2.5 静电场的基本方程.分界面边界条件
2.5 静电场基本方程 分界面上的衔接条件
2.5.1 静电场的基本方程
总结静电场环量特性及闭合面通量特性，得到了反映静电场基本特性的方程
?=?l 0d l E （2.5.1） ?=?S q S D d （2.5.2）
0=??E （2.5.3）
ρ=??D （2.5.4）
称之为静电场的基本方程，方程（2.5.1）和（2.5.2）是基本方程的积分形式，它们从整体上以表明静电场的无旋性（守恒性）和静电场的有散性（有源性）这两个基本特征。方程（2.5.3）和（2.5.4）是以上两基本方程对应的微分形式，它们更为直接地描述静电场的无旋性和有散性的分布特性。
基本方程的微分形式显得更为重要。一方面，可以从散度和旋度角度描述静电场中各点场与源的关系；另一方面，在计算上反映静电场域空间各点场与源的变化情况。
从计算角度看：基本方程的积分形式适用于大范围的分析计算，它们在静电场的任何区域都成立；而微分形式适合于在同种介质中求解场量（指E 、D 、φ）的分布，在不同介质分界面上它不成立。由唯一性定理可知，散度和旋度再加上边界条件共同唯一地确定静电场，这边界条件还需要基本方程的积分来推求。
研究介质极化的影响，有
D = ε0
E + P （2.5.5a ）
D = ε E
（2.5.5b ）
方程（2.5.5a ）和（2.5.5b ）是联系D 、E 的媒质的构成方程，它们不是基本方程，但其重要性是不言而喻的。（2.5.5a ）对任何介质均成立，方程（2.5.5b ）只适用于各向同性线性介质。
2.5.2 介质分界面上的衔接条件
在不同介质的分界面上，可能存在极化电荷和自由电荷，它们使场量的大小和方向
都可能发生突变，导致了在不同介质的分界面上D 、E 不连续。在此处，静电场基本方程的微分形式不再适用，我们从基本方程的积分形式出发，导出介质的分界面衔接条件的出发点。分界面两侧为各向同性线性介质，介电系数分别为ε1和ε2，同时还需要规定分界面正法线方向：由介质1指向介质2，有n e 。 （1）E 应满足的介质分界面衔接条件
假设我们站在分界面上的某点P 处，可视分界面为无限大。分解场量E 为切向分量和法向分量。在P 点处跨分界面处作十分窄小的矩形闭合回路l ，与分界面平行的回路长边为?l ，在?l 上可认为E 不变，回路短边为?m ，它十分短 ?m →0。
取回路l 所围面积?S 的正方向为由屏幕穿出，其正法向单位矢量n 'e 。在ε2介质侧定义回路l 的循行方向，使?l
()l n n ??=?'e e l
由环路定律的积分形式
()()0d 1212=??-=?-?+
??=??l E E l E l E
l E l
()()012=?-??'l n n E E e e
()[]012=-??'E E e e n n
()012=-?E E e n （2.5.6）
得E 应满足的介质分界面衔接条件。
上式的标量式
t t E E 21= （2.5.7）
它表明，在不同介质分界面上，电场强度的切向分量总是连续的。 （2）D 应满足的介质分界面衔接条件
分界面上E 的衔接条件
E 1t
t
E E
在分界面上包围P 点作一很小的扁圆柱，它的上下底面?S 与分界面平行，且?S 很小，可认为在?S 上D 近似不变；扁圆柱的高?h 十分小，可视?h →0。对于这个小闭合面，应用高斯定律
()S D S D S D ?-?+??=??12d S
S n ?-?=)(12D D e
h S S ??+?=ρσ
当?h →0时，体电荷的贡献为零，有
σ=-?)(12D D e n （2.5.8）
得D 应满足的介质分界面衔接条件。该式量值为
σ=-n n D D 12 （2.5.9）
这说明介质分界面上存在有自由面电荷时，介质分界面两侧的电位移矢量不连续。 （3）静电场的折射定律
在介质分界面上若 0=σ，两侧的各向同性线性介质中有111E D ε=、222E D ε=，入射角11βα=，折射角22βα=，则E 、D 的分界面衔接条件可写成
2211sin sin ααE E =
222111cos
cos ααE εE ε= 两式相除得
2
121tg tg εε
=αα （2.5.10）
称为静电场的折射定律。
2.5.3电位表示的介质分界面衔接条件
用电位进行计算，需要用到由它表示的分界面衔接条件。对于两种不同介质的分界面上，由分界面衔接条件t t E E 21=和?-?=E ，得
D 2t
D 1t
分界面上D 的衔接条件
t t e e ?-?=??-21??
t
t ??-=??-21??
等式两端分别对t 积分，得
C +=21??
