自动控制原理 题库 第四章 线性系统根轨迹 习题
4-1将下述特征方程化为适合于用根轨迹法进行分析的形式，写出等价的系统开环传递函数。 （1）210s cs c +++=，以c 为可变参数。
（2）3(1)(1)0s A Ts +++=，分别以A 和T 为可变参数。
（3）1()01I D P k k s k G s s
s τ??
++
+
=?
?+?
?
，分别以P k 、I K 、T 和τ为可变参数。
4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为
(31)()(21)
K s G s s s +=
+
试用解析法绘出开环增益K 从0→+∞变化时的闭环根轨迹图。
4-2已知开环零极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。
4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求确定分离点坐标）。 （1）()(0.21)(0.51)K
G s s s s =
++
（2）(1)()(21)
K s G s s s +=+
（3）(5)()(2)(3)
K s G s s s s +=
++
4-4已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求算出起始角）。 （1）(2)
()(12)(12)
K s G s s s j s j +=
+++-
（2）(20)
()(1010)(1010)
K s G s s s j s j +=+++-
4-5设单位反馈控制系统开环传递函数如为
*
2
()()(10)(20)
K s z G s s s s +=
++
试确定闭环产生纯虚根1j ±的z 值和*K 值。 4-6已知系统的开环传递函数为
*
2
2
(2)()()(49)
K s G s H s s s +=
++
试概略绘出闭环根轨迹图。 4-7设反馈控制系统中
*
2
()(2)(5)
K
G s s s s =
++
（1）设()1H s =，概略绘出系统根轨迹图，判断闭环系统的稳定性
（2）设()12H s s =+，试判断()H s 改变后的系统稳定性，研究由于()H s 改变所产生的影响。
4-8试绘出下列多项式的根轨迹 （1）322320s s s Ks K ++++= （2）323(2)100s s K s K ++++= 4-9两控制系统如下图所示，试问：
（1）两系统的根轨迹是否相同？如不同，指出不同之处。
（2）两系统的闭环传递函数是否相同？如不同，指出不同之处。 （3）两系统的阶跃响应是否相同？如不同，指出不同之处。
4-10设系统的开环传递函数为
12
(1)(1)
()K s T s G s s
++=
（1）绘出10T =，K 从0→+∞变化时系统的根轨迹图。
（2）在（1）的根轨迹图上，求出满足闭环极点阻尼比0.707ξ=的K 的值。 （3）固定K 等于（2）中得到的数值，绘制1T 从0→+∞变化时的根轨迹图。 （4）从（3）的根轨迹中，求出临界阻尼的闭环极点及相应的1T 的值。 4-11系统如下图所示，试 （1）绘制0β=的根轨迹图。
（2）绘制15K =，22K =时，β从0→+∞变化时的根轨迹图。 （3）应用根轨迹的幅值条件，求（2）中闭环极点为临界阻尼时的β的值。
4-12单位正反馈系统如下图所示
（1）绘制全根轨迹。
（2）求使闭环系统阻尼比0.707ξ=时的K 的取值。
4-13对于第二章例2.15的磁悬浮试验模型的例子，静态工作点附近被控对象的传递函数描述为
2
44()1785
G s s -=
-
（1）试确定反馈的极性和比例微分控制器(1)p k s τ+的参数，使闭环系统稳定，闭环极点的阻尼比0.707ξ=，无阻尼自然振荡频率10n ω=。 （2）试绘制0τ>、0P k >
两参数变化时系统的根轨迹族。 4-12单位反馈系统如下图所示。
（1）设2a =，绘制K 从0→+∞变化时系统的根轨迹，确定系统无超调时的K 的取值，确定系统临界稳定时的K 的取值。
（2）设2K =，绘制a 从0→+∞变化时系统的根轨迹，确定系统闭环根的阻尼比
0.707ξ=时的a 的取值。
4-13设单位反馈系统的开环传递函数是
10(1)()(0.51)(1)
s G s s Ts -=
++
（1）绘出T 从0→+∞变化时系统的根轨迹图。
（2）求出系统处于临界稳定和临界阻尼时的T 的值。
（3）求20T =时系统的单位阶跃响应。
4-14设系统开环传递函数如下，试画出b 从零变到无穷时的根轨迹图。 （1）20()(4)()G s s s b =
++
（2）30()()(10)
s b G s s s +=+
4-15设单位反馈控制系统的开环传递函数为
*
(1)()(2)
K s G s s s -=
+
试绘出其根轨迹图，并求出使系统产生重实根和纯虚根的*K 值。 4-16设控制系统开环传递函数为
*
2
(1)()(2)(4)
K s G s s s s +=
++
试分别画出正反馈系统和负反馈系统的根轨迹图，并指出它们的稳定情况有何不同？ 4-17系统如下图所示
（1）试绘制a T 从0→+∞变化时闭环系统的根轨迹。 （2）为使系统的阶跃响应无振荡，a T 应在什么范围内取值？ 4-18设单位反馈系统的开环传递函数为
)
2)(1()(++=
s s s K s G
（1）绘制K 从0→+∞变化时闭环系统的根轨迹。 （2）确定使闭环系统稳定的K 的取值范围。
（3）为使闭环系统的调节时间10s t =秒（按误差带5%?=计算），求K 的取值。 解：（1）根轨迹方程为
0)
2)(1(1=+++s s s K ；
1、 有三条分支，起始于开环极点01=p ，12-=p ，23-=p ，终止于无穷远处；
2、 实轴上的根轨迹区段为：]2,(--∞，[0,1]-；
3、 渐
近
线
与实
轴
交
点
为
103)
2()1(0-=--+-+=a
σ
，夹角为
(21
)60
,1
80
,
6
30
a k π?+=
=--
； 4、 由
0)]()([=s H s G ds
d 得分离点满足02632
=++s s ，解为42.01-=s ，58
.12-=s （舍去，因为它不在根轨迹上），1s 对应得*k 值为)2)(1(111++=*
s s s k ＝0.385。
5、与虚轴的交点，将1()()0G j H j ωω+=实虚部分开有
3
2
2030k ωωω?-+=??-+=?? 解出1230,0
1.41,61.41,6k k k ωωω**
*
?==?==??=-=?
