自动控制原理习题全解及MATLAB实验 第6章习题解答

第6章控制系统的校正

本章主要讨论利用频率法对单输入-单输出的线性定常系统的综合和设计。在介绍控制系统校正的基本概念、控制系统的基本控制规律的基础上，介绍了各种串联校正装置（超前校正装置、滞后校正装置、滞后-超前校正装置）的特性及按分析进行相应设计的基本步骤和方法；还介绍了期望设计法的基本概念、常见的期望特性和设计步骤；另外还介绍了根轨迹法的串联校正和反馈校正的基本概念和方法；最后介绍了利用MATLAB进行控制系统校正。

教材习题同步解析

试分别说明系统的固有频率特性与系统期望频率特性的概念。

答：系统本身固有元件所具有的频率特性称为固有频率特性。设计者希望系统所能达到的频率特性称为系统期望频率特性。

试比较串联校正和反馈校正的优缺点。

答：a、校正装置和未校正系统的前向通道环节相串联，这种叫串联校正，串联校正是最常用的设计方法，设计与实现比较简单，通常将串联装置安置在前向通道的前端。

b、并联校正也叫反馈校正，它是和前向通道的部分环节按反馈方式连接构成局部反馈回路，设计相对较为复杂。并联校正一般不需要加放大器，它可以抑制系统的参数波动及非线性因素对系统性能的影。

PD控制为什么又称为超前校正？串联PD控制器进行校正为什么能提高系统的快速性和稳定性？

答：加入PD控制相当于在系统中加入一个相位超前的串联校正装置，使之在穿越频率处有较大的相位超前角。因此，PD控制称为超前控制。PD控制的传递函数为G s Kp sτ

=+，由比例控制和微分控制组合而成。增大比例系数Kp，可以展宽系统的()(1)

通频带，提高系统的快速性。微分控制反映信号的变化率的预报作用，在偏差信号变化前给出校正信号，防止系统过大地偏离期望值和出现剧烈振荡倾向，有效地增强系统的相对稳定性。

PI控制为什么又称为滞后校正？串联PI控制器进行校正为什么能提高系统的稳态性能？如何减小它对系统稳定性的影响？

答：PI控制在低频段产生较大的相位滞后，所以滞后校正。PI控制的比例部分可以提高系统的无差度，改善系统的稳态性能。在串入系统后应使其转折频率在系统幅值穿越频率

的左边，并远离系统幅值穿越频率，以减小对稳定欲量的影响。

PID 控制为什么又称为滞后-超前校正？串联PID 控制器进行校正为什么能改善系统的稳态性能与动态性能？

答：PID 兼有PI 、PD 控制的特点，它相当于提供了一个积分环节与两个一阶微分环节。积分环节改善稳态性能，两个一阶微分环节改善动态性能。

试分别叙述利用比例负反馈和微分负反馈包围振荡环节所起到的作用。 答：二阶振荡环节的频率特性为

22

1

21

T S S ξ++ 用比例负反馈H(s)=h 包围后

2

222

()1

()2121C s h T R s T S S S S h T

ξξ==++++ 可见振荡环节的时间常数T ，阻尼比ξ均减小，阻尼比ξ的减小使系统的动态性能得到改善，稳态性能得到降低。

用微分反馈包围二阶振荡环节，能够在不影响无阻尼自然角频率n ω和比例系数K 的前提下增加阻尼比，改善系统的相对稳定性。 设一单位反馈系统的开环传递函数()(1)

o K

G s s s =

+，若要使系统开环传递系数K =10，相

位裕量γ’不小于45o，幅值穿越频率’c 不小于 rad/s ，试求系统所需的串联超前校正装置及其参数。

解：绘制未校正系统的伯德图如图所示。

L()/dB

40

[-20] 20

[-40] Lc()

1

(rad/s)

图 题系统校正前后的伯德图

(1) 10K =, 1ν= 0(1)20lg1020lg120L =-= 求校正前系统的幅值穿越频率

()20lg10

40 3.16 4.4lg lg1

c c c L ωωω-=-?=<-

1180(90tan )c γω-=+--o o 1180(90tan 3.16)17.645-=+--=

(2) 求校正装置的参数?

