分式单元复习与巩固精讲精练
分式单元复习与巩固
一、知识网络
二、目标认知
学习目标
1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式．
2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．
3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则．
4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系．5．结合分析和解决实际问题，讨论能够化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．
重点
1．分式的基本性质；
2．分式的四则运算；
3．分式方程的解法．
难点
1. 分式的四则混合运算；
2. 根据实际问题列出分式方程．
三、知识要点梳理
知识点一、分式的相关概念及性质
1.分式的定义：
设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，则式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.
注：判断一个代数式是否是分式，主要看分式的分母是否含有未知数。另外不能把原式变形（如约分等）
后再实行判断，而只能根据它的本来面目实行判断。例如：对于来说，，我们不能因为是整式，就判断也是整式，事实上是分式。
2.最简分式：
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．
注：如果分子分母有公因式，要实行约分化简.
3.分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（M为不等于零的整式）.
知识点二、分式的运算
1.基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下：
；
2.零指数
.
3.负整数指数
4.约分
把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
注：
（1）约分的主要步骤：先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同因式的最低次幂，同时把分子分母中系数的最大公约数约去；
（2）约分的依据是分式的基本性质；
（3）若分式的分子、分母中有多项式，则要先分解因式，再约分．
（4）当分式的分子与分母的因式只差一个符号时，要先处理好符号再约分，因式变号规则如下：
（其中n为自然数）。
（5）分式的分子，分母的多项式中有部分项不同时，不得将其中的一部分相同的项约去（约分只能约分子分母中相同的因式）。
5.通分
根据分式的基本性质，异分母的分式能够化为同分母的分式，这个过程称为分式的通分．
注：
(1)通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有相同因式的最高次
幂的积；
(2)不要把通分与去分母混淆，通分的依据是分式的基本性质，去分母的依据是等式的基本性质．
6.分式的加减法法则
(1)同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；
(2)异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则实行计算．
7.分式的乘除法法则
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．
注：（1）在分式的乘法运算中，当分子和分母都是单项式时，此时乘法运算能够直接使用法则计算：（2）分子、分母是多项式时，要先分解因式，看能否约分，然后再乘：（3）分式的除法能够统一成分式的乘法：（4）分式乘除法中的符号法则与有理数乘除法的符号法则相同。
8.分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．
注：分式混合运算应根据式子的特点，选择灵活简便的方法计算或化简。
知识点三、分式方程
1.分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2.分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
注：解分式方程必须检验，验根时把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
3.分式方程的增根问题
(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未
知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根；
(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．
知识点四、分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、
恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而准确列出方程，并实行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．
四、规律方法指导
1.分式的概念需注意的问题
(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则能够理解为除号，还含有
括号的作用；
(2)分式的分子能够含字母，也能够不含字母，但分母必须含有字母．
2.约分需明确的问题
(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；
(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式
的思考过程相似；
(3)约分是对分子、分母的整体实行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式．
3.确定最简公分母的方法
(1)最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
(2)最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.
4.列分式方程解应用题的基本步骤
(1)审——仔细审题，找出等量关系;
(2)设——合理设未知数;
(3)列——根据等量关系列出方程；
(4)解——解出方程;
(5)验——检验增根；
(6)答——答题．
类型一：分式及其基本性质
1．当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）
A. B. C. D.
思路点拨：一个分式有无意义，取决于它的分母是否等于0。即若是一个分式，则有意义B≠0。
当x＝0时，x2＝0，所以选项A不是；当x＝－时，2x＋1＝0，所以选项B不是；因为x2≥0，所以x2
＋1＞0，即不论x为何实数，都有x2＋1≠0，所以选项C是；当x＝±1时，｜x｜－1＝0，所以选项D不是。
答案：C。
总结升华：分式有意义的条件是分母不为零，无意义的条件是分母为零。
2．若分式的值等于零，则x＝_______；
思路点拨：根据分式的值为零的条件，即：如果是一个分式，且＝0能够得到A=0 ，B≠0.
解析：由x2－4＝0，得x＝±2. 当x＝2时x－2=0，所以x＝－2；
总结升华：分式等于零的条件是：分子等于零，分母不等于零，两个条件缺一不可。
3．求分式的最简公分母。
思路点拨：对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母中的字母，字母x为底的幂的因式，取其最高次幂x3，字母y为底的幂的因式，取其最高次幂y4，再取字母z。所以三个分式的公分母为12x3y4z。
指出：12x3y4z ，24x6y6z，48x5y9z，……都是上述三个分式的公分母，其中12x3y4z是这些公分母中最简单的一个，称为最简公分母。
解析：最简公分母为12x3y4z
总结升华：各分式分母中的系数是最小公倍数与所有的字母（或因式）的最高次幂的积，叫做最简公分母。
举一反三：
【变式1】（1）已知分式的值是零，那么x的值是（）
A．－1 B．0 C．1 D．±１
（2）当x________时，分式没有意义．
【答案】（1）由题意知，当x－1=0，且x＋1≠0时，分式的值等于0，所以x=1．故应选C．
（2）当x－1=0，即x=1时，分式没有意义．
【变式2】下列各式从左到右的变形准确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】A．
类型二：分式的运算技巧
(一) 通分约分
4．化简分式：
思路点拨：本题若通过常规方法：各分式分别通分计算非常复杂；根据分式特征，可通过约分化简分式后再计算，这是分式计算常用的技巧．我们在通分之前，先要观察分式的特征，多项式能先因式分解的先因式分解，能先约分化简的尽量先约分以达到简便计算的目的．
解析：原式
总结升华：观察题目中分式的特点是寻找解题思路的关键．
举一反三：
【变式1】顺次相加法
计算：
【答案】
注：本题若采用常用的直接通分再相加的方法，则运算较为繁琐；若通过先把两个分式相加减，化简后再把所得结果与第三个分式相加减，顺次运算，则运算较为简单．
【变式2】整体通分法
计算：
【答案】原式
注：本题若把单独通分，则运算较为复杂；一般情况下，把分母为1的整式看作一个整体实行通分，运算较为简便．
（二）裂项或拆项或分组运算
5．巧用裂项法
计算：
思路点拨：本题出现了10个分式相加，无法直接通分；而本题分式的特征比较特殊，事实上分式
，凡是符合上述特征的分式都可适用裂项法，裂项后便能够相互抵消，起到简便运算的功效．
解析：原式
总结升华：分式计算时先对分式的分子与分母因式分解有利于发现分式之间的联系．
举一反三：
【变式1】分组通分法
计算：
【答案】原式
注：当出现三个以上异分母分式相加减时，可考虑分组通分法，分组的原则是使分组后各组运算的结果出现分子是常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便．
【变式2】巧用拆项法
计算：
【答案】原式
注：本题如果先通分，运算量非常大，考虑到分子分母是齐次多项式，把分子降次化简后，分式就相当简单，起到简便运算的效果．
类型三：条件分式求值的常用技巧
6．参数法
已知，求的值．
思路点拨：当已知条件为形如的连比等式，所要求值的分式是一个含有而又不易化简的分式时，通常设，将其变形为,然后再代入分式求值．
解析：设，则，代入
总结升华：引入一个设而不求的未知数会引出意想不到的效果．
举一反三：
【变式1】整体代入法
已知，求的值.
