 1 K2]);

G3=tf([1 1 0 0],[1 1 K3]);

figure(1)

rlocus(G1)

hold on

rlocus(G2)

hold on

rlocus(G3)

5.讨论

（1）出现零极点对消的系统，根轨迹如何绘制。

答：当系统开环传递函数存在一对相等的开环零、极点时，在s 平面将有一支起于该开环极点并止于与之相等的开环零点的点状根轨迹，在绘制根轨迹时不应将这一对开环零、极点对消掉。

（2）增加系统开环零极点，系统根轨迹如何变化。

答：增加负零点，根轨迹左移，零点与虚轴越近，作用越显著。增加负极点，根轨迹右移，极点与虚轴越近，作用越显著。

（3）讨论根轨迹法判定系统稳定性。

答：①系统根轨迹完全位于s 左平面时，系统稳定。

②系统根轨迹部分位于s 左平面，部分位于s 右平面时，需求出系统临界稳定时的根轨迹增益K 1,再讨论根轨迹增益K 的范围，讨论系统稳定性。

③系统根轨迹完全位于是右平面时，系统不稳定。

课本作业4-22

（1）解：系统开环传函为：G=)100)(10(22

)2(+++s s k s ×1010+s ×ωξωτ2212)1(+++s s s k 又∵ω=2.5，ξ=0.3，τ=0.1。

∴G=

令k 1k 2=k 3；

则G=

所以k 1k 2变化时，使用MATLAB 绘图如下，图1为系统根轨迹概略图

代码: G1=zpk([-2 -2 -10],[-10 -10 -100 -0.7500 + 2.3848i -0.7500 - 2.3848i ],1)

z=0.707;figure(1);rlocus(G1)

sgrid(z,'new');axis([-100 10 -8 8])

图1系统根轨迹

)3848.275.0()3848.275.0()100()10()11.0()2(102221i s i s s s s s k k ++-+++++)3848.275.0()3848.275.0()100()10()10()2(2

i s i s s s s s k ++-+++++

（2）由图1可ξ0=0.707时，系统主导极点为-1.63±1.63i ，此时的根轨迹增益为

1.42×103，飞机以中等重量巡航时，K 1=0.02，所以：

K 2= =7.1×104

（3）当K 1=0.2时，K 3=K 1×K 2=1.42×104，此时可用MATLAB 求出闭环极点：代码：G1=zpk([-2 -2 -10],[-10 -10 -100 -0.7500 + 2.3848i -0.7500 - 2.3848i ],1)

[poles,k]=rlocus(G1,14200)

运行结果：

Zero/pole/gain:

(s+2)^2 (s+10)

-------------------------------------------------

(s+10)^2 (s+100) (s^2 + 1.5s + 6.25)

poles =

1.0e+002 *

-0.5379 + 1.0978i

-0.5379 - 1.0978i

-0.0196 + 0.0062i

-0.0196 - 0.0062i

-0.1000

k =

14200S

所以该系统的闭环极点为:S 1、2=-1.96±0.62i ，S 3、4 =53.79±109.78i ，S 5=-10。 ∵S 1、2位置与零点闭环零点z=-2比较接近，其作用相互抵消，而闭环极点-10和闭环零点-10对消。

∴S 3、4 =53.79±109.78i 为系统主导极点。则β=arctan

.5378.109=63.9°，则ξ0=cos β=0.4399 故，ξ0=cos β=0.4399 K

1042.1?