(m)4517.69.637?=-+=o o o o

1sin 370.251sin 37

-?==+o o

(3) 确定校正后的幅值穿越频率'c ω

'12()10lg()6dB c c L ω=='' ()()6o c c c L L dB ωω∴=-=-,

''

()20lg(10) 40lg lg1

o c c L ωω-=--'1()10lg()6dB 2c c L ω==, 最后得出 'm 4.47rad/s>4.4rad/s c ωω==

(4) 确定校正装置的转折频率

1 2.2rad/s ωω==

，28.8rad/s ωω==，1

1

0.45T s ω=

=，

1

0.451

2.2 G(s)=0.11118.8

s s s

s ++=

++ (5)验证'γ k c 010(0.451)

G ()G ()G ()(1)(0.111)

s s s s s s s +==

++

-1-11'180[90tan (0.45 4.47)tan (4.47)tan (0.11 4.47)]=5045γ-=+-+?--?>o o o o

满足题意。

(6) 确定元件参数

若校正装置如图所示情况，则有

C R1

Ui(t) R2 U0(t)

图 题校正装置图

2

12

R 0.28R R α=

=+，1T=R C=0.45

一单位负反馈系统固有部分的传递函数为()(1)(0.51)

o K

G s s s s =

++，若要求系统的静态

速度误差系数K v =5s －1

，相位裕量γ’≥40o，幅值穿越频率’c ≥s，幅值裕量L’h ≥10dB。试设计所需串联滞后校正装置的传递函数。

解（1）求校正前的开环频域指标

绘制k=5时未校正系统的伯德图如图所示。

图 题图 k=5时未校正系统的伯德图

求c ω，假设在斜率为-40是穿越实轴，则

60

1

-40

-20

Wc=

-60

-60

-20

-40

Wc ’=

()20lg 5

40 2.24/lg lg1

c c c L ra

d s ωωω-=-?=-

此时c ω大于转折频率2，故斜率为-60时穿越实轴，同理可求的 完成 2.152c ω=>满足条件

180(90arctan 2.15arctan(2150.5))22.2γ=?+-?--?=-?，

若取'4022.2567.265m φγγ=-+=?+?+?=?>?V , 且'0.5/c rad s ω=在 2.15c ω=左边，故采用滞后校正。

（2）确定校正后的幅值穿越频率

选择未校正系统的相位裕量 0'401050γγ=+?=?+?=?， 令''180(90arctan arctan(0.5))50c c γωω=?+-?--?>?，

将'0.5c ω=带入可得49.450γ=?? 故选'0.5ω=c

（3）确定V 值

1

L (')20lg 20lg

o c ωββ

==-，

(')20lg 5

2010lg 'lg1

o c c L ωβω-=-=>=-

(4)确定滞后校正装置转折频率

21'/10~'/2c c T ωωω=

=，现在取'/10c ω，210.50.0510

T ω===，20T =>= 11111020200T ωβ=

==

?，201

()2001

c s G s s +∴=+ （5）5(201)

()s ()(1)(0.51)(2001)

k c s G s G s s s s s +∴==+++g o （）G （绘于图中）

（6）验证'r

'180(90arctan('20)arctan 'arctan('0.5)arctan('200))44.340c c c c r ωωωω=?+-?+?--?-?=?>?

满足， 由图可看出'n L 也满足

系统开环传递函数为()()()

12.011.00++=

s s s K

s G ，要求：

（1）系统响应斜坡信号r(t)=t 时，稳态误差01.0≤ss e ； (2) 系统相位裕量'40γ>?。

试用分析法设计一个串联滞后-超前校正装置。

解：（1）系统为Ⅰ型系统，在单位斜坡信号下 分稳态误差为

k

e ssr 1

=

令01.01

==

k

e ssr ，则 k=100 低频段过点为 20lg 40db o L K == 中频段穿越斜率为-60 db/dec 由

(5)-20lg 20lg5-lg1

o L K

=- 则 o L (5)=26db

同理 o L (10)=14db 且 17c ω=rad/s

故 180[90arctan(170.1)arctan(170.2)]43.10γ=?+-?-?-?=-?

图 题系统校正前后伯德图

（2）选择新的c ω'

由校正前的相频特性与幅频特性可知 当ω在[5,10]的范围内时，渐近线的斜率为-40db/dec,即对应的相位穿越频率g ω应在此范围内。 当7rad/s ω=时

(7)90arctan(70.1)arctan(70.2)179.5?=-?-?-?=-?

