浅谈定积分的应用

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（天津商业大学经济学院，中国天津 300134)

摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。

关键词定积分定积分的应用求旋转体体积变力做功

The Application of Definite Integral

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(Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China)

Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definition of defi nite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in the higher mathe matics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, through the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very convenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work

0、前言

众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。

微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5]

。本文将举例介绍定积分在

的我们日常学习和生活当中的应用。

1定积分的基本定理和几何意义

1.1、定积分的定义

定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =，

b x =,()x f y =所围成图形的面积。

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：

如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())('

x f X F =，那么

()()()1)( a F b F dx x f b

-=?

用文字表述为：一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

1.2、定积分的几何意义

()?

dx x f 2)(

当0)(>x f 时，

dx x f )(是曲边梯形的面积如图1a 所示；

当()b x a x f ≤≤≤0)(时，

b a

dx x f )(是曲边梯形的面积的负值1b 所示；

（a ）

0)(>x f (b) ()b x a x f ≤≤≤0)(

图1定积分的几何意义图示

2定积分的应用

1，解决求曲边图形的面积问题

例：求由抛物线x y 42=与直线42-=x y 围成的平面图形D 的面积S 。 2，求变速直线运动的路程

做变速直线运动的物体经过的路程s ，等于其速度函数()t v v =，()()0v ≥t 在时间区间[]b a ,上的定积分。

3，变力做功

某物体在变力()x F F =的作用下，在位移区间[]b a ,上做的功等于()x F F =在[]b a ,上的定积分。

3定积分的应用举例

3.1、平面图形的面积

3.1.1、直角坐标系下平面图形的面积

(1)X －型与Y －型平面图形的面积

把由直线a x =，b x =，b a <及两条连续曲线()x f y 1=，()x f y 2=，()()x f x f 21<所

围成的平面图形称为X －型图形如图2a ；把由直线c y =，

d y =d c <及两条连续曲线x=g1(y)，x=g2(y)(g1(y)≤g2(y))所围成的平面图形称为Y －型图形。如图2b

（a ）X －型图形 (b) Y －型图形

图2平面图形的面积

注意：构成图形的两条直线，有时也可能蜕化为点。把X －型图形称为X －型双曲边梯形，把Y －型图形称为Y －型双曲边梯形。

１）用微元法分析X －型平面图形的面积

取横坐标x 为积分变量，[]b a x ,∈。在区间[]b a ,上任取一微段[]dx x x +,，该微段上的图形的面积dA 可以用高为()()x f x f 12-、底为dx 的矩形的面积近似代替。因此

()()[]()3dx f -x f dA 12 x =

从而()4.)]()([A 12 ?-=b

a dx x f x f

２）微元法分析Y －型图形的面积 ()5.)]()([A 12 ?-=d

c dy y g y g

对于非X －型、非Y －型平面图形，我们可以进行适当的分割，划分成若干个X －型图形和Y －型图形，然后利用前面介绍的方法去求面积。

例1求由两条抛物线x y =2，2x y =所围成图形的面积A 。如图4所示。

图6

解因为心形线对称于极轴，所以所求图形的面积A 是极轴上方图形极轴上方部分所对应的极角变化范围为[]πθ,0∈，由公式(7)，所求图形的面积为设有一立体，它夹在垂直于x 轴的两个平面a x =，b x =之间(包括只与平面交于一点的情况)，其中b a <，如图所示。如果用任意垂直于x 轴的平面去截它，所得的截交面面积A 可得为()x A A =，则用微元法可以得到立体的体积V 的计算公式。

过微段[]dx x x +,两端作垂直于x 轴的平面，截得立体一微片，对应体积微元()dx x A dV =。因此立体体积，如图7所示。

图7空间立体的体积

().8)( V ?=b

dx x A

例4经过一如图8所示的椭圆柱体的底面的短轴、与底面交成角α的一平面，可截得圆柱体一块楔形块，求此楔形块的体积V 。如图8所示。

图8

164

=+y 。

x 轴的平面，与楔形块截交面为图示直角三角形，其面积为旋转体就是由一个平面图形绕这平面内的一条直线l 旋转一周而成的空间立体，其中直线l 称为该旋转体的旋转轴。

把X －型图形的单曲边梯形绕x 旋转得到旋转体，则公式(4)中的截面面积()x A 是很容易得到的。如:9、10，设曲边方程为()x f y =，[]b a x ,∈()b a <，旋转体体积记作()x V 。

