(完整版)离散数学及其应用(课后习题)

习题1.1

2. 指出下列命题是原子命题还是复合命题。 （3）大雁北回，春天来了。

（4）不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。 （5）张三和李四在吵架。 解：（3）和（4）是复合命题，（5）是原子命题。

习题1.2

1. 指出下列命题的真值：

（1）若224+>，则太阳从西方升起。 解：该命题真值为T （因为命题的前件为假）。 （3）胎生动物当且仅当是哺乳动物。

解：该命题真值为F （如鸭嘴兽虽是哺乳动物，但不是胎生动物）。

2. 令P ：天气好。Q ：我去公园。请将下列命题符号化。 （2）只要天气好，我就去公园。 （3）只有天气好，我才去公园。 （6）天气好，我去公园。 解：（2）P Q →。 （3）Q P →。 （6）P Q ?。

习题1.3

2. 将下列命题符号化（句中括号内提示的是相应的原子命题的符号表示）： （1）我去新华书店（P ），仅当我有时间（Q ）。 （3）只要努力学习（P ），成绩就会好的（Q ）。 （6）我今天进城（P ），除非下雨（Q ）。 （10）人不犯我（P ），我不犯人（Q ）；人若犯我，我必犯人。 解：（1）P Q →。 （3）P Q →。 （6）Q P ?→。

（10）()()P Q P Q ?→?∧→。

习题1.4

1. 写出下列公式的真值表： （2）()P Q R ∨→。

解：该公式的真值表如下表：

2. 证明下列等价公式：

（2）()()()P Q P Q P Q ∨∧?∧???。 证明：

()(()()) ()()) ()() ()()

P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q ????∧∨?∧???∧∧??∧???∧∧∨?∨∧?∧

（4）()()()P Q P R P Q R →∧→?→∧。 证明：

()()()() () ()

P Q P R P Q P R P Q R P Q R →∧→??∨∧?∨??∨∧?→∧

3. 甲、乙、丙、丁4人参加考试后，有人问他们谁的成绩最好，甲说，不是我。乙说：是丁。丙说：是乙。丁说：不是我。已知4个人的回答只有一个人符合实际，问成绩最好的是谁？

解：设A ：甲成绩最好。B ：乙成绩最好。C ：丙成绩最好。D ：丁成绩最好。 四个人所说的命题分别用P Q R S 、、、表示，则

P A ??；Q A B C D ??∧?∧?∧；R A B C D ??∧∧?∧?；S D ??。

则只有一人符合实际的命题K 符号化为

()()()()

K P Q R S P Q R S P Q R S P Q R S ?∧?∧?∧?∨?∧∧?∧?∨?∧?∧∧?∨?∧?∧?∧

()() ()() ()()()

()(P Q R S A A B C D A B C D D A A B C D A B C D D A D A B C D A B C D A B C D ∧?∧?∧???∧??∧?∧?∧∧??∧∧?∧?∧??∧∨∨∨?∧∨?∨∨∧??∧∧∨∨∨?∧∨?∨∨??∧∧∧∨?)()() 0;

A B D A B C D A C D ∧∧∨?∧?∧∧∨?∧∧?同理，

()0;P Q R S A A B C D A B C D D ?∧∧?∧??∧?∧?∧?∧∧??∧∧?∧?∧?

()0;P Q R S A A B C D A B C D D ?∧?∧∧??∧??∧?∧?∧∧?∧∧?∧?∧? ()() ()() .

P Q R S A A B C D A B C D D

A A

B

C

D A B C D D A D ?∧?∧?∧?∧??∧?∧?∧∧??∧∧?∧?∧??∧∨∨∨?∧∨?∨∨∧??∧? 所以，当K 为真时，A D ∧?为真，即甲的成绩最好。

习题1.5

2. 证明下列各蕴含式：

（3）()()()P Q R P Q P R →→?→→→。 证明：

方法一：真值表法（列出命题公式(())(()())P Q R P Q P R →→→→→→的真值表）。

方法二：等值演算法

(())(()())(())(()())(())()()()()()

()(()())()()

()()()1.