若选7c rad/s ω'=，系统所需的相位超前角约为50? 因为 (7)20db o L = 所以(7)20db c L =-

又'20lg ()o c L βω>，10β> (滞后部分)，又1αβ= 所以0.1α< （超前部分） （3） 确定校正装置的滞后部分 滞后部分'2c 21T =1rad/s ωω==滞

令 14β= 则21T =14rad/s ωβ=滞1

所以 滞后部分的传递函数为11

()141

s G s s +=+

（4） 确定超前部分

(7)20c L db =-过（7 rad/s,-20db ）画一条斜率为20db/dec 的斜线，超前部分20db/dec

的渐近线以滞后部分的0db/dec 的渐近线的交点对应超前部分的第一个转折频率1/T1,与0db 线的交点对应第二个转折频率

4

(7)0

207c L Lg Lg ω-=-

则4170/rad s ωβ==

又 14β= 故 3115/T rad s ω==

超前部分的传递函数为20.21

()0.01431

s G s s +=

+

（5）10.21

()1410.0143c s s G s s s

++=

+g

(6) 100(1)

()(141)(0.11)(0.01431)

k s G s s s s s +=

+++

'180[90arctan 7arctan(147)arctan(0.17)arctan(0.01437)]41.940γ=?+-?+-?-?-?=?>?

负反馈系统的开环传递函数为2

()

(0.251)

o G S S S =

+ 要求系统的稳态速度误差系数

110kv s -= ，谐振峰值 1.5Mr ≤，试确定串联校正装置参数。

解：（1）绘制校正前的系统的开环传递对数幅频特性（如图()o L ω所示） （2） 按照K=10绘制期望特性曲线的低频段

（3）按动态性能的要求确定系统的中频段，为保证足够的相位裕量，中频段的穿越频率斜率应为-20 db/dec,由于绘出的是闭环频域指标的要求Mr 则 中频段宽度M 1

5.5M11

r h +≥=- 现取 h=10 Wc ’= rad/s

由 2

20.51

w Wc h =≈+ rad/s 2351

h

w Wc h =

≈+ rad/s 据此画出期望特性的中频段

（4）求校正装置的传递函数

(21)(0.251)

()(101)(0.21)

c s s G s s s ++=

++

(5) c 10(21)

()G ()()(101)(0.21)

k o s G s s G s s s s +==

++g

'180[90arctan(2 2.5)arctan(10 2.5)arctan(0.2 2.5)]54.41

1.23 1.5sin '

r M γγ=?+-?+?-?-?=?

=

=<

满足题意

图 题校正前后伯德图

负反馈系统的开环传递函数为 100

0()(0.251)(0.051)

G S S S S =

++要求系统校正后的

谐振峰值 1.4Mr ≤ ，谐振频率 10/wr rad s ≥ 试确定串联校正装置。

解：(1)绘制校正前的幅频特性L0(W),可求得

Wc=20 rad/s

180[90arctan5arctan1]33.7r =?+-?--=-?

(2)按动态性能的要求确定系统的中频段，喂饱则很难过足够的相位裕量，中频段的穿越斜率为-20 db/dec

中频段的高度 1 1.41

61 1.41

r r M h M ++≥

==--

考虑到要留一定的裕量 取 h=10 Wc ’=10 rad/s 则 2

2'2/1

w Wc rad s h =

≈+(与未校正前穿越频率相同)，32'20/w wc rad s ==

图 题系统校正前后伯德图

（3）绘制期望特性的低中段，中高频链接段与高频段，分别过B,C 两点做斜率为-40 db/dec 的斜线交低频段，高频段于A,D 点

在频率w2=2 rad/s 处

()20lg100201234o L g ω=-=db ，

60

28

()()'c '

c (L()(2)0

20(2)14lg -lg lg 2lg10(2)()()22202010

c o o L L L dB L L L L L Lg ωωωωωωββ--==-?=-∴=-=-=-=-∴=） 由此得出A 点对应频率11/2/0.2/T w ra

d s β==，D 点对应频率'41/T 100c βω==

（4）由于(0.51)(0.251)()(51)(0.011)c s s G s s s ++=

++，100(0.51)