图9旋转体绕Y 轴旋转的的体积

图10旋转体绕X 轴旋转的的体积

图11

2)(sin dx x

图12

y ∈[0，1]。可得所求旋转体的体积为 5

1 0

图13平面曲线的弧长

上任意取一微段[]dx

,，对应的曲线微段为

3.4.1、变力做功

物体在一个常力F的作用下，沿力的方向作直线运动，则当物体移动距离s时，F所作的功=。

图15

图16

解这是在变力F(r)对移动物体作用下作功问题。因为作用力和移动路径在同一直线上，故

以r 为积分变量，可应用公式(14)，得

??-=??????-==?b a kq r kq dr r q k W b

a b

a 111 2。

3.5 定积分在经济学中的应用

3.5.1利用定积分求原经济函数问题

在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。

设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有

()

15)()0()(0

dx x u u x u x

?'+=

例10生产某产品的边际成本函数为

100143)(2+-='x x x c , 固定成本C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。

x c c x c x

?'+='0)()0()(

x x x 1007100002

+-+=

3.5.2 利用定积分计算资本现值和投资

若有一笔收益流的收入率为f(t) , 假设连续收益流以连续复利率r 计息, 从而总现值

()16)(0

dt e t f y rt T

-?=。

例11 现对某企业给予一笔投资A, 经测算,该企业在T 年中可以按每年a 元的均匀收入率获

得收入, 若年利润为r, 试求: (1) 该投资的纯收入贴现值; (2) 收回该笔投资的时间为多少?

解(1) 求投资纯收入的贴现值: 因收入率为a, 年利润为r, 故投资后的T 年中获总收入的现值为

)1(0

rt T

rt e r

dt ae ---=?

从而投资所获得的纯收入的贴现值为

A e r

A y R rT )1(--=

-= ( 2) 求收回投资的时间: 收回投资, 即为总收入的现值等于投资。由A e r

rT =--)1(得T =Ar

a a

r -ln

即收回投资的时间为T=Ar

a a

r -ln

例如, 若对某企业投资A = 800( 万元) , 年利率为5% , 设在20 年中的均匀收入率为a= 200( 万元/ 年),则有投资回收期为05

.0800200200ln 05.01?-=

T =25.1ln 20 46.4≈(年)

由此可知,该投资在20年内可得纯利润为1728.2万元, 投资回收期约为4.46年.

4 总结

定积分在数学中占主导地位，以上几个方面的应用也只是定积分在我们能够接触到的应用的一部分, 定积分还有很多在我们生活、学习等领域中的应用之处。只要勤于学习, 善于思考, 勇于探索,就一定能从中感受到定积分的无穷魅力, 同时也能提高应用数学知识解决实际问题的能力。

参考文献

[1] 罗藴玲，安建业，程伟等．搞定呢过数学及其应用[M].北京：高等教育出版社，2010.8 [2] 吴传生．经济数学——微积分[M]．第2版．北京：高等教育出版社，2009. [3] 梁金荣．定积分在物理学中的应用探讨[J]．四川文理学院学报，2013.9：129-132 [4] 唐方旭。定积分的定义及其应用[J].教育观察，2014.8：60-62 [5] 王向东，<<数学分析概念与方法>>，上海科技文献出版社，1989 [6] 陈锡璞，<<工程经济>>，机械工业出版社，北京，1994.10 [7] Г. М. 菲赫金哥尔茨, 《微积分学教程》, 高等教育出版社,2006 [8] 白银凤罗蕴玲,《微积分及其应用》, 高等教育出版社

定积分的简单应用求体积

定积分的简单应用求体积 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022

定积分的简单应用(二) 复习：（1）求曲边梯形面积的方法是什么（2）定积分的几何意义是什么（3）微积分基本定理是什么引入：我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。 1. 简单几何体的体积计算问题：设由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形（如图甲）绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V 分析：在区间[,]a b 内插入1n -个分点，使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把曲线()y f x =（a x b ≤≤）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -?=-，1,2,,i n =。这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ?的小圆片，如图乙所示。当i x ?很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。因此，第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=? 该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和：

2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈?+?+ +? 这个问题就是积分问题，则有： 22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==?? 归纳：设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=? 2. 利用定积分求旋转体的体积（1）找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数（2）分清端点（3）确定几何体的构造（4）利用定积分进行体积计算 3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为 2()b a V g y dy π=? 类型一：求简单几何体的体积例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积思路：由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，如图:BC y a =。则该旋转体即为圆柱的体积为： 22300|a a V a dx a x a πππ=?==?