其中C 为积分常数。设1?和2?分别是分界面两侧的对应两点A 、B 的电位，而A 、B 两点非常靠近（距离d AB →0），考虑到电场强度为有限值，分界面两侧相距离无限小的A 、B 两点间的电位差应等于零，所以积分常数C 为零，得
21??= （2.5.11）
再由σ=-n n D D 12，得
σ??=??-??n
εn ε22
11 （2.5.12） 上两式即为电位表示的介质分界面衔接条件。
2.5.4 导体与介质相界面的情况
设与导体相界的是媒质2，分界面正方向由导体指向介质。由分界面衔接条件
()012=-?E E e n
σ=-?)(12D D e n
并考虑导体中没有电场，应有 021==t t E E ，n n D e D 22=，于是在紧靠导体侧的介质表面上有
02=?E e n （2.5.13） σ=?2D e n （2.5.14）
称为介质的边界条件。根据（2.5.14）式可计算出导体表面的自由电荷面密度。
若用电位来表述这种边界条件，有
21??=（=导体的电位） （2.5.15） σ?ε-=??n
2
2
（2.5.16）
2.5.5 计算举例
例1： 图1所示平板电容器，已知d 1、d 2、ε1和ε2，极板间电压0U ，试求出其中的电场强度和电位的分布。
解: 平板电容器板间距离远小于平板尺寸，可认为极板为无限大，忽略边沿效应。如图1中所示，两种电介质均为各向同性线性均匀介质，同种介质电场均匀，E 、D 沿x 轴方向，与介质分界面垂直。在分界面上无自由电荷，按衔接条件，应有电位移D 相等，故
??
?=+=0
22112
211U d E d E E εE ε 求得
x U d εd εεe E 012212
1+=
x U d εd εεe E 01
22112+=
取右极板处为电位参考点，在第二种介质中
()()x d d d d U x x d d x
x -++=
?=?+211
2210
1222
1d εεε?e E
在第一种介质中
()??+?+?=2
11
1d d 211d d d
x d x x x x x e E e E ?
()[]21121
2210
d x d d d U εεεε+-+=
图1
例2：图2所示平板电容器，已知S 1、S 2、1ε和2ε，两极板上的总电荷分别为0q +和0q -，试求出其中的电场强度。
对图2所示情况，由分界面衔接条件知，两种电介质中的电场强度E 相等
2211E E E E t t ===，而电位移D 不相等，使得每个极板上面积S 1和S 2两部分电荷密度不相等，设它们分别是1σ和2σ，应有
22221111E E x x εσεσ=?==?=D e ,
D e
由介质分界面条件和极板上的总电荷0q +
??
?=+=0
22112
211q S S εεσσσσ// 解得
02
2111
1q S εS εε+=σ
02
2112
2q S εS εε+=
σ 电场强度为
x x x q S εS εεεD e e e E E 02
2111111
211
+====σ
作业：补充题1-6
图2
+q 0
-q 0
S 1 S o
电磁场的边界条件
1)麦克斯韦方程组可以应用于任何连续的介质内部。 2)在两种介质界面上，介质性质有突变，电磁场也会突变。 3)分界面两边按照某种规律突变，称这种突变关系为电磁场的边值关系或边界条件。 4)推导边界条件的依据是麦克斯韦方程组的积分形式。 一、边界条件的一般形式 1、B 的边界条件: 2、D 的边界条件 结论：电位移矢量 在不同媒质分界面两侧的法向分量不连续，其差值等于分界面上自由电荷面密度。 3. H 的边界条件 h ?→S ?n -n 2 μ 1μ 2 B 1B n 11220 B dS B dS ??+?=120 B n B n ??-?=210 lim S h D H l H l J sl slh t →???-?=?-??2t t S H H J ?-=12()S n H H J ??-=21,S H l H l J s l n s ??-?=?=?()C s D H dl J dS t ?=+??? 2 μ1μ2H n 1H h ?→l s 12()S n H H J ?-=12()D D n σ -?=? 2ε 1ε 2 D 1 D n 0 h ?→S ?n -n 12n n D D σ ?-=0S B dS ?=? 12()0 n B B ?-=21n n B B ?=S D dS q =?? ? ?