P Q R P Q P R P Q R P Q P R P Q R P Q P R P Q R P Q P R P Q R P P R Q P R P Q R Q P R P Q P R Q Q P R R Q P R →→→→→→??→→∨→→→???∨?∨∨??∨∨?∨?∧∧?∨∧?∨?∨?∧∧?∨∨?∨∧?∨?∨?∧∧?∨?∨?∨?∨?∨?∨∨∨?∨?∨∨?∨?∨?∨?

方法三：分析法

（1）直接分析法：若前件()P Q R →→为真，分两种情况：

（I ）P 为假，则P Q →为真，P R →为真，()()P Q P R →→→为真。

（II ）P 为真，则Q R →为真，此时若Q 为真，则R 为真，则P Q →为真，P R →为

真，()()P Q P R →→→为真；若Q 为假，则P R →为假，()()P Q P R →→→为真。

综上，若前件为真，后件必为真，故该蕴含式成立。

(2）间接分析法：若后件()()P Q P R →→→为假，则P Q →为真，P R →为假。由

P R →为假可知，P 为真，R 为假。再由P Q →可知，Q 为真。此时Q R →为假，

()P Q R →→为假，即前件为假。故蕴含式成立。

5. 叙述下列各个命题的逆换式和逆反式，并以符号写出。 （1）如果下雨，我不去。 解：设P ：天下雨。Q ：我去。

逆换式：如果我不去，天就下雨。符号表示为Q P ?→。 逆反式：如果我去，天就不下雨。符号表示为Q P →?。 （2）仅当你走我将留下。 解：设P ：我留下。Q ：你走。

逆换式：如果你走，我就留下。符号表示为：Q P →。 逆反式：如果你不走，我就不留下。符号表示为：Q P ?→?。

2. 将下列命题公式用只含∨和?的等价式表达，并要求尽可能简单。 （1）().P Q P ∧∧?

解： ()()P Q P P P Q ∧∧??∧?∧00.Q ?∧? （2）(()).P Q R P Q →∨?∧?∧

解： (())(())P Q R P Q P Q R P Q →∨?∧?∧??∨∨?∧?∧

()()()()P Q R P Q P P Q P Q Q P Q R ??∨∨?∧?∧??∧?∧∨?∧∧∨?∧∧? ()()()()()P Q P Q P Q R P Q P Q R ??∧∨?∧∨?∧∧???∧∨?∧∧? ()()P Q P Q R P Q ??∧∨?∧∧???∧ ().P Q ??∨?

（3）().P Q R P ?∧?∧?→

解： ()()P Q R P P Q R P ?∧?∧?→??∧?∧∨

()()()0P Q R P Q P P Q R ??∧?∧∨?∧?∧??∧?∧∨ ().P Q R P Q R ??∧?∧??∨∨?

习题1.7

6．求下列命题公式的主析取范式和主合取范式： （1）(()).P Q R P ∨→→

解： (())(())P Q R P P Q R P ∨→→???∨∨∨

(())()()()()P Q R P P Q P P R P Q P R ?∨∧?∨?∨∨∧∨??∨∧∨? (())(())P Q R R P Q Q R ?∨∨∧?∧∨∧?∨?

()()()()P Q R P Q R P Q R P Q R ?∨∨∧∨∨?∧∨∨?∧∨?∨? ()()()P Q R P Q R P Q R ?∨∨∧∨∨?∧∨?∨? 013M M M ?∧∧（主合取范式）

24567.m m m m m ?∨∨∨∨（主析取范式）

1. 证明()()().P Q P R R S S Q ?∨?∧?→∧→??→? 证明： （1）S P （附加前提） （2）R S →? P

（3）S R →? T （2）E （4）R ? T （1）（3）I （5）P R ?→ P

（6）R P ?→ T （5）E （7）P T （4）（6）I （8）P Q ?∨? P

（9）Q ? T （7）（8）I （10）S Q →? CP

2．用间接证法证明()P Q R →?→，Q P →?，S R →?，.P S ?? 证明： （1）S P （附加前提） （2）S R →? P （3）R ? T （1）（2）I （4）P P (5) ()P Q R →?→ P (6)Q R ?→ T(4)((5)I (7)Q T(3)(6)I (8) Q P →? P

(9)P ? T(7)(8)I (10)P P ∧?(矛盾式) T(4)(9)I

由（10）得出了矛盾，根据归谬法说明原推理正确。

5.“如果下雨，春游就会改期；如果没有球赛，春游就不会改期。结果没有球赛，所以没有下雨。”证明上述论断正确。

解：设P ：下雨。Q ：有球赛。R ：春游改期。则上述论断转化为要证明P R →，Q R ?→?，Q ?.P ??