定积分的方法总结

定积分的方法总结定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1、求 s i n b a x d x ? ，（b a <）解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的方法作积分和．取h = n a b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+

§1.7定积分的简单应用

定积分的简单应用一：教学目标知识与技能目标 1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。过程与方法情感态度与价值观二：教学重难点重点曲边梯形面积的求法难点定积分求体积以及在物理中应用三：教学过程： 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用（一）利用定积分求平面图形的面积例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。解：2 01y x x x y x ?=??==? =??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 2 0S =(x -x )dx 321 3 023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 2 x y =y x A B C D O

巩固练习计算由曲线36y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x = 以及x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标，直线4y x =-与 x 轴的交点．解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积．解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 334 82822044 2222140||(4)|23 x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．例3.求曲线], [sin 320π∈=x x y 与直线,,3 20π==x x x 轴所围成的图形面积。

七大积分总结

七大积分总结一．定积分 1. 定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n －1个分点： a=x 0

? ??==b a b a b a du u f dt t f dx x f )()()(。（2）定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。（3）定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ →0必有n →∞，反之n →∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限：例：∑?=∞→=n i n n i f dx x f 1 1 0n 1 )()(lim （此特殊合式在计算中可以作为公式使用） 2. 定积分的存在定理定理一若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。定理二若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。 3. 定积分的几何意义对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≥0时，定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积；当f(x) 小于0时，围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分?b a dx x f )(在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x 轴，曲线y=f(x),x=a,x=b 之间的各部分曲边梯形的代数和。 4．定积分的性质线性性质（性质一、性质二）

定积分的简单应用(6)

§1.7 定积分的简单应用（一）一：教学目标 1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。二：教学重难点重点曲边梯形面积的求法难点定积分求体积以及在物理中应用三：教学过程：定积分的应用（一）利用定积分求平面图形的面积例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 解：201y x x x y x ?=??==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积 S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 20S =(x -x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S. 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图阴影部分的面积．解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 33482822044 2222140||(4)|3323 x x x =+-=. 例3.求曲线],[sin 3 20π ∈=x x y 与直线,,3 20π ==x x x 轴所围成的图形面积。答案： 2 33 2320 = -=? ππo x xdx S |cos sin ＝练习 1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。答案：3 32 33323132 23 1= -+=--? |))x x x dx x x S （－＋（＝ 2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M （0，－3） 2 x y =y x = A B C D O

定积分总结

定积分讲义总结内容一定积分概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。说明：（1）定积分 ()b a f x dx ? 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和： 1()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? 例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功．分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．解：将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =?． 1．分割在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间： 0,b n ??????，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n n -???=? ? ??L ，其长度为()1i b i b b x n n n -??=-= 把在分段0, b n ? ???? ?，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 上所作的功分别记作：1W ?，2W ?，…，n W ? （2）近似代替有条件知：()()11i i b i b b W F x k n n n --???=??=?? ? ?? (1,2,,)i n =L （3）求和 ()1 1 1n n n i i i i b b W W k n n ==-=?=??∑∑ =()()22222 110121122n n kb kb kb n n n n -?? ++++-==-?? ?? ??? L

知识讲解_定积分的简单应用(基础)

定积分的简单应用【学习目标】 1.会用定积分求平面图形的面积。 2.会用定积分求变速直线运动的路程 3.会用定积分求变力作功问题。【要点梳理】要点一、应用定积分求曲边梯形的面积 1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积： ()[()()]b b a a S f x dx f x g x dx ==-?? 2.如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线 ()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积： ()()[()()]b b b a a a S f x dx f x dx g x f x dx = =-=-? ?? 3．由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上 ()0f x ≤，在区间[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积： ()c a S f x dx = + ? ()b c f x dx ? ＝()c a f x dx -?＋()b c f x dx ?. 4. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =，x b =()a b <围

