他连A都知道――认知逻辑EK1-EK31

他连A都知道――认知逻辑EK1-EK31

（修改稿）

李小五2

(中山大学逻辑与认知研究所，中山大学哲学系，广东 广州，510275)

【摘要】首先，我们构造认知系统EK1－EK3，给出它们的一些证明论结果。其次，我们引入邻域语义，给出EK1－EK3的特征公理和规则的框架条件，证明EK1－EK3相对这些框架条件分别是框架可靠的。最后，我们证明EK1－EK3相对这些框架条件分别是框架完全的。

【关键词】认知系统；邻域语义；框架可靠性；框架完全性

Abstract: Firstly, we construct the epistemic systems EK1－EK3, give some results of their proof theory. Secondly, we introduce the neighborhood semantics, give the frame conditions of the character axioms and rules of EK1－EK3, prove the frame soundness of EK1－EK3 with respect to the frame conditions, respectively. Finally, we prove the frame completeness of EK1－EK3 with respect to the frame conditions, respectively.

Key words：epistemic system; neighborhood semantics; frame soundness; frame completeness

中图分类号：B815.1文献标识码：A 文章编号 1000－7600（2005） 04－128－09

1教育部哲学社会科学研究重大课题攻关项目(04JZD0006) 成果之一。

2作者简介：李小五（1955- ），男，河北涞水人，中山大学逻辑与认知研究所和哲学系教授，主要从事逻辑学研究。

令A是一个命题。我们常说：“他连A都知道”。英文中也有类似的用法：

He even knew A.

为了研究这个常用的自然语言表达式，我们对中山大学哲学系的一部分本科生和研究生做过问卷调查，希望了解被调查者关于联结词“连…都知道”的直观意义。调查结果可以说是众说纷纭。本文我们用认知逻辑来研究其中的两种说法。

本文提到但未定义的概念和记号，请参见李小五的［1］。

一、单主体逻辑EK1－EK2

被调查者的一种说法是：“他连A都知道”这句话表示他已经知道A，但在一般情况下他不应该知道A。粗略分析，这里有两个模态算子“已经知道”和“不该知道”。

1 形式系统及其证明论

定义1.1.1（形成规则）

（1）令At＝{ p

1

,…, p n,…}是可数个原子公式的集合。我们总用p表示At中的元素。

（2）A和B总表示公式，其形成规则如下：p??A?(A∧B)?KA?SKA。

（3）所有公式的集合记为Form。┤

说明：KA的直观意义是：（他）已知A，所以K称为已知算子；SKA的直观意义是：（他）不该知A，所以SK称为不该知算子。

规定与缩写1.1.2

（1）联结符∨，→和?缩写定义如通常。

（2）我们用EKA缩写KA∧SKA。据上面的分析，EKA表示（他）连A都知道。

（3）为了叙述方便，我们规定任一公式最外面的一对括号省略，且联结符的结合力从左到右依次减弱：

?，K，SK，∧，∨，→，?。

（4）T表示某固定的常真式，⊥定义为?T。

（5）我们常用元语言符号?表示“当且仅当”，用?表示“若…，则…”。┤

定义1.1.3（1）认知系统EK1定义如下：（TA）所有重言式的代入特例，

（KC）KA∧KB→K(A∧B)，

（SKC）SKA∧SKB→SK(A∧B)，

（SKF）SK⊥。

（MP）A, A→B／B，

（RKM）A→B／KA→KB，

（RSKE）A?B／SKA?SKB。

（2）认知系统EK2定义如下：

（TA）所有重言式的代入特例，

（KC）KA∧KB→K(A∧B)。

（MP）A, A→B／B，

（RKM）A→B／KA→KB，

（RSKCM）A→B／SKB→SKA。┤说明：（1）由TA和MP构成的系统称为经典句子系统，记为PC。我们也用PC0表示用不含模态算子K和SK的语言表述的PC。

（2）公理KC和SKC表示这两种模态算子满足合取原则：模态算子对合取可概括。

（3）SKF表示不该知常假式，这很自然。

（4）推理规则RKM表示已知算子的单调性，RSKE表示不该知算子的等价性。

（5）推理规则RSKCM（其中C表示converse）表示不该知算子的逆单调性。

（6）上述除TA以外的公理称为相应系统的特征公理，RKM和RSKCM称为相应系统的特征规则。这样称谓是因为我们在后面将看到，需要一定的语义条件才能保证这样的公理有效，才能保证这样的规则保持有效。