证： （1）Q ? P （2）Q R ?→? P

（3）R ? T （1）（2）I （4）P R → P

（5）P ? T （3）（4）I 因此，上述推理正确。

7. 证明R S ∨是前提C D ∨，C R →，D S →的有效结论。 证明： （1）C D ∨ P

（2）C D ?→ T （1）E （3）D S → P

（4）C S ?→ T （2）（3）I （5）C R → P

（6）R C ?→? T （5）E （7）R S ?→ T （4）（6）I （8）R S ∨ T （7）E

习题2.1

用谓词表达式写出下列命题： （5）每个有理数是实数。

解：(()())x Q x R x ?→，其中()Q x ：x 是有理数。()R x ：x 是实数。

（6）有的函数连续。

解：(()())x F x C x ?∧，其中()F x ：x 是函数。()C x ：x 连续。

习题2.2

2. 将下列命题符号化： （3）没有人登上过木星。

解：设()M x ：x 是人。()A x ：x 登上过木星。则命题可表示为()()()().x M x A x ??∧

3. 符号化下列命题：

（2）尽管有人聪明，但未必一切人都聪明。

解：设()M x ：x 是人。()C x ：x 聪明。则命题可表示为 (()())(()()).x M x C x x M x C x ?∧∧??→

习题2.3

2. 对下列谓词公式中约束变元进行换名： （1）((,)())(,)x y P x z Q y S x y ??→?

（2）((()(()()))())(,)x P x R x Q x xR x zS x z ?→∨∧?→?

解：（1）((,)())(,)u v P u z Q v S x y ??→?

（2）((()(()()))())(,)u P u R u Q u vR v zS x z ?→∨∧?→?

3. 对下列谓词公式中自由变元进行代入：

（1）((,)(,))(,,)yA x y xB x z x zC x y z ?→?∧?? （2）((,)(,))(,)yP x y zQ x z xR x y ?∧?∨?

解：（1）((,)(,))(,,)yA s y xB x w x zC x t z ?→?∧?? （2）((,)(,))(,)yP s y zQ s z xR x t ?∧?∨?

习题2.4

3. 证明下列等价式：

（1）(()())(()()).x P x Q x x P x Q x ??∧??→? 证明：(()())x P x Q x ??∧ (()())x P x Q x ???∧ (()())x P x Q x ???∨? (()())x P x Q x ??→?

（2）(()())(()()).x P x Q x x P x Q x ??→??∧? 证明：(()())x P x Q x ??→ (()())x P x Q x ???→ (()())x P x Q x ????∨ (()())x P x Q x ??∧?

习题2.5

求下列谓词公式的前束析取范式和前束合取范式： （1）()()()().x P x x Q x ?→? 解：()()()()x P x x Q x ?→?

()()()()x P x x Q x ???∨? ()()()()x P x x Q x ???∨?

()(()())x P x Q x ???∨ （前束析取范式、前束合取范式）

（2）()()(()((,)(,))()(,,)).x y z P x z P y z u Q x y u ???∧∨? 证明：()()(()((,)(,))()(,,))x y z P x z P y z u Q x y u ???∧∨?

()()()(((,)(,))()(,,))x y z P x z P y z u Q x y u ????∧∨? （辖域扩张）

()()()()(((,)(,))(,,))x y z u P x z P y z Q x y u ?????∧∨ （辖域扩张）

（前束析取范式） ()()()()(((,)(,,))((,)(,,)))x y z u P x z Q x y u P y z Q x y u ?????∨∧∨ （前束合取范式）

习题2.6

1. 证明下列各式。

（2）(()()), (()()), ()().x A x B x x B x C x xC x xA x ?∨?→???? 证明：（1）()xC x ? P （2）()C a US （1） （3）(()())x B x C x ?→? P （4）()()B a C a →? US （3） （5）()B a ? T(2)(4)I （6）(()())x A x B x ?∨ P （7）()()A a B a ∨ US （6） （8）()A a T （5）（7）I （9）()xA x ? UG （8）