【答案】本题是上面例子的变式，我们可把条件变换成适合所求分式中的代数式的形式，如把去分母化为的形式代入原式,
而原式
，这样就达到了整体代入，化简求值的效果．
【变式2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法．
已知：，求的值．
【答案】
【变式3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值．
已知：，求的值．
【答案】由上述两个方程易得代入分式化简得.
类型四：解分式方程的方法
解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧．
（一）与异分母相关的分式方程
7．解方程=
思路点拨：等号两边只有一个分式时，使用交叉相乘的方法
解析：7x=5（x－2），解得x=－5
经检验，x=－5是原分式方程的根。
总结升华：注意去分母、去括号和移项等过程中的符号问题.
举一反三：
【变式1】换元法
解方程：=－3
【答案】设y=x－2，则x=y+2,
原方程变为=－2
亦即0=－2矛盾．故原方程无解．
（二）与同分母相关的分式方程
8．解方程=2+
思路点拨：如果有同分母分式，先实行同分母分式的加减法。
解析：原方程可化为=2，即1=2矛盾．
故原方程无解．
总结升华：同分母分式的加减法能够简化运算量.
举一反三：
【变式1】解方程－=8
【答案】原方程可化为1－+=8
即1=8矛盾．
故原方程无解．
【变式2】解方程+=1
【答案】通分得,=0,
故x=0
经检验，x=0是原方程的解。
【变式3】解关于x的方程+=+（a≠b）
【答案】原方程化为=
因为分子相等，那么分母必相等，得x=ab．
类型五：分式（方程）的应用
9．甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？
思路点拨：平均价格是两次买进白糖的总价钱除以总糖量.因为两次买糖的价格不一样，可设两次的价格分别为x、y（单位：元/斤），只要列出代数式表示甲、乙两人买糖的平均价格，用作差的方法即可. 解析：设两次买糖的进价分别为x、y（单位：元/斤），A、B分别是甲、乙两人买糖的平均进价.
由题意得
A==
B==
B－A=－=
=＞0
所以乙的平均价格高.按甲的进货策略进货更合理.
总结升华：应用题的关键是找到各个量之间的关系
举一反三：
【变式1】甲开汽车，乙骑自行车，从相距180千米的A地同时出发到B．若汽车的速度是自行车的速度的2倍，汽车比自行车早到2小时，那么汽车及自行车的速度各是多少？
【答案】设乙骑车的速度是x千米/时，则甲开汽车的速度是2x千米/时，
那么乙从A地到B地所用的时间是，甲从A地到B地所用的时间是．
依题意，列出方程－=2
解得X=45
所以,自行车速度为45千米/小时,汽车速度为90千米/小时.
【变式2】 A、B两地路程为150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A地，求甲车原来的速度和乙车的速度．
【答案】设甲车原来的速度为千米/时，乙车的速度为千米/时，据题意得：
解得
经检验为方程组的解，并且符合题意．
所以,甲车原来的速度为45千米/时，乙车的速度为30千米/时.
中考题萃
一、选择题
1、（包头市）化简，其结果是( )
A．B．C．D．
2、（陕西省）化简的结果是( )．
A．a－b B．a＋b C．D．
3、（山西省）解分式方程，可知方程( )
A．解为x＝2 B．解为x＝4 C．解为x＝3 D．无解
4、（上海市）用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于y的
整式方程，那么这个整式方程是( )
A、y2＋y－3＝0
B、y2－3y＋1＝0
C、3y2－y＋1＝0
D、3y2－y－1＝0
5、（浙江省）解方程的结果是( )
A、x＝－2
B、x＝2
C、x＝4 D．无解
二、填空题
6、（天津市）若分式的值为0，则x的值等于_____________。
三、化简求值
7、（山西）化简：
8、（上海市）计算：．
9、（河北省）已知a＝2，b＝－1，求÷的值．
10、（河南省）先化简，然后从，1，－1中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值.
11、(攀枝花)先化简，再求值：，其中.
12、（沈阳市）先化简，再求值：，其中．
四、解分式方程
13、（北京市）解分式方程：
14、（赤峰市）解分式方程：．
中考题萃答案：
一、选择题
1、答案：D
解析：
∵
＝
＝
＝
＝.
故选D.
2、答案：B
解析：根据
故选B。
3、答案：D
解析：在方程两边同乘以(x－2)，约去分母，得1－x＋2(x－2)＝－1，1－x＋2x－4＝－1，x＝2，检验，当x＝2时，x－2＝2－2＝0，所以x=2是增根，原方程无解.
4、答案：A
解析：设，则，于是原方程或化为，两边同乘以y，得y2＋y－3＝0，故选A。
5、答案：D
解析：，∴，∴2(x＋2)＝8.
∴x＝2.∵x≠±2，∴方程无解，故选D.
二、填空题
6、答案：2
解析：依题意得x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1，代入检验知，x1＝2时，分母不为0，适合题意；x2＝－1时，分母为0，无意义，舍去x＝－1，∴x＝2。
三、化简求值
7、解：原式=
=
＝1．
8、解析：
＝
＝
＝＝－1
9、解析：原式＝
＝1＋a＋b
当a＝2，b＝－1时，
原式＝1＋2－1＝2.