根轨迹图如下图所示。
（2）60< 10s n t ζω= =得主导极点的实部0.35n ζω-=-，系统的闭环特征方程为 32 123(1)(2)32()()()s s s K s s s K s s s s s s +++=+++=--- 式中1,2,3s 为系统的3个闭环特征根，设1,2n d s j ζωω=-±为闭环共轭主导极点，显然有 123323n s s s s ζω---=-= 这样得到3 2.3s =-。根据模值条件，3 2.3s =-时的根轨迹增益 33312 2.3 1.30.30.897k K s s s * ==++=??= 4-19已知某单位负反馈系统的开环传递函数为 2 (5)()(2) K s G s s s += + （1）绘制根轨迹简图； （2）求闭环系统出现重根时的K 值； （3）求使得闭环系统稳定且工作在欠阻尼状态的K 的取值范围。 解：（1）开环零点15z =-，开环极点10,p =232p p ==-，1m =，3n =。系统有三条根轨迹分支，起始于极点1p 、2p 和3p ，一条终止于零点1z ，两条趋于无穷远零点。 实轴上根轨迹区域为(50-,）。 渐进线与实轴的交点为 1231 ()0(2)(2)(5) 0.531 a p p p z n m σ++-+-+---= = =-- 夹角为 (21)2,32a k n m π?ππ+= =- 在12p p 与间的实轴上存在一个分离点，分离点的坐标满足 1 1 2 3 1111d z d p d p d p = + + ---- 即 2 215100d d ++= 得1,20.74, 6.76d =--（舍去）。 系统的特征方程为2(2)(5)0s s K s +++=，根轨迹与虚轴的交点满足 2 (2)(5)0j j K j ωωω+++= 即 2 3 54(4)0K K j ωωωω-+-+= 分别令实部和虚部等于零有2540K ω-=和340K ωωω-+=，解得16, =4.47K ω=。根轨迹如下图。 （2）根轨迹的分离点处出现重根，根据模值条件有 2 0.81500.8152 0.2740.8155 K ---+= =-+ （3）当K 取值为(0.274, 16)时，闭环系统稳定且工作在欠阻尼状态。 4-20设单位反馈系统的开环传递函数为 ()(1)(1) K G s s s Ts τ= ++ 式中2K =，1T =，0τ>为变化参数。 （1）试绘制参数τ变化时，闭环系统的根轨迹图，给出系统为稳定时τ的取值范围。 （2）求使3-成为一个闭环极点时τ的取值。 （3）τ取（2）中给出的值时，求系统其余的两个闭环极点，并据此计算系统的调节时间（按 5%误差计算）和超调量。 解：（1）系统的特征方程为 3 2 2 (1)(1)(1)(1)220s s Ts K s s s s s s s ττττ+++=+++=++++= 等效的开环传递函数为 2 2 2 (1)(1) ()()2 (0.5 1.32)(0.5 1.32) s s s s G s H s s s s j s j ττ++''= = +++++- 绘制根轨迹如下图。 图中根轨迹与虚轴的交点可从系统为临界稳定的条件 12ττ+= 得到1τ=。1τ=时系统的特征方程为 3 2 2 22(2)(1)0s s s s s +++=++= 得与虚轴交点的坐标为j j ω=±。从根轨迹得到系统稳定的τ的取值范围为01τ<<。 （2）3-成为一个闭环极点时，从根轨迹的模值条件有 2 2 3 31 1(3)(3)2 τ--+=-+-+ 得40.4449 τ= =。 （3）0.444τ=时，系统的另外两个闭环根从特征方程 3 2 2 32 2 2 1 1 2 99916(3)()04 4 2 4 4 s s s s s s s s s s s τ τ τ ++ + + = ++ + + =++ + = 求出为0.125 1.218j -±，显然它是系统的主导极点。系统的调节时间和超调量分别为 0.125 1.218 3.5280.125 %100%100%100%100%72.5% n d s t s e e πξωπωσ--?= ==?=?=?=?= 4-21系统如下图所示。试绘制系统的根轨迹，并写求出当闭环共轭复数极点的阻尼比 ξ=时，系统的单位阶跃响应的表达式。 0.707 1 第四章 根轨迹法习题及答案 1系统的开环传递函数为 ) 4)(2)(1()()(* +++=s s s K s H s G 试证明点311j s +-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。 解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。 对于31j s +-=，由相角条件 =∠)()(11s H s G =++-∠-++-∠-++-∠-)431()231()131(0j j j ππ π π -=- - - 6 3 2 满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。将1s 代入幅值条件： 14 31231131)(* 11=++-?++-?++-= j j j K s H s G ）（ 解出 ： 12* =K ， 2 3 8*==K K 2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。 2 解根轨如图解4-2所示： 3已知单位反馈系统的开环传递函数，要求： （1）确定 ) 20 )( 10 ( ) ( ) ( 2+ + + = * s s s z s K s G产生纯虚根为1j ±的z值和* K值； （2）概略绘出 )2 3 )( 2 3 )( 5.3 )(1 ( ) ( j s j s s s s K s G - + + + + + = * 的闭环根轨迹图（要求 3 确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。 解（1）闭环特征方程 020030)()20)(10()(2342=++++=++++=***z K s K s s s z s K s s s s D 有 0)30()200()(3 2 4 =-++-=* * ωωωωωK j z K j D 令实虚部分别等于零即： ?????=-=+-**0 300 200324ωωωωK z K 把1=ω代入得： 30=* K ， 199=z 。 （2）系统有五个开环极点： 23,23,5.3,1,054321j p j p p p p --=+-=-=-== ① 实轴上的根轨迹：[],5.3,-∞- []0,1- ② 渐近线： 1 3.5(32)(32) 2.15 (21)3,,555a a j j k σπππ?