（7）为了避免逻辑全知问题，我们没有引入已知算子的概括规则：A／KA。

（8）本节若不特别指出，总用S表示EK1或EK2，即总令S∈{EK1, EK2}。

定义1.1.4

（1）我们用?A表示A是S的内定理：A在S 中有一个形式证明。

（2）S的全体内定理的集合记为Th(S)。

（3）我们也用?A表示A?Th(S)。

（4）称A1,…, A n／C是S的导出规则，当且

仅当，在S中有一个从A1,…, A n到C的形式推演A1,…, A n ?C。┤

引理1.1.5

（Ⅰ）下面是EK1的内定理和导出规则：

（1）KA∧KB?K(A∧B)，

（2）KA∧K(A→B)→KB，

（3）A／SK?A，

（4）EKA∧EKB→EK(A∧B)，

（5）A?B／EKA?EKB，

（6）K⊥→EK⊥，

（7）?EKA?(KA→?SKA)。

（Ⅱ）下面是EK2的内定理和导出规则：

（1）KA∧KB?K(A∧B)，

（2）KA∧K(A→B)→KB，

（3）SKA→SK(A∧B)，

（4）EKA∧EKB→EK(A∧B)，

（5）A?B／KA?KB，

（6）A?B／SKB?SKA， （RSKE）

（7）A?B／EKA?EKB。

证明：我们只给出证明的主要步骤和主要根据。请读者自行补充细节。

（Ⅰ）（1）－（2）据KC和RKM。

（3）

① A假设

② ⊥??A①

③ SK⊥?SK?A②，RSKE

④ SK?A。 SKF，③

（4）据KC和SKC以及EK的缩写。

（5）据RKM和RSKE以及EK的缩写。

（6）

① SK⊥→K⊥→K⊥∧SK⊥TA

② K⊥→EK⊥。SKF，①，MP

（7）

① EKA?KA∧SKA TA，EK的缩写

② ?EKA?(KA→?SKA)。①

（Ⅱ）（1）－（2）据KC和RKM。

（3）据RSKCM。

（4）据KC和已证（3）以及EK的缩写。

（5）据RKM。

（6）据RSKCM。

（7）据（5）和（6）。┤

说明：（Ⅰ）中的规则（3）可以看作是不该知算子的否定性概括规则。

由规则（3）易得公理SKF，所以规则（3）与SKF相对EK1可等价置换。

定义1.1.6

（1）定义从语言Form到不含模态算子的子语言Form0?Form的翻译映射t如下：

t(p)＝p， 对所有原子公式p；

t(?A)＝?t(A)； t(A∧B)＝t(A)∧t(B)；

t(KA)＝t(A)； t(SKA)＝t(?A)。

（2）我们称t(A)是公式A的t-翻译。┤

定义1.1.7令T和R是任俩公理化系统。

我们称T能t-退化为R，当且仅当T的所有内定理的t-翻译都是R的内定理。┤

定理1.1.8S能t-退化为PC0。

证明：据上一定义显然。┤

定义1.1.9称S是协调系统，当且仅当不存在A使得A和?A都是S的内定理。┤

定理1.1.10S是协调的。

证明：假设S不协调，则存在A使得A和?A 都是S的内定理。据上面的定理，t(A)和?t(A)都是PC0的内定理，矛盾于PC0的协调性。┤

2 邻域语义和可靠性定理

任给集合X，我们用P(X)表示X的幂集。

定义1.2.1

（1）称F＝?W, N, O?是邻域框架，当且仅当

① W是非空的可能世界集， 且

② 邻域映射N和O分别是从W到P(P(W))中的映射。

（2）称M＝?W, N, O, [ ]?是邻域模型，当且仅当?W, N, O?是邻域框架且

③ [ ]是从At到P(W)的指派映射。

（3）[ ]也称为?W, N, O ?上的指派映射。┤

定义1.2.2真值集定义

令M＝?W, N, O, [ ]?是邻域模型。

对每一复合公式A，定义A相对M的真值集[A]如下：对任意w∈W，

（1）w∈[?A] ? w?[A]，

（2）w∈[A∧B] ? w∈[A]且w∈[B]，

（3）w∈[KA] ? [A]∈N(w)，

（4）w∈[SKA] ? [A]∈O(w)。┤

说明：主体他不该知的范围用O(w)表示。这个范围由建模者规定。

定义1.2.3

