最新复数的几何意义及应用

复数的几何意义及应

用

复数的几何意义及应用

一、教学目标：

(一)知识与技能:

通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系。

(二)过程与方法:1、通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力;

2、提高数形结合能力；培养对应与运动变化的观点；

3、提高知识之间的理解与综合运用能力。

(三)情感、态度、价值观:通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。

二、教学重点：复平面内两点间距离公式的应用

三、教学难点：复平面内两点间距离公式的应用

四、教学工具：计算机、投影仪

五、教学方法：探究式教学法、问题解决教学法

六、教学过程：

(一)设置情境，问题引入

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问题1：复数z 的几何意义？设复平面内点Z 表示复数z= a+bi （a ，b ∈

R ），连结OZ ，则点Z ，?Skip Record If...? ，复数z= a+bi （a ，b ∈R ）之间具有一一对应关系。

直角坐标系中的点Z(a,b)

一一对应一一对应

复数z=a+bi 问题2：∣z ∣的几何意义？若复数z= a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量是?Skip Record If...?，则向量是?Skip Record If...?的模叫做复数z= a+bi （a ，b ∈R ）的模，|z|=?Skip Record If...?=| a+bi |=?Skip Record If...?（a ，b ∈R ）。问题3：∣z 1-z 2∣的几何意义？两个复数的差?Skip Record If...?所对应的向量

就是连结?Skip Record If...?并且方向指向（被减数向量）的向量,

?Skip Record If...?

(二)探索研究

根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程：

1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

设?Skip Record If...?以?Skip Record If...?为圆心， ?

Skip Record If...?为半径的圆上任意一点,

则?Skip Record If...? ?Skip Record If...?

一一对应向量 O Z

（1）该圆向量形式的方程是什么? ?Skip Record If...?

（2）该圆复数形式的方程是什么? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?（3）该圆代数形式的方程是什么? ?Skip Record If...?

2．椭圆的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距离的和等于常数(大于?Skip Record If...?)的点的集合(轨迹)

设?Skip Record If...?是以?Skip Record If...??Skip Record If...?为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任意一点,

则?Skip Record If...? ?Skip Record If...?

（1）该椭圆向量形式的方程是什么? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?（2）该椭圆复数形式的方程是什么? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?变式:以?Skip Record If...??Skip Record If...?为端点的线段

（1）向量形式的方程是什么? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?

（2）复数形式的方程是什么? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?

3．双曲线的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距离的差的绝对值等于常数(小于?Skip Record If...?) 的点的集合(轨迹)

设?Skip Record If...?是以?Skip Record If...??Skip Record If...?为焦点，2a为实轴长的双曲线的上

任意一点,

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则?Skip Record If...? ?Skip Record If...?

（1）该双曲线向量形式的方程是什么? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?（2）该椭圆复数形式的方程是什么? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?变式:射线

（1）向量形式的方程是什么? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?

（2）复数形式的方程是什么? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?

变式：以?Skip Record If...??Skip Record If...?为端点的线段的垂直平分线（1）该线段向量形式的方程是什么? ?Skip Record If...??Skip Record If...?即?Skip Record If...?

（2）该线段复数形式的方程是什么? ?Skip Record If...??Skip Record If...?即?Skip Record If...?

（三）应用举例

例1．复数 z 满足条件∣z+2∣-∣z-2∣=4，

则复数z 所对应的点 Z 的轨迹是（）

（A）双曲线（B）双曲线的右支

（C）线段（D）射线

答案：（D）一条射线

变式探究：

（1）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是两条射线，复数 z 应满足什么条件？仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5

（2）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是线段，复数 z 应满足什么条件？

（3）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是双曲线的右支，复数 z 应满足什么条件？

（4）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是双曲线，复数 z 应满足什么条件？（5）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是椭圆，复数 z 应满足什么条件？

（6）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是线段的垂直平分线，复数 z 应满足什么条件？

例2．若复数z满足条件?Skip Record If...?，

求?Skip Record If...?的最值。

解法1：（数形结合法）由?Skip Record If...?可知，z对应于单位圆上的点Z；

?Skip Record If...?表示单位圆上的点Z到点P（0，2）的距离。

由图可知，当点Z运动到A（0，1）点时，?Skip Record If...?,此时

z=i；

当点Z运动到B（0，-1）点时，?Skip Record If...?, 此时z=-i。

解法2：（不等式法）?Skip Record If...??Skip Record If...?

