蜘蛛网对数螺线模型
数学建模网络挑战赛
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数学建模网络挑战赛
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2012年第五届“认证杯”数学中国
数学建模网络挑战赛
题目对数螺线型蜘蛛网状的结构分析
关键词蜘蛛网对数螺线蒙特卡洛方法 ANSYS分析法
摘要
本文针对蜘蛛网合适结构的问题，考虑吐丝量一定，外界环境较理想条件下，建立以对数螺线为核心的数学模型，追求蜘蛛网结构最优。运用蒙特卡洛方法，模拟昆虫触网的过程，考虑了在蜘蛛丝长度一定的条件下，对数螺旋比圆围成的面积大，但疏而不漏，应用随机过程近似昆虫触网的过程，得出了对数螺线更利于捕食的结论。另一方面，也对对数螺线型面联接理论和联接界面强度进行了分析与计算，利用ANSYS进行接触分析，得出了对数螺线型面联接的接触应力和接触强度条件的表达式。采用随机数产生算法，利用MATLAB 7.0.1和C++编程，分别对模型进行求解，并对所得结果进行分析比较，以此来帮助设计最有蜘蛛网结构。
参赛队号 2138 所选题目 A 参赛密码
（由组委会填写）
Abstract
Our article aims to study the question about the best structure of the spider webs ,it is on the condition of certain output of the spinning the and quite ideal conditions ,establish mathematical model in the core of the logarithmic spiral to find the best way of the spider webs .We also analyze Logarithm of solenoid type surface connection theory, Interface connection strength and ANSYS to get the expression.we apply Monte Carlo method to simulate the process about Net insert and adopt the Random number produce algorithm ,we also use the software of Matlab 7.0.1 、Mathematica and Microsoft Visual C++ 6.0 to give the answer to the question about the model and analyze about the result from model ,so we establish the best structure of the spider webs by means of these datas.
一、问题重述
世界上生存着许多种类的蜘蛛，而其中的大部分种类都会通过结网来进行捕食。通过对蜘蛛网所形成的结构的分析，通过建立模型，设计一种更为合适的蜘蛛网结构。
二、问题分析
题目中主要研究的是：蜘蛛网织成怎样的结构才是最合适的。因此我们通过查阅资料，了解蜘蛛网的结构等方面内容，根据结构形状的不同,蛛网可以分为片网、不规则网和圆网等几种类型。由于圆网在蛛网进化上的地位特殊，且结构简单、规则。因此，到目前为止对蛛网的研究大都集中在圆网上。圆网并不是标准的圆，而是近似于数学上的螺旋线。所谓合适的蜘蛛网结构就是利于蜘蛛捕食、防御、繁殖。根据题目的要求，我们提出以下几个问题：
1、为什么蜘蛛网是螺旋线状，而不是标准的同心圆；
2、对数螺线型面联接理论和联接界面强度分析与计算。
三、符号说明
ρ：模拟对数螺线的极径
θ：模拟对数螺线的极角
Φ：对数螺线型型面轴旋转角
σ：面轴上接触应力
p
l：轴孔之间的轴向配合长度
σ与极径ρ之间的夹角
γ：P点接触应力
p
f：轴孔之间的摩擦系数
T：扭矩
S：面积就是最大圆的面积
1
L：四圈的长度为
1
四、模型假设：
1、假设蜘蛛网是规则的对数螺线；
2、不考虑蜘蛛网受到风雨等天气情况的影响;
3、假设昆虫飞向蜘蛛网时，落在网内每点的概率相同；
五、模型建立与求解：
蜘蛛网的中心和圆周之间呈辐射状的半径线，自外向里是螺旋线，愈近中心，每圈间的距离也愈小，直到不可辨认的地步，这正符合数学上的对数螺线的情况。因此，我们建立对数螺线的模型，近似代替蜘蛛网，研究其性质。
图1
㈠ 对数螺线的定义和性质
数学上对数螺线定义如下：动点的运动方向始终与极径保持定角θ的动点轨迹，称为对数螺线。如图1所示，其极坐标方程为：
m ae θρ= （1）
式中：,a m 为常数（()arctan 1/m λ=））；θ为极角，ρ为极径。
图2 对数螺线
对数螺线在渐屈、渐伸、垂迹、回光线等各种变换下的不变性质,体现出自身的高度和谐、对称和统一性。 ㈡对数螺旋线与圆形蜘蛛网的比较
将四个标准圆形与对数螺旋线放入同一坐标系中，如下图3
图3
1、 四圈圆形蜘蛛网
面积就是最大圆的面积：1S =28π=64?3.14=201.056 四圈的长度为： 1L =()21 3.6 5.88.2+++π=111.784 2、四圈螺旋线蜘蛛网
该对数螺旋线的方程为：30.02e θρ=，08θ≤≤π
面积：由于对数螺旋线是一条不封闭的曲线，所以用下图中最外面的曲线和一条线段组成的封闭图形表示该螺旋线所包围的面积。通过数该封闭图形内的方格数估计面积，不足一格按半格记。
图4
共有188个正方形，45个不足一格的，所以面积为198+22.5=220.5 长度：
用Mathematica 计算该曲线长，
输入 Integrate[0.02e^3x,{ x,0,8Pi}] ， 得出结果L= 126.871 现将计算结果做表如下：
周长
面积
面积
周长
圆 116.867 201.056
1.720
螺旋线
126.871
220.5
1.738
结论：
在蜘蛛丝长度一定的情况下，螺旋线所围成蜘蛛网的面积大。这样更利于蜘蛛捕食。
蒙特卡罗方法：
用蒙特卡罗方法模拟昆虫飞向蜘蛛网上的过程：
假设昆虫飞向蜘蛛网时是一个随机过程，此过程中不考虑环境因素（风向、风速等）的影响
编写C 语言程序，生成二维随机数。 程序及运行结果见附录。
将这些随机数在下图5中描点，为处理简单，以第一象限为例，其他象限相同。
图5
图5.1 图5.2 图5.3 图5.4 图5.5
绘制表格：
一 二 三 四 五 平均 螺旋线 9 8 6 5 6 6.8 圆
6 6 3
6 7 5.6
由此可见，昆虫更可能碰到对数螺线。也就是说，对数螺线形的蜘蛛网更有利于捕食
㈢、对数螺线型面联接理论和联接界面强度分析与计算 3.1对数螺线曲线
以型面轴截面曲线为例, 选取三段对数螺线进行分析。θ从0°到110°的一段曲线组成, 其中各段曲线之间用直线圆滑联接, 减弱了应力集中现象。
图6三段对数螺线型面轴截面 2.2对数螺线曲线参数的确定
在图1所示对数螺线的方程m ae θρ=中, m 的大小取决于型面联接轴与孔之间受力时的压力角α, 因α在整个曲线上是常数, 当α选定时, m 为常数。因此选择型面联接轴、孔截面形状时,可选定a 值的大小来定轴、孔的尺寸, 再定出压力角,即可确定式中m 值, 对数螺线形状也就随之确定, 同时型面轴、孔截形也就相应得到确定。
三段对数螺线组成的型面轴、孔有两个基本参数a 和α,其中m 主要影响曲线的形状,a 主要影响曲线的大小。三段对数螺线型面联接如图7所示,这是一种有间隙的配合(图7-a),工作时通过一定量的相对旋转,间隙补偿,由于楔面的作用在接触面之间便产生正压力,并摩擦闭锁, 形成可靠的联接(见图7-b),其摩擦受力方向与运动方向所成角度a 的大小与参变量θ无关,即对数螺线的压力角a 在任何位置都是相同的。
( a ) ( b) 图7对数螺线型面联接
3.2 型面轴孔接触初始位置确定
设型面轴孔的截面廓形曲线方程分别为11m a e θρ=、22m a e θρ=。假定固定轮毂，顺时针旋转型面轴Φ角后两者之间有初始接触，任取一接触点P ，则在P 点处有12ρρ=，
即 ()12m m a e a e θθ+Φ= （2） 可得 211ln a m a ??Φ=
???
