相似理论与模型试验例题集

相似理论与模拟实验例题

例1 静态应力模型 这是一个弹性模型，可求解静态应力问题。 a、 求导准则 平衡方程： ?σ x + ?τ yx + ?τ zx + X = 0
?x ?y ?z
?τ xy + ?σ y + ?τ zy + Y = 0
?x ?y ?z
?τ xz + ?τ yz + ?σ z + Z = 0
?x ?y ?y
几何方程：
εx
=
?u ?x
γ xy
=
?u ?y
+
?v ?x

物理方程：
[ ] ε x
=
1 E
σx
?
μ (σ
y
+σz)
单值条件：几何相似：
cL
=
x x'
=
y y'
=
L L'
物理相似： 体力相似：
cE
=
E ∑'
cv
=
v v'
cγ
=
X X'
=γ γ'
边界条件：
c = X =Y =Z X X′ Y′ Z′

非定性量（被测量）：
应力：Cσ
= σx
σ
' x
=
L
=
τ τ
xy
' xy
应变： cε
= εx
ε
' x
= εy
ε
' y
= εz
ε
' z
=ε ε'
位移： cδ
=U U'
=V V'
=δ δ'

采用方程分析法求相似准则：
cσ
?σ
' x
cL?x '
+
cσ
?τ
' yx
cL?y '
+
cσ
?τ
' zx
cL?z '
+ cγ
X'
=0
对于平衡方程：
cσ cγ cL
(
?σ ' x
?x '
+
?τ
' yx
?y '
+
?τ
' zx
?z '
)
+
X'
=0
相似指标：ccγ σcL = 1
,相似准则π1=
σ γL
=
σ' γ ' L'
①
由几何方程： c ε .c L = 1 ， л2= εL
②
cδ
δ

由物理方程： cε c E = 1
cσ
,л3=
Eε σ
③
cu=1
л4=u
④
由面力边界： c?
x =1
л5=
x
σ
⑤
cσ
由于上面5个准则是由5个不同方程求得的，故是相 互独立的。

对于 c E cε = 1为广义相似
cσ
对于c ε
=
1
时，为严格相似，最好采用。
但对于一些相似材料模型试验，当Cε =2～8时， 在小变形情况下所引起的应力误差<5%，这在工程上 是允许的。但在大变形情况下，不精确。

对于严格相似（Cε = 1 ）时，有：
cσ = 1 cγ cL
cE =1 cσ
cL = 1 cδ
cγ = 1
cx = 1 cσ

如对于一个软弱岩体高边坡问题，原型为20m高， 试 验 室 内 可 采 用 相 似 材 料 模 型 试 验 ， 取 1m ， 则 cL=20/1=20,可采用石膏作相似材料，通过试验可知：
CE=
E E'
=2
，由
cσ cγ cL
=1
得： cγ
=
cσ cL
=
2 = 1 =γ 20 10 γ '
即 γ ' = 10γ （石膏的混合料比岩石大10倍，很难，
找不到这种材料。）
为此：取cε ≠1而是 cε =5，cσ = cε .cE = 5 * 2 = 10
加铁则屑即cγ 可= c。cELcε
= 5×2 = 20
1 2
γ ' = 2γ ，故可在石膏中
这就是说，不是 cε 非取1不可，在小变形范围内
，可取cε ≤ 8

对于相似材料试验，如果：
Cl=20，Cr=1/2，CE=2，Cu=1
则有：Cε=CrCl/CE=5
Cδ= CεCl=5*20=100 但对C于x? =大1多0 数结构试验，采用严格相似，则
cε =1，这时不考虑自重应力场，上部荷载采用施
加边界面力模拟。

例2 对钢筋钢纤维高强混凝土梁或柱的强度特性 （极限承载力）试验研究。
由于钢筋钢纤维高强混凝土结构的强度高，几何 尺寸大，不易进行原型的破坏性试验，可采用缩尺结 构模型。
根据试验目的，此类试验不但要搞清加载过程中 结构截面上的应力分布情况，而且还要测量模型的破 坏荷载。所以，模型设计不但要满足应力、变形的相 似条件，而且还要满足强度相似条件。根据相似理论 和弹性力学的基本方程，采用方程分析法，可推导出 其静力模型相似指标为：

模型试验相似指标为： 由几何方程得：Cε Cl /Cδ=1； 由边界方程得：Cp/Cσ=1； 由物理方程得：CECε/Cσ=1，Cv = 1 。 其中：Cl为几何相似常数；
Cp为荷载（面力）相似常数；

CE为弹性模量相似常数； Cδ为位移相似常数； Cε为应变相似常数； Cσ为应力相似常数； Cv为泊松比相似常数。 钢筋钢纤维高强混凝土结构是由三种材料组成的
复合结构，要使模型和原型各组成部分应力变形严格
相似，必须要使加载变形前后结构模型与原型始终保
持几何相似，故有Cl= Cδ，即Cε=1，因此，上述应力 变形相似条件可写为：

Cp/ Cσ=1；CE Cε/ Cσ=1；Cv=1
（1）
为了使模型的破坏荷载和破坏形态与原结构完全
相似，不但要满足上述弹性状态下应力应变相似，而
且还要满足以下强度相似条件：

强度相似条件： (a) 模型与原型的材料，在加载全过程中应 力应变曲线相似；
(b) 结构各部分材料的强度相似； (c) 结构破坏的强度准则相似。

显而易见，要完全满足上述相似条件，模型材料
最好采用结构的材料,这样易于保证模型试验结果与
原型结构严格相似。因此，试验采用原材料结构模
型，故有：
CE= Cσ=Cp=CR=1 ；Cμ=1；Cρ=1
(2)
式中 CR为强度相似常数；
Cμ为钢筋配筋率相似常数；
Cρ为钢纤维体积率的相似常数。

在这种情况下，只要确定适当的几何相似常 数就可以了。
试验得到的模型强度就等于结构强度。

例3、一钢桥跨度10m，最大集中荷重为10t，现 用一个1m长，几何形状与钢桥相似之梁作试验， 求桥的应力。
解 假设应力σ 与荷载P，长度L和材料弹性模量E
有关。则可写出方程
f (σ , P, L, E ) = 0
将（1）式转换成准则方程
f
? ??
σ
K M2
, PK, LM , E
K M2
? ??
=
0
令：
LM = 1 PK = 1 即
M K
= =
1 L 1 P
? ?? ? ? ??
（1） （2）
（3）

将（3）式代入（2）式得：
f
? ?
??σ
? ?
? ??
1
P 1 ?2 L ??
,
P
1 P
,L
1 L
,
E
? ??
1
P 1 ?2 L ??
? ? ? ? ? ?
=
0
f
? σ L2
? ?
P
,1,1,
E L2 P
? ? ?
=
0
（4）
由(4)式得到两个准则：
π1
=
σ L2
P
π2
=
EL2 P

①当试验模型的材料与钢桥材料相同（即E相同）
时，则 E L2
π3
=
π1 π2
P
σ L2
=E
σ
（5）
P
根据相似定理
π3
=
E
σ
=
E'
σ'
。经转换得
CE
=
E E'
=
σ σ'
=
Cσ
因E相同，即 CE = 1，则Cσ
=1
（6）
，则 σ = σ '
。即
当材料相同时，其模型与钢桥的对应点上之应力
相等 (σ = σ ' ) 。因此