式中： S J 为介质分界面上的自由电流面密度。 结论：磁场强度 D 在不同媒质分界面两侧的切向分量不连续，其差值等于分界面上的电流面密度S J 4.E 的边界条件 结论：电场强度E 在不同每只分界面两侧的切向分量连续。 二、理想介质是指电导率为零的媒质，0=γ 2)在理想介质内部和表面上，不存在自由电荷和自由电流。 结论：在理想介质分界面上，E 、H 矢量切向连续； 在理想介质分界面上，B 、D 矢量法向连续。 三、理想导体表面上的边界条件 1)理想介质是指电导率为无穷大的导体， 12t t E E ?=12()0 n E E ??-= 2ε 1 ε 2 E n 1E 2 θ 1θ 0h ?→l s l S B E dl d S t ??=-??? ?12()0 n E E ?-=?12t t E E =0 s J =0 ρ=12t t H H =? 12n n D D =12()0 n D D ?-=?12()0 n B B ?-=12n n B B =?12()0n H H ?-=
2.5 静电场的基本方程.分界面边界条件
2.5 静电场基本方程 分界面上的衔接条件 2.5.1 静电场的基本方程 总结静电场环量特性及闭合面通量特性，得到了反映静电场基本特性的方程 ?=?l 0d l E （2.5.1） ?=?S q S D d （2.5.2） 0=??E （2.5.3） ρ=??D （2.5.4） 称之为静电场的基本方程，方程（2.5.1）和（2.5.2）是基本方程的积分形式，它们从整体上以表明静电场的无旋性（守恒性）和静电场的有散性（有源性）这两个基本特征。方程（2.5.3）和（2.5.4）是以上两基本方程对应的微分形式，它们更为直接地描述静电场的无旋性和有散性的分布特性。 基本方程的微分形式显得更为重要。一方面，可以从散度和旋度角度描述静电场中各点场与源的关系；另一方面，在计算上反映静电场域空间各点场与源的变化情况。 从计算角度看：基本方程的积分形式适用于大范围的分析计算，它们在静电场的任何区域都成立；而微分形式适合于在同种介质中求解场量（指E 、D 、φ）的分布，在不同介质分界面上它不成立。由唯一性定理可知，散度和旋度再加上边界条件共同唯一地确定静电场，这边界条件还需要基本方程的积分来推求。 研究介质极化的影响，有 D = ε0 E + P （2.5.5a ） D = ε E （2.5.5b ） 方程（2.5.5a ）和（2.5.5b ）是联系D 、E 的媒质的构成方程，它们不是基本方程，但其重要性是不言而喻的。（2.5.5a ）对任何介质均成立，方程（2.5.5b ）只适用于各向同性线性介质。 2.5.2 介质分界面上的衔接条件 在不同介质的分界面上，可能存在极化电荷和自由电荷，它们使场量的大小和方向
第三章静电场边值问题
第三章 静电场边值问题 在上一章中，我们已经知道了几种从电荷分布求静电场的问题。一种是直接积分式(2-2-1)求得已知电荷分布情况下的电场；另一种是利用式(2-2-4)高斯定理求解某些具有对称性电荷分布的静电场问题；再一种就是由式(2-2-10)求出静电势，再利用关系式?=-?E 求出电场，这些问题一般都不存在边界。然而，对于许多实际静电问题，电荷的分布是复杂的，计算积分很困难，甚至是不能积分，有些静电问题只给出了边界上的面电荷或电势。在这种情况下，需有其它有效的方法求解静电问题，这种方法就是求解静电势所满足的偏微分方程。这偏微分方程就是由式(2-2-10)给出的方程： 20 ρ ?ε?=- 因此，对于有边界存在的情况下，我们不得不求解给定边界条件下静电势微分方程，然后求出静电场，这一问题称为静电场边值问题。即求出满足给定边界条件的泊松方程的解。 在这一章中，我们首先介绍静电唯一性定理，它是解决静电场边值问题的基础。基于静电唯一性定理，我们主要介绍两种求解静电场边值问题的方法：电像法和分离变量法。当然，求解边值问题还有其它的方法。 值得一提的是，本章所介绍的方法不仅仅适用于静电场，它同样适用于静磁场和时变电磁场。 3-1 静电唯一性定理 我们将证明，如果我们得到了满足给定边界条件的泊松方程的解，那么，这个解是唯一的。这就是静电唯一性定理。下面我们证明这一定理并初步介绍它的应用。 在由边界面s 包围的求解区域V 内，若： 1) 区域V 内的电荷分布给定； 2) 在边界面s 上各点，给定了电势s ?，或给定了电势法向偏导数s n ? ??， 则V 内的电势唯一确定。 以上的表述就是静电唯一性定理。下面，我们用反证法证明静电唯一性定理。 证: 假定在区域V 内的电荷密度分布为ρ(r )，且有两个不同的解φ1和φ2满足泊松方程及给定边界条件(给定的电势值s ?或电势法向偏导数 s n ? ??)。即：
电磁场的边界条件(一)
3.5 电磁场的边界条件（一） 1.电场法向分量的边界条件 2.电场切向分量的边界条件 3.标量电位的边界条件
决定分界面两侧电磁场变化关系的方程称为边界条件。1. 电场法向分量的边界条件 如图所示，在柱形闭合面上应用电场的高斯定律 1122??d S S D S n D S n D S S ρ?=??+??=?? 故：1122??S n D n D ρ?+?=若规定 ?n 为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ为正方向，则1??n n =2??n n =-12?()S n D D ρ?-=1n 2n S D D ρ-=因为：D E ε=11n 22n S E E εερ-=