10、答案：原式＝
＝．
当x＝时，原式＝．11、解析：
＝
＝
＝x－2
当x＝2＋时，原式＝2＋
12、解析：原式＝·
=·=
当x＝1＋时，原式＝
四、解分式方程
13、解析：去分母，得x(x＋2)＋6(x－2)＝(x－2)(x＋2)
解得x＝1。
经检验，x＝1是原方程的解，
∴原方程的解是x＝1
14、解析：，去分母：x－1－2x＝x2－1
化简：x2＋x＝0，解得：x1＝0，x2＝－1.．
检验：x＝－1不是原方程的解．
所以原方程的解为x＝0．
学习成果测评
基础达标
一、填空题
1．已知v＝v0＋at(a不为零)，则t＝_______________；
2．关于x的方程mx＝a (m的解为；
3．若分式的值为零，则x的值等于________________．
4．如果－3 是分式方程的增根，则a＝_______________；
5．一汽车在a小时内走x千米，用同样的速度，b分钟能够走_______________千米．
二、选择题
6．已知＝2，用含x的代数式表示y，得（）
（A）y＝2x＋8 （B）y＝2x＋10 （C）y＝2x－8 （D）y＝2x－10
7．下列关于x的方程，其中不是分式方程的是（）
（A）（B）
（C）（D）
8．一件工程甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是（）
（A）a＋b （B）（C）（D）
9．解关于x的方程（m2－1）x＝m2－m－2 (m2≠1) 的解应表示为（）
（A）x＝（B）x＝
（C）x＝（D）以上答案都不对
三、解方程
10．（1）（2）；
（3）；（4）．
四、解关于x的方程
11.（1）2ax－(3a－4)＝4x＋3a＋6；（2）m2 (x－n)＝n2 (x－m) (m2≠n2)；
（3）．
五、列方程解应用题
12．某文具厂加工一种学生画图工具2500套，在加工了1000套后，采用了新技术，使每天的工作效率
是原来的1.5倍，结果提前5天完成任务，求该文具厂原来每天加工多少套这种学生画图工具．
13．一项工作A独做40天完成，B独做50天完成，先由A独做，再由B独做，共用46天完成，问A、B各做了几天？
14．甲、乙两种食品都含糖，它们的含糖量之比为2∶3，其他原料含量之比为1∶2，重量之比为40∶77，求甲、乙两种食品含糖量的百分比分别是多少．
水平提升
一、判断下列各分式中x取什么值时，分式的值为0？x取什么值时，分式无意义
1．（1）；（2）；（3）．
二、化简
2.（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）.
三、列方程解应用题
3．车间有甲、乙两个小组，甲组的工作率比乙组的高25%，所以甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加工1800个零件所用的时间还少30分钟，问两组每小时各加工多少零件？
4．甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就
能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？
综合探究
一、选择题（可多选）
1．已知x+=4，则点（x+，x-）在（）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．某地要修筑一水坝，需要在规定日期内完成，如果由甲队去做，恰好如期完成；如果由乙队去做，
则需要超过规定日期三天，现由甲、乙两队合做2天后，?余下的工作由乙队独做，恰好在规定日期内完成，求规定日期x，下列所列方程中准确的是（）．
A．+=1 B．=
C．（+）×2+·（x-2）=1 D．+=1
二、解答题
3．化简与求值：
（1）化简：-;
（2）先化简再求值：÷（1+），其中a=5-，b=-3+．
（3）已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，……，若10+=102×（a，b为正整数），求分式的值．
4．解方程：
（1）+1=；（2）=-2．
5．先仔细看（1）题，再解答（2）题．
（1）a为何值时，方程=2+会产生增根？
（2）当m为何值时，方程-=会产生增根？
6．某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5m3，则每立方米收费1.5元；若每户每月
用水超过5m3，则超过部分每立方米收取较高的定额费用．?2月份，小王家用水量是小李家用水量的，小王家当月水费是17.5元，?小李家当月水费是27.5元，求超过5m3的部分每立方米收费多少元？
7．某商人用7200元购进甲、乙两种商品，然后卖出，?若每种商品均用去一半的钱，则一共可购进750
件；若用的钱买甲种商品，其余的钱买乙种商品，?则要少购进50件，卖出时，甲种商品可盈利20%，
乙种商品可盈利25%．（1）求甲、?乙两种商品的购进价和卖出价；（2）因市场需求总量有限，每种商品最多只能卖出600件，?那么该商人应采取怎样的购货方式才能获得最大利润？最大利润是多少？
答案与解析
基础达标
一、填空题
１．（提示：等式的恒等变形）；
２．（提示：方程的恒等变形）；
３．-1（提示：分母不能为0）；
４．3（提示：产生增根的原因使分母为0）；
５．．（提示：分式的应用）
二、选择题
6．Ｄ（提示：方程的恒等变形）；
7．Ｃ（提示：分式方程的定义）；
8．Ｄ（提示：分式方程的应用）；
9．Ｂ（提示：因式分解、约分）．
三、解下列方程．
10.（1）；（2）；
解：，解：，
，，
2x-5=3(2x-1)
2x-5=6x-3 ，
x=-，
，
．
一元二次方程概念讲义
一元二次方程的概念及解法（讲义） 一、知识点睛 1. 只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成20 ax bx c ++=（0，，，是常数a a b c ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 思考次序：整式方程、化简整理、一元二次． 2. 我们把20ax bx c ++=（0，，，是常数a a b c ≠）称为一元二次方程的一般形式，其中____，____，____分别称为二次项、一次项和常数项，_____，_____分别称为二次项系数和一次项系数． 3. 解一元二次方程的基本思路是要设法将其转化成一元一次方程来处理．主要解法有：直接开平方法，配方法，公式法，分解因式法 4. 配方法是配成完全平方公式；公式法的公式是：2b x a -±= 分解因式法是先把方程化为___________________________的形式，然后把方程左边进行____________________，根据____________，解出方程的根． 二、精讲精练 1. 下列方程：①3157x x +=+；② 0112=-+x x ；③25ax bx -=（a ，b 为常数）；④322=-m m ；⑤2 02 y =；⑥2(1)3x x x +=-；⑦22250x xy y -+=．其中为一元二次方程的是_______． 2. 方程x x 3122=-的二次项是_____，一次项系数是____，常数项是__． 3. 若方程01)1(2=-+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 （ ） A ．m =0 B ．m ≠1 C ．m ≥0且m ≠1 D ．m 为任意实数 4. 若关于x 的方程21(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为____． 5. 若x =2是关于x 的方程032=+-a x x 的一个根，则2a -1的值是（ ） A ．2 B ．-2 C ．3 D ．-3 6. 一元二次方程2(4)25x +=的根为（ ） A ．x =1 B ．x =21 C ．x 1=1，x 2=-9 D ．x 1=-1，x 2=9 7. 用配方法解方程： （1）2210x x --=； （2）210x x +-=； （3）2383x x +=； （4）24810x x --=； （5）23920x x -+=； （6）20ax bx c ++=（a ≠0）． 8. 用公式法解方程： （1）23100x x +-=； （2）22790x x --=； （3）21683x x +=； （4）2352x x -+=-． 9. 用分解因式法解方程：