2. 符号化下列命题并推证其结论。

（3）所有有理数是实数，某些有理数是整数，因此，某些实数是整数。

解：设()Q x ：x 是有理数。()R x ：x 是实数。()Z x ：x 是整数。则命题可符号化为：

(()())x Q x R x ?→，(()())x Q x Z x ?∧(()())x R x Z x ??∧。

证明如下：

（1）(()())x Q x Z x ?∧ P （2）()()Q c Z c ∧ ES （1） （3）(()())x Q x R x ?→ P （4）()()Q c R c → US （3） （5）()Q c T （2）I （6）()R c T （4）（5）I （7）()Z c T （2）I （8）()()R c Z c ∧ T （6）（7）I （9）(()())x R x Z x ?∧ EG （8）

（4）每个大学生不是文科生就是理科生，有的大学生是优等生，小张不是理科生，但他是优等生，因此如果小张是大学生，他就是文科生。

解：设()S x ：x 是大学生。()A x ：x 是文科生。()B x ：x 是理科生。()C x ：x 是优等生。a ：小张。该命题可符号化为：

(()()())x S x A x B x ?→∨，(()())x S x C x ?∧，()B a ?，()C a ?()()S a A a →。

证明如下：

（1）(()()())x S x A x B x ?→∨ P （2）()()()S a A a B a →∨ US （3） （3）()S a 附加前提 （6）()()A a B a ∨ T （4）（5）I （7）()B a ? P

（8）()A a T （6）（7）I （9）()()S a A a → CP

习题3.1

3. 确定下列命题是真还是假，并简要说明为什么。

（1）??? （2）?∈? （3）{}?∈? （4）{}??? 解：（1）该命题为真，因为?是任何集合的子集。 （2）该命题为假，因为?不包含任何元素。 （3）该命题为真，因为?属于集合{}?。 （4）该命题为真，因为?是任何集合的子集。

6. 求下列集合的幂集：

（2）{1,}? （3）{,{}}?? 解：（2）该集合的幂集为{,{1},{},{1,}}???。 （3）该集合的幂集为{,{},{{}},{,{}}}?????

习题3.2

6. 证明下列等式：

（4）()()()A B C A B A C --=-??。 证明：()A B C --=()A B C -?=()A B C ??

=()A B C ??=()()A B A C ???=()()A B A C -?? 因此，()()()A B C A B A C --=-??。

（5）()()()A B C A B A C -?=-?-。

证明：()A B C -?=()A B C ??=()A B C ?? =()()A B A C ???=()()A B A C -?-。 因此，()()()A B C A B A C -?=-?-。

（8）()()()()A B A C A C A B ???=???。 证明：()()A B A C ???

=(())(())A B A A B C ?????

()()()()A A A B A C B C =??????? ()()()A B A C B C =?????

()()[()()]A C A B B C A A =??????? ()()()()A C A B B C A B C A =????????? [()()][()()]A C A B C A B A B C =????????? ()()A C A B =???

因此，()()()()A B A C A C A B ???=???。

习题3.4

3. 下列等式能否成立？

（3）()()()B C A B A C A ??=???。 解：该等式成立。证明如下：

设,()x y B C A <>∈??x B C y A ?∈?∧∈ x B x C y A ?∈∧∈∧∈

()()x B y A x C y A ?∈∧∈∧∈∧∈ ,,x y B A x y C A ?<>∈?∧<>∈? ,()()x y B A C A ?<>∈??? 因此，()()()B C A B A C A ??=???。

（4）()()()B C A B A C A ??=???。 解：该等式成立。证明如下：

设,()x y B C A <>∈??x B C y A ?∈?∧∈ ()x B x C y A ?∈∨∈∧∈

()()x B y A x C y A ?∈∧∈∨∈∧∈ ,,x y B A x y C A ?<>∈?∨<>∈?

,()()x y B A C A ?<>∈??? 因此，()()()B C A B A C A ??=???。

习题3.5

1. 对于下列各种情况，用列举法求出X 到Y 的关系S 、dom S 、ran S ，画出S 的关系图，写出S 的关系矩阵。

（1）{0,1,2}X =，{0,2,4}Y =，{,|,}S x y x y X Y =<>∈?。 解：{0,0,0,2,2,0,2,2}S =<><><><>， dom {0,2}S =，ran {0,2}S =。 关系图如下：

关系矩阵为

110000110S M ?? ?= ?