（1）称邻域框架F＝?W, N, O?是1型连这都知框架，简称F是ek1-框架，当且仅当下列框架条件成立：对任意w∈W和X, Y?W，

(kc)X, Y∈N(w) ? X∩Y∈N(w)，

(skc)X, Y∈O(w) ? X∩Y∈O(w)，

(skf )?∈O(w)，

(rkm)X∈N(w)且X?Y? Y∈N(w)。

所有的ek1-框架的类记作Frame(ek1)。

（2）称邻域框架F＝?W, N, O?是2型连这都知框架，简称F是ek2-框架，当且仅当下列框架条件成立：对任意w∈W和X, Y?W，

(kc)X, Y∈N(w) ? X∩Y∈N(w)，

(rkm)X∈N(w)且X?Y? Y∈N(w)，

(rskcm)Y∈O(w)且X?Y? X∈O(w)。

所有的ek2-框架的类记作Frame(ek2)。┤

定义1.2.4有效性定义

令F＝?W, N, O?是邻域框架，M＝?W, N, O, [ ]?是邻域模型。

（1）称A在M中有效，记为M?A，当且仅当[A]＝W；否则称A在M中不有效，记为M ?A。

（2）称A在F中有效，记为F?A，当且仅当，对F上的任意指派映射[ ]，有[A]＝W；否则称A 在F中不有效，记为F ?A。

（3）称规则A1,…, A n／B相对M保持有效性，当且仅当，若[A1]＝…＝[A n]＝W，则[B]＝W 。┤

引理1.2.5

令M＝?W, N, O, [ ]?是邻域模型。则

（1）[?A]＝W－[A]，

[A∧B]＝[A]∩[B]，

[A∨B]＝[A]∪[B]，

[⊥]＝?，[ T ]＝W。

（2）[A]∩[A→B]?[B]。

（3）[A→B]＝W ? [A]?[B]。

（4）[A?B]＝W ? [A]＝[B]。┤

定义1.2.6

（1）称S相对框架类C是框架可靠系统，当且仅当，S的内定理在C的所有框架中有效。

（2）称S相对框架类C是框架完全系统，当且仅当，在C的所有框架中有效的公式是S的内定理。┤

定理1.2.7框架可靠性定理

（1）EK1相对框架类Frame(ek1)是可靠的。

（2）EK2相对框架类Frame(ek2)是可靠的。

证明：（1）任给ek1-框架F＝和F 上赋值[ ]。

下面验证EK1的公理相对M＝有效且EK1的推理规则相对M保持有效性。

验证公理TA和规则MP：显然。

验证公理KC：任给w∈[KA∧KB]。则据真值集定义1.2.2（2）－（3），有[A], [B]∈N(w)。再据定义1.2.3（1）的(kc)，我们有[A]∩[B]∈N(w)。再据引理 1.2.5，我们有[A∧B]∈N(w)。再据真值集定义，我们有w∈[K(A∧B)]。因此据w的任意性和1.2.5（3），我们有

w∈[KA∧KB→K(A∧B)]。

验证公理SKC：任给w∈[SKA∧SKB]。则

[A], [B]∈O(w)。

再据定义1.2.3的(skc)，我们有[A]∩[B]∈O(w)。再据引理 1.2.5，我们有[A∧B]∈O(w)。所以我们有w∈[SK(A∧B)]。其余证明如前。

验证公理SKF：任给w∈W，据1.2.3（1）的(skf )，有?∈O(w)，所以据1.2.5，[⊥]∈O(w)，因此我们有w∈[SK⊥]。

验证RKM：设[A→B]＝W。据1.2.5，有

（＃）[A]?[B]。

任给w∈W，我们有

w∈[KA] ? [A]∈N(w) 据1.2.2

? [B]∈N(w)据（＃）和1.2.3 (rkm)

? w∈[KB]。 据1.2.2

据w的任意性，有[KA]?[KB]，再据1.2.5，有[KA→KB]＝W。

验证RSKE：设[A?B]＝W。据1.2.5，有

（＃）[A]＝[B]。

任给w∈W，我们有

w∈[SKA] ? [A]∈O(w) 据1.2.2

? [B]∈O(w)据（＃）

? w∈[SKB] 据1.2.2。据w的任意性，有[SKA]＝[SKB]，再据1.2.5，[SKA?SKB]＝W。

（2）任给ek2-框架F＝和F上赋值[ ]。

验证RSKCM：设[A→B]＝W。据1.2.5，有

（＃）[A]?[B]。

任给w∈W，我们有

w∈[SKB]

