高等数学作业下-5 (答案)
第十一章 习题答案
1． 1常数项级数的概念及基本性质
1．解：（1） +?+?+
?+?+
?6515
414
31321211 （2） -+
-+
-5
14
13
12
11
(3)
+++
++5
4
3
2
5
!54
!
43
!32
!21!1 (4)
+????????+
??????+
????+??+
10
8642975318
64275316
425314
2312
1
2． 解：（1）1
21-=
n u n （2）1
2+-=
n n u n （3）)
2(6422
n x u n
n ??=
（4）1
2)
1(1
1
+-=++n a
u n n n
3． 解：（1）013
1lim
lim ≠==∞→∞
→n
n n n u ，∴级数发散（不满足级数收敛的必要条件）
。 （2）原级数可写为
)4
13
12
11(3
1 +++
+
。∵括号内级数为调和级数发散，∴原级数发散。
（3）原级数为公比等于2
3的几何级数，∵
123>，∴原级数发散。 （4）原级数为发散的调和级数 +++++
5
14
13
12
11去掉前三项，∴原级数发散。
（5）原级数为公比等于9
8-的几何级数，19
8<-
，∴原级数收敛。
（6）∵级数
++
+
3
2
2
12
12
1收敛（公比
12
1<的几何级数）
，级数 ++
+
3
2
3
13
13
1收敛
（公比
13
1<的几何级数）
，∴原级数收敛（收敛级数可以逐项相加减）。 4． 解：（1）a a a a a a a a a a S n n n n -=
-
++-
+-
+-=+-+1
21
2125
73
53)()()()( ，
a a a S n n n n -=-=+∞
→∞
→1)(lim lim 12，∴此级数收敛。
（2）])
2)(1(1)
1(1
[
21
)
2)(1(1
++-
+=
++=
n n n n n n n u n
+?-
?+
?-
?+
?-
?=
∴)5
414
31
(21
)4
31321
(
21)3
212
11
(
21
n S
])2)(1(1
)
1(1
[
21
++-
++
n n n n =])
2)(1(1
21[21++-n n ，
4
1
])2)(1(121[21lim =++-=
∞
→n n S n n ，∴此级数收敛。
（3）)1
211
21
(
21
)
12)(12(1
+-
-=
+-=
n n n n u n
)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(2
1+-=+--++-+-+-
=
∴n n n S n ， 2
1)1
211(21lim
lim =
+-
=∞
→∞
→n S n n n ，∴此级数收敛。
1． 2正项级数及其判敛法
1．解：（1）n
n u n 211
21>-=
，而级数∑∑
∞
=∞
==
1
1
12
1
21n n n
n
发散，∴原级数发散。
（2）2
1)
1(1n
n n u n <
+=
，而级数∑
∞
=1
2
1n n
收敛（12>=P 的P 级数），∴原级数收敛。
（3）n
n
n n n
n u n +=
+++>
++=
11211112
2
，而级数 ++
+
=
+∑
∞
=4
13
12
1111
n n
发散（调和
级数去掉第一项），∴原级数发散。 （4）)0(sin ≥≤ααα ，n
n
n u 2
2
sin
π
π
≤
=∴，而级数∑
∑
∞
=∞
==1
1
2
12
n n
n n
ππ
收敛（公比为
12
1<的几何级数），∴原级数收敛。
（5）)1(2
11>≤
=
n n
u n
n
n ，而级数∑
∞
=1
2
1n n
收敛，∴原级数收敛。
（6）4
14
512
512
2
+=
+++>
+++=
n n n n n n n u n ，而级数 ++
+
=
+∑
∞
=7
16
15
14
11
n n 发散
（调和级数去掉前四项），∴原级数发散。
（7）111tan
lim
22
=∞
→n
n n ，而级数∑
∞
=1
2
1n n
收敛，∴原级数收敛。
（8）1ln )11ln(lim 1)
11ln(lim
==+
=+
∞
→∞
→e n
n
n
n
n n ，而级数∑
∞
=1
1n n
发散，∴原级数发散。
2．解：（1）12
1)
2(23lim
2
2
2
)3(lim
lim
,2
21
1<=
++=+?
+=+=∞
→+∞
→+∞
→n n n n u u n u n n
n n n
n n n
n ，∴原级数
收敛。 （2）13
13)1(lim
33
)1(lim
lim
,3
2
2
2
1
2
12<=
+=?
+==
∞
→+∞
→+∞
→n
n n
n u u n u n n n n n
n n n
n ，∴原级数收敛。
（3）e
n
n n n n
n n u u n
n u n n n
n n
n
n n n n
n n n
n
n 2]
)11[(lim 2)
1
(
2lim !
2)
1()!
1(2
lim
lim
,!21
1
1
1=
+
=+=?
++==
-∞
→∞
→++∞
→+∞
→
1<，∴原级数收敛。
（4）12
12
2lim
2
2
lim 2
tan
2
tan )1(lim
lim
,2
tan 2
11
2
1
2
11
<=
==+==++→∞
++→∞
++→∞
+→∞
+n n n n n n n n n n
n n n n n n u u n u π
π
πππ，∴原级
数收敛。 （5）)
13(52)34(51)14)(34(51)23)(13(52lim
lim
1-?-??+-?+-?=∞
→+∞
→n n n n n n u u n n
n n 1423lim ++=∞→n n n 143
<=，∴原
级数收敛。 （6）14)
1()
22)(12(lim
)!
2()
!(]
)!1[()!22(lim
lim
2
2
2
1>=+++=?
++=∞
→∞
→+∞→n n n n n n n u u n n n
n n ，∴原级数发散。
3．解：（1）12
11
2lim
)
1
2(
lim
lim <=
+=+=∞
→∞
→∞
→n n n n u n n
n
n n
n n ，∴原级数收敛。
（2）19
1
)31()
1
3(
lim lim
21
2<==-=-∞
→∞
→n
n n n
n n n n
u ，∴原级数收敛。 4．解：（1）14
3)43()
43)(1(lim lim
1
1<=+=+∞→+∞
→n n n n
n n n n u u ，∴原级数收敛。
（2）)
(11b a n b
na u n +≥
+=
，而∑
∑
∞
=∞
=+=
+1
1
11)
(1n n n
b
a b a n 发散，∴原级数发散。
（3）02
11
2lim
lim ≠=
--
=∞
→∞
→n n
n u n n n ，∴原级数发散。
（4）n
n
n
n
n n
n
n n n
n n
n n
n n
u 1
2
1
2
1
1]
)
11[()
11()
1(2
+
=+
=+
=
+
，1lim 1
=∞
→n n n ，
1])
11[(lim 0
1
2
2
==+
∞
→e n
n n
n ，01lim ≠=∴∞
→n n u , ∴原级数发散。
(5)2
52
35
3
2
3
2
32)
2)(1(32n
n
n
n n n n u n +=+<
+++=
，∑
∑
∞
=∞
=1
2
51
2
32,2n n n
n
收敛，∑
∞
=+∴1
5
32n n
n 收敛，∴原级数收敛。 （6）∞====∞→∞→∞
→∞
→n
n n n n n
n
n n n n
n n n u 2lim )2(lim 2
sin
lim lim ，∴原级数发散。
（7）2
31
1)11ln(,1)11ln(n n n n
n
u n
n
n =<
+
=
∴<
+
，而∑
∞
=1
2
31n n
收敛，∴原级数收敛。
（8）12
12
2
lim lim
1)
1(<=
==-----∞
→∞
→n
n n n
n n n
u ，∴原级数收敛。
（9）)]
12)(12(531[!999)!