π--+-++--?==-???+?==±±?? ③ 分离点： 02 312315.31111=+++-++++++j d j d d d d 解得： 45.01-=d , 4.22-d (舍去) , 90.125.343j d ±-=、 (舍去) ④ 与虚轴交点：闭环特征方程为 0)23)(23)(5.3)(1()(=+-+++++=*K j s j s s s s s D 把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得： ?????=+-==-+=*0 5.455.43 )Im(05.795.10)Re(3 52 4ωωωωωωωj K j 解得： ???==*00K ω ，???=±=*90.7102.1K ω，???-=±=*3 .1554652.6K ω（舍去） ⑤ 起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为 74..923..1461359096..751804=----=p θ 由对称性得，另一起始角为 74.92，根轨迹如图解4-6所示。 第四章 根轨迹法习题及答案 4-1 系统的开环传递函数为 ) 4s )(2s )(1s (K )s (H )s (G * +++= 试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。 解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件 π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。 对于31j s +-=，由相角条件 =∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0 =++-∠-++-∠)43j 1()23j 1( ππ π π -=- - - 6 3 2 满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。 将1s 代入幅值条件： 14 3j 123j 113j 1K s H )s (G * 11=++-?++-?++-= ）（ 解出 ： 12K * = ， 2 3 8K K *== 4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b =时系统的闭环传递函数。 （1）)b s )(4s (02)s (G ++= （2）) b s )(2s (s )b 2s (01)s (G +++= 解 (1) ) 4j 2s )(4j 2s () 4s (b 20s 4s )4s (b )s (G 2-++++=+++= ' 28 s 6s 20 )s (G 1)s (G )s (2++=+=Φ (2) ) 10s 2s (s )20s 2s (b )s (G 2 2++++='=)3j 1s )(3j 1s (s ) 19j 1s )(19j 1s (b -+++-+++ 40 s 14s 4s ) 4s (10)s (G 1)s (G )s (23++++=+= Φ 4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数) b s )(4s (s 2)s (G ++= ，试绘制参数b 从零变 化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。 解 ) 6s (s ) 4s (b )s (G ++= ' 根轨迹如图。 2s -=时4b =， ) 8s )(2s (s 216s 10s s 2)s (2 ++=++=Φ 4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 ⑴ ) 1s 5.0)(1s 2.0(s k )s (G ++= (2) )1s 2(s )1s (k )s (G ++= (3) )3s )(2s (s ) 5s (k )s (G *+++= (4) ) 1s (s )2s )(1s (*k )s (G -++= 解 ⑴ ) 2s )(5s (s K 10)1s 5.0)(1s 2.0(s K )s (G ++=++= 三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(] 5,-∞-, []0,2- 第四章 根轨迹法习题 4-1 系统的开环传递函数为 ) 4)(2)(1()()(* +++= s s s K s H s G 试证明点311j s +-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。 4-2 已知开环零、极点如图4-2 所示，试绘制相应的根轨迹。 4-3 单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出系统根轨迹。 ⑴ ) 15. 0)(12.0()(++= s s s K s G ⑵ ) 3)(2()5()(* +++= s s s s K s G ⑶ ) 12()1()(++= s s s K s G 4-4单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹。 ⑴ ) 21)(21() 2()(* j s j s s K s G -++++= ⑵ ) 1010)(1010() 20()(*j s j s s s K s G -++++= 4-５ 系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹。 ⑴ ) 208()()(2 ++= * s s s K s H s G ⑵ ) 5)(2)(1()()(+++= * s s s s K s H s G ⑶ ) 22)(3() 2()()(2 ++++= * s s s s s K s H s G ⑷ ) 164)(1()1()()(2++-+=* s s s s s K s H s G 4-６ 已知单位反馈系统的开环传递函数)(s G ，要求： （1）确定) 20)(10()()(2 +++= * s s s z s K s G 产生纯虚根为1j ±的z 值和*K 值； （2）概略绘出) 23)(23)(5.3)(1()(j s j s s s s K s G -+++++= * 的闭环根轨迹图（要求 确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。 4-７ 已知控制系统的开环传递函数为 2 2 ) 94(2)()(+++=* s s s K s H s G ）（ 试概略绘制系统根轨迹。 