? [B]∈O(w) 据1.2.2

? [A]∈O(w)据（＃）和1.2.3(rskcm) ? w∈[SKA]据1.2.2。

据w的任意性，有[SKB]?[SKA]，再据1.2.5，有[SKB→SKA]＝W。

其余的验证仿效（1）的相应验证。┤

3 完全性定理

定义1.3.1令w是公式集。

（1）称w是S-一致集，当且仅当对所有有穷公式序列A1,…, A n∈w，有

??(A1∧…∧A n)。

（2）称w是极大集，当且仅当对所有A∈Form，A∈w或?A∈w。

（3）称w是S-极大一致集，当且仅当w既是S-一致的又是极大的。

（4）称S是一致系统，当且仅当Th(S)是S-一致的。┤

引理1.3.2S是一致的。

证明：假设S不一致。则Th(S)不是S-一致的，所以存在A1,…, A n∈Th(S)使得

??(A1∧…∧A n)。

另一方面，因为A1,…, A n∈Th(S)，所以易证?A1∧…∧A n。

据定义1.1.9，S不协调，矛盾于定理1.1.10。┤

因为S是PC的扩充，所以如通常证明，我们有下列结果。

引理1.3.3令w是S-极大一致集。

（1）?A∈w ? A?w，

A∧B∈w ? A∈w且B∈w，

A∨B∈w ? A∈w或B∈w，

A∈w且?A→B ? B∈w，

A∈w且A→B∈w ? B∈w。

（2）Th(S)?w。

（3）若?A，则存在S-极大一致集u使得A?u。┤

定义1.3.4

|A|＝{w：w是S-极大一致集使得A∈w}。┤

引理1.3.5令W＝{w：w是S-极大一致集}。

（1）|?A|＝W－|A|，

|A∧B|＝|A|∩|B|，

|A∨B|＝|A|∪|B|，

|⊥|＝?，|T|＝W。

（2）|A|∩|A→B|?|B|。

（3）|A→B|＝W ? |A|?|B| ??A→B。

（4）|A?B|＝W ? |A|＝|B| ??A?B。

证明：据上一引理易证。┤

定义1.3.6

（1）定义S的典范模型M＝：

① W＝{w：w是S-极大一致集}；

② N是从W到P(P(W))中的映射使得

|A|∈N(w) ? KA∈w；

③ O是从W到P(P(W))中的映射使得

|A|∈O(w) ? SKA∈w；

④ [p]＝|p|， 对每一原子公式p。

（2）F＝称为S的典范框架。┤

说明：据1.3.2，S是一致的，所以W非空。

定理1.3.7典范模型基本定理

令M＝是S的典范模型。

（1）A∈w ? w∈[A]，对每一w∈W和A。

（2）|A|＝[A]， 对每一A。

证明：（2）从（1）易得。所以只须证（1）。

施归纳于A的结构。

原子公式的情况据上一定义的④。

布尔联结符?和∧的情况如通常所证。

令A＝KB。所以

w∈[A] ? w∈[KB]

? [B]∈N(w)据1.2.2的（3）

? |B|∈N(w) 据归纳假设

? KB∈w据上一定义②

? A∈w。

令A＝SKB。所以

w∈[A] ? w∈[SKB]