2. 电场切向分量的边界条件 在两种媒质分界面上取一小的矩形闭合回路abcd ,在此回路上应用法拉第电磁 感应定律d d l S B E l S t ??=-??? ? 因为： 1t 2t d l E l E l E l ?=?-??d 0S B B S l h t t ??-?=-??=???故： 1t 2t E E =12?()0n E E ?-=该式表明，在分界面上电场强度的切向分量总是连续的。或1t 2t 1 2 D D εε= 因为：D E ε=若媒质Ⅱ为理想导体时：1t 0 E =理想导体表面没有切向电场。
3. 标量电位的边界条件 在两种媒质分界面上取两点，分别为A 和B ，如图，从标量电位的物理意义出发 1n 2n d 22 B A B A h h E l E E φφ??-=?=+?0 A B φφ-=A B φφ=12S S φφ=该式表明：在两种媒质分界面处， 标量电位是连续的。 E φ =-?21 21S S S n n φφεερ??-=??故： 因为：1n 2n S D D ρ-=在理想导体表面上： S C φ=（常数） h ?=因：
第八讲：麦克斯韦方程组、电磁场的边界条件-10页word资料
2.6 麦克斯韦方程组 2.7电磁场的边值关系 1、了解麦克斯韦方程组的建立过程，掌握它的基本性质； 2、了解边界上场不连续的原因，能导出电磁场的边值关系； 3、掌握电磁场方程微分形式和边界形式的联系与区别。 重点：1)麦克斯韦方程组的基本性质; 2) 电磁场的边值关系 难点： 电磁场切向边值关系的推导 讲授法、讨论 2学时 2.6 麦克斯韦方程组（Maxwell ’s Equations ） 一、麦克斯韦方程 1865年发表了关于电磁场的第三篇论文：《电磁场的动力学理论》，在这篇论文 中，麦克斯韦提出了电磁场的普遍方程组，共20个方程，包括20个变量。直到1890 年，赫兹才给出简化的对称形式： 0000 1 (1)(2) 0(3) (4) B E E t E B B J t ρ εμμε????=??=- ??? ?????=??=+??? r r r r r r r 实验定律 3、法拉第电磁感应定律 4、电荷守恒定律 123 14dq dq dF R R πε=r r S D dS q ?=?r r ?0 l E dl ?=?r r ?34JdV R dB R μπ?= r r r 0 S B dS ?=?r r ?( )0 =??B ρ C H dl I ?=?r r ?( ) J H ρρ=??t B E ??- =??ρρ0=??+??t J ρρ0 J ??≡r 对矛盾的解决 麦克斯韦理论 稳恒况 缓变情况 2、毕奥－沙伐尔定律 1、库仑定律 ( ) /ερ=??E ρ () =??E ρt S d B dt d S ????- =Φ -=ρρε0S Q J dS t ??+=??r r ?→
第3讲：准静电场和准静磁场及其边界条件
6.641 电磁场、电磁力和电磁运动 Markus Zahn 教授 第3讲：准静电场和准静磁场及其边界条件 I. 准静电场的条件 A. 大小评价系数 [ 特征长度L ，特征时间τ ] 图3.3.1 包含一个典型长度的模型系统，（a）电动势源驱动一对半径和间距均为L量级的理想导体球的EQS系统。 Hermann A. Haus 和 James R. Melcher赠送，经过允许。 E L E E L ρρρεεε??=?=?= 2E H E EL L H H t L εερ ετττ??×=?=?==? 2 3 2E H H L E E t L L μμρμρμτττ??×=??==?=?误差误差 ( ) 3 222 2;E L L L C E L C μρμρετρττ====误差 11E L E C τ <
0Z Z V E i E i d == 000su E Z d E Z εσε?=?=?+=? 2 02022su su r r d d b b K b b K dt dt dt dE σσππε+=?=?=? ()20 022c S dE dE r H ds E da H r r H t dt φφεππε??=??=?=?∫∫ dt ε da t H ds E S c ????=?∫∫μ 图3.3.3 表示包含下方平板的体积和平板末梢处的径向面电流密度的图3.3.2平行板。 Hermann A. Haus 和 James R. Melcher赠送，经过允许。 图3.3.4 表示用于计算修正电场的表面和周线的图3.3.2所示子系统的截面。 Hermann A. Haus 和 James R. Melcher赠送，经过允许。 ()()[]() 2 22220242dt E d r b d dt E d d r d r d r E b E b r Z Z ?=′′+=?∫μεμε ()()22 20 02 4Z d E E r E r b dt εμ=+ ? 如果 ()0cos E t A t ω= ()()22 22 220 2 00144 E d E b r w b r E E dt εμεμ= ?=误差? 22 114 E b E ωεμ<