一元二次方程专题复习讲义(知识点-考点-题型总结)-----hao---use--ok
一元二次方程专题复习 一、知识结构： 一元二次方程?? ???*?韦达定理根的判别解与解法 二、考点精析 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： ★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程， ⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 ★★3、若方程()112=?+ -x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范 围是 。 ★★★4、若方程2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） 2 21 C21 1 考点二、方程的解 ⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。 针对练习： ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 ★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 311=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。
一元二次方程的基本解法
第一讲：一元二次方程的基本解法 【知识要点】 ① 一元二次方程及其标准形式： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程叫一元二次方程。 形如ax 2+bx+c=0(a 、b 、c 为常数，且a≠0)的方程叫一元二次方程的标准形式。 任何一元二次方程都可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等过程，转化为标准形式。 ② 一元二次方程的解法主要有： 直接开方法、配方法、求根公式法、因式分解法。 一元二次方程的求根公式为x 1,2=)04(2422≥--±-ac b a ac b b . ③一元二次方程解（根）的含义：使方程成立的未知数的值 【经典例题】 例1、直接开平方法 （1）x 2－196＝0; （2）12y 2－25＝0； （3）（x ＋1）2－4＝0； （4）12（2－x ）2－9＝0. 例2 、配方法： （1）x 2－2x ＝0； （2）2 12150x x +-= （3）24x 2x 2=+ （4）17x 3x 2+= 例3 、求根公式法： (1) 1522-=x x (2) 052222 =--x x
（3）（x ＋1）（x －1）＝x 22 （4）3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1). 例4 、因式分解法： (1) x （3x ＋2）－6(3x ＋2)＝0. (2)4x 2 ＋19x －5＝0； (3) ()()2232 -=-x x x （4）x （x ＋1）－5x ＝0. 例5、换元法解下列方程： （1）06)12(5)12(2=+---x x (2) 06)1 (5)1(2=+---x x x x 例6、配方法的应用：求证：代数式122+--x x 的值不大于 4 5.
沪科版(上海)八年级第一学期第五讲 一元二次方程解法2
第五讲一元二次方程解法2 一、一元二次方程解法选取 1. 直接开平方法 直接开平方法的概念：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. （1）形如的方程.方程的解是：.当m＝0时，方程有两个相等的实数根. （2）形如的方程.方程的解是：. （3）形如的方程.方程的解是：. 总之，如果一元二次方程的一边是未知数的平方或者是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负数，那么就可以用直接开平方法求解. 2. 因式分解法 （1）因式分解法的概念：当一元二次方程的一边为0时，将方程的另一边分解成两个一次因式的积，进而分成两个一元一次方程来求解，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. （2）因式分解法的理论依据是：两个因式的积等于0，则这两个因式至少有一个等于0。用式子表示为：若，则a＝0或b＝0。 （3）用因式分解法解一元二次方程的步骤是： ①将方程化为（a≠0）的形式； ②将方程的左边分解为两个一次因式的积； ③令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是方程的解. 点拨：（1）分解因式常用的方法有提公因式法和运用公式法； （2）如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积； （3）等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方式，将它写成平方形式，便实现了因式分解. 3. 配方法 配方法的含义：把方程的一边化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后利用开平方求解的方法叫做配方法. 归纳：用配方法解一元二次方程的一般步骤是： （1）如果一元二次方程的二次项系数不是1，就先在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1； （2）把含未知数的项移到左边，常数项移到右边； （3）然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，这样使方程的左边变成一个完全平方式，右边是一个非负数的形式； （4）最后用直接开平方法解这个一元二次方程. 4. 公式法 （1）二次方程（a≠0）的求根公式为： （），其中公式中的a、b、c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.我们用求根公式法求一元二次方程解的方法叫公式法. （2）用公式法解一元二次方程的一般步骤是： ①首先把一元二次方程化为一般形式；
一元二次方程应用一对一辅导讲义
课 题 一元二次方程的应用 授课时间： 2016-03-26 8：00——10:00 备课时间：2016-03-24 教学目标 1、综合运用一元二次方程和其他数学知识解决如面积、利润、增长率与降低 率等生活中的实际问题。 2、注意找准等量关系及检验根是否符合实际意义。 3、从现实问题中构建一元二次方程数学模型。 重点、难点 会运用一元二次方程解决简单的实际问题 考点及考试要求 1.一元二次方程的应用 2.一元二次方程实际问题 教 学 内 容 第一课时 一元二次方程的应用知识梳理 1.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 2.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 3.用适当的方法解下列一元二次方程. （1）.22(3)5x x -+= （2）.22330x x ++= 课前检测
1. 一元二次方程的实际应用????? ???????????????动点问题数字问题面积问题 利润问题增长率（降低率）问题常见类型、答步骤：设、列、解、验 2. 解题循环图： 3. 利用一元二次方程解决许多生活和生产实际中的相关问题，它的一般方法是： （1）根据题意找到等量关系，列出一元二次方程。 （2）特别要对方程的根注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。 第二课时 一元二次方程的应用典型例题 考点一：增长率（降低率）和利润问题 典型例题 知识梳理
（一）增长率（降低率）问题： 【例1】某工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际金融风暴的影响，5月份的产值下降到81万元，求平均每月产值下降的百分率． （二）利润问题： 【例2】商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降低1元，商场平均每天可多售出2件，求： （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。