()(0.051)(51)(0.011)

k s G s s s s s +∴=

+++ 180[90arctan(0.510)arctan(0.0510)arctan(510)arctan(0.0110)]47.50

γ=?+-?+?-?-?-?=?> 满足题意

1

1.36 1.4sin '

Mr r =

=≤ 满足题意

设一个随动系统，其开环传递函数为2

()(0.21)

o K

G s s s =

+ ，由期望法设计系统的稳态加速度误差系数K a =202-s 和相位裕量 '35o r ≥时的串联校正装置。

解：

图 题伯德图

由20lg 2040lg 0c ω-=，得 4.47c ω= rad/s

'180()41.8c γ?ω=?+=-?

26

40

max 3541.813.290?=?+?+?=?

由于max ?较大，应采用两级超前校正，每级max '45?=?

2

121s/()1s/c G s ωωωω??

+∴= ?+??

21，=a

由max 1

sin ' 5.81

a a a ?-=

?=+ 取6a =，则16ωω=2

校正后系统的开环传递函数为2

1o 22

220(1/)()()(0.21)(1/)

c s G s G s s s s ωω+=++ 当'c

ωω=时，'c ω是1ω和2ω的几何中点，可以算得

'2'

'2

11'2'

20(/)()1100/0.2c c c c c

A ωωωωωωω≈=?=? 代入

''11113.44,20.64,8.43c c ωωωω==?≈==

2

2

22

1/3.44()1/20.6420(1/3.44)

()()()(0.21)(1/20.64)c c o s G s s s G s G s G s s s s +??

∴= ?

+??+∴==

++

(')180(')31.935c c γω?ω=?+=?

再将a 增大到7，重复上述步骤得(')37.735c γω=> 此时

2

2

22

1/3.44()1/24.0820(1/3.44)

()(0.21)(1/24.08)c s G s s s G s s s s +??

= ?

+??+=

++

设单位负反馈系统的开环传递函数为()(0.51)(0.1671)

o K

G s s s s =

++，试用期望对数频

率特性法（期望特性用1-2-1-2-3系统）设计串联校正装置，使系统满足下列性能指标：

K ≥180，σ%≤27%，t s ≤2秒。

解：（1）绘出校正前的幅频特性图(如图，计算

图 题伯德图

(2)40(90arctan(0.513.43)arctan(0.16713.43))57.50

L dB L ωγ=?+-?-?-?=-?< (6)=21dB

=13.43rad/s

c

=180

（2）求中频段

6~86~8

'3~4'5/c c 2

6427648.27162716

2

'1/c

12'10/3c

rad s

t s

a h a rad s

h rad s

ωωωωωω≥

===++===--∴=?=+== 取 取h=10

2 （3）由L L L c o

(1)=(1)-(1)=14-46=-32

得 L c

β(1)=-32=-20lg

β?=40

∴ 12/1/400.025/rad s ωωβ===

431040400/rad s ωβω==?=

（4）

(1)(0.11)()(401)(0.00251)

200(1)(0.11)

()()()(0.51)(0.1671)(401)(0.00251)

c k c o s s G s s s s s G s G s G s s s s s s ++=

++++∴==

++++Q g

系统开环传递函数为2

()(0.051)

o K

G s s s =

+，希望闭环系统具有以下性能指标： （1）稳态加速度误差系数K a =10s －2

。 （2）γ’ ≥35o，’c ≥10 rad/s。 试用期望法确定系统所需串联校正装置。

解： （1）绘出校正前的幅频特性曲线（如图）

令 =3.16rad/s c ωK=Ka=10,

'=-arctan(0.05 3.16)=-9γ??

（2）题目要求10/c rad s ω≥,现取10/c rad s ω'=

在c ω'处，(')20lg10-40lg '20-40-20o c c L dB ωω=== 由('0()-()c c o L L L L ωωωω==)， （）