1000(,)]
12(531[!999)!999(1+-??+=
-??+=
+n n n u n n u n n
12
11
21000lim
lim
1<=++=∞
→+∞
→n n u u n n
n n ，∴原级数收敛。
1． 3任意项级数
1． 证明：1)!
12)(12(1
)!
12)(12(1
+=++>
--=
n n u n n n n u ，
0)!
12)(12(1
lim
lim =--=∞
→∞
→n n u n n n 。据莱布尼兹定理，所给交错级数收敛，且若取
!
551!
33113?+
?-=≈S S ，则误差满足0001.035280
1!
7713<=?<
r 。
2． 证明：设)1(1
)(≥+=
x x x x f ，则0)
1(21)(2
/
<+-=
x x x x f （当1>x 时），于是)(x f
在1≥x 上单调减。故)1()(+≥n f n f ，即1+≥n n u u ，又1
lim
lim +=∞→∞
→n n u n n n n
n
n 11lim
1
+
=∞
→
0=，据莱布尼兹定理，所给交错级数收敛。
3． 解：（1）该级数为交错级数。11
11+=+>
=
n n u n n
u ，又01lim
lim ==∞
→∞
→n
u n n n
，据莱布尼兹定理该级数收敛。再考察正项级数∑
∑
∞
=∞
==
1
2
11
11n n n
n
发散，∴原级数为条件收
敛。
（2）先考察正项级数 +-+
++
+
2
2
2
)
12(15
13
11n 。2
2
1)
12(1n
n u n ≤
-=
，而
∑
∞
=1
2
1n n
收敛，∴级数∑
∞
=-1
2
)
12(1n n 收敛。∴原级数收敛且为绝对收敛。
（3）1)
2ln(1)
1ln(1+=+>
+=
n n u n n u ，且0)1l n (1lim
=+∞
→n n ，∴由莱布尼兹定理知原级
数收敛。又∑∑
∞
=∞
=++=
+-1
1
1
)
1ln(1
)
1ln()
1(n n n n n ，且
1
1)
1l n(1
+>
+n n ，而级数∑
∞
=+1
1
1n n 发散，∴
∑
∞
=++-1
1
)
1ln()
1(n n n 发散，∴原级数为条件收敛。
（4）在∑∑∞
=-∞
=--=
-1
1
1
1
1
3
3
)
1(n n n n n n
n 中，1
3
-=
n n n u ，13
133
)1(lim
lim
1
1<=
??+=-∞
→+∞
→n
n u u n
n n n
n n ，
∴∑∞
=---1
1
1
3
)1(n n n n 收敛。∴原级数收敛且为绝对收敛。
（5）先考察正项级数1
sin
1
1
1
+∑
∞
=+n n n π
π
。1
1
1
1
sin
1
++≤
+n n n π
π
π
，而级数∑
∞
=+1
1
1
n n π
为收敛
的几何级数，∴该正项级数收敛。∴原级数收敛且为绝对收敛。 （6）该级数为交错级数。n
n u n ln 1-=
，n n n n ln )1ln(1->+-+ ，
)
1ln(11
ln 1+-+>
-∴
n n n
n ，即1+>n n u u ，又0ln 11
lim
ln 1lim
lim =-
=-=∞
→∞
→∞
→n
n n
n
n u n n n n ，∴由莱布尼兹定理知∑
∞
=--1
ln )
1(n n
n
n 收敛。再考察正项级数∑
∞
=-1
ln 1n n
n ，n
n
n 1ln 1≥-
，
而∑
∞
=1
1n n
发散，∴级数∑
∞
=-1
ln 1
n n
n 发散。∴原级数为条件收敛。
3．1函数项级数的一般概念
1．解：（1）x
nx
n x u x u n n n n 11lim
)
()(lim
1=
+=∞
→+∞
→ ，故当
11 ，即当1>x 时，级数绝对收敛； 当1 （2）1 21 2)2() 1(lim ) ()(lim 2 1+= +++=∞ →+∞ →x x x x n n n x u x u n n n n ，故当 11 2<+x x 时，即3 1- >x 或 1- ∑ ∞ =∞ =+= ++1 1 1 )1 2( 1n n n n n x x n n 发散，3 1- =x 时 ∑ ∑ ∞ =∞ =+-= ++1 1 1 )1()1 2( 1n n n n n n x x n n 发散。∴级数的收敛域为3 1->x 或1- 3．2幂级数及其收敛区间 1．解：（1）1,1lim 1=∴=+∞ →R a a n n n 。当1=x 时，原级数为∑∞ =1 n n 发散；当1-=x 时， 原级数为∑∞ =-1 )1(n n n 也发散，因此收敛区间为)1,1(-。 （2）0,lim 1=∴∞=+∞ →R a a n n n ，即级数在0=x 处收敛。 （3）1,1) 1ln() 2ln(21lim lim 1=∴=++?++=∞ →+∞ →R n n n n a a n n n n 。当1=x 时，∞→++n n n 11) 1ln( )(∞→n ，∑ ∞ =++∴1 1 )1ln(n n n 发散；当1-=x 时，1 )1ln()1(1 1 ++-∑∞ =+n n n n 是交错级数，满足莱布 尼兹条件，∴此级数收敛，故收敛区间为)1,1[-。 （4）+∞==+=∞ →+∞ →R n a a n n n n ,01 2lim lim 1，故原级数的收敛区间为),(+∞-∞。 （5） 1,1lim 1=∴=+∞ →R a a n n n 。由13<-x ，得到42< =-1 )1(n n 发散；当4=x 时，原级数为∑∞ =1 1n n 也发散。因此收敛区间为)4,2(。 （6）21) ()(lim x x u x u n n n =+∞ → ，∴当12 时，即1 1=∴R 。当1=x 时，原级数为∑ ∞ =+-1 1 2) 1(n n n 收敛；当1-=x 时，原级数为∑ ∞ =++-1 1 1 2) 1(n n n 也收敛。 故收敛区间为]1,1[-。 （7）2 ) ()(lim 3 1x x u x u n n n = +∞ → ，∴当 12 3 即3 3 22< <-x 时， 级数收敛；当12 3 >x 时， 级数发散。当3 2= x 时，原级数为∑∑ ∞ =∞ == 1 1 3312 )2(n n n n 发散；当3 2- =x 时，原级数为 ∑∞ =-1 ) 1(n n 也发散。故收敛区间为)2,2(33-。 2． 解；令t x =-3，则n n n t a ∑∞ =1 在3-=t 处发散，而在2=t 处收敛。因而它在1-=t 处收 敛，而在4=t 处发散，所以原来的幂级数在2=x 处收敛，在7=x 处发散。 3． 解：令t x =2 ，则n n n n n n t a x a ∑∑∞ =∞ == 1 21 ， 在R t <时收敛，在R t >时发散，从而R x <2，即R x <时收敛，R x > 时发散。因此n n n x a 21 ∑∞ =的收敛半径为 R 。 3．3幂级数的运算 1． 解：（1）易知此级数的收敛区间为)1,1(-。x x x dt nt n n x n n -= = ∑ ? ∑∞ =∞=-1)(1 1 1 ， )11() 1(1)1( 2 / 1 1 <<--= -=∴∑∞ =-x x x x nx n n 。 （2）易知此级数的收敛区间为)1,1(-。设)1(1 2)(1 1 2<-= ∑ ∞ =-x n x x S n n ，则∑∞ =-= 1 2 2/ )(n n x x S =∑∞ =0 2n n x = 2 11x -。于是dt t dt t S x x ? ?-= 2 / 11)(，即)11(11ln 2 1)0()(<<--+=-x x x S x S 。 )11(11ln 2 1)(,0)0(<<--+= ∴=x x x x S S 。 （3）易知此级数的收敛区间为)1,1(-。设)1()(1 1 2<= -∞ =∑ x x n x S n n ，则=)(x S 3 / // 2 / 1 // 1 1 1 1 1 1 ) 1(1)1( ) 1( )() ()1(x x x x x x x x nx nx n n n n n n n n n -+= ---=-=- +∑∑∑ ∑ ∞ =∞=+∞=-∞=-。 2． 解：12 11 22 2 12lim lim 1 1<= -? +=+∞ →+∞ →n n u u n n n n n n ，∴原级数收敛。考察幂级数 2 21 2 12)(-∞ =∑ -= n n n x n x S ，则= =-=-∞ =-∞ =∑ ∑ ? ?1 21 2 21 2 12 12)(n n n n n x n x x dt t n dt t S n n x x )2 (1 1 2 ∑∞ = = 2 22 22 121x x x x x -=- ?)2( 2 2/ 2 ) 2(2)2( )(x x x x x S -+= -=。