（3）
上式表明型面轴旋转角Φ仅与曲线的,a m 常数值有关，而与θ值无关，即与初始接触点P 的位置无关，即Φ为定值，说明轴孔工作表面之间同时发生接触，轴孔之间接触为面接触。 3.3利用ANSYS 进行接触分析
由于ANSYS 对复杂曲面建模具有一定的局限性，为了分析的准确性，利用
Pr /o E 强大的三维建模功能，
在Pr /o E 中建成模型后，再利用Pr /o E ,ANSYS 之间的接口程序，将模型导入, ANSYS 中。为了方便加载扭矩，在不影响分析结果性质的前提下，于轴中心建一半径为r 的圆形孔，在圆形孔边界节点处加载等效切向力F ，使得扭矩T=Fr ，如图8所示。按照ANSYS 分析步骤设置属性、划分网格、加载、求解。在后处理器POST1中查看有限元模型在纯扭矩T 作用下的节点应力云图，如图9所示。
图8有限元模型
图9节点的应力云图
图9表明在轴孔各段工作表面上除了两端（刚进入接触与刚脱离接触的很小的一个区域）应力比较大之外，其它的区域所受到的应力分布都非常均匀。若在模型应力比较集中区域进行修磨处理，将各段曲线间联接用更圆滑的曲线过渡，可减少或消除应力集中现象。由此，认为对数螺线型面联接接触应力均匀分布是符合实际情况的。反复加载不同的扭矩对有限元模型进行分析求解，发现作用扭矩与接触应力之间成线性比例关系。 3.4接触应力计算
假定在无间隙无过盈的理想配合状态下，轴上作用纯扭矩，如图5所示。在对数螺线型面轴上工作表面共有三段，其上接触应力均匀分布，记为p σ。在AB
表面上任取一点P ，在包含P 点的微小弧段ds 上，接触应力的推动分力（即与该点的线速度平行的分力）及摩擦力对轴线o 之矩dt 应为
()()sin cos sin cos p p p dT lds f lds f lds
ρσγσγγγσρ=+=+ （4）
式中:ρ为P 点的极径;l 为轴孔之间的轴向配合长度（即工作长度）；γ为P 点接触应力p σ与极径ρ之间的夹角；f 为轴孔之间的摩擦系数（一般取0.1~0.15）。
由对数螺线性质知/2γαπλ==-,m ae θρ=,ds d ρθ=,代入式（4）得
()2sin cos p dT f ld γαρσθ=+
()22sin cos m p f le d θααρσθ=+ (5) 在传动轴匀速转动时，由型面轴廓形曲线的对称性知，求出一段工作表面上力对轴线o ,产生的力矩，再乘以3所得的总力矩应与作用扭矩T 平衡，即有
（6）
即()1129
23sin cos 1p m mT
a l f e
πσαα=
?
?+- ??
?
（7）
上式表明作用扭矩T 与p σ之间成线性比例关系，当作用扭矩一定时，接触应力的大小取决于轴孔之间的轴向配合长度l 以及,a α等参数，增大,a l 或α均可减小对数螺线型面联接的接触应力p σ。
由于在实际中蜘蛛网面接触应力并不均匀。对于型面联接，要求在轴孔配合表面存在一定间隙，所以前面无间隙无过盈的假定与实际情况有一定出入。由于间隙的存在，各段工作表面并不能实现在其理论区域上全部接触。这样按式（7）计算的p σ (小于其实际值。为使计算的p σ更加接近最大接触应力，可引入修正系数加以修正。因此对数螺线型面联接的接触强度条件可写成
1129
2[]3(sin cos )1p p m kmT
a l f e
πσσαα=
≤?
?+- ??
?
（8）
()()11112
218180
112
933sin cos 3sin cos 12m p m p T dT a l f e
d a l f
e m
ππθ
πσααθ
σαα==+??
+- ?
??=
?
?
六、模型结果分析
通过建立对数螺线型近似蜘蛛网结构，运用蒙特卡洛方法模拟猎物触网过程，我们给出了在蜘蛛丝长度一定的情况下，螺旋线所围成蜘蛛网的面积大，更有利于捕食。对对数螺线型面轴廓形曲线的分析，在初步确定对数螺线型面轴孔联接初始接触位置及接触性质的基础上，应用有限元分析软件ANSYS对对数螺线型面联接进行接触应力分布规律的研究不失为一种行之有效的方法。本文分析求解的接触应力的理论计算公式，由于各种综合因素考虑的不足，从本质上看，其计算结果与实际情况会有一定出入。然而该公式作为一种有效的实用算法，结构简单，使用方便，为此种联接在工程中的应用打下了良好的设计基础。
七、模型优缺点分析
本文中针对研究蜘蛛网的合适结构给出了对数螺线型模型，本模型较好的近似了蜘蛛网的结构，对于对数螺线型网状结构的优越性进行了较详细的说明，并给出了对数螺线型面联接理论和联接界面强度分析与计算。较好地说明了对数螺线型蜘蛛网是较为适合的蛛网结构。但是由于在模型建立时的诸多理想假设、主观原因和参数敏感度的影响，致使计算结果与实际有一定的偏差，在模型的最后给出了部分修正。
参考文献
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附录
#include
using namespace std;
int main()
{
cout<<"第一组"< for(int i=0;i<30;i++) { cout<<"("<<(rand()%10000)/1000.0<<","<<(rand()%10000)/1000.0<<")"< } cout<<"第二组"< for(i=0;i<30;i++) { cout<<"("<<(rand()%10000)/1000.0<<","<<(rand()%10000)/1000.0<<")"< } cout<<"第三组"< for(i=0;i<30;i++) { cout<<"("<<(rand()%10000)/1000.0<<","<<(rand()%10000)/1000.0<<")"< } cout<<"第四组"< for(i=0;i<30;i++) { cout<<"("<<(rand()%10000)/1000.0<<","<<(rand()%10000)/1000.0<<")"< } cout<<"第五组"< for(i=0;i<30;i++) { cout<<"("<<(rand()%10000)/1000.0<<","<<(rand()%10000)/1000.0<<")"< } } 一、常见的建筑 1、房屋是人类________、________的地方，有了房屋，人类才结束了_________的历史；有了________，人类才有__________的生活。 2．早在________前，我们的祖先为了_________，开始寻找能________、______|、________的房屋，后来他们终于找到了能够当房子的__________。人类最早的房屋是___________人类最早建造的房屋可移动的__________。 3．建筑技术的进步，对人类房屋的发展有促进作用。人类房屋的发展经历了由_______到__________，结构由________到_________，功能由________到________的过程。 4．举出几件不同风格的房屋：_______________、___________、____________，________________、______________、_________________。 5．楼房的层次构成：_________ →__________→________→________→_______ 6________世纪________ 年代研制出了___________,以后又相继出现了_________ __________ __________ ___________等许多新的建筑材料。