(')20c c L dB ω=

∴AB 段()c L ω的方程为

()-2020(lg -lg10)c L ωω=

又11()01/c L rad s ωω=?=

（3）现在取250/rad s ω=，可得1

0.021

c s G s s +=+（）

，

'101()10/2(0.051)(0.021)

c s G s ra

d s s s s ω+∴=

=++（） （）

'180902arctan 0.5arctan 0.2

γ=?-??+-'180902arctan 0.5arctan 0.2γ=?-??+-?>?=84.3-26.6-11.3=46.435

满足要求

图 题系统伯德图

原系统的开环传递函数为10

()(1)

o G s s s =+，采用串联校正，期望校正以后的开环幅频

特性曲线L （ω）如图所示。试求：

（1）在原图上绘制所需校正装置的伯德图L c （），求出此装置的传递函数G c （s ），并

说明该装置的类型。

（2）简要说明系统校正前后性能的变化。

解：(1) 由图可知校正后的传递函数，其低频段的频率为-20dB/dec 又L （1）=20lgk-20lg1=20 K=10 确定各型环节：

第一个转折点 1ω=1rad/s 斜率减小20db/dec 第二个转折点 2ω =s 斜率增大20dB/dec 第三个转折点 3ω=s 斜率减小20dB/dec

5

10(1)11()5

(1)(1)

44

k s G s s s s +∴=

++ ()()()k o c G s G s G s =g 5

1

2044

11()5

544144

c s s G s s s ++?==

++11ω=

10c ω'=

()L ωL

()

o L ω()

c L ωB

3.16

c ω=A

(2)系统增加了带宽，快速性改善，相位裕量明显增加，系统稳定性改善，高频段对数幅值上升。抗干扰性下降

一单位负反馈控制系统的开环传递函数为

()(4)(6)

g

o K G s s s s =

++

（1）若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量%σ≤18%，试用根轨迹法确定系统的开环传递系数。

（2）若希望系统的开环传递系数K ≥15，而动态态性能不变，试用根轨迹法确定校正装置的传递函数。

解：（1）

①由于%σ≤18%，并留有一定的余地，选0.5ξ=，使主导极点的阻尼角

arccos 60βξ==?；

由于s t 未要求，不妨设3

1.5s n

t s ξω=≤，则4/n rad s ω=，于是我们希望的闭环主导极

点为：

1,22n s j j ξωω=-±=-±②画出未校正系统的根轨迹（略），由于期望的极点位于校正前根轨迹左方，故采用串联超前校正装置加以校正。

③原系统开环零极点对闭环极点所产生的相位角为：

01111()(4)(6)1206040220G s s s s ∠=-∠-∠+-∠+=-?-?-?=-?

则超前校正装置提供的相位角01180()180(220)40c G s ?=-?-∠=-?--?=?

④由作图法确定所需的零极点与校正装置的传递函数（图略）

2.6

() 6.1

c c

s G s K s +=+

⑤( 2.6)()(4)(6)( 6.1)

g k K s G

s s s s s +=

+++

1

11112146 6.1

|1382.6

g s j s s s s K s =-++++=

+g g g 开环传递系数138 2.6

2.4546 6.1

K ?==??

（2）略

系统开环传递函数为

()(4)(5)

g

o K G s s s s =

++

要求校正后系统的K v =30s －1

，ζ=，利用根轨迹法确定串联校正装置。

采用了反馈校正的系统结构图如图所示，试比较校正前后系统的性能。 解：校正前 1010

()1(0.51)(0.51)

k G s s s s s =?

=

++ 其穿越斜率为-40 d B/dec ， c 4.47rad/s ω=

-1180[90tan (0.5 4.47)]24.1γ=?+-?-?=?

穿越斜率在-40db/dec 上，系统稳定性不高

校正后4

'()(0.21)

k G s s s =

+

其穿越斜率为-20db/dec ， c '4rad/s ω=

-1180[90tan (0.24)]51.324.1γ=?+-?-?=?>?

系统稳定性得到提高

200

10 +1)

S H(s)

图 题系统结构图

采用反馈校正后的系统结构如图所示，其中H (s )为校正装置。要求系统满足下列指标：静态速度误差系数K v =200s －1

，γ≥45。试确定反馈校正装置的参数，并求校正后系统的等效开环传递函数。

解：（1）校正前系统的开环传递函数为：10200

0.1()2000.011(0.011)

o G s s s s s =??=

++ 幅值穿越频率为，幅值穿越斜率为-40db/dec

-190tan (0.01141.4)35.3γ=?-?=?