1=x 在收敛区 间内，32 12)1(1 =-= ∴∑ ∞ =n n n S 。 3． 4函数展开成幂级数 1．解：（1）n n n x n x x )2 (1) 1(2ln )2 1ln(2ln )2ln(1 1 ∑ ∞ =--+ =+ +=+。121≤<-x 22≤<-∴x 。 （2）∑ ∞ == =0 ln !) ln (n n a x x n a x e a ，),(+∞-∞。 （3）∑∞ =-+ =+= 22 )! 2() 2() 1(2 12 12 2cos 1cos n n n n x x x ，),(+∞-∞。 （4） 2 1) 21(21- -=-x x x x =++---- + -- + 2 )2(! 2) 12 1)(2 1()2(! 1)21 (1[x x x ])2(! ) 12 1()22 1)(12 1)(2 1( +-+---- -- - n x n n =∑ ∞ =+-+ 1 1 ! ! )!12(n n x n n x = 11 2 )2 ()!()!2(2+∞ =∑ +n n x n n x 。由121≤-<-x ，得21 21<≤-x 。 （5） n n n n n x x x x x x x x ]2 13 1[ )1(32 1133 1133 92 66 530 2 - -=+ ? -+ ?=+++-=++∑∞ =， )22(<<-x 。 （6）∑∞ =--= +1 21 2 ) 1()1ln(n n n n x x 。由112 ≤<-x ，得11≤≤-x 。 （7）∑∞ =-+= ++ ++ =++ ++ = -0 12 )!1(! ! 21)! ! 2(11n n n n x n x n x x n x x x x x e ∑∞ =-+= -∴ 11 )!1()1( n n x n nx x e dx d ，)0,(≠+∞ 。 （8）)(!)1(0 22 +∞<-= ∑ ∞ =-x n x e n n n x ，) 12(!) 1(1 20 2 +-= ∴ +∞ =-∑? n n x dx e n n n x x 故 )12(!) 1(2 2 1 20 2 +-= +∞ =-∑? n n x dx e n n n x x ππ ，)(+∞ 2．解：n n n x x x x x f )2 3( )1(2 1 2 3112 1) 3(21 11 )(0 --- =-+ - =-+- =-= ∑∞ =。收敛区间： 由12 31<-< -x ，得51< ln ln lg x x == ∑∞ =---= -+1 1 )1()1(10 ln 1 )]1(1ln[10 ln 1n n n n x x 。由111≤-<-x ， 得20≤ 3．5函数的幂级数展开式的一些应用 1．解：∑ ∞ == ) (! ) 0()(n n n x n f x f ，n n n x a x f ∑∞ == )(， n n a n f !)0() (=∴。而==x x f a r c t n )( +--+-+ - --1 2) 1(5 13 11 21 53 n x x x x n n ，由此得02=n a )1,0( =n ， 1 21) 1(1 12--=--n a n n ),2,1( =n 。0)0() 2(=∴n f ，12) 12()!12()0(---=n n a n f = )!22() 1(1 ---n n 。于是0)0() 20(=f ，!20)!2112()1()0()0(1 111 )112() 21(=-?-==--?f f 。 2． 解：))(11()1ln(1 *<≤--=-∑ ∞ =x n x x n n ，∴在)(*式中将x 换成 4 x ，有 )4 1ln(41x n x n n n - -=?∑ ∞ =)44(<≤-x 。在)(*式中令1-=x ，得∑ ∞ =--=1 )1(2ln n n n ，即 2ln )1(1 1 =-∑ ∞ =+n n n 。 3．解：（1）由于 ++++ + ==n n e e )2 1(!1)21(!212 11221 ，取前n 项作为e 的近似值，其误差：])2 1(211[)21(!1)21()!1(1)21(!12 1 +++<+++= +n n n n n n n R =1)21(!1-n n 。 取6=n ，则23040 1 )21(!6156=< R ，因此5000.01)2 1(!51)21(!212 115 2+=+++ + ≈ e +649.10003.00026.00208.01250.0≈+++。 （2）51 5 5)16 11(223230- =-= ，而++--+-+=- 25 1 )16 1(!2) 151 (51)161(511)16 11( +-+---n n n )16 1(!) 151 ()251)(151(51=--???-??-?- 3322165!394165!2416511 +??-?n n n n 16 5!) 65(94，故 151)161(5 !)65(94])161(1611[)161(5!)65(9412--??=+++-?? n n n n n n n R 。 现在要求4 102 1-? 9744.1)16 5!39 4165!246511(2303 3225≈???-??-?-≈。 4．解：20918090ππ=?= ， -+-==530)20 (!51)20(!312020sin 9sin ππππ，≈∴0 9sin 3)20(!3120ππ-15643.0000640.0157080.0=-≈。误差：<<≤5 5)2.0(201)20(!51πn R 5 10300000 1<。 5．解：dx x x x dx x x x x xdx x )! 5! 3()! 5! 3(sin 15 13 8 .00 11 5 3 8 .00 10 8 .00 10 -+ - = -+ - = ? ? ?= -?+ ?- 16 !5) 8.0(14!3) 8.0(12)8.0(16 14 12 ，由于 4 16 10 5.016 !5) 8.0(-? xdx x sin 8 .00 10 14 !3) 8.0(12 )8.0(14 12?- 0052.000052.000573.0≈-≈。 4．2函数展开成傅立叶级数 1．解：0)2()2 7( ,2 20 )(,0)2 (, 2 )2 (=- == += =- =π ππ πππ π πS S S S S 。 2．解：（1）3 421 2 2 0ππ π π = = ?- dx x a ；),2,1(8) 1(cos 21 2 2 =-== ?- n n nxdx x a n n π π π ； ),2,1(0sin 21 2 === ?- n nxdx x b n π ππ 。nx n x f n n cos )1(83 2)(1 2 2∑ ∞ =-+= ∴π， )(+∞<<-∞x 。 （2）)32(1 0? ? + = -π π π xdx xdx a = 2 π ； )cos 3cos 2(1 dx nx x nxdx x a n ?? + = -π π π =]1)1[(1 2--n n π=?????-为偶数 为奇数n n n , 0,22π ； n n n nxdx x nxdx x b n n n n 5 ) 1(])1(3)1(2[1)sin 3sin 2(1 110 ++--=---= + = ? ? ππππ π π 。 ]sin 5) 1()12cos() 12(2 [4 )(1 2 nx n n n x f n n -+--- = ∴∑∞ =π π，（π)12(+≠k x ，k 为整数）。 3．解：（1）作周期延拓，在点)2,1,0()12( ±±=+=k k x π处不连续，而 0cos 3sin 21 == ?- dx nx x a n π π π ),2,1,0( =n ； nxdx x b n sin 3 sin 21 ?- = π π π = 1 9) 1(3 182 1 ---n n n π ),2,1( =n ； ∴nx n n x n n sin 1 9) 1(3 183 sin 22 1 1 --= ∑ ∞ =-π ，ππ<<-x 。 （2）作周期延拓，在点)2,1,0()12( ±±=+=k k x π处不连续，而 π π π π ππ +-= + = --?? e dx dx e a x 1)1(1 0； π π π π π )1()1(1)cos cos (1 2 n e dx nx nxdx e a n x n +--= + = --?? ),2,1( =n ； π π π π π π n n e n nxdx nxdx e b n n x n )1(1)1(] )1(1[)sin sin (1 2 --+ +---= + = --? ?),2,1( =n ； ∴∑∞ =-+ -+= 1 { 1 21)(n e x f π π ππ nx n e n cos 1)1(12 +---π +nx n n ne n n n sin ]) 1(11)1([ 2 --+ +-+--π }，ππ<<-x 。 （3）将)(x f 周期延拓，延拓后的函数周期为π2。在)(x f 间断点2 π ± =x 处，傅立叶级 数收敛于 2 12 ) 02 ()02 (= -- ++- ππf f ；在区间端点π±=x 处，傅立叶级数收敛于 )(2 ) 0()0(πππf f f =-++-。因为偶函数，故),2,1(0 ==n b n ，? = 2 012 π π dx a =1； 2sin 2cos 2 2 πππ π n n nxdx a n == ? =?? ? ??+=-+==3 4,114,12, 0k n k n k n ， ,2,1,0=k ) 7cos 7 15cos 5 13cos 3 1(cos 2 2 1cos 2 sin 1 2 21)(1 +- + - + = += ∴∑∞ =x x x x nx n n x f n π ππ 2 π π- <≤-x ，2 2 π π < <- x ， ππ ≤ 。 4． 解：对)(x f 进行奇延拓，所得的奇函数)(x F 在],[ππ-上连续，且)()(ππF F ≠-， 故对应的正弦级数在),0[π上收敛于)(x f 。+-= = ? 3 2 2[4sin 22 n nxdx x b n ππ π )]2( )1(2 3 n n n π - -，故：nx n n n x n n sin )]2( )1(2 [4 22 3 1 3 2 π π - -+-= ∑∞ =（π<≤x 0） 。 5．解：对)(x f 进行偶延拓，所得的偶函数)(x F 在],[ππ-上连续，且)()(ππF F =-， 故对应的余弦级数在],0[π上收敛于)(x f 。)3(2)32(2 0+=+= ? ππ π dx x a ； ?? ? ??-=-==--=+= ? 1 2,8 2, 0]1)1[(4 cos )32(2 220 k n n k n n nxdx x a n n πππ π ，（ ,2,1=k ）。 ∴x k k x k )12cos() 12(1 8 3321 2 --- +=+∑∞ =π π（π≤≤x 0）。 6．解：对)(x f 进行奇延拓，所得的奇函数)(x F 在点0=x 处有第一类间断点，但=-)(πF )(πF ，故对应的正弦级数在],0(π上收敛于)(x f 。=+-= ? nxdx x b n sin )12 sin (2 π π ]}1)1[(214)1(8{12-----n n n n n π，故： ∑∞ =-----=+-1 2sin ]}1)1[(214)1(8{1112sin n n n nx n n n x ππ )0(π≤ 7．解：对)(x f 进行偶延拓，所得的偶函数)(x F 在],[ππ-上仅在h x ±=处有第一类间断 点，故对应的余弦级数在],(),,0[πh h 上收敛于)(x f 。π π h dx a h 22 0= = ? ； π π n nh nxdx a h n sin 2cos 2 = = ? ，故：nx n nh h x f n cos sin 2 )(1 ∑ ∞ =+ = π π （π≤≤x 0， 但h x ≠） 8．解：对)(x f 进行奇延拓，所得的奇函数)(x F 在],[ππ-上连续，且)()(ππF F =-，故对应的正弦级数在],0[π上收敛于)(x f 。 nxdx x h h nxdx x h b n sin )22(2 sin 22 2 2 ?? - + = π π π π π π π = 2 sin 82 2 ππ n n h =?????=-=---k n k n k h k 2,01 2,)12(8)1(2 21 π（ ,2,1=k ） 故：x k k h x f k k )12sin() 12() 1(8)(1 2 1 2 ---= ∑ ∞ =-π （π≤≤x 0）。 9．解：所给函数在]2,2[-上连续，并在)2,2[-外作为拓广的周期函数时，它在点2±=x ， ,6±处不连续， 因此对应的傅立叶级数在)2,2(-上收敛于)(x f 。?--=2 2 2 0)(2 1 dx x x a = 38；n n n dx x n x x a )1(162 cos )(2 1 2 2 2 2 2 -= -= ?-π π；dx x n x x b n ?--= 2 2 2 2 sin )(2 1 π n n )1(4-= π 。故：]2 sin 42 cos 16[ )1(3 41 2 2 2 x n n x n n x x n n ππ ππ + -+ = -∑ ∞ =（22<<-x ） 。 10．解：)(x f 是偶函数，故它的傅立叶级数是余弦级数，且在区间]2 1 ,21[- 上收敛于)(x f 。 6 11)1(2 1121 2 12 0= +-= ? -dx x a ；2 2 121 2 12 )1(2 1cos )1(2 11π πn dx x n x a n n +--= +-= ? 。 故：x n n x n n ππ 2cos )1(1 12 1111 2 1 2 2∑ ∞ =+-+ = +-（2 12 1≤ ≤- x ）。 11．解：对)(x f 进行奇延拓，所得的奇函数)(x F 在],[l l -上连续，且)()(l F l F =-，故对应的正弦级数在区间],0[l 上收敛于)(x f 。 ?? ???-=--=== -+ = -? ?12,)12() 1(42,02sin 4]sin )(sin [22 21 2 2 2 20 k n k l k n n n l dx l x n x l dx l x n x l b k l l l n πππ ππ （ ,2,1=k ）。故：l x k k l x f k k ππ )12(sin ) 12() 1(4)(1 2 1 2 ---= ∑∞ =-（l x ≤≤0）。 12．解：所给函数在)3,3[-外作为拓广的周期函数时，在点),2,1,0(3 ±±==k k x 处不连续，故对应的傅立叶级数在区间)3,0(),0,3(-上收敛于)(x f 。? -+=0 3 0)12(3 1dx x a + ?3 3 1 xdx =2 1-；??-+ += 3 3 3 cos 3 1 3 cos )12(3 1 dx x n x dx x n x a n ππ= ])1(1[32 2 n n --π ； ]8)1(1[13 sin 3 13 sin )12(3 10 3 3 ?-+- =+ += ? ? -n n n dx x n x dx x n x b π ππ。 故：}3 sin ]8)1(1[13 cos ])1(1[3{ 4 1)(1 2 2 x n n x n n x f n n n ππ ππ ?-+- --+ - =∑∞ =（33<<-x ， 但0≠x ）。 兰州大学高等数学课程作业题及答案一单选题 1. 图片3-5 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (D) 标准答案： (D) 2. 图片443 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (D) 标准答案： (B) 3. 图片363 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (D) 标准答案： (D) 4. 图片2-9 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (C) 标准答案： (C) 5. 图片1-4 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (B) 标准答案： (B) 6. 图片3-14 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B) 7. 图片4-5 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (B) 标准答案： (A) 8. 图片2-1 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (A) 标准答案： (A) 9. 图片4-9 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (D) 10. 图片238 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (D) 11. 图片241 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 第一章函数 极限 连续 §1函数 1． 