? [B]∈O(w)据1.2.2的（4）

? |B|∈O(w) 据归纳假设

? SKB∈w据上一定义③

? A∈w。┤

定理1.3.8令M是S的典范模型。则对每一公式A，我们有

M ?A??A。

证明：我们有

?A ? |A|＝W据1.3.3（2）－（3）? [A]＝W据上一定理

? M ?A据1.2.4。┤

定义1.3.9

（1）定义EK1的适当结构(proper structure) M＝如下：

① W＝{w：w是EK1-极大一致集}；

② N(w)＝{X?W：存在KA∈w使得|A|?X}，

③ O(w)＝{|A|：存在SKA∈w}，

④ [p]＝|p|，对所有w∈W和原子公式p。

这时F＝也称为EK1的适当框架。

（2）定义EK2的适当结构M＝如下。

① W＝{w：w是EK2-极大一致集}，

② N(w)＝{X?W：存在KA∈w使得|A|?X}，

③ O(w)＝{X?W：存在SKA∈w使得X?|A|}， ④ [p]＝|p|，对所有w∈W和原子公式p。

这时F＝也称为EK2的适当框架。┤引理1.3.10

（1）令M＝是EK1的适当结构。则M是EK1的典范模型。

（2）令M＝是EK2的适当结构。则M是EK2的典范模型。

证明：（1）据1.3.6，只须证：任给w∈W，

① |A|∈N(w) ? KA∈w。

② |A|∈O(w) ? SKA∈w。

先证①。“?”：设KA∈w。因为|A|?|A|，所以据N(w)的构造，有|A|∈N(w)。

“?”：设|A|∈N(w)。因为等价类的代表元不是惟一的，所以据N(w)的构造，

存在KB∈w使得|B|?|A|。

据|B|?|A|和1.3.5，有?B→A。据RKM，有

?KB→KA。

因为KB∈w，所以KA∈w。

再证②。“?”：设SKA∈w。据O(w)的构造，有|A|∈O(w)。

“?”：设|A|∈O(w)。据O(w)的构造，

存在SKB∈w使得|B|＝|A|。

因为|B|＝|A|，所以据1.3.5，?B?A。据RSKE，有?SKB?SKA。因为SKB∈w，所以SKA∈w。

（2）证明类似（1），所以下面我们只列出不同之处：

证②的“?”：设|A|∈O(w)。据O(w)的构造，存在SKB∈w使得|A|?|B|。

因为|A|?|B|，故据1.3.5，有?A→B。据RSKCM，有?SKB→SKA。因为SKB∈w，故SKA∈w。┤引理1.3.11

（1）EK1的适当框架F是ek1-框架。

（2）EK2的适当框架F是ek2-框架。

证明：（1）只须验证F满足定义1.2.3（1）给出的框架条件。

验证(kc)。设X, Y∈N(w)。则

① 存在KA∈w使得|A|?X， 且

② 存在KB∈w使得|B|?Y。

据公理KC和1.3.5，易得

③ 存在K(A∧B)∈w使得|A∧B|?X∩Y。所以X∩Y∈N(w)。

验证(skc)。设X, Y∈O(w)。则

① 存在SKA∈w使得|A|＝X， 且

② 存在SKB∈w使得|B|＝Y。

据公理SKC和1.3.5，易得

③ 存在SK(A∧B)∈w使得|A∧B|＝X∩Y。所以X∩Y∈O(w)。

验证(skf)。据 1.3.3（2），对每一w∈W，公理SK⊥∈w，所以据O(w)的构造，有

|⊥|∈O(w)，

因此据1.3.5（1），有?∈O(w)。

验证(rkm)。设X∈N(w)且X?Y。据前者，

① 存在KA∈w使得|A|?X。

因为X?Y，所以有

② 存在KA∈w使得|A|?Y。

所以Y∈N(w)。

（2）只须验证F满足定义1.2.3（2）给出的框架条件。

验证(rskcm)。设Y∈O(w)且X?Y。据前者，

① 存在SKA∈w使得Y?|A|。

因为X?Y，所以有

② 存在SKA∈w使得X?|A|。

所以Y∈O(w)。

其余的验证仿效（1）的相应验证。┤

定理1.3.12框架完全性定理

（1）EK1相对框架类Frame(ek1)是完全的。

（2）EK2相对框架类Frame(ek2)是完全的。

证明：（1）只须证：

（%）若A不是EK1的内定理，则A在某个ek1-框架中不有效。

令M＝是EK1的适当结构，且令F＝是EK1的适当框架。据引理1.3.10，M是EK1的典范模型。

设A不是EK1的内定理。据定理1.3.8，有M ? A，所以F ? A。再据上一引理，F是ek1-框架，所以有要证结果。

（2）的证明类似（1）。┤

定理1.3.13

EK1?EK2＋SKF。

证明：据1.1.5（Ⅱ）的（3）和（6）。┤

下面我们讨论一下EK1的扩充问题：

1、考虑SKC的逆

（SKM） SK(A∧B)→SKA∧SKB。

用删模态算子的方法，易见它的t-翻译是

?t(A)∨?t(B)→?t(A)∧?t(B)。

显然这个t-翻译一般不是重言式，所以SKM不能从EK1中推出。从直观方面考虑，在扩充EK1时也不能把SKM加入系统（作为公理加入或加入其他东西使得它为扩充系统的内定理），因为用它可得到

SK(A∧B)→SKA。

“不该知A∧B蕴涵不该知A”这个论断反直观。因此关于SK的单调规则

A→B／SKA→SKB，

也不能加入系统。

2、考虑1.1.5（Ⅰ）的（4）的逆

（EKM） EK(A∧B)→EKA∧EKB。

它的t-翻译是重言式。EKM似乎是直观的（在我们的问卷调查中大部分同学认为EKM在直观上是成立的），所以可以考虑把它加入EK1，因为它不会导致SKM。

注意：上述逻辑有一个变种，即在形式语言中把EK作为初始符号引入，以代替2个认知算子K和SK，从而把1.1.1（2）的形成规则改成：p??A?(A∧B)?EKA。

真值集定义的1.2.2（3）和（4）改成：

（3）w∈[EKA] ? [A]∈N(w)∩O(w)。

1.1.3给出的形式系统也要进行相应的修改：在PC上增加直接刻画EK的公理和规则。例如，增加1.1.5（Ⅰ）的（4）－（5）或（Ⅱ）的（4）和（7）中的一些作为公理和规则。我们认为，这样构成的逻辑本质上与上面我们提出的逻辑相同，只是形式上要更简洁一些，同时表达力要差一些。例如，它不能表达1.1.5（Ⅰ）的（6）和（7）或（Ⅱ）的（6）。