2016中考数学二轮复习-二次函数与一元二次方程的综合
2016中考数学二轮复习-二次函数与一元二次方程的综合
第一讲：二次函数与一元二次方程的综合 内容 要求 中 考分值 考察类型 二次函 数与一元二次方程综合题 会根据二次函数的解析式求 其图象与坐标轴的交点坐标， 会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 7 二次函数与一元二次方程 1. 熟练掌握二次函数的有关知识点 2. 掌握二次函数与一元二次方程的联系。 【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =（a －1）x 2 +2x +1与x 轴有交点，a 为正整数. （1）求a 的值. （2）将二次函数y =（a －1）x 2 +2x +1的图象向右平移m 个单位， 例题精讲 方法策略 考试要求 y x 1 1O
a ≠ ………… …………1分 即() ()2 2314210 a k --?-=，且2 -10 k ≠ =3 k ……………………3分 （2）∵二次函数与x 轴有两个交点， ∴ 2-40 b a c ＞，且 a ≠． ……………………４ 分 即2 -30k （）＞，且±k ≠1． 当3k ≠且1k ≠±时，即可行． ∵A 、B 两点均为整数点，且k 为整数 ∴1 2 2 2 -1+-3-1+-3-42==== -1-1-1+1 k k k k k x k k k k （3）（）342（）2（）2（） 2222-1--3-1-+3+21==== -1-1-1-1 k k k k k x k k k k （3）（）322（）2（）2（） (5) 分 当=0k 时，可使1 x ，2 x 均为整数， ∴当 =0 k 时， A 、 B 两点坐标为 (-10) ，和 (20) ，……………………6分 【例3】 已知：关于x 的一元二次方程－x 2+(m +1)x +(m +2)=0（m ＞0）． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）当抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)经过点（3，0），
一元二次方程的实际应用精讲精练(含答案)-
5.实际问题与一元二次方程 [学习目标] 1.经历分析具体问题中的数量关系,建立方程模型解 决问题的过程,认识方程模型的重要性,并总结运用方程 解实际问题的重要性.2.通过列方程解应用题,进一步提 高逻辑思维能力和分析问题,解决问题的能力. [预习导引] 在一次数学检测中,赵亮对下道应用题的解答过程 如下: 试题:某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出 20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少 库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每 件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均 每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? 解:设每件衬衫应降价x元,则每件所获得的利润为 (40－x)元,但每天可多销出2x件,每天可卖(20+2 x)件,根 据题意可列方程:(40－x)(20+2x)=1200 方程化简整理 为:x2－30x+200=0 解得:x1=20 x2=10 答:若商场每天要盈利1200元,每件应降价10元或 20元. 当试卷发下时,赵亮发现本题被扣去1分,他百思不 得其解,为什么要扣去1分呢?你能帮赵亮同学找找原因 吗?与同伴交流自己的想法. [点拔]当降价20元或10元时,每天都能盈利1200元, 因要尽量减少库存,在获利相同条件下,降价愈多,销售越 快,才能 满足题目 选择每件降价20元.因而列方程解应用题时应认真审题, 不能漏掉任何一个条件. [知能互动]1.列一元二次方程解应用题的特点: 一元二次方程的应用是一元一次方程应用的继续和 发展,能用一元一次方程解的应用题,一般可用算术方程 解.而用一元二次方程解的应用题,一般不能用算术方法 求解.由于一元二次方程的次数为二次,所以其应用相当 广泛,其中面积问题,两次增长的平均增率和储蓄问题,经 营问题,数字问题中涉及到积的一些问题,都是代表类型. (1)数字问题:要能正确地表示诸如多位数,奇偶数,连 续整数的形式. 如:一个三位数abc可表示为 连续两个偶数可表示为连续两个整 数可表示为这类问题常常 间接设未知数,相等关系由题目的关键语句”译”出. (2)平均增长率(增长率或降低常)问题;在此例问题中, 一般有变化前的基数(a),增长率(x)变化的次数(n),变化 后的基数(b),这四者之间的关系可用公式___________ 表示.这类问题中等量关系通常由这个公式及由相关的 词语”译”出.(3)经营问题,这也是近年来中考中出现频率 高的应用问题. 在这类问题中有进价(a)售价(b)利润(p)件数(n)等相 关的量.这些量之间的关系可用公 式表示,同时件数(n)又经常与售价(b) 关联,在解答此类问题时,一定要准确地找到反映它们关 系的代数式.(4)其它问题,在近年的中考中,常常出现一 些贴进生活,生产的实际问题,如:规划、方案设计、测量 统计、几何应用,与物理及其它学科之间的渗透的问题等. 解答这些问题时,等量关系一般从已知公式或题目中的 关键词句”译”出.(1.(1)100a+10b+c 2n 2n+2 n n+1 (2)a(1+x)n=b (3)p=(b－a)n) 2.列一元二次方程解应用题的一般步骤: 和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程 解应用题的步骤可归纳为”审,设,列,解,答”. (1)审:认真审题,分析题意,弄清已知和未知,寻找相等 关系; (2)设:就是设未知数,分直接设未知数和间接设未知 数,所谓直接设未知数就是问什么设什么,反之就是间接 设未知数.到底选择何种方式设未知数,要以有利于列出 方程为准则. (3)列:就是根据题目中的已知量与未知量之间的相 (4)解:就 求出所列方 程的解. (5)答: 书写答案, 的解进行检验,舍去不符合实际意义的解. 3.如何探求应用问题中的等量关系. 列一元二次方程解应用题,关键是正确地找到等量 关系.如何迅速地探求出相等关系列出方案呢? (1)要正确熟练地作语言与式子的互化.(2)充分运用 题目中所给的条件.(3)要善于发现利用间接的,潜在的等 量关系.(4)对一般应用题,可以从以下几个方面着手寻找 相等关系.①利用题目中的关键语句作为相等关系. ②利用公式、定理作为等量关系.③从生活、生产实 际经验中发现等量关系. [名题探究]例1.已知一直角三角形三边长为三个连 续偶数,试求这个直角三角形三边长及面积. [命题意图]本例考查列一元二次方程解答有关的数 字问题.[解析]用含未知数的代数式表示出三个连续的 偶数,再根据勾股定理列出方程求解.解:设直角三角形三 边长分别为n,n+2,n+4,(n为偶数:n2+(n+2)2=(n+4)2。化简, 整理,得:n2－4n－12=0 解得: n1=6,n2=－2 由于三 角形的边长不能为负数,所以取n=6∴n+2=8,n+4=10 即,两直角边为6,8,斜边为10. 三角形面积为 24 8 6 2 1 = ? ?.答:直角三角形三边长为6,8,10,面积为 24. [思路探究]几何中的定理是我们列方程的等量关系 的重要来源. 例2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明 两年的投资总额为12万元,求该校这两年在实验器材投 资上的平均增长率是多少?[命题意图]本题主要考查平 均增长率问题. [解析]本例属于平均增长率问题,若设平均增长率为
第五讲一元二次方程的整数整数解