解：（1） 要使24sin x -有意义，必须.2,042≤≥-x x 即使所以定义域为[-2，2]. （2）当时，且1 3≠≠x x 3 41 2+-x x 有意义;而要使2+x 有意义，必须,2-≥x 故函数 的定义域为：).,3()3,1()1,2[+∞-、、 （3）,1010.101110ln 110ln arccos e x e e x e x x ≤≤∴≤≤≤≤-，即有意义，则使要使即 定义域为].10,10 [ e e （4）要使)1(+x tg 有意义，则必有.,2,1,0,2 1 ±±=+≠ +k k x ππ ;即函数定义域为 .,2,1,0,12? ?? ?? ?±±=-+≠∈ k k x R x x ππ且 （5）当有意义，时有意义；又当时x arctg x x x 1 033≠-≤故函数的定义域为： ].3,0()0(、，-∞ （6）x k k x k sin )2,1,0()12(2时当 ±±=+≤≤ππ有意义；有要使216x -有意义， 必须有.44≤≤-x 所以函数的定义域为：].,0[],4[ππ、 -- 2． .2)2 1(,2)21 (,2)0(,1)2(,2)3(2 1-=-====f f f f f 3． 解：3134,34)]([22≤≤-+--+-= x x x x x x g f 有意义；必须因此要使， 即[])(x g f 的定义域为[1，3]。 4．解? ?? ??>-=<=???? ???>-=<=; 0,1,0,0,0, 1,1, 1,1, 0, 1,1)]([x x x e e e x g f x x x ?????????>=<==, 1,1,1,1,1,)]([) (x e x x e e x f g x f 。 5．有意义，时当)(sin 1sin 0x f x ≤≤故其定义域为).2,1,0]()12(,2[ ±±=+k k k ππ。 6．???-<++-≥+=+?? ?<+-≥-=-; 1,52, 1,32)1(;1,52, 1,12)1(2 2 x x x x x x f x x x x x x f 第八章 习题答案 8．1 多元函数基本概念 1．解：=),(y x f )225(9 1 22y x xy --。 2．解：).sin sin())(,(),sin sin(sin )],([x x x x f x g y x y x y x g f =?= 3．解：（1）0。（2）a e 。（3）1。（4）0。（利用有界量乘以无穷小量仍为无穷小量。） （5）y x y x y x y x y x 1102222+≤++≤++≤ ，且.0)11(lim =+∞ →∞→y x y x 从而.0lim 22=++∞ →∞→y x y x y x （6）22)21()( 022x x y x xy ≤+≤ ，且0)21(lim 2=+∞→x x ，所以原式0=。 4．解：不存在。因沿不同路径趋近时极限值不同。 5．解：⑴),(y x f 的定义域为0≠+y x 。 )(a 当0≠+y x ，1≠+y x 时),(y x f 的表达式为初等函数，故连续。 )(b 当100=+y x 时，=-++-+=→+→+211 )11ln(11lim ),(lim y x y x y x f y x y x =+→20)1ln(1 lim t t t ),(200y x f =，即),(y x f 在 100=+y x 时也连续。故),(y x f 的间断线为0=+y x 。 ⑵)(a 当02 2 ≠+y x 时),(y x f 的表达式为初等函数，故连续。 )(b 当02 2 =+y x 时，2222001)1(lim ),(lim k k x k kx y x f x kx y x +=+=→=→，显然k 取不同值时得不同极限，即),(lim 0 0y x f y x →→不存在，故),(y x f 在)0,0(点不连续。 ⑶)(a 当022≠+y x 时),(y x f 连续。)(b 当02 2=+y x 时，因y x y x f +≤),(，故 0),(lim 00 =→→y x f y x ，从而)0,0(0),(lim 0 f y x f y x ==→→，即),(y x f 处处连续。 8．2 偏导数与全微分 1.解：（1） )2cos(4),2cos()2sin(2222222y x ye y z y x e y x xe x z x x x +=??+++=??。 高等数学基础第一次作业点评1 第1章 函数 第2章 极限与连续 (一)单项选择题 ⒈下列各函数对中,(C )中的两个函数相等. A 、 2 )()(x x f =,x x g =)( B 、 2)(x x f = ,x x g =)( C 、 3 ln )(x x f =,x x g ln 3)(= D 、 1)(+=x x f ,1 1)(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞,则函数)()(x f x f -+的图形关于( C )对称. A 、 坐标原点 B 、 x 轴 C 、 y 轴 D 、 x y = ⒊下列函数中为奇函数就是( B ). A 、 )1ln(2 x y += B 、 x x y cos = C 、 2 x x a a y -+= D 、 )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数就是( C ). A 、 1+=x y B 、 x y -= C 、 2 x y = D 、 ? ??≥<-=0,10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的就是( D ). A 、 12lim 2 2 =+∞→x x x B 、 0)1ln(lim 0 =+→x x C 、 0sin lim =∞→x x x D 、 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时,变量( C )就是无穷小量. A 、 x x sin B 、 x 1 C 、 x x 1 sin D 、 2)ln(+x 点评:无穷小量乘以有界变量为无穷小量 ⒎若函数)(x f 在点0x 满足( A ),则)(x f 在点0x 连续。 A 、 )()(lim 00 x f x f x x =→ B 、 )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C 、 )()(lim 00 x f x f x x =+→ D 、 )(lim )(lim 0 x f x f x x x x -+→→= 二、填空题 ⒈函数)1ln(3 9 )(2x x x x f ++--= 的定义域就是 .}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(,则=)(x f .x x -2 ⒊=+ ∞→x x x )211(lim .21 e 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 42 / 9 第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 一、填空题： 在 ? +10 3 1dx x 与? +1 41dx x 中值比较大的是 ． 二、选择题(单选)： 1．积分中值定理 ? -=b a a b f dx x f ))(()(ξ，其中： (A) ξ是[]b a ,上任一点； (B) ξ是[]b a ,上必定存在的某一点； (C) ξ是[]b a ,唯一的某点； (D) ξ是[]b a ,的中点． 答：( ) 2．曲线x e y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围成图形的面积值为： (A) ?-10)(dx ex e x ； (B) ?-e dy y y y 1 )ln (ln ； (C) ? -e x x dx xe e 1 )(； (D) ?-1 )ln (ln dy y y y ． 答：( ) 第二节 微积分基本公式 一、填空题： 1．=-? -212 12 11dx x ． 2． 0)32(0 2=-? k dx x x )0(>k ，则=k ． 二、选择题(单选)： 若)(x f 为可导函数，且已知0)0(=f ，2)0(='f ，则 2 )(lim x dt t f x x ?→ (A)0； (B)1； (C)2； (D)不存在． 答：( ) 三、试解下列各题： 1．设??? ??>≤+=1,2 11 ,1)(32x x x x x f ，求?20 )(dx x f ． 43 / 9 2．设?? ???