最后需要指出的是，我们还没有研究已知和不该知之间的关系，即N(w)和O(w)之间的关系。这也是今后要研究的一个方面。比方说，N(w)?O(w)表示主体已知的都是不该知的。这样的主体应该是什么样的主体？相反，O(w)?N(w)表示主体不该知的都是已知的。这样的主体又应该是什么样的主体？

二、多主体逻辑EK3

被调查者的另一种说法：“他连A都知道”这句话表示：

（1）大家不知道A，但他知道A。

这里的“大家”可以看作是一个“他”不在其中的非空主体集G。所以（1）表示：

（2）G中主体都不知道A，但他知道A。

本节许多定义、记法、引理和定理等如与上节相同就不再重复规定。

1 形式系统及其证明论

定义2.1.1公式的形成规则

（1）令G是n个主体的集合。固定某个不在G中出现的主体H（意指“他”）。

（2）形成规则如下：

p??A?(A∧B)?K i A， 其中i∈{H}∪G。

（3）所有公式的集合记为Form。┤

说明：（1）K i A的直观意义是：主体i知道A，所以K i称为知道算子。

（2）以后若不特别说明，我们总用i表示{H}∪G中的任意元素。

规定与缩写2.1.2

（1）?K G A::＝∧{?K i A：i∈G}。

（2）EK H A::＝K H A∧?K G A。┤

说明：?K G A表示{?K i A：i∈G}中所有元素的一个合取，所以?K G A直观表示G中所有主体都不知道A。

EK H A的直观意义如本节开头的（2），即EK H A表示“H连A都知道”。

定义2.1.3

认知系统EK3定义如下：

（TA）所有重言式的代入特例，

（KC i）K i A∧K i B→K i(A∧B)，

（KT i）K i A→A。

（MP）A, A→B／B，

（RKM i）A→B／K i A→K i B。┤说明：（1）KT i就是通常的知道公理。为了刻画知道算子的性质，通常还要增加诸如

K i A→K i K i A

那样的公理。本节为了简单就不再考虑。为了避免逻辑全知问题，在此也不引入知道概括规则

A／K i A。

（2）上述除TA以外的公理称为EK3的特征公理，RKM i称为EK3的特征规则。

定义2.1.4

?A，?A，内定理和导出规则如1.1.4定义。┤

引理2.1.5

下面是EK3的内定理和导出规则：

（1）K i A∧K i B?K i(A∧B)，

（2）K i A∧K i(A→B)→K i B，

（3）?K G ⊥，

（4）?K G A→?K G(A∧B)，

?K G B→?K G(A∧B)，

（5）EK H A∧EK H B→EK H(A∧B)，

（6）A?B／EK H A?EK H B，

（7）K H ⊥→EK H ⊥，

（8）?EK H A?(K H A→K G A)。

证明：（1）－（2）据KC i和RKM i。

（3）

① {?⊥→?K i ⊥：i∈G}KT i

② ∧{?K i ⊥：i∈G}①，TA，MP

③ ?K G ⊥。 ②，2.1.2（2）

（4）

① {K i(A∧B)→K i A：i∈G} RKM i

② ∧{?K i A ：i ∈G }→∧{?K i (A ∧B)：i ∈G } ① ③ ?K G A →?K G (A ∧B)。 ②，2.1.2（2）

（5）

① K H A ∧?K G A ∧K H B ∧?K G B →

K H (A ∧B)∧?K G (A ∧B) KC i ，（4）

② EK H A ∧EK H B →EK H (A ∧B)。 ①，2.1.2（3）

（6）

① A ?B 假设 ② K H A ?K H B ①，RKM i

说明：F 和M 可缩写为?W, N ③ ∧{?K i A ：i ∈G }?∧{?K i B ：i ∈G }

①，RKM i

④ K H A ∧?K G A ?K H B ∧?K G B ②，③，2.1.2

⑤ EK H A ?EK H B 。 ④，2.1.2 定义2.2.3

（7）

① K H ⊥→K H ⊥∧?K G ⊥ TA ，（3） ② K H ⊥→EK H ⊥。 ①，2.1.2 （8）

① EK H A ?K H A ∧?K G A 2.1.2 ② ?EK H A ?(K H A →K G A)。 ① ┤ 定义2.1.6 （1）定义从语言Form 到不含模态算子K i 的子语言Form 0?Form 的翻译映射t 如下：

t(p)＝p ， 对所有原子公式p ； t(?A)＝?t(A)； t(A ∧B)＝t(A)∧t(B)； t(K i A)＝t(A)。 （2）我们称t(A)是公式A 的t -翻译。┤