从____________ ____________ ___________到_____________，建筑机械得到迅速发展。建筑技术的进步及各种新型建筑材料的使用，使______________建筑和______________建筑相继出现。__________ __________ _________ _______ ________等设施的采用，使建筑功能更具综合性。人们可以在房屋里__________、________和___________,也可以举行各种仪式。 7.雄伟的金字塔、庄严的紫禁城、辉煌的凯旋门，这些文明于世的建筑，都是__________与__________的结晶. 8.随着技术的发展，人们发明并生产出了__________、___________、_______等各种各样的建筑材料，各式各样的___________和金碧辉煌的___________开始出现了。 9.从古到今，人类的房屋发生了很大的变化，引起房屋变化的原因是：随着科学_________ 的进步，建筑材料、建筑_________ 、建筑结构都得到了迅速发展。 10.早在_________时代，人类的祖先就创造了原始的住所，但那只是遮风避雨的地方。随着技术的发展进步，建筑中融入了人类的________ 、________ 和_______。 11、人类的房屋是怎样发展变化？建筑技术的进步对人类房屋的发展有什么作用？ 12、引起房屋发展变化的主要原因是什么？ 浅谈等角螺旋线 作者：09公管丁刘泽隆王海玥阚萍 摘要：本文主要对等角螺线（logarithmic spiral）进行了研究，建立了等角螺线的数学模型，探讨了等角螺线的性质、数学模型的特点以及在生活，尤其是在工业生产中的应用。关键词：等角螺线黄金比应用 引言：等角螺线又叫对数螺线（logarithmic spiral ）是由笛卡儿在1683年发现的。雅各布·伯努利()后来重新研究之。他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。他十分惊叹和欣赏这曲线的特性，故要求死后将之刻在自己的墓碑上，并附词“纵使改变，依然故我”( d m m t t surgo)。可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去。等角螺线用指数形式表达：ρ=αe^(kφ)其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e 或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。等角螺线在自然界规律和工业生产中都有着广泛的应用，如抽水机的涡轮叶片；鹦鹉螺外壳的等角螺线形图案。已有的文献和成果：文献《螺线》等。 一、模型的建立 (1) 螺线特别是美学意义可以用指数的形式来表达： ρ=αe^(kφ) 其中，α和k为常数，φ是极角（polar angle），ρ是极径（polar Radius），e是自然对数（ natural logarithm）的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限不循环小数。 (2)如何得到一条等角螺线-----等角螺线与黄金比（golden ratio） 首先画一个黄金矩形ABCD，即一个长比 宽为φ的矩形，。如果拿掉最大的正方形 ABEF，我们能得到一个新的小黄金矩形 FECD。（证明略）数学提供给我们的生活经验 以是，一旦我们发现一个思想，我们往往可以 通过将这个细想推到极端来发展出新的洞见。 我们可以从新得到的黄金矩形FECD中再拿 掉最大的正方形FGHD，并继续这个过程，如 此产生出一个不断缩小的黄金矩形的无穷集 合。连接其中的B、F、H、I、J、K等点，我 们就可以(粗略地)等到一条等角螺线（logarithmic spiral）了。 参考资料《数学爵士乐》【美】爱?德华伯格迈克?尔斯塔伯德著 二、模型的性质 (1)等角螺线的臂的距离以几何级数（geometric progression）递增。 (2)设L为穿过原点的任意直线，则 L 与等角螺 线的相交的角永远相等（故其名），而此值 为 cot-1 ln b。从螺线的心向螺线上任一点 生活中的数学问题 对数螺线与蜘蛛网 曾看过这样一则谜语:“小小诸葛亮,稳坐军中帐.摆下八卦阵,只等飞来将.”动一动脑筋,这说的是什么呢?原来是蜘蛛,后两句讲的正是蜘蛛结网捕虫的生动情形.我们知道,蜘蛛网既是它栖息的地方,也是它赖以谋生的工具. 你观察过蜘蛛网吗?它是用什么工具编织出这么精致的网来的呢?你心中是不是有一连串的疑问,好,下面就让我来慢慢告诉你吧.在结网的过程中,功勋最卓著的要属它的腿了.首先,它用腿从吐丝器中抽出一些丝,把它固定在墙角的一侧或者树枝上.然后,再吐出一些丝,把整个蜘蛛网的轮廓勾勒出来,用一根特别的丝把这个轮廓固定住.为继续穿针引线搭好了脚手架.它每抽一根丝,沿着脚手架,小心翼翼地向前走,走到中心时,把丝拉紧,多余的部分就让它聚到中心.从中心往边上爬的过程中,在合适的地方加几根辐线,为了保持蜘蛛网的平衡,再到对面去加几根对称的辐线.一般来说,不同种类的蜘蛛引出的辐线数目不相同.丝蛛最多,42条；有带的蜘蛛次之,也有32条；角蛛最少,也达到21条.同一种蜘蛛一般不会改变辐线数. 到目前为止,蜘蛛已经用辐线把圆周分成了几部分,相临的辐线间的圆周角也是大体相同的.现在,整个蜘蛛网看起来是一些半径等分的圆周,画曲线的工作就要开始了.蜘蛛从中心开始,用一条极细的 丝在那些半径上作出一条螺旋状的丝.这是一条辅助的丝.然后,它又从外圈盘旋着走向中心,同时在半径上安上最后成网的螺旋线.在这个过程中,它的脚就落在辅助线上,每到一处,就用脚把辅助线抓起来,聚成一个小球,放在半径上.这样半径上就有许多小球.从外面看上去,就是许多个小点.好了,一个完美的蜘蛛网就结成了. 让我们再来好好观察一下这个小精灵的杰作:从外圈走向中心的那根螺旋线,越接近中心,每周间的距离越密,直到中断.只有中心部分的辅助线一圈密似一圈,向中心绕去.小精灵所画出的曲线,在几何中称之为对数螺线. 对数螺线又叫等角螺线,因为曲线上任意一点和中心的连线与曲线上这点的切线所形成的角是一个定角.大家可别小看了对数螺线:在工业生产中,把抽水机的涡轮叶片的曲面作成对数；螺线的形状,抽水就均匀；在农业生产中,把轧刀的刀口弯曲成对数螺线的形状,它就会按特定的角度来切割草料,又快又好. 猫捉老鼠 问题：如果3只猫在3分钟内捉住了3只老鼠,那么多少只猫将在100分钟内捉住100只老鼠? 这是一个古老的趣题,常见的答案是这样的：如果3只猫用3分钟捉住了3只老鼠,那么它们必须用1分钟捉住1只老鼠.于是,如果捉1只老鼠要花去它们1分钟时间,那么同样的3只猫在l00分钟内将会捉住100只老鼠. 遗憾的是,问题并不那么简单.刚才的解答实际上利用了某个假定,它 数学建模网络挑战赛 承诺书 我们仔细阅读了第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们允许数学中国网站(https://www.360docs.net/doc/1e10363988.html,)公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。 