4-８ 已知系统的开环传递函数为 ) 93()(2 ++= * s s s K s G 试用根轨迹法确定使闭环系统稳定的K 值范围。 4-９单位反馈系统的开环传递函数为 ) 17 4( )1()12()(2 -++= s s s K s G 试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的K 值范围。 4-10单位反馈系统的开环传递函数为 第四章根轨迹分析法 4.1 学习要点 1根轨迹的概念； 2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用； 3根轨迹绘制法则与步骤； 4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。 4.2 思考与习题祥解 题4.1 思考与总结下述问题。 （1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。 （2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件？ （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 （4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。 答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S复平面移动形成的轨线称为根轨迹。根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。 根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。因此，对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。 应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。 （2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。可以分解为幅值条件与相角条件。运用相角条件可以确定S复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。 4-1将下述特征方程化为适合于用根轨迹法进行分析的形式，写出等价的系统开环传递函数。 （1）210s cs c +++=，以c 为可变参数。 （2）3(1)(1)0s A Ts +++=，分别以A 和T 为可变参数。 （3）1()01I D P k k s k G s s s τ?? ++ + =? ?+? ? ，分别以P k 、I K 、T 和τ为可变参数。 4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为 (31)()(21) K s G s s s += + 试用解析法绘出开环增益K 从0→+∞变化时的闭环根轨迹图。 4-2已知开环零极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求确定分离点坐标）。 （1）()(0.21)(0.51)K G s s s s = ++ （2）(1)()(21) K s G s s s +=+ （3）(5)()(2)(3) K s G s s s s += ++ 4-4已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求算出起始角）。 （1）(2) ()(12)(12) K s G s s s j s j += +++- （2）(20) ()(1010)(1010) K s G s s s j s j +=+++- 4-5设单位反馈控制系统开环传递函数如为 * 2 ()()(10)(20) K s z G s s s s += ++ 试确定闭环产生纯虚根1j ±的z 值和*K 值。 4-6已知系统的开环传递函数为 * 2 2 (2)()()(49) K s G s H s s s += ++ 试概略绘出闭环根轨迹图。 4-7设反馈控制系统中 * 2 ()(2)(5) K G s s s s = ++ （1）设()1H s =，概略绘出系统根轨迹图，判断闭环系统的稳定性 （2）设()12H s s =+，试判断()H s 改变后的系统稳定性，研究由于()H s 改变所产生的影响。 4-8试绘出下列多项式的根轨迹 （1）322320s s s Ks K ++++= （2）323(2)100s s K s K ++++= 4-9两控制系统如下图所示，试问： （1）两系统的根轨迹是否相同？如不同，指出不同之处。 （2）两系统的闭环传递函数是否相同？如不同，指出不同之处。 （3）两系统的阶跃响应是否相同？如不同，指出不同之处。 4-10设系统的开环传递函数为 12 (1)(1) ()K s T s G s s ++= （1）绘出10T =，K 从0→+∞变化时系统的根轨迹图。 （2）在（1）的根轨迹图上，求出满足闭环极点阻尼比0.707ξ=的K 的值。 （3）固定K 等于（2）中得到的数值，绘制1T 从0→+∞变化时的根轨迹图。 （4）从（3）的根轨迹中，求出临界阻尼的闭环极点及相应的1T 的值。 4-11系统如下图所示，试 （1）绘制0β=的根轨迹图。 （2）绘制15K =，22K =时，β从0→+∞变化时的根轨迹图。 （3）应用根轨迹的幅值条件，求（2）中闭环极点为临界阻尼时的β的值。 说明： 姚老师是从07还是08年教这门课的，之前的考题有多少参考价值不敢保证，也只能供大家参考了，重点的复习还是以课件为主，把平时讲的课件内容复习好了，考试不会有问题（来自上届的经验）。 祝大家考试顺利！ （这个文档内部交流用，并感谢董俊青和兰天同学，若有不足请大家见谅。） 2008级综合大题 []4001021100101 1 2x x u y x ???? ????=-+????????-????= 1 能否通过状态反馈设计将系统特征值配置到平面任意位置？ 2 控规范分解求上述方程的不可简约形式？ 3 求方程的传递函数； 4 验证系统是否渐近稳定、BIBO 稳定、李氏稳定； 5 可能通过状态反馈将不可简约方程特征值配置到-2，-3？若能，确定K ，若不能，请说明理由； 6 能否为系统不可简约方程设计全阶状态观测器，使其特征值为-4，-5； 7画出不可简约方程带有状态观测器的状态反馈系统结构图。 参考解答： 1. 判断能控性：能控矩阵2 14161 24,() 2.0 0M B AB A B rank M ?? ?? ??