><≤≤=ππ x x x x x f ,0,00,sin 21 )(，求?=x dt t f x 0 )()(?在),(∞+-∞上的表达式． 四、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，? ? += x a x b t f dt dt t f x F ) ()()(．证明： (1)2)('≥x F ； (2)方程0)(=x f 在),(b a 内有且仅有一个根． 第三节 定积分的换元法和分部积分法 数，故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，，A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的W K域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n" jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 高数练习题 一、选择题。 4、1 1lim 1 --→x x x （ ）。 a 、1-= b 、1= c 、=0 d 、不存在 5、当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（ ）。 a 、x 1sin b 、x x sin c 、12--x d 、x ln 7、()=--→1 1sin lim 21x x x （ ）。 a 、1 b 、2 c 、0 d 、2 1 9、下列等式中成立的是（ ）。 a 、e n n n =??? ??+∞ →21lim b 、e n n n =? ?? ??++∞→2 11lim c 、e n n n =??? ??+∞→211lim d 、e n n n =?? ? ??+∞ →211lim 10、当0→x 时，x cos 1-与x x sin 相比较（ ）。 a 、是低阶无穷小量 b 、是同阶无穷小量 c 、是等阶无穷小量 d 、是高阶无穷小量 11、函数()x f 在点0x 处有定义，是()x f 在该点处连续的（ ）。 a 、充要条件 b 、充分条件 c 、必要条件 d 、无关的条件 12、 数列｛y n ｝有界是数列收敛的 ( ) . （A ）必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件 13、当x —>0 时，( )是与sin x 等价的无穷小量. (A) tan2 x (B) x (C)1 ln(12) 2x + (D) x (x +2) 14、若函数()f x 在某点0x 极限存在，则（ ）. （A ）()f x 在0x 的函数值必存在且等于极限值 （B ）()f x 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值 （C ）()f x 在0x 的函数值可以不存在 （D ）如果0()f x 存在则必等于极限值 15、如果0 lim ()x x f x →+ 与0 lim ()x x f x →- 存在，则（ ）. （A ）0 lim ()x x f x →存在且00 lim ()()x x f x f x →= （B ）0 lim ()x x f x →存在但不一定有00 lim ()()x x f x f x →= （C ）0 lim ()x x f x →不一定存在 （D ）0 lim ()x x f x →一定不存在 16、下列变量中（ ）是无穷小量。 0) (x e .A x 1-→ 0) (x x 1 sin .B → )3 (x 9x 3x .C 2→-- )1x (x ln .D → 17、=∞→x x x 2sin lim （ ） 2 18、下列极限计算正确的是（ ） e x 11lim .A x 0x =??? ??+→ 1x 1sin x lim .B x =∞→ 1x 1sin x lim .C 0x =→ 1x x sin lim .D x =∞→ 19、下列极限计算正确的是（ ） 1x x sin lim .A x =∞→ e x 11lim .B x 0x =??? ??+→ 5126x x 8x lim .C 232x =-+-→ 1x x lim .D 0x =→ A. f(x)在x=0处连续 B. f(x)在x=0处不连续，但有极限 C. f(x)在x=0处无极限 D. f(x)在x=0处连续，但无极限 23、1 lim sin x x x →∞ =（ ）. （A ）∞ （B ）不存在 （C ）1 （D ）0 24、221sin (1) lim (1)(2) x x x x →-=++（ ）. （A ）13 （B ）13- （C ）0 （D ）23 ) ( , 0 x 1 x 2 0 x 1 x ) x ( f . 20、 则下列结论正确的是 设 第十一章 习题答案 1． 1常数项级数的概念及基本性质 1．解：（1） +?+?+ ?+?+ ?6515 414 31321211 （2） -+ -+ -5 14 13 12 11 (3) +++ ++5 4 3 2 5 !54 ! 43 !32 !21!1 (4) +????????+ ??????+ ????+??+ 10 8642975318 64275316 425314 2312 1 2． 解：（1）1 21-= n u n （2）1 2+-= n n u n （3）) 2(6422 n x u n n ??= （4）1 2) 1(1 1 +-=++n a u n n n 3． 解：（1）013 1lim lim ≠==∞→∞ →n n n n u ，∴级数发散（不满足级数收敛的必要条件） 。 （2）原级数可写为 )4 13 12 11(3 1 +++ + 。∵括号内级数为调和级数发散，∴原级数发散。 （3）原级数为公比等于2 3的几何级数，∵ 123>，∴原级数发散。 （4）原级数为发散的调和级数 +++++ 5 14 13 12 11去掉前三项，∴原级数发散。 （5）原级数为公比等于9 8-的几何级数，19 8<- ，∴原级数收敛。 （6）∵级数 ++ + 3 2 2 12 12 1收敛（公比 12 1<的几何级数） ，级数 ++ + 3 2 3 13 13 1收敛 （公比 13 1<的几何级数） ，∴原级数收敛（收敛级数可以逐项相加减）。 4． 解：（1）a a a a a a a a a a S n n n n -= - ++- +- +-=+-+1 21 2125 73 53)()()()( ， a a a S n n n n -=-=+∞ →∞ →1)(lim lim 12，∴此级数收敛。 （2）]) 2)(1(1) 1(1 [ 21 ) 2)(1(1 ++- += ++= n n n n n n n u n +?- ?+ ?- ?+ ?- ?= ∴)5 414 31 (21 )4 31321 ( 21)3 212 11 ( 21 n S ])2)(1(1 ) 1(1 [ 21 ++- ++ n n n n =]) 2)(1(1 21[21++-n n ， 4 1 ])2)(1(121[21lim =++-= ∞ →n n S n n ，∴此级数收敛。 习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由2 5y x =得10y x '=代入方程得 22102510x x x x ?=?= 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 12121212(4)()0,e e .x x y y y y C C λλλλλλ'''-++==+ 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 1212122211221211221212e e ()(e e )(e e )0.x x x x x x C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ+-++++= 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+= 证：方程 22x xy y C -+=两端对x 求导： 220x y xy yy ''--+= 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 2(2)()20,ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-== 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y '' = + (*) 得 (1)y y x y '= -. (*)式两端对x 再求导得 第9章（之1） （总第44次） 教学内容:§微分方程基本概念 *1． 