?Skip Record If...??Skip Record If...?

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?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...??Skip Record If...?

解法3：（代数法）设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...?

?Skip Record If...??Skip Record If...?，即?Skip Record If...??Skip Record If...?当?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?；

当?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?=3,

解法4：（性质法）?Skip Record If...??Skip Record If...?

?Skip Record If...?

?Skip Record If...??Skip Record If...?，即?Skip Record If...? ?Skip Record If...?当?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?时，

?Skip Record If...?；

当?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?,

变式探究：

（1）?Skip Record If...?，?Skip Record If...?；0；2

（2）?Skip Record If...?，?Skip Record If...?；?Skip Record If...?

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复数几何意义的应用学案.

复数几何意义的应用学案一、复数相关知识 1.复数z a bi (a,b R)的几何意义是什么？ 2. I z I的几何意义是什么？ 3. 复数z1,z 2差的模I Z1-Z 2 I的几何意义是什么？二、轨迹问题 (一)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设Z(x,y)以Z0(x0, y0)为圆心，r(r 0)为半径的圆上任意一点，则点 Z(x,y)满足ZZ o r (r0) 1. 该圆向量形式的方程是什么 2. 该圆复数形式的方程是什么 3.该圆代数形式的方程是什么(二)椭圆的定义：平面内与两定点Z1,Z2的距离的和等于常数(大于乙Z2 ) 的点的集合(轨迹) 设Z(x, y)是以Z i(x i, y2)Z2(X2,y2)为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任意一点，则点Z(x, y)满足ZZ1ZZ22a (2a 乙Z?) 1.该椭圆向量形式的方程是什么

2.该椭圆复数形式的方程是什么变式(1)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a Z1Z2"那么点Z的轨迹是什么？变式(2)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a Z1Z2"那么点Z的轨迹是什么？ (三)双曲线的定义：平面内与两定点Z1, Z2的距离的差的绝对值等于常数(小于乙Z2 )的点的集合(轨迹) 设Z(x, y)是以Z i(x i, y2)Z2(X2, y2)为焦点，2a为实轴长的椭圆的上任意一点，则点Z(x, y)满足ZZ1ZZJ 2a （2a 乙Z2） 1.该双曲线向量形式的方程是什么 2.该双曲线复数形式的方程是什么变式(1)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a Z1Z2"那么点Z的轨迹是什么？变式(2)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a 0"那么点Z的轨迹是什么？

第二讲复数的模及其几何意义

第二讲复数的模及其几何意义（一）复数模的运算复数()R b a bi a ∈+,的模：z = ；例1. 已知84z z i +=-，求复数z 。例2. 已知复数12cos ,sin z i z i θθ=-=+，求12z z ?的最值。运算律：；；；例1：已知()()() 2321331i i i z --+=，则—z = 例2：复数()()()223321i a i a i z ---=，则3 2=z ，则a =

（二）复数的几何意义 1. 复数加法，减法的运算的几何意义满足； 2. 21z z -表示复平面上；例1：复平面内，说出下列复数z 对应的点的集合构成的图形；（1）1z = （2）1z i -+=（3）4z i z i ++-= （4）|1|||z z i +=- 例2：（1）若 2=z ，则i z +-1的取值范围为。（2）已知C z ∈，且132=--i z ，求cos sin z i θθ--?的最大值和最小值。（3）若 622=-++i z i z ，则i z 5-的取值范围为。（4）复平面内，曲线11=+-i z 关于直线x y =的对称曲线方程为。

例3：已知1z =，设2 1u z i =-+，求u 的取值范围。例4：已知123,5z z ==，126z z +=，求12z z -的值。（三）综合问题例1. 已知复数z 的实部大于零，且满足)()cos sin z i R θθθ= +∈，2z 的虚部为2．（1）求复数z ；（2）设22 z z z z -、、在复平面上的对应点分别为,,A B C ，求AB AC ? 的值．