成图形的面积： 1212[()()]()()b b b a a a S f x f x dx f x dx f x dx =-=-??? 要点诠释：研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积； ② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）；要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤（1）画出图形；（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限；（3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。要点三、定积分在物理中的应用 ① 速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间 [,]a b 上的定积分，即()b a S v t dt =?. ②变力作功物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W = ()b a F x dx ? . 要点诠释： 1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。 2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。【典型例题】类型一、求平面图形的面积【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例1】例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

定积分知识点总结

定积分知识点总结航空航天大学权州一、定积分定义与基本性质 1.定积分定义设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a 与b 之间插入一些分点b x x x x a n =<<<<=...210. 而将该区间任意分为若干段. 以||||π表示差数 )1,...,1,0(1-=-=?+n i x x x i i i 中最大者. 在每个分区间],[1+i i x x 中各取一个任意的点i x ξ=. )1,...,1,0(1-=≤≤+n i x x i i i ξ 而做成总和 ∑-=?=1 0)(n i i i x f ξσ 然后建立这个总和的极限概念： σπ0 ||||lim →=I 另用""δε-语言进行定义： 0>?ε，0>?δ，在||||πδ<时，恒有 εσ<-||I 则称该总和σ在0→λ时有极限I . 总和σ在0→λ时的极限即f(x)在区间a 到b 上的定积分，符号表示为 ?=b a dx x f I )( 2.性质设f(x)，g(x)在[a,b]上可积，则有下列性质 (1) 积分的保序性

如果任意)(),(],,[x g x f b a x ∈，则??≥b a b a dx x g dx x f ,)()( 特别地，如果任意,0)(],,[≥∈x f b a x 则?≥b a dx x f 0)( (2) 积分的线性性质 ???±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()())()((βαβα 特别地，有??=b a b a x f c dx x cf )()(. 设f(x)在[a,b]上可积，且连续， (1)设c 为[a,b]区间中的一个常数，则满足 ???+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 实际上，将a,b,c 三点互换位置，等式仍然成立. (4)存在],[b a ∈θ，使得 )()()(θf a b dx x f b a -=? 二、达布定理 1.达布和分别以i m 和i M 表示函数f(x)在区间],[1+i i x x 里的下确界及上确界并且做总和 ∑∑=+=+-=-=n i i i i n i i i i x x m f S x x M f S 1 11 1)(),(,)(),(ππ ),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布上和，),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布下和特别地，当f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界. 回到一般情况，有上下界定义知道

定积分的简单应用

定积分的简单应用海口实验中学陈晓玲一、教材分析 “定积分的简单应用”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2－2第一章1.7的内容。从题目中可以看出，这一节教学的要求就是让学生在充分认识导数与积分的概念，计算，几何意义的基础上，掌握用积分手段解决实际问题的基本思想和方法，在学习过程中了解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大生命力。在整个高中数学体系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础。二、教学目标（以教材为背景，根据课标要求，设计了本节课的教学目标） 1、知识与技能目标：（1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题；（2）学会将实际问题化归为定积分的问题。 2、过程与方法目标：通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。 3、情感态度与价值观目标：通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。三、教学重点与难点 1、重点：应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值。 2、难点：将实际问题化归为定积分的问题。四、教学用具：多媒体五、教学设计