我们的参赛队号为： 参赛队员(签名) ： 队员1： 队员2： 队员3： 参赛队教练员(签名)： 参赛队伍组别： 数学建模网络挑战赛 编号专用页 参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）： 竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）： 2012年第五届“认证杯”数学中国 数学建模网络挑战赛 题目对数螺线型蜘蛛网状的结构分析 关键词蜘蛛网对数螺线蒙特卡洛方法 ANSYS分析法 摘要 本文针对蜘蛛网合适结构的问题，考虑吐丝量一定，外界环境较理想条件下，建立以对数螺线为核心的数学模型，追求蜘蛛网结构最优。运用蒙特卡洛方法，模拟昆虫触网的过程，考虑了在蜘蛛丝长度一定的条件下，对数螺旋比圆围成的面积大，但疏而不漏，应用随机过程近似昆虫触网的过程，得出了对数螺线更利于捕食的结论。另一方面，也对对数螺线型面联接理论和联接界面强度进行了分析与计算，利用ANSYS进行接触分析，得出了对数螺线型面联接的接触应力和接触强度条件的表达式。采用随机数产生算法，利用MATLAB 7.0.1和C++编程，分别对模型进行求解，并对所得结果进行分析比较，以此来帮助设计最有蜘蛛网结构。 参赛队号 2138 所选题目 A 参赛密码 （由组委会填写） 对数螺线与蜘蛛网 曾看过这样一则谜语:“小小诸葛亮，稳坐军中帐。摆下八卦阵，只等飞来将。”动一动脑筋，这说的是什么呢?原来是蜘蛛，后两句讲的正是蜘蛛结网捕虫的生动情形。我们知道，蜘蛛网既是它栖息的地方，也是它赖以谋生的工具。而且，结网是它的本能，并不需要学习。 你观察过蜘蛛网吗?它是用什么工具编织出这么精致的网来的呢?你心中是不是有一连串的疑问，那么下面就让我来慢慢告诉你吧。在结网的过程中，功勋最卓著的要属它的腿了。首先，它用腿从吐丝器中抽出一些丝，把它固定在墙角的一侧或者树枝上。然后，再吐出一些丝，把整个蜘蛛网的轮廓勾勒出来，用一根特别的丝把这个轮廓固定住。为继续穿针引线搭好了脚手架。它每抽一根丝，沿着脚手架，小心翼翼地向前走，走到中心时，把丝拉紧，多余的部分就让它聚到中心。从中心往边上爬的过程中，在合适的地方加几根辐线，为了保持蜘蛛网的平衡，再到对面去加几根对称的辐线。一般来说，不同种类的蜘蛛引出的辐线数目不相同。丝蛛最多，42条；有带的蜘蛛次之，也有32条；角蛛最少，也达到21条。同一种蜘蛛一般不会改变辐线数。 到目前为止，蜘蛛已经用辐线把圆周分成了几部分，相临的辐线间的圆周角也是大体相同的。现在，整个蜘蛛网看起来是一些半径等分的圆周，画曲线的工作就要开始了。蜘蛛从 中心开始，用一条极细的丝在那些半径上作出一条螺旋状的丝。这是一条辅助的丝。然后，它又从外圈盘旋着走向中心，同时在半径上安上最后成网的螺旋线。在这个过程中，它的脚就落在辅助线上，每到一处，就用脚把辅助线抓起来，聚成一个小球，放在半径上。这样半径上就有许多小球。从外面看上去，就是许多个小点。好了，一个完美的蜘蛛网就结成了。 让我们再来好好观察一下这个小精灵的杰作:从外圈走向中心的那根螺旋线，越接近中心，每周间的距离越密，直到中断。只有中心部分的辅助线一圈密似一圈，向中心绕去。小精灵所画出的曲线，在几何中称之为对数螺线。 对数螺线又叫等角螺线，因为曲线上任意一点和中心的连线与曲线上这点的切线所形成的角是一个定角。大家可别小看了对数螺线:在工业生产中，把抽水机的涡轮叶片的曲面作成对数；螺线的形状，抽水就均匀；在农业生产中，把轧刀的刀口弯曲成对数螺线的形状，它就会按特定的角度来切割草料，又快又好。 对数螺旋线有什么特点？在物理上用什么应用？ 和其他物理量有什么关系？ 对数螺旋线有什么特点？在物理上用什么应用？和其他物 理量有什么关系？ 早在2019多年以前，古希腊数学家阿基米德就对螺旋线进 等角螺线及其它 ?何谓等角螺线 ?等角螺线的方程式 ?趣史一则 ?等角螺线上的相似性质 ?黄金分割与等角螺线 ?等角螺线的弧长 ?等角螺线的再生性质 ?其它螺线举例 几何学是一门源远流长的数学分支，在十七世纪以前，几何学一词甚至可说是数学的同义词，它以往的风光可想而知。曾几何时，因为某些内在与外在的因素，几何学的地位似乎已逐渐没落；在中小学的数学教材里，几何题材一次又一次地被删除。这种现象使我们感到忧心，因为自然环境中隐藏着许多几何原理，不了解这些几何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？ 笔者从事数学教育工作多年，又是现行高中数学教科书的编者之一，对当前高中数学教材中几何题材的过度贫乏，实在感到忧心忡忡。在无力对教科书作大幅度修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。 基于上述想法，笔者希望能以一系列的文章来介绍一些几何题材。在内容方面，笔者首先选上曲线。因为曲线的讨论不仅是几何学中最有趣的题材之一，而且许多曲线都会在自然现象中出现，它们的性质也往往能提供重要的应用。例如：天文望远镜的设计，不就是根据拋物线的反射性质吗？本文介绍等角螺线。 何谓等角螺线 在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶点A、B、C、D上。狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着甲狗。一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向目标。假定每只狗在每个时刻都是正面朝向它的目标，那么，这四只狗所跑过的路径是什么形式呢？ 假设四只狗在某一时刻的位置分别为A1、B1、C1、D1（见图一），则根据四只 狗的行动一致所产生的对称性，可知也是正方形，而且它的中心也就是正方形的中心O。更进一步地，由于在A 点的甲狗系冲向在 三维动画毕业设计论文 摘要：本文从三维动画短片中的视觉效果出发，对动画短片中涉及的三维动画制作，后期特效制作方法进行了详细的阐述，并解析归纳了适用于短片动画的，相关三维动画及其后期处理的制作方法，总结出为达到该动画短片视觉效果可行的制作解决方案。结合该短片的特点，提出了为达到导演预期效果使用到的处理方法。 关键词：三维动画，后期合成，制作方法 3D Animation Short Subject THE NIGHT PARTY ABSTRACT：This text is from the 3D animation short subject THE NIGHT PARTY of the visual effect set out, expect the special effect creation's method to carry on to elaborate in detail towards involving in the animation short subject of 3D animation creation, behind, and analyzed to induce to be applicable to a short subject animation of, related and 3D animation and afterward expect the creation method for handle, tally up for attain that visual effect of the animation short subject viable creation https://www.360docs.net/doc/1e10363988.html,bine the characteristics of that short subject, put forward for attain treatment that direct expectation effect's usage. KEY WORDS: 3D animation, expect to synthesize behind, create a method 1 《夜店惊魂》的视觉效果目标 1.1 影片视觉风格定位 这部三维动画短片《夜店惊魂》，作为毕业设计，我们给自己制定了较高的影片质量目标。