==-=???????? 系统不完全可控，不能任意配置极点。 2 按可控规范型分解 取M 的前两列，并加1与其线性无关列构成1 1 401200 1P -?? ??=-?????? ，求得120331 1066 00 1P ?? ????? ?=-????????? ? 进行变换[] 1 1 20831112,0,2 2 26000 1 A PAP B PB c cP --? ? ?? ???? ????=-====???? ??????????? ? 所以系统不可简约实现为[]08112022x x u y x ?????=+???????????=? 3. 1 2(1)(1)2(1)()()(4)(2)(1) (4)(2) s s s G s c sI A B s s s s s --+-=-= = -++-+ 4. det()(4)(2)(1)sI A s s s -=-++， 系统有一极点4，位于复平面的右部，故不是渐近稳定。 1 2(1)()()(4)(2) s G s c sI A B s s --=-= -+，极点为4，-2，存在位于右半平面的极点，故系统不 是BIBO 稳定。 系统发散，不是李氏稳定。 5. 可以。令11 228,12T k k k k A Bk k +???? =+=??? ??? ?? 则特征方程[]2 112()det ()(2)28f s sI A Bk s k s k k =-+=-++-- 期望特征方程* 2 ()(2)(3)56f s s s s s =++=++ 第四章 根轨迹法 4-1试粗略画出对应反馈控制系统具有以下前向和反馈传递函数的根轨迹图： ()()() ()s s H s s s K s G 6.01,01.01.02 +=++= 4-2 试粗略地画出反馈系统函数 ()()()() 2 411+-+= s s s K s G 的根轨迹。 4-3 对应负反馈控制系统，其前向和反馈传递函数为 ()()() ()1,42) 1(2 =+++= s H s s s s K s G 试粗略地画出系统的根轨迹。 4-4 对应正反馈重做习题4-3，试问从你的结果中得出什么结论？ 4-5 试画出具有以下前向和反馈传递函数的，正反馈系统根轨迹的粗略图。 ()()()()1,412 2=++= s H s s K s G 4-6 试确定反馈系统开环传递函数为 ()()()()() 5 284) 2(2 +++++= s s s s s s K s H s G 对应-∞ 第一章绪论 1-1试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点. 解答：1开环系统 (1)优点:结构简单，成本低，工作稳定。用于系统输入信号及扰动作 用能预先知道时，可得到满意的效果。 (2)缺点：不能自动调节被控量的偏差。因此系统元器件参数变化， 外来未知扰动存在时，控制精度差。 2 闭环系统 ⑴优点：不管由于干扰或由于系统本身结构参数变化所引起的被控量 偏离给定值，都会产生控制作用去清除此偏差，所以控制精度较高。 它是一种按偏差调节的控制系统。在实际中应用广泛。 ⑵缺点：主要缺点是被控量可能出现波动，严重时系统无法工作。 1-2 什么叫反馈？为什么闭环控制系统常采用负反馈？试举例说明之。 解答：将系统输出信号引回输入端并对系统产生控制作用的控制方式叫反馈。 闭环控制系统常采用负反馈。由1-1中的描述的闭环系统的优点所证 明。例如，一个温度控制系统通过热电阻（或热电偶）检测出当前炉 子的温度，再与温度值相比较，去控制加热系统，以达到设定值。 1-3 试判断下列微分方程所描述的系统属于何种类型（线性，非线性，定常，时变）？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 解答：（1）线性定常（2）非线性定常（3）线性时变 （4）线性时变（5）非线性定常（6）非线性定常 （7）线性定常 1-4如图1-4是水位自动控制系统的示意图，图中Q1，Q2分别为进水流量和出水流量。控制的目的是保持水位为一定的高度。 试说明该系统的工作原理并画出其方框图。 题1-4图水位自动控制系统 解答： (1) 方框图如下： ⑵工作原理：系统的控制是保持水箱水位高度不变。水箱是被控对象，水箱的水位是被控量，出水流量Q2的大小对应的水位高度是给定量。当水箱水位高于给定水位，通过浮子连杆机构使阀门关小，进入流量减小，水位降低，当水箱水位低于给定水位时，通过浮子连杆机构使流入管道中的阀门开大，进入流量增加，水位升高到给定水位。 1-5图1-5是液位系统的控制任务是保持液位高度不变。水箱是被控对象，水箱液位是被控量，电位器设定电压时（表征液位的希望值Cr）是给定量。 4.1某系统的结构如题4-1图所示，试求单位阶跃响应的调节时间t s ，若要求t s =0.1秒，系统的反馈系数应调整为多少？ 解:(1)由系统结构图可知系统闭环传递函数为: 100 ()100()1001()()1001*G s s s G s H s s a a s Φ=== +++ 在单位阶跃函数作用下系统输出为： 12100 ()()()(100)100k k C s R s s s s a s s a =Φ= =+++ 为求系统单位阶跃响应，对C(s)进行拉斯反变换： 10 21001001001001 lim ()lim 1001001 lim (100)()lim 11 ()(100)1 ()(1) s s s a s a at k sC s s a a k s a C s s a C s as a s a c t e a →→→-→--=== +=+==- =- +=- 根据定义调节时间等于响应曲线进入5%误差带，并保持在此误差带内所需要的最短时间，且根据响应系统单位阶跃响应的函数表达式可以看出系统单位阶跃响应的稳态值为 1 a ,因此: 10010011()(1)0.950.051 ln 20 1001 =0.1ln 20=0.3s 10 s s at s at s s c t e a a e t a a t --= -=?=?== 因为题中，所以 (2)若要求t s =0.1秒,则有: 1 ln 20=0.1 100=0.3s t a a = ? 即:若要求调节时间缩小为0.1秒,则需将反馈环节的反馈系数调整为0.3。 4.2已知二阶系统的阶跃响应曲线如题4.2图所示，该系统为单位负反馈系统，试确定其开环传递函数。 解：根据系统阶跃响应曲线可以看出： 峰值时间=0.1s p t ，超调量 1.3-1 %= 100%30%1 σ?=； 根据课本中对典型二阶系统222 ()2n n n s s s ωζωωΦ=++暂态性能指标的推导计算可知： %p t e σ-= =结合本题已知阶跃响应曲线可知： 0.1(1)%30% (2) p t e σ-= === 由式(2)可知： 0.3ln 0.30.3832 cot =0.3832 =arccot 0.3832=69.0332=cos =0.3578 e ζ?