自控原理课程设计

定常系统的频率法超前校正

1问题描述

用频率法对系统进行校正，是利用超前校正网络的相位超前特性来增大系统的相位裕量，从而提高系统的稳定性，致使闭环系统的频带扩展，以达到改善系统暂态响应的目的。但系统频带的加宽也会带来一定的噪声干扰，为了系统具有满意的动态性能，高频段要求幅值迅速衰减，以减少噪声影响。

2设计过程和步骤

2.1题目 已知单位反馈控制系统的开环传递函数：

)101.0)(11.0()(++=

s s s K

s G

设计超前设计超前校正装置，使校正后系统满足：

%

40,30,601

1

≤≥=--σωs

s

K c v

2.2计算校正传递函数

（1）根据稳态误差的要求，确定系统的开环增益K

60

)

101.0)(11.0()(lim 0

=++=

=→s s s K

s sG K s v

则可以解得60=K

（3）由于开环增益60=K ,在MATLAB 中输入以下命令： num=[60];

den=[0.001,0.11,1,0]; Gs=tf(num,den); bode （Gs ）；

margin （Gs ）；

由次可以得到原开环传递函数的伯德图，如图1所示，进而求出相位裕量

3.101=

γ

图1 校正前系统伯德图

(3)由给定的相位裕量值γ，计算超前校正装置应提供的相位超前量φ，即

1m φφγγε

==-+

因为%40%σ≤，故由公式10.160.4(

1)40

sin σ

γ

???

?

=+-=， 可得γ ≥38.68?，

所以得

58

.411=+-=Φ=Φεγγm ，式中的ε是用于补偿因超前校正装置的引入，

使系统的剪切频率增大而增加的相角迟后量。ε值通常是这样估计的：如果未校正系统

的开环对数幅频特性在剪切频率处的斜率为40/db dec -，一般取

10~5=ε；如果该频段的斜率为60/db dec -，则取

20~15=ε但是上面所说的斜率未见尽显的频率所以剪切频率处的频率应处于40/db dec -到60/db dec -之间，因此 20~5=ε，此处取

14

=ε最合适。

(4) 根据所确定的最大相位超前角m

φ，按下式算出相应的α值

1sin 1sin m m

φαφ-=

+ =0.019471。

计算校正装置在m ω处的幅值10lg 1α(参见图1-2)。由未校正系统的对数幅频特性图,求得其幅值为10lg 1α-处的频率，该频率m ω就是校正后系统的开环剪切频率c ω，即c m ωω=；

1

1

301.35--≥==s

s

m c ωω

(6)确定校正网络的转折频率1ω和2ω； 因为有公式

1211

,

m

m T

T

ωωωαωαα=

==

=

所以经过计算可得 06457.0=T 01257.0=αT

(7)画出校正后系统的伯德图，并验算相位裕量是否满足要求?如果不满足，则需增大ε值,从步骤(3)开始重新进行计算。

超前校正装置的传递函数为：

1()1c Ts

G s Ts α+=

+ 超前校正网络的伯德图如下图2所示：

1

20lg

α

1

10lg

α

m

ωm

ωω

ω

m

φφ

L()

ω1T

α1T

图2 超前校正网络的伯德图

超前校正装置的传递函数为：

1

01257.0106457.0++=

s s G c

由MATLAB 做出其伯德图如图2-3所示。

图2-3 校正函数的伯德图

此时可以有前面已经算出的条件得到校正后系统的开环传递函数为；

)101257.0)(11.0)(101.0()

106457.0(60)()(++++=

s s s s s s G s G c

所以校正后的伯德图如下图4所示。

图4 校正后系统的伯德图

校正后系统的相位欲度为：

9.384.38≤=γ，故满足相位裕度的要求。

(8) 在同一坐标系下画出校正前后的Bode 图（以便校正结果的比较），并记录校正前后系统的相角裕量和幅值裕量，校正前后伯德图如下图5所示。

图5 校正前后bode 图

通过计算得到校正前后系统的超调量和剪切频率的记录如表1所示。由表2可知，

系统校正后超调量%7.199%=σ,剪切频率1

47.7-=S Wc ，满足了超调量%40≤σ、剪切频率1

5-≥s Wc 的要求，增加了系统稳定性，达到了我们需要的效果。

表1 数据记录

校正前 校正后 超调量 剪切频率 超调量 剪切频率 199.7%

23.2

39.7%

35.1

（3）将MATLAB 结果与实验结果进行分析比较。

（4）在同一坐标下画出校正前后的Bode图（以方便校正结果的比较），记录校正前后系统的相角裕量和幅值裕量。

校正前后系统的相角裕量和幅值裕量的记录如表2所示。

表2 数据记录

校正前校正后

相角裕量(°) 幅值裕量(dB) 相角裕量(°) 幅值裕量(dB)

23.2 5.26 38.9 12.1

由表2可知，校正前相角裕量为23.4°，校正后相角裕量为42°，增大了约18.6°；校正前幅值裕量为11.3dB,校正后幅值裕量为18.2dB，增大了约6.9dB。根据自控原理理论可知，频率指标中的相位裕量增加，则超调量下降，系统动态过程的平稳性变好；幅值裕量的增大，可以预防系统中元件性能变化可能带来的不利影响。

3软件仿真实验结果及分析

（1）在MATLAB/SIMULINK环境下搭建仿真模型进行仿真。其模型图如图6所示；

图6用simulink搭建的系统组态图

(2)将校正前后的阶跃响应曲线同一个坐标系下（以便校正结果的比较），校正前后系统的时域指标。图7为校正后的仿真图：

图7校正前后的系统仿真图

通过仿真图可以很明白的看出经过超前校正之后，系统的的响应更为迅速，即上升时间明显缩短，超调量相比于原来低了许多，动态性能有所改善，具体数值已在上一个问题中有所计算，故在此不加赘述。