复数的概念与几何意义

1 第三章第一节数系的扩充与复数的概念学习目标 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会数与现实世界的联系。 2.理解复数基本概念以及复数相等的充要条件。自学探究问题1. 在实数集中方程x 2-1=0是什么？方程x 2 +1=0有实数解吗？联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？问题2.复数的概念是什么？问题3.若复数a+bi=c+di ，则实数a 、b 、c 、d 满足什么条件？问题4.你能对复数集进行恰当地分类吗？并举出相应例子。练习题：（一）完成课本104页1，2，3 （二）1.实数m 取何值时，复数z=m+1+(m-1)i 是实数？虚数？纯虚数？ 2.已知i 是虚数单位，复数Z=(m 2 -4)+(m+2)i ，当m 取何实数时，Z 是：（1）实数（2）纯虚数 3. 如果222(32)z a a a a i =+-+-+为实数,求实数a 的值。 4.若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，则,x y 的值是？ 5.已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程x 2 -4x+3=0的两根，试求：,,a b k 的值。 [思考]：你能得出判断一个数是实数、虚数，纯虚数的方法吗？第三章第二节复数的几何意义学习目标 1.通过复数与从原点出发的向量的对应关系了解复数的几何意义，从中体会数形结合的思想； 2.从复数几何意义的引入过程中体会用几何研究代数问题的方法。自学探究问题1.在直角坐标系中，有序实数对与点一一对应，类比此种对应，复数能与什么建立一一对应？问题2.复数Z= (,)a bi a b R +∈（可以与复平面的向量对应吗？复数的几何意义是什么？问题3.怎样求一个复数的模？练习题：（一）完成课本105页1，2，3；106页A 组全做（二） 1.若复数12z i =+，求z 的模。 2.若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上，求实数m 的取值，并求z 的模。 3.在复平面内指出与复数112z i =+，223z i =，332z i =，42z i =-+对应的点1Z ，2Z ，3Z ，4Z . 试判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论. 第三章第三节复数代数形式的加减运算及其几何意义 1.会进行复数的代数形式的加、减运算，了解其几何意义； 2.通过复数加法几何意义的探究渗透数形结合、类比的数学思想。自学探究问题1.复数与复平面内的向量有一一对应的关系，类比向量加法，你能得出复数的加法运算法则吗？复数加法的几何意义呢？问题2.复数的加法满足交换律、结合律吗？请结合复数加法运算法则证明。问题3.若复数z 1+z 2=z 3,你能否用z 2和z 3表示出z 1 ？请画图说明。你能因此得出复数减法法则及其几何意义吗？练习题：（一）完成课本109页1，2 （二）计算（1）(56)(2)(34)i i i -+---+ （2）5i -(-2+3i )+(4-7i ) 2 . 已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 对应的复数分别为0，32i +，24i -+，试求：（1）AO 表示的复数；（2）CA 表示的复数；（3）B 点对应的复数. 3.ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是13,,2i i i +-+，求点D 对应的复数. 4. 当2 13 m <<时，复数(3)(2)m i i +-+在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限第三章第四节复数代数形式的乘除运算学习目标 1. 理解共轭复数的概念； 2. 能进行复数的代数形式的乘、除运算，从中体会类比数学思想。自学探究问题1.类比(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,你能得出(a+bi)(c+di)=? 问题2.复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？请举例说明。问题3.复数34i +与3-4i 有何关系？a bi +的共轭复数是什么？bi 的共轭复数是什么？思考：若12,z z 是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系如何？（2）12z z ?是一个怎样的数？有何特征？问题4.类比实数的除法是乘法的逆运算，请探究（1+2i ）Z =4+3i 中的复数Z =？你能得出复数除法运算法则吗？练习题：（一）完成课本111页1，2，3；112页A 组1至6题;116页A 组全做，B 组1，2题。（二）1. 复数5 2 i -的共轭复数是（） A ．2i + B ．2i - C ．2i -- D ．2i - 2.如果复数212bi i -+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为（） A 2 B ．-2 C ．23- D ．2 3 3. 若12z i =，则22z z -的值为 4. 计算（1）13()(1)2i -+；（2）3113 ()()22-- 5. 若复数z 满足11z i z -=+，则|1|z +的值为第三章数系的扩充与复数的引入（复习课） 1. 设134z i =-，223z i =-+，则12z z +在复平面内对应的点（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 2(1)i i -?等于（） A ．22i - B ．22i + C ．2- D ．2 3. 复数21 (1)i +的值是（） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．2-