微分方程7 359)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ） 解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数． *2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （ （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ） 解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ； （B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解； （C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了 x C x C y 2sin 12cos 2 ++=，实质上只有一个任意常数； （D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解． *3．在曲线族 x x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线． : 解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由x x e c e c y -+=21， x x e c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ， 故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(2 1 x x e e y --=，即x y sinh =． *4．证明：函数y e x x =-233321 2 sin 是初值问题??? ????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解． 大学答案 --- 中学答案 --- 考研答案 --- 考试答案最全最多的课后习题参 考答案，尽在课后答案网（）！ Khdaw团队一直秉承用心为大家服务的宗旨， 以关注学生的学习生活为出发点，旨在为广大学生朋友的自主学习提供一个分享和交流的平台。爱校园（）课后答案网（）淘答案（） 习题 101 1. 设在 xOy 面内有一分布着质量的曲线弧 L, 在点(x, y)处它的线密度为 μ(x, y), 用对弧长的曲线积分分别表达: (1) 这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix, Iy; (2)这曲线弧的重心坐标 x , y . 解在曲线弧 L 上任取一长度很短的小弧段 ds(它的长度也记做 ds), 设(x, y) 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量元素分别为 dIx=y2μ(x, y)ds, dIy=x2μ(x, y)ds . 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为 I x = ∫ y 2μ ( x, y)ds , I y = ∫ x2μ ( x, y)ds . L L ww w. kh d ∫L ∫L 和L2, 则 2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1 ∫L f (x, y)ds =∫L n 课 x= M y ∫L xμ ( x, y)ds M ∫ yμ (x, y)ds = , y= x = L . M M μ ( x, y)ds μ(x, y)ds 后 曲线 L 的重心坐标为 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 证明划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则 ∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi + i =1 i =1 n n1 n1 答 dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds . 令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限 λ→0 λ→0 lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi = lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi + lim i =1 i =1 即得 ∫L f (x, y)ds =∫L 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 3. 计算下列对弧长的曲线积分: aw i = n1 +1 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的静矩元素分别为 案 ∑ f (ξi,ηi )Δsi . ∑ f (ξi,ηi )Δsi , n 高等数学基础 形成性考核册 专业：建筑 学号： 姓名：牛萌 河北广播电视大学开放教育学院 （请按照顺序打印，并左侧装订） 高等数学基础形考作业1： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2 x y = D. ?? ?≥<-=0, 10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0 =+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1 sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。 A. )()(lim 00 x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00 x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0 x f x f x x x x -+→→= 《高等数学》习题册参考答案 说明 本参考答案与现在的习题册中的题目有个别的不同，使用时请认真比对，以防弄错. 第一册参考答案 第一章 §1.1 1.??? ????+≤≤--<≤<≤+=--. ),(2, , , 0 , 211010101T t T T t a v T t v t at v v a v a v v a v v 图形为： 2.B. 3.)]()([)]()([)(2 121x f x f x f x f x f --+-+=， 其中)]()([)(21x f x f x F -+=为偶函数，而)]()([)(2 1x f x f x G --=为奇函数. 4.??? ????=<≤-<≤-<≤=.6 ,0, 64 ,)4(, 42 ,)2(, 20 ,)(22 2x x x x x x x x f 5.???.)]([,)2()]([,)1(单调减单调性相反，则单调增；单调性相同，则x g f g f x g f g f 6.无界. 7.（1）否，定义域不同；（2）否，对应法则不同；（3）否，定义域不同. §1.2 1.（1）)1 ,0()0 ,1(?-=D ；（2）} , ,{2 Z ∈+≠=k k k x x D πππ；（3）)1 ,0(=D . 2.1 ,4-==b a . 3.?????>-=<=,0 ,1,0 ,0 , 0 ,1 )]([x x x x g f ???? ???>=<=-. 1 ,,1 ,1 ,1 , )]([1x e x x e x f g 4.（1）]2 ,0[,)1arcsin(2 =-=D x y ； （2）Y ∞ =+=+=0 2 2),( , )(tan log 1k a k k D x y πππ. 5.（1）x x x f f 1 )]([-= ； （2）x x f f 1 )(1][=. 6.+∞<<=-h r V r h h r 2 ,2312 2π. 7.（1）a x =)(?； （2）h x x +=2)(?； （3）h a a h x x ) 1()(-= ?. §1.9 1.1-=e a . 2.