4硬件物理实验结果及分析

电路是在EWB软件下搭载而成，由于软件中一些元件性能的限制，并不能很好的反应映出动态性能，但是超调量可以明显的看出存在差异。

经计算由传递函数可以求出各个物理量的参数，通过EWB软件在其平台上生成元件

并连接，得到校正前的系统仿真图，如图8所示：

图8校正前的系统仿真图

同理，可以通过计算得到校正环节的各个物理量参数，值得注意的是必须要在反馈环节中加入一个反向运算放大器以保障该反馈是负反馈，得到参数后通过EWB连接相应元件，得到校正后的系统仿真图，如图9所示：

图9校正后的系统仿真图

为了方便比较，可以把校正前和校正后系统的输出连到同一示波器的A端和B端，选择A/Y输出，此时可以从示波器得到一时间为横轴的电压响应，如图10所示：

图10系统校正前后的单位阶跃响应

5 思考：

(1)超前校正对改善系统性能有什么作用？什么情况下不宜采用超前校正？

答：超前校正是通过其相位超前特性来改善系统的品质；超前校正增大了系统的相位裕量和截止频率（剪切频率），从而减小瞬态响应的超调量，提高其快速性；超前校正对提高稳态精度作用不大；超前校正适用于稳态精度已经满足、但瞬态性能不满足要求的系统。

当未校正系统的相角在所需剪切频率附近向负相角方面急剧减小时，采用串联校正环节效果不大；或者当需要超前相角的数量很大时，超前校正的网络的系数α值需选择很小，从而使系统的带宽过大高频噪声能顺利通过系统。以上两种情况不宜采用串联超前校正。

（2）是否有其他形式的校正方案？

答：校正装置的连接方式：(1)串联校正；(2)顺馈校正；(3)反馈校正。其中串联校正又包括串联超前校正、串联滞后校正和串联超前滞后校正。

（3）分析校正前后系统的阶跃响应和Bode图，说明校正装置对系统性能的作用。

答：增加开环频率特性在剪切频率附近的正相角，从而提高了系统的相角裕度；减小对数幅频特性在幅值穿越频率上的负斜率，从而提高了系统的稳定性；提高了系统的频带宽度，从而提高了系统的响应速度；不影响系统的稳态性能。但若原系统不稳定或稳定裕量很小且开环相频特性曲线在幅值穿越频率附近有较大的负斜率时，不宜采用相位超前校正；因为随着幅值穿越频率的增加，原系统负相角增加的速度将超过超前校正装置正相角增加的速度，超前网络就起不到补偿滞后相角的作用了。

（4）分析超前校正的原理是什么？

答：利用超前网络或PD控制器进行串联校正的基本原理，是利用超前网络或PD 控制器的相角超前特性。只要正确地将超前网络的交接频率和选在待校正系统截止频率的两旁，并适当选择参数a和T，就可以使已校正系统的截止频率和相角裕度满足性能指标的要求。

6 心得体会

经过两天的紧张学习和设计，是逐步走进了MATLAB的世界，知道了MATLAB的特点和用法，发现了MATLAB是一个非常强大的软件，MATLAB 的应用范围非常广，包括信号

和图像处理、通讯、控制系统设计、测试和测量、财务建模和分析以及计算生物学等众多应用领域。附加的工具箱（单独提供的专用 MATLAB 函数集）扩展了 MATLAB 环境，以解决这些应用领域内特定类型的问题。我想我们不仅仅用到这一次，以后的学习中MATLAB会帮助我们简化和实现好多遇到的问题。

回顾此次实践的整个过程，虽然只有短短几天时间而已，但是真的在这个自己独立学习的过程中学到了好多东西。首先是软件的问题，本次试验使用的软件都为英语，所以在使用时带来了一定的麻烦，其次是在计算一些性能指标是应该注意取舍，既能保证得到的系统尽可能准确而又不会给我们的计算带来麻烦。课程设计开始阶段比较顺利，但是做到校正后系统的时域性能指标时，遇到了不小的麻烦，首先就是MATLAB的编程不太懂，经过看书上的例题最终会编写自己的课件程序。其次就是硬件电路图参数的计算以及仿真，各种参数都需要符合要求，在计算电路图中的参数时着实难住了，不过经过自己耐心的思考，最终还是弄懂了，而在硬件仿真时，不知道如何输入阶跃信号，经过反复试验，反复调试，最终用50Hz的交流电做了出来。

这次的课程设计，不仅让我们更好的更深一步的了解MATLAB这个十分有用的软件，同时运用它对电路进行仿真，与理论上相结合，加深对课本知识的学习，从而进一步验证理论的正确性，也是理论运用于实践很好的证明。与此同时，通过此次课程设计，加深了我们对系统进行滞后超前设计过程的理解。总而言之，这次的课程设计的确让我受益匪浅，虽然遇到了很多问题，但最终还是解决了。

7 附录

(1)MATLAB中求传递函数和伯德图的几种方法：

求函数的伯德图:

num=[60];

den=[0.001,0.11,1,0];

Gs=tf(num,den);

bode（Gs）；

margin（Gs）；

zpk函数用法：

z=[ ]; 输入零点

p=[ ]; 输入极点

k= 输入增益

sys=zpk(z,p,k); %zpk不可变，其它对应变化传递函数的串联

sys2=sys1*sys;

sys2=series(sys1,sys);

[num2,den2]=series(num1,den1,num,den);

(2)仿真电路的参数算法：