复数的几何意义--教案

复数的几何意义教学目标１. 了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。２. 了解复数加、减法的几何意义，进一步体会数形结合的思想。教学重点复数的几何意义与复数的加、减法的几何意义。教学过程前面我们是从“数”的角度研究了复数的概念及其四则运算，本节课我们将从“形”的角度来研究复数的几何表示和复数加减法的几何意义。一、问题情境我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，实数可以用数轴上的点来表示，那么，复数是否也能用点来表示呢？二、学生活动知识回顾： ①形如bi a +的数叫复数，通常用字母z 表示，即bi a z +=),(R b a ∈，其中a 与b 分别叫做复数的实部与虚部。???=≠=+=时为纯虚数）当虚数　（实数　（复数0)(0) 0a b b bi a z 。 ②两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别相等即 ???==?+=+d b c a di c bi a 。问题１复数相等的充要条件表明，任何一个复数bi a +都可以由一个有序实数对),(b a 惟一确定，而有序实数对),(b a 与平面直角坐标系中的点是一一对应的，那么，我们怎么用平面内的点来表示复数呢？

问题２我们知道平面直角坐标系中的点A 与以原点O 为起点、A 为终点的向量OA 是一一对应的，那么复数能用平面向量来表示吗？三、建构数学师生共同活动：１. 在平面直角坐标系xOy 中，以复数bi a z +=的实部a 为横坐标、虚部b 为纵坐标就确定了点),(b a Z ，我们可以用点),(b a Z 来表示复数bi a +，这就是复数的几何意义。２. 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面（也称为高斯平面），x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。实轴上的的点都表示实数，除原点外虚轴上的点都表示虚数。３. 因为复平面内的点),(b a Z 与以原点O 为起点、Z 为终点的向量一一对应（实数０与零向量对应），所以我们也可以用向量OZ 来表示复数bi a +，这也是复数的几何意义。４. 根据上面的讨论，我们可以得到复数bi a z +=、复平面内的点),(b a Z 和平面向量OZ 这间的关系（如图）。今后，常把复数bi a z +=说成点Z 或向量（并且规定相等的向量表示同一个复数）５. 相对于复数的代数形式bi a z +=，我们把点),(b a Z 称为复数z 的几何形式，向量称为复数的向量形式。四、数学运用运用１（１）例１在复平面内，分别用点和向量表示下列复数 4，i +2，i -，i 31+-，i 23-

(完整word版)复数的概念及其几何意义练习题

一．选择题（共10小题） 1．（2015?遵义校级一模）已知i是虚数单位，则复数z=i2015的虚部是（） A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣i 2．（2015?安庆校级三模）设i是虚数单位，则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于（） A．﹣2﹣6i B．﹣2+2i C．4+2i D．4﹣6i 3．（2015?广西校级学业考试）实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，则xy的值是（） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 4．（2015?泉州校级模拟）如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．1或﹣2 5．（2015?潍坊模拟）设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（） A．B．C．±1 D． 6．（2015?浠水县校级模拟）已知复数z与（z+2）2﹣8i是纯虚数，则z=（） A．﹣2i B．2i C．﹣i或i D．2i或﹣2i 7．（2015?新课标II）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 8．（2015?南平模拟）已知x，y∈R，i为虚数单位，且yi﹣x=﹣1+i，则（1﹣i）x+y的值为（）A．2 B．﹣2i C．﹣4 D．2i 9．（2015?宜宾模拟）在复平面内，复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应的复数为（） A．﹣2+2i B．2﹣2i C．﹣1+i D．1﹣i 10．（2015?上饶校级一模）已知i为虚数单位，a∈R，若a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a﹣2）i 在复平面内对应的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二．填空题（共5小题） 11．（2015?岳阳二模）已知z=x+yi，x，y∈R，i为虚数单位，且z=（1+i）2，则ix+y=．12．（2015春?常州期中）计算i+i2+…+i2015的值为． 13．（2015春?肇庆期末）从{0，1，2，3，4，5} 中任取2个互不相等的数a，b组成a+bi，其中虚数有个． 14．（2015?泸州模拟）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=． 15．（2014?奎文区校级模拟）设O是原点，向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，那么，向量对应的复数是．三．解答题（共8小题） 17．（2015?赫章县校级模拟）已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3﹣i．（1）求点C，D对应的复数；（2）求平行四边形ABCD的面积． 18．（2015春?蠡县校级期末）实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：