R(s) C(s)

+ + _ _

图 题系统结构图

(2)开环传递系数为K=200，系统的稳定性能已满足。据此期望特性的低频段与校正前重合

如图所示，取 c '120rad/s ω= 求

C 点：033()(20lg 20020lg100)40(lg lg100)L ωω--=-- ① C 点：33()020(lg lg120)k L ωω-=-- ② 由①②两式可得： 3166.3rad/s ω= 取 210/rad s ω= ， 求 1ω

B 点 (10)20(lg10lg120)21.6k L dB =--= A 点 k 11L ()21.640(lg lg10)ωω-=-- ……③ A 点 11()20lg 20020lg o L ωω=- ……④

由③④可得：16/rad s ω=

由于()o L ω'低频段渐近线为+20db/dec

'()20lg '20lg o L k ωω=+

把 '(6)0dB o L = 代入可得: K ’=1/6= ∴局部反馈回路的开环传递函数为

L(

)/dB

A

L0() Lk(

)

B

3

(rad/s)

1

2 100

ˊc C

图 题系统伯德图

()()26(0.11)(0.011)

s

G s H s s s =

++ 又 210

()

(0.011)

G s s =

+

22G ()H()6(0.11)(0.011) H(s)=10G ()60(0.11)(0.011)

s

s s s

s s s s s ++∴==

++

由图可知：k 200(0.11)200(0.11)

G ()

111(1)(1)(1)(0.0061)6166.36

s s s s s s s s s ++=

=

++++ 120/c

rad s ω=

-111'18090tan 12tan 20tan 0.72 =52.3>45γ--=?-?+--??

(满足)

MATLAB 实验指导

利用MATLAB 函数编写程序，绘制无源超前校正装置的1/α与m ?及10lg(1/)α的关系曲线（如教材图所示）。（提示：1/α的取值范围为[1，20]）

解：

1）超前校正网络的传递函数为：

1

(),

11

c Ts G s Ts α

αα+=<+

m

为校正装置出现最大超前相角的频率，它位于两个转折频率T

1和T α1的几何中点，

m

为最大超前相角，为：

α

α

?+-=11arcsin

m

m

与一一对应，越小，所提供的

m

就越大。但同时高频段对数幅值也越大，对

抗干扰性能不利。为保持较高的信噪比，一般取值范围为≤＜1，即校正装置一般能够提供的最大超前角

m

<65°。

为便于MATLAB 编程，可考虑取系数1

1a α

=

>，则

m

为

1

11180arcsin arcsin 111m a a a a

?π-

-?

==?

++ 2）根据以上分析，将

m

及10lg(1/)关系曲线绘制于同一图形中的MATLAB 程序如下

a=1::20; %设定系数a 的取值范围，a=1/

for i=1:length(a)

faim(i)=asin((a(i)-1)/(a(i)+1))*180/pi; %求相位

m

L(i)=10*log10(a(i)); %求10lg(1/)，即10lg(a)

end

aa=plotyy(a,faim,a,L); %以1/为横坐标，绘制

m

及10lg(1/)关系曲线

gtext('10lg(1/a)'); %曲线标注 gtext('相位');

set(aa,'linewidth',; %设置曲线格式 ylabel('10lg(1/a)/dB') %标注纵坐标 xlabel('1/a'); %标注横坐标

grid;

图 关系曲线

超前校正装置的1/α与m ?及10lg(1/)α的关系曲线，见图。

利用MATLAB 函数编写程序，绘制无源滞后校正装置1/β与20lg(1/)β、c

(’c )

的关系曲线（如教材图所示）。（提示：1/β的取值范围为[，1]）

解：

1）滞后校正网络，其传递函数为

1

(),11

c Ts G s Ts ββ+=

>+

与超前校正不同，串联滞后校正装置将会使被校正系统的相位滞后增加。为了避免对系统的相位裕量产生不良影响，应尽量使最大滞后相角远离校正后系统新的幅值穿越频率

’c ，即’c 远大于第二个转折频率

2

，一般可取

2'110

c

T ωω=

= 因此有2'1010/c T ωω==，则滞后装置在新的幅值穿越频率’c 处的的相角滞后为

c

(’c )=arctan T ’c -arctan(T ’c )

化简可得

1(')arctan 0.1(1)c c ?ωβ??

≈-????

同样，为便于MATLAB 编程，可考虑取系数1

1b β

=

<，则

c

(’c )为