MATLAB的根轨迹分析法及重点习题

4.1某系统的结构如题4-1图所示，试求单位阶跃响应的调节时间t s ，若要求t s =0.1秒，系统的反馈系数应调整为多少？

解:(1)由系统结构图可知系统闭环传递函数为:

100

()100()1001()()1001*G s s s G s H s s a

a s

Φ===

+++ 在单位阶跃函数作用下系统输出为：

12100

()()()(100)100k k C s R s s s s a s s a

=Φ=

=+++

为求系统单位阶跃响应，对C(s)进行拉斯反变换：

10

21001001001001

lim ()lim

1001001

lim (100)()lim 11

()(100)1

()(1)

s s s a

s a at k sC s s a a

k s a C s s a

C s as a s a c t e a

→→→-→--===

+=+==-

=-

+=-

根据定义调节时间等于响应曲线进入5%误差带，并保持在此误差带内所需要的最短时间，且根据响应系统单位阶跃响应的函数表达式可以看出系统单位阶跃响应的稳态值为

1

a

,因此: 10010011()(1)0.950.051

ln 20

1001

=0.1ln 20=0.3s 10

s s at s at s s c t e a a e t a a t --=

-=?=?==

因为题中，所以

(2)若要求t s =0.1秒,则有:

1

ln 20=0.1

100=0.3s t a

a =

? 即:若要求调节时间缩小为0.1秒,则需将反馈环节的反馈系数调整为0.3。

4.2已知二阶系统的阶跃响应曲线如题4.2图所示，该系统为单位负反馈系统，试确定其开环传递函数。

解：根据系统阶跃响应曲线可以看出： 峰值时间=0.1s p t ，超调量 1.3-1

%=

100%30%1

σ?=； 根据课本中对典型二阶系统222

()2n

n n

s s s ωζωωΦ=++暂态性能指标的推导计算可知：

%p t e σ-=

=结合本题已知阶跃响应曲线可知：

0.1(1)%30%

(2)

p t e σ-=

===

由式(2)可知：

0.3ln 0.30.3832

cot =0.3832

=arccot 0.3832=69.0332=cos =0.3578

e

ζ?ζ?ζ?-=?-=?=

=即：

将ζ带入式(1)中可得：

0.1

p n t ω=

=

回顾题意对于典型二阶系统其闭环传递函数为222

()2n

n n

s s s ωζωωΦ=++，且系统为单位负反馈系统，所以系统开环传递函数和闭环传递函数之间满足如下关系：

2222

2

22

2

2211

()()121211211131.8851

===224.0753n n n n

n n n n n G s s s s G s s G s s G G s s s s

ωζωζωωωζωωωζωΦ==Φ==+++++++++，因为：所以：，

4.3单位反馈控制系统开环传递函数为()(1)

K

G s s Ts =+,若116s =0.25s K T -=、,试求

(1)动态性能指标%(0.05)s t σ?=、.

(2)欲使%=16%σ,当T 不变时，K 应取何值。

解：(1)对于单位反馈控制系统，已知开环传递函数可求出其闭环传递函数，并将其化为标准形式为：

22()(1)()1()1(1)1180.25n n n K K

G s K s Ts T s K s K G s Ts s K s s Ts T T T T

ωζωζω+Φ====

+++++++=

==?==即：；22 所以根据动态性能指标的计算公式将上述两参数带入后可得：

0.251

1

ln( 1.5142%44.43%

s n t s e e ζωσ--=-

=-====

(2)由于T=0.25s,所以可知

: 1n n T ωζωζ==?=2将阻尼比带入超调量的计算公式中

:

%16%0.16ln 0.16

ln 0.16 3.9388

e e K σζπ--==?=?-==?=将阻尼比带入可得：

4.4设控制系统如题4-4图所示，其中图(a)为无速度反馈系统，图(b)为带速度反馈系统，试确定系统阻尼比为0.5时K t 的值，并比较图(a)和图(b)系统阶跃响应的动态性能指标。