3-1-2 复数的几何意义

基础巩固强化一、选择题 1．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3i D ．3 [答案] C [解析] 由OZ →＝(0，－3)，得点Z 的坐标为(0，－3)， ∴OZ →对应的复数为0－3i ＝－3i.故选C. 2．复数z 与它的模相等的充要条件是( ) A ．z 为纯虚数 B ．z 是实数 C ．z 是正实数 D ．z 是非负实数 [答案] D [解析] ∵z ＝|z |，∴z 为实数且z ≥0. 3．已知复数z ＝a ＋i(其中a ∈R ，i 为虚数单位)的模为|z |＝2，则a 等于( ) A ．1 B ．±1 C. 3 D ．±3 [答案] D [解析] ∵|z |＝2，∴a 2＋1＝4，∴a ＝±3. 4．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A 、B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．4＋8i B ．8＋2i

C ．2＋4i D ．4＋i [答案] C [解析] 由题意，得点A (6,5)，B (－2,3)．由C 为线段AB 的中点，得点C (2,4)， ∴点C 对应的复数为2＋4i. 5．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2或a ≠－1 C ．a ＝2或a ＝0 D ．a ＝0 [答案] C [解析] 由题意知a 2－2a ＝0，解得a ＝0或2. 6．当2 30，m －1<0. 二、填空题 7．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是________． [答案] (1,2) [解析] 由已知，得? ???? x 2－6x ＋5<0 x －2<0，

复数的几何意义及应用

复数的几何意义问题1：复数z 的几何意义？设复平面内点Z 表示复数z= a+bi （a ，b ∈R ），连结OZ ，则点Z ，OZ ，复数z= a+bi （a ，b ∈R ）之间具有一一对应关系。直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应一一对应复数z=a+bi 问题2：∣z ∣的几何意义？若复数z= a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量是，则向量是的模叫做复数z= a+bi （a ，b ∈R ）的模，=| a+bi |=22b a +（a ，b ∈R ）。问题3：∣z 1-z 2∣的几何意义？两个复数的差z z z =-21所对应的向量就是连结21Z Z 并且方向指向（被减数向量）的向量, 22122121)()(y y x x z z d -+-==-= (二)探索研究根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程： 1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 以),(000y x Z 为圆心， )0(>r r 为半径的圆上任意一点, 则r ZZ =0 )0(>r （1）该圆向量形式的方程是什么? )0(>=r r （2）该圆复数形式的方程是什么? r z z =-0 )0(>r （3）该圆代数形式的方程是什么? )0()()(22020>=-+-r r y y x x 2．椭圆的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的和等于常数(大于21Z Z )的点的集合(轨一一对应向量 O

迹) 设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为长轴长的椭圆的上任意一点, 则a ZZ ZZ 221=+ )2(21Z Z a > （1）该椭圆向量形式的方程是什么? a 2=+ )2(21Z Z a > （2）该椭圆复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a > 变式:以),(211y x Z ),(222y x Z 为端点的线段（1）向量形式的方程是什么? a 2=+ )2(21Z Z a = （2）复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a = （三）应用举例例1．复数 z 满足条件∣z+2∣-∣z-2∣=4，则复数z 所对应的点 Z 的轨迹是（）（A ）双曲线（B ）双曲线的右支（C ）线段（D ）射线答案：（D ）一条射线例2．若复数z 满足条件1=z ，求i z 2-的最值。（数形结合法）由1=z 可知，z 对应于单位圆上的点Z ； i z 2-表示单位圆上的点Z 到点P （0，2）的距离。由图可知，当点Z 运动到A （0，1）点时，12min =-i z ,此时z=i ；当点Z 运动到B （0，-1）点时，32max =-i z , 此时z=-i 。例3．已知z 1、z 2∈C ，且11=z ，若i z z 221=+，则21z z -的最大值是（）