（1）1=x 和2=x 都是无穷间断点（属第Ⅱ类）； （2）1 ,0==x x 和1-=x 是间断点，其中：1是可去间断点（极限为21）（属第Ⅰ类）； 0是跳跃间断点（左极限1-，右极限1）（属第Ⅰ类）；-1 是无穷间断点（属第Ⅱ类）； （3）0=x 为无穷间断点（属第Ⅱ类），1=x 为跳跃间断点（属第Ⅰ类） （注意：+∞==∞ +-→- e e x x x 11 lim ，而0lim 11 ==∞--→+ e e x x x ）； 高等数学（下） 习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限； 点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）； （3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 s== s== x s== y s==. 5 z 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则 222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得14 9 z= 即所求点为M（0，0， 14 9 ）. 7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证：()() ++=++ a b c a b c. 证明：利用三角形法则得证.见图7-1 图7-1 9. 设2,3. u v =-+=-+- a b c a b c试用a , b, c表示23. u v - 解： 232(2)3(3) 224393 5117 u v -=-+--+- =-++-+ =-+ a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D 1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接， 试以AB=c，BC=a表示向量 1 D A, 2 D A, 3 D A和 4 D A. 解： 11 1 5 D A BA BD =-=-- c a 22 2 5 D A BA BD =-=-- c a 33 3 5 D A BA BD =-=-- c a 44 4 . 5 D A BA BD =-=-- c a 11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M的投影为M'，则 1 Pr j cos604 2. 2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量 习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ? (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ? 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ? (3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4? 高等数学（下）练习册 专业班级：___________________________________________ 姓名：___________________________________________ 学号：___________________________________________ 西南科技大学城市学院数学教研室编 第七、八章 向量、空间解析几何、多元微分法 一、填空题 1、从点)7,1,2(-A 沿向量k j i a 1298-+=的方向取一段长34||=，则点B （_______）. 2、已知两个力)3,2,1(1=，)4,3,2(2--=F ，则合力的大小||F =________，合力的方向为___________________． 3、设向量+=2，b a k B +=，其中1||=，2||=，且⊥，若⊥，则k =_____． 4、已知3+=，3+=，则ABC ?得面积是________． 5、已知平面π过点)21,3(-且过直线1 2354z y x =+=-，则平面π的方程为_____________． 二、选择题 1、方程0242222=++-++z y x z y x 表示的曲面是（ ） A 、球面 B 、椭球面 C 、柱面 D 、锥面 2、若直线l ：3 7423z y x =-+=-+，平面π：3224=--z y x ，则l 与π（ ） A 、平行 B 、垂直 C 、相交而不垂直 D 、l 在平面π内 3、设直线l 为?? ?=+--=+++0 31020 123z y x z y x 平面π为0224=-+-z y x ，则（ ） A 、l ∥π B 、l ?π C 、l ⊥π D 、l π但l 与π不垂直 4、已知向量)1,1,2(-=a ，)1,3,1(-=，求，b 所确定的平面方程为（ ） A 、02=+-z y x B 、03=-+z y x C 、01632=---z y x D 、a ，b 不共面无法确定平面 5、球面92 22=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xoy 面上的投影方程是（ ） A 、082222=--+x y x B 、082222=--+z z y C 、92 2 =+y x D 、? ??==--+00 82222z x y x 三、设)4,1,1(=a ，)2,2,1(-=b ，求b 在方向上的投影向量． 第 11 章（之1）（总第59次） 教材内容：§11.1多元函数 1．解下列各题： **（1）. 函数连续区域是 ??????? ． 答： **（2）. 函数 ， 则（ ） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 答：（A ） **2. 画出下列二元函数的定义域： （1）= u y x -； 解：定义域为：{ } x y y x ≤) ,(，见图示阴影部分： （2）)1ln(),(xy y x f +=； 解：{} 1),(->xy y x ，第二象限双曲线1-=xy 的上方，第四象限双曲线1-=xy 的下方（不包括边界，双曲线1-=xy 用虚线表示）． （3）y x y x z +-= ． 解：()()? ? ?-≠≥????≠+≥+-?≥+-y x y x y x y x y x y x y x 000． ***3. 求出满足2 2, y x x y y x f -=?? ? ??+的函数()y x f ,. 解：令?? ? ??=+=x y t y x s ， ∴?? ???+=+=t st y t s x 11 ∴()() ()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22 222， 即 ()()y y x y x f +-=11,2． ***4. 求极限： ()() 2 2 0,0,11lim y x xy y x +-+→． 解：()( )( ) ( )( ) 2 222 2 22 2 112111110y x xy y x y x xy xy y x xy ++++≤ +++= +-+≤ () 01 122 2→+++= xy y x （()()0,0,→y x ） ∴ ()() 011lim 2 2 0,0,=+-+→y x xy y x ． **5. 说明极限()()2 22 20,0, lim y x y x y x +-→不存在． 解：我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时，极限不同． 首先，0=x 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x ， 其次，0=y 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0==+-→=x x y x y x y x y ， 故极限()()2 22 20,0,y y lim +-→x x y x 不存在． **6. 设1 12sin ),(-+= xy x y y x f ，试问极限 ),(lim ) 0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？ 解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在)0,0(点的任一去心邻域内函数 1 12sin ),(-+= xy x y y x f 并不总有定义的，x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义．兰州大学高等数学课程作业题及答案
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