解:(1)根据系统结构图可求得两系统的闭环传递函数为

:

2210

()101(1)

(),101()()1021(1)

10

()10(1)

(),

101()()1010

1(1)(1)

1+100.2162

2a n n b t t

t n t n G s s s s G s H s s s s s G s s s s G s H s s s K s K s s s K K ωζωωζω+Φ=====++++++Φ===+++++++===所以所以因此

(2)根据已经求得的两系统的阻尼比和无阻尼自然振荡角频率可分别计算两系统的动态性能指标

:

0.55351.0053%60.47%

1

ln( 6.0168ra pa a sa n

t s t s e t s

σζω-===

====-

=

0.76481.1471%16.3%

1

ln( 1.9827rb pb b sb n

t s t s e t s

σζω-===

====-

=

经对比可看出:采用速度反馈的b 系统虽然上升时间和峰值时间稍有延长,但超调量存在明显下降,系统振荡剧烈程度下降,另外调节时间也显著降低,即使说系统能够在较快的时间内达到稳定,系统动态性能得到了提高。

4.5某系统结构如题4-5图所示，试判断系统的稳定性。

解：根据系统结构图可利用梅森公式求解其传递函数，结构图中前向通道有一条，回路有两个，且两回路相关，因此有：

22

12

111

321010(+1)2010

1(2)1(1)(1)11011010()21101

s s s s s s s s

P s P s s s s s ?=--?-=+++++=?=?+Φ=

=?+++

因此可得系统特征方程为：

32211010s s s +++=

列写其劳斯表为：

321102112090

211

1

s s s

根据劳斯判据可知，劳斯表第一列系数符号均未发生变化，因此系统稳定。

4.6已知系统特征方程如下，用劳斯判据判断系统的稳定性，如不稳定求在s 右半平面的根数及虚根值。另外用MATLAB 软件直接求其特征跟加以验证。 (1)

54325432243122432480

112323244841601248

00480,1

48

s=2j

s s s s s s s s s s +++++=+=±2劳斯表中出现全零行，根据上一行数据列写辅助方程为12s 对其求导得到全零行的新系数为：24

0，求解辅助方程可得

通过分析劳斯表中第一列系数可知并没有符号变化，所以不存在位于s 右半平面的特征根，另外由于系统劳斯表中出现全零行,所以系统不稳定，存在对称于原点的根为s=2j ±

用MATLAB 软件中函数roots 求特征方程根可得，系统特征方程根为如下所示，进一步验证了上述求解结果的正确性。

(2)

543254321031220352501

12

35320251680(16)(80)0335250

00250,1

25

s=s s s s s s s s s s +++++=+=±2同时乘以非正系数3可简化计算

劳斯表中出现全零行，根据上一行数据列写辅助方程为5s 对其求导得到全零行的新系数为：100，求解辅助方程可得

通过分析劳斯表中第一列系数可知并没有符号变化，所以不存在位于s 右半平面的特征根，另外由于系统劳斯表中出现全零行,

所以系统不稳定，存在对称于原点的根为

s=±

用MATLAB 软件中函数roots 求特征方程根可得，系统特征方程根为如下所示，进一步验证了上述求解结果的正确性。

(3)

6543265432(-20)(10)244478100147104480

5510

000

5100,510

s=1

290110

s s s s s s s s s s s s s -+-+--+=------+=-±-4劳斯表中出现全零行，根据上一行数据列写辅助方程为-5s 对其求导得到全零行的新系数为：-20-10，求解辅助方程可得

通过分析劳斯表中第一列系数符号变化两次，所以有两个位于s 右半平面的特征根，另外由于系统劳斯表中出现全零行,

所以系统不稳定，存在对称于原点的根为

s=1±±

用MATLAB 软件中函数roots 求特征方程根可得，系统特征方程根为如下所示，进一步验证了上述求解结果的正确性。

(4)