为了能形成统一的，有性格的动画短片，我们在做一切动作之前先给影片做一个整体的风格定位。经过多种风格的实验选择，我们最终确定了这种诡异又天真，邪恶又可爱的整体定位。对美与丑的划分淡化，一切都是合理又和谐的，善与恶总是这样和谐的统一的，表面的善恶也只是一种形式。[1] 1.2 参考与借鉴动画大片 我们在确定影片风格的时候非常庆幸的也看到了西方也有一些类似 幼儿园神奇的线教案 活动目标： 1、培养幼儿探索绳线的兴趣，喜欢参加各项关于绳线的活动。能够感受到绳子给自己带来的快乐。 2、进一步培养幼儿对绳子的创造想象能力。通过自己的探索创造出与绳子有关的事物。 3、能够感受到绳子的奥妙。初步的了解各种不同材料的绳子，知道不同的绳子具有不同的特性。 4、了解生活中隐藏着许许多多的、各式各样的绳子。并且人们能够通过绳子进行各种的活动。 活动时间：2周 环境创设： 娃娃家--各种不同的线以及各种绳子，和线有关的东西，如：各种布料、衣服。语言区--和线条有关的书籍。美工区--供幼儿编制创作用的线，棉线制作风筝。益智区--穿鞋带玩具，棉线，可用线拼摆的图案。 家长工作： 帮助幼儿观察生活中的"线"（缝衣服的线、电线、布料中的线等）感受到生活中线条的无所不在。 活动内容： 1、艺术——线的音乐会 2、健康——花样跳绳 3、科学——帮蜘蛛结网 4、科学——自然测量 5、艺术——会画画的线 6、科学——计算：学习4的加减法 7、语言——儿歌：绳子变把戏 8、语言——谈话：线的大集合 9、社会——妙妙绳 10、社会——漂亮的线 11、操作游戏：绳子爱画画 12、美术活动：线条变魔术 13、制作活动：好高的风筝 14、制作游戏：线的用处大 附活动设计： 活动内容：艺术——线的音乐会 活动目标： 1、欣赏玄乐器演奏的音乐，感受玄乐的美。 2、培养幼儿动手制作“乐器”的能力。 3、知道线能够发出声音，长短不同的线发出的声音不同。 活动准备：小提琴、火柴盒或者大小不同的盒子、皮筋、玄乐器演奏的音乐录音 活动过程： 一、导入：提问：你都见过哪些地方有线？线有什么作用？（幼儿讨论） 二、展开： 1、教师提出线还有另外一个作用，激发幼儿好奇心。 2、出示小提琴，引导幼儿观察：这是什么？小提琴上面有什么？（线）这上面的线有什么作用呢？教师请幼儿上台试一试，拉动一下线，听听会发出什么声音？（线能够发出声音。） 工作文档对数螺旋线型双曲拱坝几何计算程序使用说明书对数螺旋线型双曲拱坝几何计算程序使用说明书 对数螺旋线型双曲拱坝计算机辅助设计几何计算程序采用QBASIC语言编制～在一般微机上运行～该程序可解决对数螺旋线型双曲拱坝平面拱圈、各种横缝和孔口等的施工放样问题。 一、坐标系及单位 1、三维直角坐标系的Y轴就是拱坝的“对称”中心轴线～并指向下游,X轴指向左岸,Z轴垂直向下,座标系原点设在坝顶,一般在顶拱拱冠上游点,。 2、单位 程序输入、输出所用单位～长度以m计,角度以度计。 二、描述体型的主要参数及其函数关系 描述对数螺旋线型拱坝体型的主要几何参数有: 1、Yc Y是拱圈中心轴线在拱冠点处的Y座标值～或者说是拱冠梁中心轴线上c 各点的Y座标。 2、T c T是拱冠梁各高程处的厚度 c 3、T及T alar T及T分别是左、右两半拱拱圈的端部厚度。 alar 4、R及R lr R及R分别是左、右两半拱拱圈轴线在拱冠处的曲率半径。lr 、θ5及θ lr θ及θ分别是左、右两半拱拱圈轴,对数螺旋线,线方程中的初始角。lr 6、X及X DlDr X及X分别是左、右两半拱拱圈下游端点X座标。DlDr 一般地说～上述参数都是Z座标的多项,n+1项,式: 在作施工放样座标计算时～上述全部参数的函数关系应尽知。 这些参数的函数式～其次数往往是不同的～设其中最高的次数是n次～0用户在使用程序时～应把坝顶高程H和n的数值～库存在程序的第21行～o0 前述各参数函数式中的系数[A]都要按序紧接n库存～中间不允许插入任何0 别的内容～而且～Tc的系数[A]应从程序的第23行开始库存～每个参数的系数都必须是n+1个～不能多也不能少～不足部分或未知者均须用若干个零按0 位补足。 三、主要计算公式 如图1示～某高程左右水平拱圈中轴线各为某对数螺旋线的一段～其极座标方程为: k, ,,,e0 相应参数方程为: ,k,x,e,,, ,[sin(，),sin],0c ,k,,yY,,e,,,， [cos,,cos(，)]0,cc kφ2 其中～k=tgθ～ρ=R/～ R= Re 1，k00o 式中: θ:对数螺旋线的初始角, ρ:初始极半径, o φ:称为“似中心角”,拱中心角,, R:拱轴线在拱冠处的曲率半径, o R:轴线上任一点的曲率半径, Y:拱轴线在拱冠处的y坐标, c θ、φ均以左曲线为正～右曲线为负。 软件柔性化 软件的开发是一项系统工程，涉及到人力、资金成本、资源、协作等各个方面的因素，这些因素必须有机组合在一起，而不是被一些所谓的条条框框所套住。明确目标，合理地进行策划和实施以及团队的密切配合，这些都是一个软件产品成功开发的基础。 然而，软件开发毕竟是一项复杂的工作，很多原因都会导致软件失败或者疲于奔命，如：官僚主义、不明确的目标、团队的不畅沟通，资源的不合理配置，以及其他诸多因素，这些因素中，设计摆在非常重要的位置，在很大程度上决定软件的复杂度，很多时候我们为了追求某种概念，去设计一个非常灵活的架构，而在实际项目运用中只解决了一个非常小的问题。曾经见过一个架构，充分运用了Windows消息机制，十多个类对象去解决几个按钮状态的功能，结果得不偿失，设计和代码的晦涩以及和想要达到的功能矛盾，导致开发人员不能很好的去理解软件，修正和扩展功能变得难以控制，促使开发陷入了焦油坑。从另一个方面来说，优秀的设计能够很好地解决软件的复杂度。 在软件开发过程中，我们经常有这样的体会：随着软件开发的深入，设计时未考虑到的问题逐渐暴露、新的需求不断添加、原有设计思路的天生缺陷等，都可以导致很多模块对象被重新设计和重新组织编码，新的领域对象和原有的领域对象需要重新集成。如果遇到设计元素都是整块的，无法重新组合的，又或是设计元素分解很细、理解和跟踪很难的，多余的抽象和间接层次结构的，还有各个元素紧密联系、牵一发而动全身的，这时，我们要重构和迭代将非常困难，举步为艰。好的设计应该是简单、结构清晰易于理解的，每个元素只反映自己的领域范畴，各个元素非常容易组织在一起形成新的应用，并且其功能是可以预测的。自然适应这些变化的能力，取决于软件的柔性化。 软件的柔性化不是那么容易获得，也没有公式可套，需要经过多次的重构迭代和精化，不断地对业务领域进行沉淀和挖掘，除此之外，可以通过以下几个规则可以使软件具备柔性。