ζ?ζ?-=?-=?= =即： 将ζ带入式(1)中可得： 0.1 p n t ω= = 回顾题意对于典型二阶系统其闭环传递函数为222 ()2n n n s s s ωζωωΦ=++，且系统为单位负反馈系统，所以系统开环传递函数和闭环传递函数之间满足如下关系： 2222 2 22 2 2211 ()()121211211131.8851 ===224.0753n n n n n n n n n G s s s s G s s G s s G G s s s s ωζωζωωωζωωωζωΦ==Φ==+++++++++，因为：所以：， 信息光学习题答案 第一章 线性系统分析 1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dx d x g = （2）()();?=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2 ? ∞ ∞ --= αααd x h f x g （5） ()()απξααd j f ?∞ ∞ --2exp 解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。 1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=?? ? ??π 证明：左边＝∑∑∑∞ -∞ =∞-∞=∞-∞=-=??? ???-=??? ??-=??? ??n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ ∑∑∑∑∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =∞ -∞=∞ -∞=∞ -∞ =∞ -∞ =--+-= -+-=-+-= +=n n n n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb ) () 1()() ()exp()() ()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边 当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞ -∞ =-n n x )2(2δ 所以当n 为偶数时，左右两边相等。 1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式 0)(,) () ()]([1 ≠''-= ∑ =i n i i i x h x h x x x h δδ 式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。于是 )() ()(sin x comb n x x n =-=∑∞ -∞ =π δπ ππδ 一、单项选择题 1. 对自动控制系统的性能最基本的要求为 【 A 】 A.稳定性 B.灵敏性 C.快速性 D.准确性 2. 有一线性系统，其输入分别为u 1(t) 和u 2(t) 时，输出分别为y 1(t ) 和y 2(t) 。当输入 为 a 1u 1(t)+a 2u 2(t) 时 (a 1,a 2 为常数)，输出应为 【 B 】 A. a 1y 1(t)+y 2(t) B. a 1y 1(t)+a 2y 2(t) C.a 1y 1(t)-a 2y 2(t) D.y 1(t)+a 2y 2(t) 3. 如图所示的非线性为 【 D 】 A. 饱和非线性 B. 死区非线性 C. 磁滞非线性 D. 继电型非线性 4. 时域分析中最常用的典型输入信号是 【 D 】 A.脉冲函数 B.斜坡函数 C.抛物线函数 D.阶跃函数 5. 控制理论中的频率分析法采用的典型输入信号为 【 C 】 A. 阶跃信号 B. 脉冲信号 C. 正弦信号 D. 斜坡信号 6. 单位抛物线函数在0t ≥时的表达式为()x t = 【 C 】 A.t B.2t C.2/2t D.2 2t 7. 函数sin t ω的拉氏变换是 【 A 】 A. 22s ωω+ B.22s s ω+ C.22 1s ω + D.22 s ω+ 8. 函数cos t ω的拉普拉斯变换是 【 B 】 A. 22s ωω+ B.22s s ω+ C.22 1 s ω + D.22s ω+ 9. 线性定常系统的传递函数，是在零初始条件下 【 B 】 A. 系统输出信号与输入信号之比 B. 系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比 C. 系统输入信号与输出信号之比 D. 系统输入信号的拉氏变换与输出信号的拉氏变换之比 10. 传递函数反映了系统的动态性能，它 【 C 】 A. 只与输入信号有关 B. 只与初始条件有关 C. 只与系统的结构参数有关 D. 与输入信号、初始条件、系统结构都有关 11. 控制系统中，典型环节的划分是根据 【 D 】 A. 元件或设备的形式 B. 系统的物理结构 C. 环节的连接方式 D. 环节的数学模型 12. 令线性定常系统传递函数的分母多项式为零，则可得到系统的 【 D 】 A.代数方程 B.差分方程 C.状态方程 D.特征方程 13. 主导极点的特点是 【 C 】 A. 距离实轴很近 B. 距离实轴很远 C. 距离虚轴很近 D. 距离虚轴很远 14. 设控制系统的开环传递函数为()(1)(2) k G s s s s = ++，该系统为 【 B 】 A. 0型系统 B. 1型系统 C. 2型系统 D. 3型系统 15. 控制系统的上升时间 t r 、调整时间 t S 等反映出系统的 【 C 】 A. 相对稳定性 B. 绝对稳定性 C. 快速性 D. 准确性 16. 控制系统的稳态误差e ss 反映了系统的 【 A 】 A.稳态控制精度 B.相对稳定性 C.快速性 D.绝对稳定性 17. 一阶系统单位阶跃响应的稳态误差为 【 A 】 1． 自动控制系统对输入信号的响应，一般都包含两个分量，即一个是____________，另一个是__________分量。 2． 函数f(t)=t e 63-的拉氏变换式是________________________________。 3． 积分环节的传递函数表达式为G （s ）=_________________________。 4． 在斜坡函数的输入作用下，___________型系统的稳态误差为零。 四、控制系统结构图如图2所示。 （1）希望系统所有特征根位于s 平面上s ＝－2的左侧区域，且ξ不小于0.5。