65432(4)(6)212741340

134

000

340,

34

s=j,s=2

250314s s s s s s s ----------=-

-±±-

-4劳斯表中出现全零行，根据上一行数据列写辅助方程为s 对其求导得到全零行的新系数为：4-6，求解辅助方程可得

通过分析劳斯表中第一列系数符号变化1次，所以有1个位于s 右半平面的特征根，另外由于系统劳斯表中出现全零行,所以系统不稳定，存在对称于原点的根为

s=j,s=2±±

用MATLAB 软件中函数roots 求特征方程根可得，系统特征方程根为如下所示，进一步验证了上述求解结果的正确性。

4.7已知单位反馈系统的开环传递函数为2

(0.51)

()(+1)(0.51)

K s G s s s s s +=++，试确定系统稳定时的K 值范围。

解：根据已知单位反馈系统开环传递函数可知系统特征方程为：

4320.5 1.52(0.51)0s s s K s K +++++=，对系统列写劳斯表可得：

4320.521.50.51

00.5123

4.50.516(0.51)

1

s K

s K K s K

K s K K K

++-

+--+

欲使系统稳定则需满足：0.51

20103

K K +-

>?<

4.50.510556(0.51)

K

K K K +-

>?--<<-+-+

0K >

汇总得：05 1.708K <<-+=

4.8已知系统的特征方程为321340400s s s K +++=，试确定系统稳定时的K 值范围，若要求闭环系统极点均位于s=-1垂线之左，K 值该如何调整。 解：(1)对系统列写劳斯表为：

32140

13

40404013

140s s K K s K

-

欲使系统稳定则需满足：40400;40013

K

K -

>>，即：013K <<。 (2)将1s s =-带入系统原特征方程中得：

32321017402801

17

10402819.8414028

s s s K s s K s K K +++-=---

欲使系统稳定则需满足：19.840 4.95K K ->?<；402800.7K K ->?>；即0.7 4.95K <<

4.9已知系统稳定，求2

()1()2

t r t t t =++的系统稳态误差。

解：由系统结构图可知系统开环传递函数为:

12(1)

(1)

m m k k s s T s τ++，即系统为II 型系统；

系统的静态位置误差系数，静态速度误差系数和静态加速度误差系数分别为：

21111222000(1)(1)(1)lim

;lim ;lim (1)(1)(1)m m m p v a m s s s m

m m k k s k k s k k s K K s K s k k s T s s T s s T s τττ→→→+++==∞==∞==+++； 由此可知系统在单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位加速度信号作用下的稳态误差分别为：

111110;0;1ss ss ss p v a m

e e e K K K k k =

=====+，根据线性系统的叠加原理可得，在信号

r(t)作用下系统的稳态误差为：11

ss m

e k k =

4.10已知单位负反馈系统开环传递函数2

()(1)(0.51)

G s s s s =

++，求

2

()1()52

t r t t t =++作用下的稳态误差。

解：由于系统开环传递函数为: 2

()(1)(0.51)

G s s s s =

++，即系统为I 型系统；

系统的静态位置误差系数，静态速度误差系数和静态加速度误差系数分别为：

20

00222

lim

;lim 2;lim 0

(1)(0.51)(1)(0.51)(1)(0.51)

p v a s s s K K s K s s s s s s s s s s →→→==∞====++++++；

由此可知系统在单位阶跃信号、5t 信号和单位加速度信号作用下的稳态误差分别为：

1151

0;;12ss ss ss p v a

e e e K K K =

=====∞+，根据线性系统的叠加原理可得，在信号

r(t)作用下系统的稳态误差为：ss e =∞

4.11一直单位负反馈系统开环传递函数为2

8(1)

()(0.11)

s G s s s +=+，求2()1()r t t t t =++作用下的稳态误差。

解：由于系统开环传递函数为: 2

8(1)