???

。

习题3.6

5. 设{,,,}X a b c d =，X 上的关系R 的关系矩阵如下，试问R 是不是自反的、反自反的、对称的、反对称的和传递的？

（1）0101000010010100?? ? ? ?

??? （4）

1

011010110111111??

?

?

?

?

??

解：（1）R 是反自反的、反对称的、非传递的。因为12311,1,r r ==但320r =。 （2）R 是自反的、对称的、非传递的。因为34421,1,r r ==但320r =。

1

2

2

4

5. （1）设{,,}X a b c =，X 上关系R 的关系矩阵是

101110111R M ?? ?

= ? ???

试求出R R M o 、R R R M o o 。

解：101101111110110111111111111R R

M ??????

? ? ?== ? ? ? ? ? ???????

o o ， 111101111111110111111111111R R R

M ?????? ? ? ?== ? ? ? ? ? ???????

o o o 。

习题3.9

4. 设{1,2,3,4,5}X =，试根据以下X 的划分求X 上相应的等价关系，并画出关系图。 （3）{{1},{2},{3,4,5}} 解：1{1}{1}{1,1}R =?=<>

2{2}{2}{2,2}R =?=<>

3{3,4,5}{3,4,5}{3,3,3,4,3,5,4,3,4,4,4,5, 5,3,5,4,5,5}

R =?=<><><><><><><><><>

123{1,1,2,2,3,3,3,4,3,5,4,3, 4,4,4,5,5,3,5,4,5,5}

R R R R =??=<><><><><><><><><><><>

1. 对于下列集合上的“整除”关系，画出其哈斯图。 （1）{1,2,3,4,6,8,12,24}

解：该整除关系的哈斯图如下：

习题4.1

1. 指出下列各关系是否为X 到Y 的函数：

（1）X Y N ==，{,|()()(100)}.R x y x X y Y x y =<>∈∧∈∧+<

（3）{1,2,3,4}X =，Y X X =?，1{1,2,3,2,3,4,3,1,4,4,2,3}R =<<>><<>><<>><<>>，

2{1,2,3,2,3,4,3,2,3}.R =<<>><<>><<>>

解：（1）R 不是从X 到Y 的函数；

（2）1R 是从X 到Y 的函数，2R 不是从X 到Y 的函数。

习题4.2

1. 设Z +，Z ，R ，C 分别表示正整数集、整数集、实数集、复数集，试指出下列映射中哪些是单射、满射、双射，并写出定义域和值域。 （1）:f Z Z +→为()21f x x =+。 （2）:f R R →为()cos f x x =。

（4）:[0,

][1,1]2

f π

→-为()cos f x x =。

12346812

24

解：（1）为一般映射，定义域为Z ，值域为{|21,}y y k k N =+∈。 （2）为一般映射，定义域为R ，值域为[1,1]-。

（4）为单射，定义域为[0,]2

π

，值域为[0,1]。

习题4.3

4. 设{1,2,3,4}X =。

（3）能否找到另一X g I ≠的单射:g X X →，有X g g I =o ？ 解：能。例如{1,2,2,1,3,4,4,3}g =<><><><>。 （4）试定义一个映射:f X X →使2

f f =且X f I ≠。 解：例如{1,2,2,2,3,3,4,4}f =<><><><>。

习题7.1

1. 设无向图,,G V E ?=<>，126{,,,}V v v v =L ，126{,,,}E e e e =L ，112()(,)e v v ?=，

222()(,)e v v ?=，324()(,)e v v ?=，445()(,)e v v ?=，534()(,)e v v ?=，613()(,)e v v ?=。

（1）画出G 的图形。

（2）求G 的各节点的度数，并验证握手定理。 （3）G 是否是简单图？ 解：（1）

（2）1deg()2v =，2deg()4v =，3deg()2v =，4deg()3v =5deg()1v =，6deg()0v =。

v v

v

6

1

deg()12i

i v ==∑，212E

=，握手定理成立。

（3）图G 中存在环，故G 不是简单图。

4. 下面各图有几个节点？

（2）21条边，3个度为4的节点，其余都是度为3的节点。 解：设度数为3的节点个数为x ，

由握手定理， 221343x ?=?+ 解得 10x = 故该图有13个节点。 习题7.2

4. 分别指出图7-32中的3个图分别属于哪种类型（强连通，单侧连通，弱连通）。

（a ） (b) (c)

解：（a ）是强连通的，（b ）是单侧连通的，(c)是弱连通的。

习题7.3

1. 图7-39给出了一个有向图，试求

（1）邻接矩阵。

（2）2

A 、3

A 、4

A ，并找出从1v 到4v 长度

为1、2、3、4的路各有几条？

（3）可达性矩阵。

图 7-39

解：（1）邻接矩阵

0101001101010100A ??