第五讲一元二次方程的整数整数解 从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解； 从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设厶= k2)，通过穷举， 逼近求解； 从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因 数分解、因式分解求解； 从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解. 注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关. 【例题求解】 【例1】若关于x的方程(6_k)(9_k)x2 _(117_15k)x 54=0的解都是整数，则符合条件的整 数是的值有__________ 个. 注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问 题的题设条件，看是否要分类讨论. 【例2】已知a、b为质数且是方程x2 -13x c =0的根，那么- -的值是() a b 127 A. - 22 125 B. 22 C. 123 22 121 D.—— 22 【例3】试确定切有理数r ,使得关于x的方程rx2 (r 2)x r 0有根且只有整数根 【例4】当m为整数时，关于x的方程(2m-1)x2 -(2m 1)x ^0是否有有理根？如果有，求 出m的值；如果没有，请说明理由. 注：一元二次方程ax2 bx 0 (a^ 0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=b2-4ac 为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件. 【例5】若关于x的方程ax2 -2(a -3)x ? (a -13) =0至少有一个整数根，求非负整数a的值. 思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a的两个关系式中消去a也较困难，又因
5一元二次方程的应用尖子班讲义
一元二次方程根与系数关系及应用题（讲义） 一、知识点睛 1．从求根公式中我们发现12x x +=_______，12x x ?=_________， 这两个式子称为_____________，数学史上称为___________． 注：使用___________________的前提是_________________． 2．一元二次方程应用题的常见类型有： ①______________；②______________；③______________． 增长率型 例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）； 1人患了流感，经过两轮传染． 经济型 例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3．应用题的处理流程： ① 理解题意，辨析类型； ② 梳理信息，建立数学模型； ③ 求解，结果验证． 二、精讲精练 1. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ?的值分别是 （ ） A ．7错误!未找到引用源。，4 B ．7 2-，2 C ．7 2，2 D ．72 ， -2 2. 若x 1 =2是一元二次方程210x ax ++=的一个根，则 该方程的另一个根x 2=_________，a =________． 3. 若关于x 的方程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范围是 ____________________． 4. 若关于x 的方程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是则m =________． 5. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价256元．设平均每次降价的 百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ） A ．2289(1)256x -= B ．2256(1)289x -= C ．289(12)256x -= D ．256(12)289x -= 6. 据调查，某市2013年的房价为6 000元/米2，预计2015年将达到8 840元/ 米2，求该市这两年房价的年平均增长率．设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为_______________． 7. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均 一个人传染了________________个人．
1、一元二次方程的定义及解法
第一讲一元二次方程的定义及解法 1.1 一元二次方程的定义 知识网络图 定义 直接开平方法 一元二次方程配方法 解法 公式法 因式分解法 知识概述 1．一元二次方程的概念： 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如ax2bx c 0（a 0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项． 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根课堂小练1．（2018?马鞍山二模）已知 a 是方程x2﹣2x﹣1=0 的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为（） A ． 1 B．﹣ 2 C．﹣ 2 或 1 D ．2 2（．2018?岐山县二模）若关于x 的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣5m+3=0 有一个根为1，则m 的值为（ ） A ．1 B．3 C．0 D．1 或3 3．（2017 秋?潮南区期末）一元二次方程（x+3）（x﹣3）=5x 的一次项系数是（） A ．﹣ 5 B．﹣9 C．0 D ．5 课后练习 1．（2018?荆门二模）已知 2 是关于x 的方程x2﹣（5+m）x+5m=0 的一个根，并且这个方向的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为（） A ．9 B．12 C．9 或12 D． 6 或12 或15
2．（2018?河北模拟）若关于x 的一元二次方程ax2﹣bx+4=0 的解是x=2，则2020+2a﹣b 的值是（） A ．2016 B ．2018 C．2020 D．2022 3．（2017 秋?武城县期末）若关于x 的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m 2﹣3m+2=0 的常数项为0，则m 等于
2019-2020年中考数学一轮专题复习第8讲一元二次方程及应用精讲精练浙教版
2019-2020年中考数学一轮专题复习第8讲一元二次方程及应用精讲精练 浙教版 考点一、一元二次方程的有关概念 【例1】下列方程中是关于x的一元二次方程的是( ) A．x2＋1 x2 ＝0 B．ax2＋bx＋c＝0 C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0 方法总结方程是一元二次方程要同时满足下列条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不等于0.容易忽略的是条件①和④. 举一反三方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（） A．0 B．1 C．2 D．3 考点二、一元二次方程的解法 【例2】解方程：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7 方法总结此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择，常常涉及到配方法、公式法、因式分解法．选择解法时要根据方程的结构特点，系数(或常数)之间的关系灵活进行，解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速． 举一反三 1.解方程：（x2+4）（x2+1）=2x（4+x2） 2.解方程组： 5 x y12 = += ??