教学环节教学设计师生互动设计意图一、创设情境引出新课1、生活实例：实例1：国家大剧院的主题构造类似半球的构造，如何计算建造时中间玻璃段的使用面积？边缘的玻璃形状属于曲边梯形，要计算使用面积可以通过计算曲边梯形的面积实现。实例2：一辆做变速直线运动的汽车，我们如何计算它行驶的路程？ 2、复习回顾：如何计算曲边梯形的面积？ 3、引入课题：定积分的简单应用学生:观察。教师：启发，引导学生：思考，回忆。学生：疑惑，思考，感受。教师：启发，引导。学生：复习，回忆老师：引入课题数学源于生活，又服务于生活。通过对国家大剧院的观察，创设问题情境，体验数学在现实生活中的无处不在，激发学生的学习热情，引导他们积极主动的参与到学习中来。启发学生把物理问题与数学知识联系起来，训练学生对学科间的思维转换和综合思维能力。学生感受定积分的工具性作用与应用价值。在生活实例的启发下，引导学生把所学知识与实际问题联系起来，回忆如何计算曲边梯形面积。这是这节课的知识基础。引入本节课的课题。哎呀，里程表坏了，你能帮我算算我走了多少路程吗? x y o y f(x) = a b A ?=b a dx x f A) (

定积分计算方法总结

定积分计算方法总结 Final revision by standardization team on December 10, 2020.

定积分计算方法总结一、不定积分计算方法 1.凑微分法 2.裂项法 3.变量代换法 1)三角代换 2)根幂代换 3)倒代换 4.配方后积分 5.有理化 6.和差化积法 7.分部积分法（反、对、幂、指、三） 8.降幂法二、定积分的计算方法 1.利用函数奇偶性 2.利用函数周期性 3.参考不定积分计算方法三、定积分与极限 1.积和式极限 2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限 3.洛必达法则 4.等价无穷小

四、定积分的估值及其不等式的应用 1. 不计算积分，比较积分值的大小 1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有 f(x)>=g(x),则∫f (f )ff f f >=∫f (f )f f dx 2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a) 当0

3)常数变易法 4)利用泰勒公式展开法五、变限积分的导数方法

定积分计算的总结论文

定积分计算的总结论文公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

定积分计算的总结闫佳丽摘要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法. 关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文那么，究竟什么是定积分呢我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限，设()0()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[]1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>?

21-17定积分的简单应用

1.7.1定积分在几何中的应用教材分析这一节的教学要求是让学生在充分认识导数与积分的概念、计算、几何意义的基础上，掌握用积分解决实际问题的基本思想和方法.在学习过程中，理解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的使用价值以及数学在实际应用中的强大作用.在整个高中数学体系中，这部分内容也是进一步学习高等数学的基础.教学方法是“问题诱导一一启发讨论一一探索结果”、“直观观察一一抽象归纳一一总结规律”的一种研究性教与学的方法，过程中注重“诱、思、探、练”的结合，从而引导学生转变学习方式采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究地学习，形成师生互动的教学氛围.探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究. 课时分配本课时是定积分应用部分的第一课时，主要解决的是平面图形的面积问题教学目标重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值. 难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数知识点：应用定积分解决平面图形的面积. 能力点：通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法. 教育点：在解决问题的过程中体会定积分的价值自主探究点：探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法. 考试点：应用定积分解决平面图形的面积. 易错易混点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数拓展点：链接咼考. 教具准备实物投影机和粉笔. 课堂模式基于问题驱动的诱思探究. 一、创设情境 1、求曲边梯形的思想方法是什么？（以直代曲，无限逼近） 2、定积分的几何意义是什么？ o - - cos 二-(-cosO) =2 , 若f(x)^O则表示面积 sin xdx = -cosx =f "sin xdx=—cosx ?=—cos2x —(—cosn) =-2，若f (x)兰0则表示面积相反数

定积分知识点总结.doc

定积分知识点总结北京航空航天大学李权州一、定积分定义与基本性质 1.定积分定义设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a 与b 之间插入一些分点b x x x x a n =<<<<=...210. 而将该区间任意分为若干段. 以||||π表示差数 )1,...,1,0(1-=-=?+n i x x x i i i 中最大者. 在每个分区间],[1+i i x x 中各取一个任意的点i x ξ=. )1,...,1,0(1-=≤≤+n i x x i i i ξ 而做成总和 ∑-=?=1 0)(n i i i x f ξσ 然后建立这个总和的极限概念： σπ0 ||||lim →=I 另用""δε-语言进行定义： 0>?ε，0>?δ，在||||πδ<时，恒有 εσ<-||I 则称该总和σ在0→λ时有极限I . 总和σ在0→λ时的极限即f(x)在区间a 到b 上的定积分，符号表示为 ?=b a dx x f I )( 2.性质设f(x)，g(x)在[a,b]上可积，则有下列性质 (1) 积分的保序性如果任意)(),(],,[x g x f b a x ∈，则??≥b a b a dx x g dx x f ,)()(