?

?

= ?

?

??

。

（2）201010

1010

11100110

0110

201,01010

1010

1110

1000

1000

011A ??????

?

?

?

? ? ?

=?

=

? ? ?

?

?

?

??????

v 4

3

01110

1010

21202010

0110

122,011101010212001101000201A ??????

?

?

?

? ? ?

=?= ? ? ? ?

?

?

?????? 402120

1010

32301220

0110

413.02120

1010

3230

2010

1000

122A ??????

?

?

?

? ? ?

=?

=

? ? ?

?

?

?

??????

从邻接矩阵及其幂可知，从1v 到4v 长度为1的路有1条，从1v 到4v 长度为2的路有1条，从1v 到4v 长度为3的路有2条，从1v 到4v 长度为4的路有3条。 （3）令234B A A A A =+++，

则07470

74707470

434B ?? ?

?= ?

???，可达性矩阵0

1110

11101110111P ??

?

?

= ?

?

??

。

习题7.4

2. 确定n 取怎样的值，完全图n K 有一条欧拉回路。

解：完全图n K 有一条欧拉回路的充要条件是每个节点的度数都是偶数。而在n K 中，每个节点的度数都是1n -。故当n 为奇数时，完全图n K 有一条欧拉回路。

习题7.6

5. 设G 是一个连通平面图，它有n 个节点，m 条边，且每个面由k 条边围成。试证 (2)

2

k n m k -=

-。

证明：设图G 有r 个面，由平面图的面的次数的定理， 1

2deg().r

i

i m R kr ==

=∑ （1）

再由欧拉定理，

2.n m r -+= （2） 由（1）得2m

r k

=

，代入（2）式得

(2)

.2

k n m k -=

-

习题7.7

1. 一棵树T 有5个度为2的节点，3个度为3的节点，4个度为4的节点，2个度为5的节点，其余均是度为1的节点，问T 有几个度为1的节点？ 解：设T 有x 个度为1的节点，则T 的节点数

5342n x =++++， T 的边数

113m n x =-=+ 又由

1

2deg()n

i

i m v ==

∑

得 2(13)52334425x x +=?+?+?+?+ 所以19x =，即树T 有19个度为1的节点。

2. 一棵树有2n 个2度节点，3n 个3度节点， ，k n 个k 度节点，求其叶节点的数目。 解：设该树有x 个叶节点，则该树的节点数

23k n n n n x =++++L 该树的边数

2311k m n n n n x =-=+++-+L 又由

1

2deg()n

i

i m v ==

∑

得 23232(1)23k k n n n x n n kn x +++-+=++++L L 所以342(2)2k x n n k n =+++-+L ，即该树叶节点数为342(2)2k n n k n +++-+L 。

习题7.8

5. 对图7-101给出的二元有序树进行3种方式的遍历，并写出遍历结果。

图 7-101

解：前序遍历的结果为 ((()))()a b cde f igh ；

中序遍历的结果为 (())()dce bf a gih ； 后序遍历的结果为 (())()dec fb ghi a 。

6．在通信中，a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、N 出现的频率分别是： a ：25%； b ：20%； c ：15%； d ：15%； e ：10%； f ：5%； g ：5%； N ：5%．

（1）求传输它们的最佳前缀码．

（2）用最佳前缀码传输10000个按上述频率出现的数字需要多少个二进制码？ 解：令i 对应的树叶的权100i i w p =，则

25a w =； 20b w =； 15c w =； 15d w =； 10e w =； 5f w =； 5g w =； 5N w =．

构造一颗带权5,5,5,10,10，15,20,30的最优二叉树(如下图)：

e d a

b

c

f i

h

g