3.解方程组： 4.解关于x的方程：a2（x2﹣x+1）﹣a（x2﹣1）=（a2﹣1）x． 考点三、一元二次方程根的判别式的应用 【例3】如果关于x的方程（m+1）x2+2mx+m﹣1=0有实数根，则（） A．m≠1 B．m=﹣1 C．m≠±1 D．m为全体实数 方法总结由于一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式b2－4ac＝0，从而得到一个关于m的方程，解方程求得m的值即可． 一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：(1)不解方程，判定根的情况；(2)根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；(3)应用判别式证明方程根的情况． 举一反三 1.关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是． 2.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a（x+a）=0的两个实数根为x 1，x2，若y=x1+x2+．（1）当a≥0时，求y的取值范围； （2）当a≤﹣2时，比较y与﹣a2+6a﹣4的大小，并说明理由．
初中数学九年级上册讲义第5讲一元二次方程根与系数关系(提高)-学案
初中数学九年级上册讲义第5讲一元二次方程根与系数关系（提高）-学案 高效提分源于优学 第05讲一元二次方程根与系数关系温故知新用公式法解一元二次方程的一般步骤（1）整理把原方程整理成；（2）确定a.b.c 的值，（各项系数若有分数，通常化为整数）-bb24ac（3）计算的值，并判断这个值的正负若b24ac2a的值并计算；写出答案 x1，x2若b24ac决定的，我们把b24ac0，方程有两个不相等的实数根。 （2）当Db24ac0，方程没有实数根。 2.上述结论反过来也成立（1）若方程有两个不相等的实数根，则Db24ac0（3）若方程没有实数根，则Db24ac0；反过来也成立。 典例分析例1（1）如果关于x的方程x2x22k1x22k1x10有两个不相等的实数根，求k的取值范围。学霸说者对于一元二次方程方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根，裸裸的残酷的掠夺，激起了当地土著民族顽强的反抗。举一反三 1.已知关于m的一元二次方程x2m0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围。
2.当k为何值时，关于x的一元二次方程kx2k2x0有实数 根。 3.若关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数 根，则k的取值范围是知识要点二一元二次方程根与系数的关系1 21.若Db21xm20有两个实数根x和x。 12（1）求实数m的取值范围12（2）当时，求m的值。举一反三1已知x1，x2是方程2x24x30的两个根，不解方程求下列各式的值（1）（2） 2.已知关于x的一元二次方程x2k20（k为常数）（1）求证 方程有两个不相等的实数根；（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x12x214，试求出方程的两个实数根和k的值。 3.已知关于x的一元二次方程x2（2m1）xm20有两个实数根 x1和x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1x21，求m的值课堂闯关初出茅庐1关于x的一元二次方程kx23x10有实数根，则k 的取值范围是（）AkBk且k0CkDk且k02若关于x的一元二次方程（m2）2x2（2m1）x10有解，那么m的取值范围是（）AmBmCm且m2Dm且m23下列关于x的方程有实数根的是（） Ax2x10Bx22x20C（x1）210D（x1）（x2）04一元二次方程x24x20的根的情况是（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根D没有实数根5若关于x的一元二次方程 方程（k1）x24x10有实数根，则k的取值范围是（） Ak5Bk5，且k1Ck5，且k1Dk56如果关于x的一元二次方程2x2xk0
一元二次方程解法讲义
龙文教育学科教师辅导讲义 课 题 一元二次方程的解法 教学目标 1. 理解一元二次方程及其有关概念 2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解 重点、难点 1. 一元二次方程的判定，求根公式 2. 一元二次方程的解法与应用 考点及考试要求 1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式 2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去 3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用 教学内容 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③ 整式方程．．．． 就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax 注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式 (3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式： 2 =++c bx ax 时，应满足（a≠0） (4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132 +=+x x B 02112 =-+ x x C 0 2 =++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
第一讲.一元二次方程的定义及解法
第一讲：一元二次方程的概念和解法 一、知识点1: 1: 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程叫做一元二次方程? 2：一般形式： ax2 + bx+ c= 0(a、b、c 是已知数，a^0) 其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项. 3:相关练习： 1、下列方程中，是一元二次方程的是( ) 2 A、x =1 B、X——-_ =1 C、，x -1 x2 = 1 D、x‘ x 1 = 0 x 2 2 2、如果(m 3)x2 -mx ? 1 = 0是关于x的一元二次方程，则( ) A、m - 3 且 m = 0 B、m -j 3 C、m -j 0 D、m - 3 3、下列方程一定是关于x的一元二次方程的是( ) A、3x =4x m B、ax -8=0 C、x y =0 D、-6xy - y 7 = 0 4、关于x的方程kx23x2 1是一元二次方程，则k的取值范围是_____________ 。 5、判断下列方程是否为一元二次方程： (1 )、—3x2+2x+y2=0 (2)、xx2-2 ^x-x 2 (3)、y2 =0 (4)、2 x1 (2x3 x k 6、关于x的方程(k 1)x' kx ^0是一元二次方程，求k的值。 7、__________________________________________ x(2x- 1) — 3x(x- 2)=0 — 二次项系数：_____ ; 一次项系数：_______ 常数项： ______ ； 2x(x— 1)=3(x + 5) — 4 —_______________ 二次项系数：_____ ; 一次项系数：_____ 常数项：________ . &关于x的一元二次方程(a-1)x2? a2-仁0的一个根为0,则a的值为( ) 1 A、1 B、-1 C、-1或 1 D、- 2 9、已知关于x的一元二次方程(m-2) x2 + 3x+ m2— 4=0有一个解是0,则 m= 。 10、关于x的方程mx2— 3x=x2- mx+2是一元二次方程的条件是_____________ . 11、已知x2-x-1=0,求-x3 2x2 2009 的值 二、知识点2 一元二次方程的解法：
二次函数与一元二次方程和一元二次不等式
二次函数与一元二次方程和一元二次不等式 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值2 44ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -，无最小值． 方程与函数不仅是初中数学中的重要内容，也是高中数学学习的重要内容，方程与函数之间存在着密切的联系，二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即为相应的二次方程的解，课程标准要求我们能利用二次函数的图象求二次方程的近似解。 本节我们将进一步研究一元二次方程与函数问题，研究当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ． 分析：因为二次方程220x x m -++=的根为二次函数22y x x m =-++的图象与x 轴交点 横坐标。根据已知条件22y x x m =-++ ，可知抛物线的对称轴为直线1x =；根据图象可知抛物线与x 轴的一个交点的横坐标为3x =，所以利用抛物线的对称性知抛物线与x 轴的另一个交点横坐标为―1，因此，方程220x x m -++=的解为3和－1。本题利用抛 物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根。 【例2】 二次函数2(0y ax bx c a a b c =++≠，，，是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如下表：
一元二次方程培优专题讲义(最新整理)