一．释意接口 作为一名开发人员，经常会用别人开发好的代码，很多时候会深入代码内部进行阅读，倒不是学习别人的代码写得如何巧妙，而是因为很难理解代码所表达的真正含义，有时甚至自己写的代码，过一段时间也会不理解它的意图。这样，封装的大部分价值就已经丧失了。我们必须使我们的设计和代码清晰地反映有意义的领域逻辑，将隐含的概念显式地反映出来，另外必须为我们的类、方法和参数等起一个能够解释其设计意图的名称，名称要保证能够准确的表达其效果和目的，没有二义性。为了便于团队成员的交流，尽量使用能够反映领域的通用语言，站在使用人员的角度去思考。 优选（VR虚拟现实）虚拟蜘蛛建网及步行的互动式模拟系统 虛擬蜘蛛建網及步行的互動式模擬系統 Interactive Simulation of Web Construction and Locomotion for Virtual Spider 林翰儂李蔡彥 政治大學政治大學 北市指南路二段64號北市指南路二段64號 s8908@https://www.360docs.net/doc/1e10363988.html,.tw li@https://www.360docs.net/doc/1e10363988.html,.tw Abstract 目前在電腦動畫方面，已有許多模擬生物運 動的規劃並且也到達相當成熟技術，像是人類的 行走運動規劃；但是對於節肢動物的運動規劃， 現在並不多見，大多並不是採用程式自動產生的 方式製造節肢動物的運動動畫。本論文研究模擬 蜘蛛網的建構及虛擬蜘蛛在蜘蛛網上自動規劃行 走運動的模擬程式。此論文的所採用的方法是依 據我們定義的蜘蛛網結網規則和指定參數的方式 建構蜘蛛網，蜘蛛在網上的步行也是經過搜尋判 斷後才得到路徑。本系統建造蜘蛛網的部分已經 可以成功的模擬出蜘蛛網的型態，也能夠自動規 劃蜘蛛在蜘蛛網上的運動路徑。在實作方面是混 合2D與3D的使用者介面，使用者以2D介面操 作，以3D的方式呈現結果。 1.簡介 製作電腦動畫的方式主要有動作擷取 (Motion Capture)和取動作關鍵格(key-framing) 以及程式自動產生動畫這三種方法。一般製作動 畫主要是利用動作擷取和取動作關鍵格這兩個方 式產生動畫。動作擷取的特點是利用真人演員的 表演動作，讓電腦讀取後產生虛擬演員的動作。 其優點是可以得到看起來很自然的動作模組，但 是要把動作套到虛擬人物的時候仍然需要做關節 間距的調整，而且得到的動作不能適應其他環境 或是地型的變化。取動作關鍵格的方法常見於坊 間的3D動畫製作軟體，使用者可以將做好的模型依照時間先後，每間隔一段時間調整模型在該時間點要擺放的位置，此動作就是在設定模型的動作關鍵格。之後，讓軟體利用內插法(interpolation)產生關鍵格與關鍵格之間連接的動作。而程式自動產生的動畫可以做到動作擷取圖一：最粗的線條是外框，輻射狀的普通粗線是輻射絲，螺旋狀的細線是螺旋絲。擁有黏性的絲線只有螺旋絲。 圖二：蜘蛛網的建造順序是外框-> 輻射絲-> 螺旋絲。圖片來源出自[5]。 母线在绕轴线做匀速圆周运动的同时，做匀速或变速轴向运动，母线的运动轨迹形成等螺距或变螺距螺旋面。 螺旋面与同轴的圆柱面或同轴圆锥面的交线，称为圆柱螺线或圆锥螺线。[4] 混凝土搅拌车中常用的螺旋线是直纹正螺旋面和直纹斜螺旋面。 直纹：母线为直线。 正螺旋和斜螺旋：母线与轴线垂直或斜交。 螺旋角 螺旋线上某点（取正对着的那一点）的切线与圆柱面或圆锥面的母线之间的夹角称为螺旋角，一般用β表示[6] 升角 螺旋线上某点（取正对着的那一点）的切线与通过该点的圆柱截面在该点的切线之间的夹角，称为螺旋升角，简称升角，常用δ表示[6] ?=+90βδ 相当于在圆柱面上有一张白纸，并转动，铅笔紧靠白纸，并作轴向运动，形成的轨迹，称为螺旋线。把白纸展开，即可得螺旋升角。 图片来自文献[15] 阿基米德螺旋线：螺距相等的螺旋线。 既做匀速转动又做等速直线运动（两速度要同步），而形成的轨迹，称为“阿基米德螺旋”，又称等螺距螺线。[8]圆锥的阿基米德螺线的螺旋角是变化的。[6] 如果选用阿基米德螺线，在筒体的几何参数和螺旋角选定的情况下，螺旋角是从圆锥小端至圆锥大端递增的 对数螺旋线： 对数螺旋线又称等角螺旋线或等升角螺旋线或等螺旋角螺旋线，其螺距是变化的。[6] 如果选择对数螺线，在筒体的几何参数和螺旋角选定的情况下，螺距是随各截面处直径的变化而成正比变化的，这时的螺旋角可以设计为不变。 阿基米德螺旋叶片螺距相等，但是螺旋角不等； 对数螺旋叶片的螺距不相等，但是螺旋角相等。 螺旋角越大，升角就越小，搅拌性能就越差，出料性能越好； 螺旋角越小，升角就越大，搅拌性能就越好，出料性能越差。 搅拌性性能差，容易离析 所以罐车的两头的螺旋角大，中间的螺旋角小。 第七章 习题 1、对于7.1节蜘蛛网模型讨论下列问题： （1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较。 （2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和1-k y 确定。试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。 解：（1）简单地假设1+k y 由1+k x 和k x 的平均值决定，模型为 ?????>-=->??? ??-+-=-+++0 ),(0,2001_0101ββααy y x x x x x y y k k k k k 得022)1(22x x x x k k k αβαβαβ+=++++，与7.1节（B ）的结果相同，平衡点稳定的条件仍为αβ<2. (2)设k x 也由k y 和1-k y 的平均值决定，模型为 ??? ????>??? ??-+=->??? ??-+-=--+++0,20,20101_0101ββααy y y x x x x x y y k k k k k k 得c x x x x k k k k =++++++αβαβαβ12324，c 由00,,,y x βα决定，其特征方程为02423=+++αβαβλαβλλ，该方程所有特征根1<λ的条件（即平衡点稳定的条件）仍为2<αβ。 2、验证阻滞增长模型（7.3节）的（15）～（18）式。 解：在7.3节（13）式中令1-x=y,得011323=-+ -b y b y y （1） 已知b x 11*-=，即b y 1*=使（1）的一个平衡点，于是（1）式化为 01)11()1(22=?? ????+---b y b y b y （2） 方程（2）的另外两根为b b b b y 23212* 2,1--±-=，*2,1*2,11y x -=，即为（15）式。 注意到b>3,(16)式之间可证。 （17）式由f 的表达式及复合函数求导法则导出。 数据仓库与数据分析第一、二、三章 一、数据处理的类型： 1、操作型处理：操作型处理主要完成数据的收集、整理、存储、查询和增、删改操作等，主要由一般工作人员和基层管理人员完成。 2、分析型处理：分析型处理是对数据的再加工，往往要访问大量的历史数据，进行复杂的统计分析，从中获取信息，因此也称为信息型处理，主要由中高级管理人员完成。 操作型数据处理： 二、联机事务处理系统（OLTP）的主要功能：对事务进行处理，快速地响应客户的服务要求，使企业的业务处理自动化。 