定义2.1.7 t-退化的概念如1.1.7定义。┤

定理2.1.8 EK3能t-退化为PC 0。┤

定义2.1.9 协调系统的概念如1.1.9定义。┤ 定理2.1.10 EK3是协调的。 证明：如1.1.10的证明。┤ 2 邻域语义和可靠性定理

定义2.2.1

（1）称F ＝?W, {N i ：i ∈{H }∪G }?是（多主体）

邻域框架，当且仅当

① W 是非空的可能世界集， 且

② 对每一i ∈{H }∪G ，邻域映射N i 是从W 到P(P(W))中的映射。

（2）称M ＝?W, {N i ：i ∈{H }∪G }, [ ]?是（多主体）邻域模型，当且仅当?W, {N i ：i ∈{H }∪G }?是邻域框架且

③ [ ]是从At 到P(W)的指派映射。 （3）[ ]称为上述框架上的映射。┤ i ? 和?W, N i , [ ]?。

定义2.2.2 真值集定义

令M ＝?W, N i , [ ]?是邻域模型。任给w ∈W ， （1）－（2）同1.2.2的（1）－（2）， （3）w ∈[K i A] ? [A]∈N i (w)。┤ （1）称邻域框架F ＝?W, N i ?是3型连这都知框架，简称F 是ek3-框架，当且仅当下列框架条件成立：对任意w ∈W 和X, Y ?W ，

(kci) X, Y ∈N i (w) ? X ∩Y ∈N i (w)， (kti) X ∈N i (w) ? w ∈X ，

(rkmi)

X ∈N i (w)且X ?Y ? Y ∈N i (w)。

（2）所有ek3-框架的类记作Frame(ek3)。┤ 有效性定义2.2.4 类似1.2.4的定义。┤

引理2.2.5 令M ＝?W, N i , [ ]?是邻域模型。则有形如1.2.5

的（1）－（3）的结果。┤ 定义2.2.6 形如1.2.6。┤

定理2.2.7 框架可靠性定理 EK3相对框架类Frame(ek3)是可靠的。 证明：任给ek3-框架F ＝和F 上赋值[ ]。 验证公理TA 和规则MP ：显然。 验证公理KC i ：任给w ∈[K i A ∧K i B]。再据2.2.2（2）－（3），有[A], [B]∈N i (w)。

再据2.2.3的(kci)，有[A]∩[B]∈N i (w)。再据引理2.2.5，有

[A ∧B]∈N i (w)。 再据真值集定义，有w ∈[K i (A ∧B)]。再据2.2.5（3），

w ∈[K i A ∧K i B →K i (A ∧B)]。

验证公理KT i ：任给w ∈[K i A]。则[A]∈N i (w)。

据2.2.3的(kti)，我们有w ∈[A]。

验证规则RKM i：设[A→B]＝W。据2.2.5，

（＃）[A]?[B]。

任给w∈W，我们有

w∈[K i A]

? [A]∈N i(w) 据2.2.2

? [B]∈N i(w)据（＃）和2.2.3(rkmi)

? w∈[K i B]据2.2.2。

据w的任意性，有[K i A]?[K i B]，再据2.2.5，有[KA i→K i B]＝W。┤

3 完全性定理

定义2.3.1形如1.3.1。┤

引理2.3.2EK3是一致的。┤

引理2.3.3形如引理1.3.3。┤

定义2.3.4形如定义1.3.4。┤

引理2.3.5形如引理1.3.5。┤

定义2.3.6

（1）定义EK3的典范模型M＝：

① W＝{w：w是极大一致集}；

② N i是从W到P(P(W))中的映射使得

|A|∈N i(w) ? K i A∈w，

③ [p]＝|p|。

（2）F＝称为EK3的典范框架。┤

定理2.3.7典范模型基本定理

令M＝是EK3的典范模型。

（1）－（2）形如1.3.7的（1）－（2）。

证明：证明形如1.3.7的证明。不同在于：

令A＝K i B。所以

w∈[A]

? w∈[K i B]