数学培优专题讲义：一元二次方程 一.知识的拓广延伸及相关史料 1．一元二次方程几种解法之间的关系解一元二次方程有下列几种常用方法:（1）配方法:如，经配方得 2670x x ++=，再直接用开平方法； 2(3)2x +=（2）公式法；（3）因式分解法。 这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，实际也是因式分解法，解方程，只2670x x ++=要变形为 即可，或原方程 22(3)0x +-=经配方化为，再求解时， 2670x x ++=2(3)2x +=还是归到用平方差公式的因式分解法，所以配方法归为用因式分解法的手段。公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法，因此，它还是归到因式分解法，所不同的是，公式法用一元二次方程的系数来表示根，因而可以作为公式。由此可见，对因式分解法应予以足够的重视。因式分解法还可推广到高次方程。 2．我国古代的一元二次方程 提起代数，人们自然就把它和方程联系起来。事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究。我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究有着优良的传统，并取得了重要成果。 下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:”直田积（矩形面积）八百六十四步(平方步),只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）,问阔及长各几步？”答:”阔二十四步,长三十六步.” 这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题. 上面的问题选自杨辉所著的《田亩比类乘除算法》。原题另一个提法是:“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解. 3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。 本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。 （1）转化思想 我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。在本章，转化无所不在，无处不有， 可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面： ①未知转化为已知，这是解方程的基本思路: ②一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的: ③特殊转化为一般，一般转化为特殊。例如，通过用配方法解数字系数的一元二次方程归纳出用配方法解一般形式2670x x ++=的一元二次方程的方法，进而得出20ax bx c ++=一元二次方程的求根公式，而用公式法又可以解各种具体的一元二次方程，推导出一元二次方程根与系数的关系。又如，通过设未知数，找出等量关系，列方程，把实际问题转化为解方程问题，等等。 掌握转化思想并举一反三，还可以解决很多其他方程问题，如高次方程转化为一元一次或一元二次方程，分式方程转化为整式方程，无理方程转化为有理方程，二元二次方程组转化为二元一次方程组，总之，本章学习的关键之一是学会如何”转化”. 练习: ;222 1 1.510a x x a a -+=+ 是方程的一根,求的值 2421032. a x a ?--=--是方程x 的一根,求a 的值 2 2 42 3101 x x x x x --=-+、若，求的值。 （2）类比思想 本章多次运用类比找出新旧知识的联系,在新旧知识间进行对比,以利于更快更好地掌握新知识. 如用配方法解一元二次方程时,可类比平方根的概念和意义,列一元二次方程解应用题,可类比列一元一次方程解应用题的思路和一般步骤. 类比思想是联系新旧知识的纽带，有利于帮助我们开阔思路，研究解题途径和方法，有利于掌握新知识、巩固旧知识，学习时应特别重视。
二次函数与一元二次方程
复习 1.二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴为直线，且过点．下列说法：①；② ；③；④若是抛物线上的两点，则．其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④ 2.小轩从如图所示的二次函数的图象中，观察得到如下四个结论：① ；② ；③ ；④．其中正确的结论是( ) A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④ 3.已知二次函数的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为(-1，0)，(3，0)．下列结论：① ②b-2a=0；③；④ ． 其中正确的是( ) A.③ B.②③ C.③④ D.①② 4.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：
A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③④ 二次函数与一元二次方程（讲义） ? 课前预习 学习一次函数与二元一次方程（组）的关系时，有以下结论：两个一次函数交点的坐标即为对应 的二元一次方程组的解． 3 则一次函数 y =3x -3 与y =-3x +3的交点 P 的坐 标是 _______ ． 请思考：一元二次方程ax 2 + bx + c = 0的根，可否看作是二次函数y = ax 2 +bx +c 与 x 轴交点的横 坐标，即方程组 y = ax + bx + c 的解中x 的值. y =0 2. 两函数值比大小主要是借助数形结合，通过找交点、画直线、定左右来确定取值范围．比如： 1. 如：已知方程组y -3x +3=0 2 y + 3 x - 6 = 0 4 的解为x = 3 ， y =1 以下结论：① ；② ；③c-a=2；④方程 有两个相等的实数根．其中正 交点在（0，2）的下方．则下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（ ）
专题二 函数概念与基本初等函数 第五讲函数与方程(1)
专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第五讲 函数与方程 2019年 2019年 1.（2019全国Ⅲ文5）函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2.（2019天津文8）（8）已知函 数01,()1, 1.x f x x x ?? =?>?? 剟若关于x 的方程 1 ()()4 f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 （A ）59,44?????? （B ）59,44?? ??? （C ）59,{1}44?? ??? U （D ）59,{1}44 ?????? U 3.（2019江苏14）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈ 时，()f x =， (2),01()1,122 k x x g x x +<≤??=?-<≤??，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8 个 不同的实数根，则k 的取值范围是 . 2010-2018年 一、选择题 1．（2017新课标Ⅲ）已知函数2 1 1()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13 C ．1 2 D ．1 2．（2017 山东）设1 ()2(1),1 x f x x x <<=-??≥，若()(1)f a f a =+，则1()f a = A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
3．（2015安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 A ．y cos x = B ．y sin x = C ．y ln x = D ．2 1y x =+ 4．（2015天津）已知函数2 2||,2 ()(2),2x x f x x x -?=? ->? ≤，函数()3(2)g x f x =--，则函数 y ()()f x g x =-的零点的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．（2015陕西）对二次函数2 ()f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列 结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是 A ．－1是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值 D ．点(2,8)在曲线()y f x =上 6．(2014山东)已知函数()12+-=x x f ，()kx x g =．若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 （A ）），（210 （B ）），（121 （C ）），（21 （D ）），（∞+2 7．（2014北京）已知函数()26 log f x x x = -，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 （A ）()0,1 （B ）()1,2 （C ）()2,4 （D ）()4,+∞ 8．（2014重庆）已知函数1 3,(1,0]()1,(0,1] x f x x x x ?-∈-? =+??∈?，且()()g x f x mx m =--在 (1,1]-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是 （A ）91(,2](0,]42- -U （B ）111 (,2](0,]42--U （C ）92(,2](0,]43--U （D ）112 (,2](0,]43 --U 9．（2014湖北）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -．则函数 ()()+3g x f x x =-的零点的集合为 （A ）{1,3} （B ）{3,1,1,3}-- （C ）{23} （D ）{21,3}- 10．（2013安徽）已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若11()f x x =<