其主要性能指标是事务处理效率和事务吞吐率，每个事务处理的时间越快越好，单位时间能完成的事务数量越多越好。 三、dbms：数据库管理系统。Dwms:数据仓库管理系统。OLAP：联机分析处理。Oltp基于db,olap基于dw。 四、事务：用户定义的一个数据库操作序列，这些操作要么全做、要么全不做，是一个不可分割的工作单元。在关系数据库中，一个事务可以是一条SQL语句、一组SQL语句或整个程序。 五、事务的ACID性质： 1、原子性：事务是一个逻辑工作单元，是一个整体，是不可分割的。 2、一致性：事务在完成时，必须使所有的数据都保持一致状态。 3、隔离性：事务并发执行也能保持原子性和一致性，则是事务的隔离性。 4、持久性：一旦事务成功完成，该事务对数据库所施加的所有更新都是永久的。 六、决策支持系统（DSS）：分析型数据处理的典型。决策支持系 统需要具备的基本功能是建立各种数学模型，对数据进行统计分析，得出有用的信息作为决策的依据和基础。DSS对数据集成的迫切需要是数据仓库技术出现的最重要动因。 分析型数据处理需要访问大量的当前和历史数据，进行复杂的计算，即需要本部门的数据也会需要其他部门的数据，甚至是竞争对手的数据。 七：操作型数据和分析型数据的区别： 操作型数据分析型数据 细节的综合的，或提炼的 当前数据历史数据 可更新（可以update）不更新（不可update，但可 insert） 操作需求事先可知道操作需求事先不知道 完全不同的生命周期 生命周期符合SDLC （软件开发生命周期） 对性能要求高对性能要求宽松 一个时刻操作一单元一个时刻操作一集合 事务驱动分析驱动 面向业务处理面向分析 一次操作数据量大，计算复杂 一次操作数据量小，计算 简单 支持日常操作支持管理需求 八、数据分散的原因： 1、事务处理应用的分散：OLTP系统一般只需要与本部门业务有关的当前数据，没有包括企业范围内的集成应用。 2、“蜘蛛网”问题：抽取数据后，在此基础上继续抽取，不加控制的连续抽取导致企业的数据间形成了错综复杂的网状结构，称为“蜘蛛网”。 3、数据不一致问题：应用间的数据不一致，如同一字段在不用应用中具有不同的类型、名称；同名字段有不同含义。 蜘蛛结网的优化设计方案 李芸… 指导老师：陈金阳 （湖北师范学院，） 编者按：本文的主要特点是：在建立蜘蛛结网的数学模型时，用反射点投影至测试屏目标点的变换的Jacobi 行列式来刻画反射面元面积与该面元的反射光在测试屏照射到的微元面积之间的精确关系，并给出了相应的近似模型。 遗憾的是在实际离散化计算时，作者们做了过度的简化，未能真正应用上述模型，计算结果偏小。 摘要：本问题是一个蜘蛛线的量一定的优化设计问题。 首先，我们建立了一个连续的数学模型来描述这个优化问题，此模型研究了线的网的稳定数和圈半径的优化问题。 经过蜘蛛织从o点开始向四周织网，至到自己的丝用完结束，根据它的织网数条数和圈半径d因素对其建立方程 由于 根据C 点的光强度必须大于一个确定的值（文中设为1），B 点的光强度必须大于该值的2 倍的约束条件将这个 问题抽象成一个非线性规划问题。 由于解非线性规划问题是很复杂的过程，我们选择了将连续模型简化成一个离散模型。但是离散模型将光 离散成一条一条光线时，一般不能考虑光在传播过程中的散射问题。 根据我们连续模型中用Jacobi 行列式算出 的结果知可以考虑光在传播过程中的散射问题，但是Jacobi 行列式是很难求出来的，为了解决这个困难我们将光 的散射用连续的方法做了一个简化。简化的方法是用向量投影的方法粗略作出了两个面积微元之间的关系，从 而得到了光线打在光屏上的散射效果与光线的起始单位方向向量和该光线经抛物面反射时的反射点的坐标的 关系。 运用以上的离散模型的算法，得到最优的线光源长度为3.39mm。 关键词：线光源，非线性规划，反射，Jacobi 行列式，向量投影。分类号：AMS（2000）49K35 中图分类号：O224 文献标识码：A 1 问题的重述（略） 2 基本假设 1 基本假设： 1）蜘蛛的吐丝长度一定 2）蜘蛛网相邻两个圆之间的间距一定 3）相信两条幅间的夹角相等 4）在间距一定的情况下，蜘蛛网的稳定系数与条幅数成正比。 5）在稳定系数一定的情况下，蜘蛛网的结构函数f(L)反比。 2 符号说明： K1:稳定系数与条幅系数之比例系数 主题活动：神奇的线 神奇的线活动目标：培养幼儿探索绳线的兴趣，喜欢参加各项关于绳线的活动。 能够感受到绳子给自己带来的快乐。 进一步培养幼儿对绳子的创造想象能力。 通过自己的探索创造出与绳子有关的事物。 能够感受到绳子的奥妙。 初步的了解各种不同材料的绳子，知道不同的绳子具有不同的特性。 了解生活中隐藏着许许多多的各式各样的绳子。 并且人们能够通过绳子进行各种的活动。 活动时间：周环境创设：娃娃家--各种不同的线以及各种绳子，和线有关的东西，如：各种布料衣服。 语言区--和线条有关的书籍。 美工区--供幼儿编制创作用的线，棉线制作风筝。 益智区--穿鞋带玩具，棉线，可用线拼摆的图案。 家长工作：帮助幼儿观察生活中的"线"（缝衣服的线电线布料中的线等）感受到生活中线条的无所不在。 活动内容：艺术——线的音乐会健康——花样跳绳科学——帮蜘蛛结网科学——自然测量艺术——会画画的线科学——计算：学习的加减法语言——儿歌：绳子变把戏语言——谈话：线的大集合社会——妙妙 绳社会——漂亮的线操作游戏：绳子爱画画美术活动：线条变魔术制作活动：好高的风筝制作游戏：线的用处大附活动设计：活动内容：艺术——线的音乐会活动目标：欣赏玄乐器演奏的音乐，感受玄乐的美。 培养幼儿动手制作乐器的能力。 知道线能够发出声音，长短不同的线发出的声音不同。 活动准备：小提琴火柴盒或者大小不同的盒子皮筋玄乐器演奏的音乐录音活动过程：一导入：提问：你都见过哪些地方有线？线有什么作用？（幼儿讨论）二展开：教师提出线还有另外一个作用，激发幼儿好奇心。 出示小提琴，引导幼儿观察：这是什么？小提琴上面有什么？（线）这上面的线有什么作用呢？教师请幼儿上台试一试，拉动一下线，听听会发出什么声音？（线能够发出声音。 ）请幼儿想一想，你还见过哪些乐器上面有线，而且能够发出声音？请幼儿来制作能够发出声音的乐器。 先请幼儿观察制作材料，你觉得应该怎样制作？（把纸盒中间挖空，用橡皮筋套在纸盒上，用手拨弄橡皮筋，就成了会发声的乐器）。 幼儿进行制作，教师巡回指导。 制作完毕后，请幼儿互相听听自己制作的乐器的声音和别人制作的有什么不同？教师引导幼儿探索试验，纸盒的大小和皮筋的松紧都会影响声音的高低。 请幼儿自己说一说，通过实验发现了什么？三结束：教师总结： 第 1 页：碟形弹簧、葉形线、螺旋线(Helical curve)、蝴蝶曲线和渐开线； 第2 页：螺旋线、对数曲线、球面螺旋线、双弧外摆线和星行线； 第3 页：心脏线、圆内螺旋线、正弦曲线、太阳线和费马曲线（有点像螺纹线）； 第4 页： Talbot 曲线、 4 叶线、 Rhodonea 曲线、抛物线和螺旋线； 第5 页：三叶线、外摆线、 Lissajous 曲线、长短幅圆内旋轮线和长短幅圆外旋轮线；第6 页：三尖瓣线、概率曲线、箕舌线、阿基米德螺线和对数螺线； 第7 页：蔓叶线、 tan 曲线、双曲余弦、双曲正弦和双曲正切； 第8 页：一峰三驻点曲线、八字曲线、螺旋曲线、圆和封闭球形环绕曲线； 第 9 页：柱坐标螺旋曲线、蛇形曲线、8 字形曲线、椭圆曲线和梅花曲线； 第 10页：花曲线、空间感更强的花曲线、螺旋上升的椭圆线、螺旋花曲线和鼓形线； 第 11页：长命锁曲线、簪形线、螺旋上升曲线、蘑菇曲线和8 字曲线； 第12 页：梅花曲线、桃形曲线、碟形弹簧、环形二次曲线和蝶线； 第13 页：正弦周弹簧、环形螺旋线、内接弹簧、多变内接式弹簧和柱面正弦波线； 第14 页： ufo（漩涡线）手把曲线、篮子、圆柱齿轮齿廓的渐开线方程和对数螺旋曲线；第15 页：罩形线、向日葵线、太阳线、塔形螺旋线和花瓣线； 第16 页：双元宝线、阿基米德螺线的变形、渐开线方程、双鱼曲线和蝴蝶结曲线； 第17 页：“两相望”曲线、小蜜蜂、弯月、热带鱼和燕尾剪； 第18 页：天蚕丝、心电图、变化后的星形线、小白兔和大家好； 第19 页：蛇形线、五环、蜘蛛网、次声波和十字渐开线； 第20 页：内五环和蜗轨线； 1.