()(0.11)

s G s s s +=

+，即系统为II 型系统；

系统的静态位置误差系数，静态速度误差系数和静态加速度误差系数分别为：

2

2220

008(1)8(1)8(1)lim

;lim ;lim 8(0.11)(0.11)(0.11)

p v a s s s s s s K K s K s s s s s s s →→→+++==∞==∞==+++； 由此可知系统在单位阶跃信号、单位斜坡信号和2t 作用下的稳态误差分别为：

112

0;0;0.251ss ss ss p v a

e e e K K K =

=====+，根据线性系统的叠加原理可得，在信号

r(t)作用下系统的稳态误差为：0.25ss e =

5.3基于MATLAB 的根轨迹分析法 5.3.1利用MATLAB 绘制根轨迹

利用伊凡斯给出的绘制根轨迹的基本规则，可以粗略地画出当系统某一参数变化时的根轨迹，但需要花费较多时间，且结果并不精确。而使用MATLAB 的相关指令，绘制较为精确的根轨迹就非常方便。

绘制根轨迹的常用指令为： rlocus(num,den); 或rlocus(num,den,K);

绘制例5-2给定单位负反馈控制系统的根轨迹图。 clc clear k=1;

z=[];

p=[0 -1 -2];

[num,den]=zp2tf(z,p,k);%将传递函数由零极点形式转换为多项式形式

rlocus(num,den);

V=[-3 2 -3 3 ];

axis(V);

title(‘root-locus plot of G(s)=K/s(s+1)(s+2)’);

xlabel(‘Re’);

ylabel(‘Im’);

返回的给定控制系统根轨迹图为：

-3

-2.5-2-1.5-1-0.500.51 1.52

-3-2

-1

1

2

3

root-locus plot of G(s)=K/s(s+1)(s+2)

Re

I m

对例5-3给定的自动控制系统绘制其根轨迹图。 clc clear

%k(s+1)/s(s+2)(s+3) k=1; z=[-1]; p=[0,-2,-3]; [n,d]=zp2tf(z,p,k);

rlocus(n,d)

执行本程序后可得给定系统根轨迹图为：

-3

-2.5-2-1.5-1-0.50

Root Locus

Real Axis

I m a g i n a r y A x i s

对例5-4所给定的自动控制系统绘制根轨迹图 clc clear

%k/s(s+3)(s^2+2s+2) g=tf(1,[conv([1,3],[1,2,2]) 0]); rlocus(g)

执行本程序后返回给定自动控制系统根轨迹图为：

-8

-6-4-2024

-5-4-3-2-101234

5Root Locus

Real Axis

I m a g i n a r y A x i s

对例5-5所示系统绘制根轨迹。 clc clear

G1=tf(1,[1 8]); G2=tf([1 1],[1 5 0]); H=tf(1,[1 2]); rlocus(G1*G2*H); V=[-10 2 -5 5]; axis(V);

grid on; xlabel(‘Re ’); ylabel(‘Im ’);

执行本程序后得到系统根轨迹为

-5-4-3-2-1

012345Root Locus

Re

I m

5.3.2基于根轨迹的系统性能分析

当做出控制系统根轨迹图之后，就可以根据根轨迹对系统进行定性的分析和定量的计算。因为系统的暂态性能和稳态性能与系统闭环极点位置密切相关，实际工程中对系统性能的要求往往可以转化为对闭环极点位置的要求。

1、分析1：在对系统的分析中，一般需要确定根轨迹上某一点的根轨迹增益及其对应的闭环极点。

2、分析2：在对系统的分析中，有时需要确定具有指定阻尼比的主导闭环极点及相对应的开环增益值。如下例所示：

clc

clear

n=[1];

d=[conv([1,1],[1,2]) 0];

kos=[0.5,0.707];

w=[0.5,1];

sgrid(kos,w);

hold on

rlocus(n,d);

[k,p]=rlocfind(n,d);

hold off

-6

-5

-4

-3

-2-10

1

2

-4-3

-2-10

1234

Root Locus

Real Axis

I m a g i n a r y A x i s

3、分析3