试画出特征根在s 平面上的分布范围（用阴影线表示）。 （2）当特征根处在阴影线范围内时，试求,K T 的取值范围。 （20分） 五、已知系统的结构图如图3所示。若()21()r t t =?时，试求 （1）当0f K =时，求系统的响应()c t ，超调量%σ及调节时间s t 。 （2）当0f K ≠时，若要使超调量%σ＝20％，试求f K 应为多大？并求出此时的调节时间s t 的值。 （3）比较上述两种情况，说明内反馈f K s 的作用是什么？ （20分） 图3 六、系统结构图如图4所示。当输入信号()1()r t t =，干扰信号()1()n t t =时，求系统总 的稳态误差e ss 。 （15分） 图4 1、 根轨迹是指_____________系统特征方程式的根在s 平面上变化的轨迹。 2、 线性系统稳定的充分必要条件是闭环传递函数的极点均严格位于s______________半平面 3、在二阶系统中引入比例-微分控制会使系统的阻尼系数________________。 9、已知单位反馈系统的开环传递函数 50 ( ) (0.11)(5) G s s s s = ++ ，则在斜坡信号作用下的稳态误差为_________。 3、某控制系统的方框图如图所示，试求(16分) (1)该系统的开环传递函数) (s G k 、闭环传递函数 ) ( ) ( s R s C 和误差传递函数 ) ( ) ( s R s E 。 (2)若保证阻尼比0.7 ξ=和单位斜坡函数的稳态误差为0.25 ss e=，求系统参数K和τ。(3) 计算超调量和调节时间。 1、已知单位反馈系统的开环传递函数为 * ()() (2)(3) K G s H s s s s ，试绘制闭环系统的根轨迹，并判断使系统稳定的* K范围。 R(s)C(s) - 2 K s N(s) 1 K 5．图4 6．在二阶系统中引入测速反馈控制会使系统的开环增益________________。 7．已知单位反馈系统的开环传递函数 100 () (0.11)(5) G s s s = ++ ，则在斜坡信号作用下的稳态误差为________________。 8．闭环系统的稳定性只决定于闭环系统的________________。 第四章 根轨迹分析法习题 4-2 单位回馈控制系统的开环传递函数1 )(+= s K s G r ，试用解析法绘出r K 从零变化到无穷时的死循环根轨迹图，并判断-2, j1, (-3+j2)是否在根轨迹上。 解：1-s 01s 0r =?=+=时，K 2-s 02s 1r =?=+=时，K 3-s 03s 2r =?=+=时，K …… -2 在根轨迹上，（-3+j2），j1不在根轨迹上。 4-3 回馈控制系统的开环传递函数如下，0≥r K ，试画出各系统的根轨迹图。 (2) )4)(1() 5.1()(+++=s s s s K s G r (3) 2 ) 1()(+=s s K s G r ， 解：（2） 1）开环零、极点：p 1=0，p 2=-1,p 3=-4,z=-1.0，n=3，m=1 2）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-1.5，-4） 3）根轨迹的渐近线： ? ±=±=-+±= -=----= 902 )12(, 75.12 )5.1(410)2( π π?σm n k a a 夹角交点条渐近线 4）分离点和会合点 6 .05.1141111-=+= ++++d d d d d 试探法求得 （3） 1）开环零、极点：p 1=0，p 2,3=-1，n=3 2）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-1，-∞） 3）根轨迹的渐近线： ±=-+±= -=--= 3 )12(,3 2 3110)3( π π?σm n k a a 夹角交点条渐近线 4）分离点和会合点 3 1 01 21- =?=++d d d 5）与虚轴交点：22 3++s s 4-5 系统的开环传递函数为) 1() 2()(++= s s s K s G r ， (1) 画出系统的根轨迹，标出分离点和会合点； (2) 当增益r K 为何值时，复数特征根的实部为-2？求出此根。 解： （1） 1）开环零、极点：p 1=0，p 22）实轴上根轨迹段：（0，-13）分离点和会合点 .3,586.02 11112 1 -=-=?+= ++d d d d d （2）系统特征方程为02)1(r r 2 =+++K s K s 2j 2322 122 ,1r r ±-==-=+-=- s K K a b ，，得：由0 1 23 s s s s r 2K -r 21 1K r K j ,20 2r r ±==?=-s K K 2008级综合大题 []400102110010112x x u y x ????????=-+????????-????=& 1 能否通过状态反馈设计将系统特征值配置到平面任意位置？ 2 控规范分解求上述方程的不可简约形式？ 3 求方程的传递函数； 4 验证系统是否渐近稳定、BIBO 稳定、李氏稳定；（各种稳定之间的关系和判定方法！） 5 可能通过状态反馈将不可简约方程特征值配置到-2，-3？若能，确定K ，若不能，请说明理由； 6 能否为系统不可简约方程设计全阶状态观测器，使其特征值为-4，-5； 7画出不可简约方程带有状态观测器的状态反馈系统结构图。 参考解答： 1. 判断能控性：能控矩阵21416124,() 2.000M B AB A B rank M ?? ????==-=???? ???? 系统不完全 可控，不能任意配置极点。 2 按可控规范型分解 取M 的前两列，并加1与其线性无关列构成1140120001P -????=-??????，求得1203311066 001P ?? ?? ?? ??=-?????? ???? 进行变换[]11 20831112,0,22260001A PAP B PB c cP --? ??????? ????=-====???? ???????? ???? 所以系统不可简约实现为[]08112022x x u y x ?????=+?????????? ?=? & 3. 12(1)(1)2(1) ()()(4)(2)(1)(4)(2) s s s G s c sI A B s s s s s --+-=-= =-++-+ 4. det()(4)(2)(1)sI A s s s -=-++，系统有一极点4，位于复平面的右部，故不是渐近稳定。 12(1) ()()(4)(2) s G s c sI A B s s --=-= -+，极点为4，-2，存在位于右半平面的极点，故系统不 是BIBO 稳定。 系统发散，不是李氏稳定。 5. 可以。令11228,12T k k k k A Bk k +???? =+=???????? 