特别地，如果任意,0)(],,[≥∈x f b a x 则?≥b a dx x f 0)( (2) 积分的线性性质 ???±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()())()((βαβα 特别地，有??=b a b a x f c dx x cf )()(. 设f(x)在[a,b]上可积，且连续， (1)设c 为[a,b]区间中的一个常数，则满足 ???+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 实际上，将a,b,c 三点互换位置，等式仍然成立. (4)存在],[b a ∈θ，使得 )()()(θf a b dx x f b a -=? 二、达布定理 1.达布和分别以i m 和i M 表示函数f(x)在区间],[1+i i x x 里的下确界及上确界并且做总和 ∑∑=+=+-=-=n i i i i n i i i i x x m f S x x M f S 1 11 1)(),(,)(),(ππ ),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布上和，),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布下和特别地，当f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界. 回到一般情况，有上下界定义知道 i i i M f m ≤≤)(ξ 将这些不等式逐项各乘以i x ?(i x ?是正数)并依i 求其总和，可以得到

第六章定积分的应用总结

第六章定积分的应用总结一、定积分的元素法 1．用定积分表示量U 的条件如果量U 满足：（1）；（2）；（3），那么就可考虑用定积分表示这个量U ． 2．写出量U 的积分表达式的步骤：（1）；（2）；（3）．二、平面图形的面积 1．若平面图形由连续曲线))()()((),(x g x f x g y x f y ≥==及直线)(,b a b x a x <==所围成，则其面积为=A ． 2．若平面图形由连续曲线))()()((),(y y y x y x ψ?ψ?≥==及直线)(,d c d y c y <==所围成，则其面积为=A ． 3．由连续曲线0)(),(≥=θ?θ?ρ及两射线βθαθ==,围成的曲边扇形的面积为=A ．三、体积 1．旋转体的体积（1）由连续曲线0)(≥=x f y ，直线)(,b a b x a x <==及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为=x V ．（2）由连续曲线0)(≥=y x ?，直线)(,d c d y c y <==及y 轴所围成的平面图形绕y 轴

旋转一周而成的旋转体的体积为=V ． 2．平行截面面积为已知的立体的体积适当建立x 轴，使立体在过点)(,b a b x a x <==且垂直于x 轴的两平面之间，)(x A 为该立体过点x 且垂直于x 轴截面的面积，于是该立体的体积为=V ．四、平面曲线的弧长 1．曲线可求长的充分条件：． 2．求光滑曲线弧的长度的公式：（设L 为平面光滑曲线弧）如果已知L 的参数方程：)(),(), (βαψ?≤≤???==t t y t x ，其中)(t ?和)(t ψ在],[βα上有连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψ?，则L 的长度为=s ．如果已知L 的直角坐标方程：)()(b x a x f y ≤≤=，其中)(x f 在],[b a 上有一阶连续导数，则L 的长度为=s ．如果已知L 的极坐标方程：)()(βθαθρρ≤≤=，其中)(θρ在],[βα上有一阶连续导数，则L 的长度为=s ．四、定积分在物理学上的应用 1．变速直线运动的路程某物体作直线运动，已知速度)(t v 是时间t 的连续函数，且0)(≥t v ，则该物体从时刻1t 到时刻2t （21t t ≤）的运动路程为=s ． 2．变力沿直线作功如果力F 的方向不变（与x 轴同向）且大小为)(x F ，物体在力F 的作用下由x 轴上的点a 移动到点b ，则力F 对物体作的功为=W ． 3．水压力一般使用定积分的法得到水压力的定积分表示式，再计算其值． 4．引力求引力时通常分别求引力在两个坐标轴上的分力，使用定积分的法．要注意充分利用对称性．

定积分应用方法总结(经典题型归纳).docx

精品文档定积分复习重点定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1. 定积分的运算性质 (1) b b kf (x)dx k f (x)dx(k 为常数 ). a a (2) b b f 1 ( x)dx b 2 ( x)dx. [ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx f a a a b c b 其中 a