? [B]∈N i(w)据2.2.2的（3）

? |B|∈N i(w) 据归纳假设

? K i B∈w据上一定义的②

? A∈w。┤

定理2.3.8令M是EK3的典范模型。则M ?A??A， 对每一公式A。

证明：证明类似1.3.8的证明。┤

定义2.3.9

（1）定义EK3的适当结构M＝：

① W＝{w：w是极大一致集}，

② N i(w)＝{X?W：存在K i A∈w使得|A|?X}，

③ [p]＝|p|，对所有w∈W和原子公式p。

（2）F＝称为EK3的适当框架。┤

引理2.3.10

令M＝是EK3的适当结构。则

M是EK3的典范模型。

证明：据2.3.6，只须证：任给w∈W，

（1） |A|∈N i(w) ? K i A∈w。

“?”：设K i A∈w。因为|A|?|A|，所以据N i(w)的构造，有|A|∈N i(w)。

“?”：设|A|∈N i(w)。据N i(w)的构造，

存在K i B∈w使得|B|?|A|。

据|B|?|A|和2.3.5，有?B→A。据RKM i，有

?K i B→K i A。

因为K i B∈w，所以K i A∈w。┤

引理2.3.11EK3的适当框架F是ek3-框架。

证明：验证(kci)。设X, Y∈N i(w)。则

（1）存在K i A∈w使得|A|?X， 且

（2）存在K i B∈w使得|B|?Y。

据公理KC i和2.3.5，易得

（3）存在K i(A∧B)∈w使得|A∧B|?X∩Y。

所以X∩Y∈N i(w)。

验证(kti)。设X∈N i(w)。则

（1）存在K i A∈w使得|A|?X。

因为K i A∈w，所以据公理KT i，有A∈w，所以w∈|A|，又因为|A|?X，所以w∈X。

验证(rkmi)。设X∈N i(w)且X?Y。据前者，

（1）存在K i A∈w使得|A|?X。

因为X?Y，所以有

（2）存在K i A∈w使得|A|?Y。

所以Y∈N i(w)。┤

定理2.3.12框架完全性定理

EK3相对框架类Frame(ek3)是完全的。

证明： 证明类似1.3.12的证明。┤

对本节开头的（2），我们还可以做更宽泛的考虑。因为“他连A都知道”总是有人说出来的，

所以我们可以考虑说话者的情况。假设这句话，比方说，是你说出来的。那么我们可以把你考虑进去（即把隐性建模者转化为显对象你）：在对象语言中描述“你说：‘他连A都知道’”。

令G是一群主体使得H（表示他）和Y（表示你）不在其中。现在公式的形成规则如下：

p??A?(A∧B)?K i A， 其中i∈{H, Y}∪G。

我们认为“你说：‘他连A都知道’”这句话应该表示3层意思：

1、你知A（你过去也许不知A，但说话时肯定知A），

2、你知他知A， 且

3、你知G中其他主体不知A。

所以我们可以把“你说：‘他连A都知道’”形式化为下列表达式且用S Y EK H A缩写

S Y EK H A::＝K Y A∧K Y K H A∧K Y ?K G A。因为

K Y(A∧K H A∧?K G A)?K Y A∧K Y K H A∧K Y ?K G A 是EK3的内定理，所以S Y EK H A可以看作是K Y(A∧K H A∧?K G A)

的缩写，从而看作是K Y(A∧EK H A)的缩写。

这样在EK3中有下列内定理和导出规则：

（1）S Y EK H A∧S Y EK H B→S Y EK H(A∧B)，

（2）A?B／S Y EK H A?S Y EK H B。

在问卷调查中我们还发现一种比本节开头的（1）更概括的说法（（1）是（3）的特例）：

（3）大多数人不知道A，但他知道A。

因此隐性建模者或说话者“你”提到的论域分为两个主体集F和G。少数主体组成F，大多数主体组成G，所以（3）可以表示为：

（4）（你说：）他和F中的主体都知道A，但G中主体都不知道A。

以后我们发文研究这种说法。

与上节末尾我们指出的那样，EK3也有相应的变种：2.1.1（2）的形成规则改成：

p??A?(A∧B)?EK H A。

真值集定义的1.2.2（3）和（4）改成：

（3）w∈[EK H A]

? [A]∈N H(w)且对每一i∈G，[A]?N i (w)。2.1.3给出的形式系统也要进行相应的修改：在PC 上增加直接刻画EK H的公理和规则。例如，增加2.1.5的（5）或（6）作为公理和规则。我们认为，这样构成的逻辑本质上与上面我们提出的逻辑相同，只是形式上要更简洁一些，同时表达力要差一些。例如，它不能表达2.1.5的（7）或（8）。

［参考文献］

［1］李小五. 模态逻辑讲义[M]. 广州:中山大学出版社, 2005。