新人教版高中数学必修第二册第7章复数 7.1.2 复数的几何意义

7．1.2 复数的几何意义考点学习目标核心素养复平面了解复平面的概念数学抽象复数的几何意义理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系直观想象复数的模掌握复数的模的概念，会求复数的模数学运算共轭复数掌握共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数数学运算问题导学预习教材P70－P72的内容，思考以下问题： 1．复平面是如何定义的？ 2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？ 3．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数是什么？ 1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的两种几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ←――→一一对应平面向量OZ →. ■名师点拨 (1)复平面内的点Z 的坐标是(a ，b )，而不是(a ，b i)．也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i. (2)当a ＝0，b ≠0时，a ＋b i ＝0＋b i ＝b i 是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b )(b ≠0)都表示纯虚数． (3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中的z ，书写时应小写；复平面内的点Z (a ，b )中的Z ，书写时应大写． 3．复数的模

复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ → 的模叫做复数z 的模或绝对值，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2． ■名师点拨如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|a |(a 的绝对值)． 4．共轭复数 (1)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． (2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (3)复数z 的共轭复数用z －表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z －＝a －b i ． ■名师点拨复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点为(a ，b )，复数z －＝a －b i 在复平面内对应的点为(a ，－b )，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x 轴对称．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)原点是实轴和虚轴的交点．( ) (2)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．( ) (3)若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2.( ) (4)若z 1与z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 复数1－2i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：D 复数z ＝1＋3i 的模等于( ) A ．2 B ．4 C.10 D ．2 2 答案：C 复数z ＝－2＋5i 的共轭复数z －＝________．答案：－2－5i

17.3复数的几何意义和三角形式学习资料

南京商业学校教案授课日期2015年月日第周时数课型新课课题§17.3复数的几何意义和三角形式教学目标知识目标：了解复平面的概念；掌握复数的几何表示和向量表示；理解复数的模、辐角及辐角主值的概念；掌握复数的三角形式及其特征。能力目标：会在复平面内描出表示复数的点及向量；会求复数的模和辐角、和辐角主值（特殊角）；会进行复数的三角形式与代数形式的互化。情感目标：培养学生数形结合的数学思想和辩证唯物主义思想。教学重点用复平面上的点、向量和三角形式表示复数；复数的模和辐角、辐角主值的概念。教学难点复数几何表示法的理解；复数几种表示形式的互化；复数辐角的求法。教学资源课本，教学参考书，学习指导书，网络教法与学法教师启发、引导，学生自主阅读、思考，讨论、交流学习成果。学情分析（含更新、补充、删节内容）复数的几何表示和向量表示是复数的两种常见形式，复数的向量表示学生不易理解的，教学时要充分揭示复数与向量之间的关系，并借助向量进一步加强学生对复数的理解。板书设计 17.3复数的几何意义和三角形式 1. 复平面例1 例3 2. 复数的几何表示 3．复数的向量表示例2 4．复数的三角形式

教后记

教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计）师生活动一、引入新课根据复数的定义，复数表示为）（R b ,a bi a z ∈+=的形式，我们把这种形式叫做复数的代数形式，复数还有其他表现形式吗？这些表示形式之间有什么关系？二、讲授新课 1．复平面在平面上建立直角坐标系xOy ，横轴、纵轴上的坐标分别表示复数的实部和虚部，这样的平面叫做复平面，其中横轴叫做实轴，纵轴叫做虚轴。 2．复数的几何表示有序实数对（)b ,a 与直角坐标系内的点一一对应的，由复数代数形式bi a z +=可以知道，任何一个复数）（R b ,a bi a z ∈+=，都可以有一个有序的实数对（b ,a ）唯一确定，即复数图1 bi a z +=与有序实数对（b ,a ）之间一一对应。由此可知，复数bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的（如图1所示），即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。我们把这种表示形式叫做复数的几何表示。想一想：实数、纯虚数、虚数表示的点分别在复平面的什么位置？（复平面内，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，表示非纯虚数的点分别在四个象限内．） 3. 复数的向量表示直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。 r 学生思考并回答图2 y Z(b ,a ) O x b a