碟形弹簧 圓柱坐标 方程： r = 5 等角螺线及其它 赵文敏 ?何谓等角螺线 ?等角螺线的方程式 ?趣史一则 ?等角螺线上的相似性质 ?黄金分割与等角螺线 ?等角螺线的弧长 ?等角螺线的再生性质 ?其它螺线举例 几何学是一门源远流长的数学分支，在十七世纪以前，几何学一词甚至可说是数学的同义词，它以往的风光可想而知。曾几何时，因为某些内在与外在的因素，几何学的地位似乎已逐渐没落；在中小学的数学教材里，几何题材一次又一次地被删除。这种现象使我们感到忧心，因为自然环境中隐藏着许多几何原理，不了解这些几何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？ 笔者从事数学教育工作多年，又是现行高中数学教科书的编者之一，对当前高中数学教材中几何题材的过度贫乏，实在感到忧心忡忡。在无力对教科书作大幅度修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。 基于上述想法，笔者希望能以一系列的文章来介绍一些几何题材。在内容方面，笔者首先选上曲线。因为曲线的讨论不仅是几何学中最有趣的题材之一，而且许多曲线都会在自然现象中出现，它们的性质也往往能提供重要的应用。例如：天文望远镜的设计，不就是根据拋物线的反射性质吗？本文介绍等角螺线。 何谓等角螺线 在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶点A、B、C、D上。狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着甲狗。一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向目标。假定每只狗在每个时刻都是正面朝向它的目标，那么，这四只狗所跑过的路径是什么形式呢？ 假设四只狗在某一时刻的位置分别为A1、B1、C1、D1（见图一），则根据四只 狗的行动一致所产生的对称性，可知也是正方形，而且它的中心也就是正方形的中心O。更进一步地，由于在A 点的甲狗系冲向在 B1点的乙狗，所以，甲狗在此一时刻的速度方向在向量上。或者说，甲 狗所跑的路径在A1点的切线与直线OA1形成45°的夹角。同理， 图一 乙狗所跑的路径在B1点的切线与直线OB1形成45°的夹角等等。 一般而言，若一曲线在每个点P的切向量都与某定点O至此点P所成的向量 夹成一定角，且定角不是直角，则此曲线称为一等角螺线 (equiangular spiral)，O点称为它的极点 (pole)。 前面所提的四狗追逐问题中，每只狗所经过的路线都是一等角螺线的一部分，此 等角螺线中的定角是（或，因为切向量可选成相反方向），而其极点是正方形的中心O。 等角螺线的方程式 蜘蛛网第二阶段问题的研究 一、问题重述 世界上生存着许多种类的蜘蛛，而其中的大部分种类都会通过结网来进行捕食。现在我们假设一个具体的环境。假设有一个凸多边形区域，蜘蛛准备在这个区域（或其一部分）上结一张网。 1.1历史背景 世界上的蜘蛛种类繁多，但大多数蜘蛛都会通过结网来捕食猎物的。 对于结网型蜘蛛而言，网充当不仅仅是捕食工具的角色，也充当防御天敌的工具和繁衍场所的角色，因此，对蛛网结构和性能的研究是了解蜘蛛习性和生活的重要手段。蜘蛛网作为大部分蜘蛛的捕食工具，蜘蛛网结构影响蜘蛛的捕食效率，反映了蜘蛛的捕食手段，同时也反映了蜘蛛在不同环境下的捕食策略，不同体重的蜘蛛寻找的猎物也不同。在不同环境下，蜘蛛会通过蛛网结构性能上的相应变化来维持蛛网结构的稳定性。 1.2问题提出 问题一：在区域的边界上安置有若干支撑点，蛛丝可以连接在支撑点上，不能连接到区域的边界的其它点。请建立合理的数学模型，对不同的情况都设计出合适的蛛网结构。 问题二：如果蛛丝可以连接在区域边界的任何点上。请建立合理的数学模型，设计出合适的蛛网结构。 二、问题假设 1、在猎物体重一定的范围内，蛛网承受能力的大小。 2、在不同地域内，视蛛网的粘性、湿度相同。 3、在忽略其他因素的情况下，蛛网面积越大，其结构越稳定。 4、假设蜘蛛吐丝的粗细是相同的。 5、每根蛛丝的承受能力均匀相等。 6、假设蛛丝的网格大小不同，越往里越小。 7、假设蜘蛛的吐丝量一定。 8、假设蛛网上每点出现猎物的概率是相等的。 三、符号说明 四、问题分析 对问题一的分析： 我们设定一个具体的环境;有一个凸多边形，蜘蛛准备在这个区域上结网。在区域边界上安置若干个支撑点，蛛丝可以连接到支撑点上，不能连接到区域边界的其它点上。 支撑点随机设定，假定蜘蛛网上的每个点出现猎物的概率是相等的，蜘蛛停留在蛛网的中心位置，每次捕食的速率相等，我们可以通过计算蜘蛛网捕食面上的捕食期望来判断哪种蛛网结构的捕食效果是最好的。 1、当蜘蛛的吐丝量一定时（即蛛网周长一定），蛛网的承受力也一定时，为确保捕食期望达到最大，通过判断面积的大小来确定最适合的蜘蛛网结构，由相关文献资料可知，可能出现的最适蜘蛛网结构有三角形、正方形、正五边形、Λ、正n 多边形。当多边形的边数∞→n 时，蜘蛛网结构就会近似视为一个圆形。选取正方形、正五边形、正六边形、圆形这四种蜘蛛网结构分别求出各个结构的捕食期望值，结合期望值和极限思想，通过最大捕食面积来确定哪种蜘蛛网结构是最优的。 2、当面积一定时，为确保捕食期望达到最大，对蜘蛛网上的猎物进行受力分析。当猎物被蜘蛛网黏上的那刻开始，蜘蛛网就给猎物一个阻止其向前运动的力：由物理运动学知，此时猎物做加速度增大的减速运动，在理想状态下，该运动会一直循环下去，但现实生活中会存在能量损失，因此循环不会继续下去，此时可以把猎物所做的运动看作阻尼振动。根据能量守恒定律，分别求解出正方形、正五边形、正六边形以及圆形，猎物被黏在蛛网上时蛛网承受力的大小。通过对比，选出捕食能力最强的蜘蛛网结构。 结合上面两种情况，可以得到最合适的蜘蛛网结构。 对问题二的分析： 如果蛛丝可以连接在区域边界的任何点上，设计出最合适的蜘蛛网结构。通过对问题一的分析，我们可以知道当蛛网成正多边形的时候，可以满足问题二最合适的蛛网结构。 五、模型建立与求解 5.1名词解释 半径丝：半径丝是蜘蛛网的主要支撑结构，从网络的中心区域引出，与框丝相连，是一种粘性丝，具有很强的延展性。 捕丝：捕丝通常呈现螺旋状结构，从网的中心区域向外旋转织出，用以黏住猎物，捕丝的间距可以反映蜘蛛的捕食策略和捕食效率。 中心区域：位于圆网的中心，中心区域是用来均衡半径丝的拉伸力，来保持网的结构。 框丝：位于蜘蛛网的外围，支撑半径丝和中心区域的连接，它决定了蜘蛛网的大小和六年级科学 一单元带答案习题
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