则特征方程[]2 112()det ()(2)28f s sI A Bk s k s k k =-+=-++-- 期望特征方程*2 ()(2)(3)56f s s s s s =++=++ 比较上两式求得：728T k -?? =??-?? 6. 可以。设12l L l ??=????，则11222821222l l A LC l l --?? -=? ?--?? 特征方程2 2121()(222)1628f s s l l s l l =+-++-- 期望特征方程*2 ()(4)(5)920f s s s s s =++=++ 比较得：103136L ???? =???????? 习题 已知下列负反馈的开环传递函数，应画零度根轨迹的是：(A) A *(2)(1)K s s s -+ B *(1)(5)K s s s -+ C *2(31)K s s s -+ D *(1)(2) K s s s -- 若两个系统的根轨迹相同，则有相同的：(A) A 闭环零点和极点 B 开环零点 C 闭环极点 D 阶跃响应 己知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 * ()()(6)(3)K G s H s s s s = ++ (1) 绘制系统的根轨迹图(*0K <<∞)； (2) 求系统临界稳定时的*K 值与系统的闭环极点。 解：系统有三个开环极点分别为10p =、23p =-、36p =-。 系统有3条根轨迹分支，分别起始于开环极点，并沿渐进线终止于无穷远。 实轴上的根轨迹区段为(],6-∞-、[]3,0-。 根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为 ()()36 33a σ-+-==-，() (0) 321 (1)3 (2)3 a k k k k π ?ππ ?=?+?===???-=? 求分离点方程为 111036 d d d ++=++ 经整理得2660d d ++=，解方程得到1 4.732d =-、2 1.268d =-。显然分离点位于实轴上 []3,0-间，故取2 1.268d =-。 求根轨迹与虚轴交点，系统闭环特征方程为 32*()9180D s s s s K =+++= 令j s ω=，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有 [][]2* 3 Re (j )(j )190 Im (j )(j )1180 G H K G H ωωωωωωω?+=-+=??+=-+=?? 解之得 *00K ω=??=? 、*162 K ω?=±??=?? 显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。根轨迹与虚轴的交点为s =±，对应的根轨迹增益*162K =为临界根轨迹增益。根轨迹与虚轴的交点为临界稳定的2个闭环极点，第 三个闭环极点可由根之和法则求得 1233036λλλλ--=++=+ 解之得39λ=-。即当*162K =时，闭环系统的3 个特征根分别为1λ= 、 2λ=-39λ=-。系统根轨迹如图所示。 1-1 证明：由矩阵 可知A 的特征多项式为 n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A I ++++++=+++++=+++=++=+= -+λλλλλλλλλλ λλλλλ λλλλ λλλλ1-3-32-21-11-3-31 22 -2-1-n 1 3-n 2-n 2 1 -1n 1 2-n 1-n 12-n 1-n n 1- )1(-)1(- 0 0 0 1- )1(-)1(- 0 0 0 1- 1 0 1- 0 0 0 1- 若i λ是A 的特征值，则 所以[] T i i 1-n i 2 1 λλλ 是属于i λ的特征向量。 1-7 解：由于()τ τ--t e t g =，，可知当τ 湘潭大学研究生考试试题 考试科目：线性系统理论/现代控制理论考生人数：20考试形式：闭卷 适用专业： 双控单控/电传 适用年级：一年级 试卷类型： A 类 一、给定多项式矩阵如下： 22121()1 2s s s s D s s s ?? ?????? ++++= ++ 1. 计算矩阵的行次数，判断系统是否行既约？ 2. 计算矩阵的列次数，判断系统是否列既约？ 3. 寻找单模矩阵，将多项式矩阵()D s 化为史密斯型。 二、设系统的传递函数矩阵为右MFD 1()()N s D s -，其中： 210 ()21s D s s s s ? ? ????? ? -= +-+，()11N s s s ???? =-+ 试判断{}(),()N s D s 是否右互质；如果不是右互质，试通过初等运算找出其最大右公因子。 三、给定()G s 的一个左MFD 为： 1 210 1 0()112 1s s G s s s s -? ? ?? ?????????? ? ? -+= +-+ 试判断这个MFD 是否是最小阶的；如果不是，求出其最小阶MFD 。 四、确定下列传递函数矩阵的一个不可简约左MFD ： 21 1 0()102 2s s s G s s s s s ????????? ? ?? += +++ 五、给定系统的传递函数矩阵为 22 3 (1)(2)(1)(2)()31(1)(2) (2)s s s s s s G s s s s s s ???? ?? ??????? ? +++++= +++++ 试计算出相应的评价值，并写出其史密斯--麦克米伦型。 六、给定传递函数矩阵如下： 2 2221156()1253 43s s s s s G s s s s s ???? ?? ??? ? ?? +-++= ++++ 试定出其零、极点，并计算出其结构指数。 七、给定系统的传递函数矩阵如下： 2 2211 154()14 3 712s s s s G s s s s s ???? ?? ??? ? ?? +-++= ++++ 试求出一个控制器型实现。 八、确定下列传递函数矩阵()G s 的一个不可简约的PMD 2 2 141()143 32s s s s G s s s s s ?? ?? ?? ??? ??? ++-= ++++ 九、给定系统的传递函数矩阵如下： 1 2 2 430 11()221 21s s s s G s s s s s -?????? ??????? ?? ? ++-+= +++ 试设计一个状态反馈K,使得状态反馈系数的极点为： 12λ*=-， 23λ*=-， 4,5 42j λ* =-±(完整word版)自控 根轨迹法习题及答案
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