复数的概念、几何意义及运算

高考数学一轮复习专题训练(40) 复数的概念、几何意义及运算班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题 1. 复数z＝ 1 1－i 的虚部是________． 2. 设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________． 3. 若复数a＋i 1＋i 为纯虚数，则实数a的值是________． 4. 若复数z＝2－i 3－4i ，则z的共轭复数为z＝________． 5. 在复平面内，复数1－i 2＋i ＋i2 019对应的点位于第 ________象限． 6. 若复数z＝ 1 a－2 ＋(a2－4)i(a∈R)是实数，则a＝ ________．

7. 已知i是虚数单位，则满足z－i＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点在第________象限． 8. 满足条件|z－i|＝|z＋3|的复数z在复平面上对应点的轨迹是________． 9. 已知i是虚数单位，a、b∈R，则“a＝b＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 10. 若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m＋6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值为________． 11. 设a∈R，若复数a＋i 1＋i (i为虚数单位)的实部和虚部相等，则a＝________． 12. 已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋a i＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋b i，则复数z＝________． 13. 若复数(x－2)＋y i(x，y∈R)的模为3，则y x的最大值

7.1.2 复数的几何意义

7.1.2复数的几何意义课标要求素养要求理解复数的代数表示及其几何意义，掌握用向量的模表示复数模的方法，理解共轭复数的概念. 通过复数代数形式及其几何意义的理解、复数模的运用，共轭复数的概念的理解，体会数学抽象及数学运算素养. 教材知识探究 19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础. 复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础. 问题实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？提示任何一个复数z＝a＋b i，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应. 1.复平面复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部 2.复数的几何意义 (1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). (2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量OZ → . 3.复数的模

(1)定义：向量OZ → 的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模或绝对值. (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R ). 如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数，它的模就等于|a |(a 的绝对值). 4.共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z 的共轭复数用z － __表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z －＝a －b i. 教材拓展补遗 [微判断] 1.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.(√) 2.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.(×) 3.复数的模一定是正实数.(×) 4.两个共轭复数的和是实数.(√) 5.两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.(×) 提示 1.在复平面内对应于实数的点都在实轴上是正确的. 2.原点在虚轴上，但不是纯虚数. 3.复数的模可以为0. 4.根据共轭复数的定义可知正确. 5.应该是充分条件. [微训练] 1.向量a ＝(1，－2)所对应的复数的共轭复数是( ) A.1＋2i B.1－2i C.－1＋2i D.－2＋i 解析因为复数与向量一一对应，所以向量a ＝(1，－2)的复数形式为z ＝1－2i ，所以z －＝1＋2i. 答案 A 2.已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则|z |＝________.

复数的几何意义及应用

复数的几何意义及应用一、教学目标： (一)知识与技能: 通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系。 (二)过程与方法:1、通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力; 2、提高数形结合能力；培养对应与运动变化的观点； 3、提高知识之间的理解与综合运用能力。 (三)情感、态度、价值观:通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。二、教学重点：复平面内两点间距离公式的应用三、教学难点：复平面内两点间距离公式的应用四、教学工具：计算机、投影仪五、教学方法：探究式教学法、问题解决教学法六、教学过程： (一)设置情境，问题引入问题1：复数z 的几何意义？设复平面内点Z 表示复数z= a+bi （a ，b ∈R ），连结OZ ，则点Z ，OZ ，复数z= a+bi （a ，b ∈R ）之间具有一一对应关系。直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应一一对应复数z=a+bi 问题2：∣z ∣的几何意义？若复数z= a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量是OZ ，则向量是OZ 的模叫做复数z= a+bi （a ，b ∈R ）的模，=| a+bi |=22b a +（a ，b ∈R ）。问题3：∣z 1-z 2∣的几何意义？两个复数的差z z z =-21所对应的向量就是连结21Z Z 并且方向指向（被减数向量）的向量, 2 2122121)()(y y x x z z d -+-==-=一一对应向量 O Z

(二)探索研究根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程： 1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 以),(000y x Z 为圆心， )0(>r r 为半径的圆上任意一点, 则r ZZ =0 )0(>r （1）该圆向量形式的方程是什么)0(>=r r （2）该圆复数形式的方程是什么? r z z =-0 )0(>r （3）该圆代数形式的方程是什么? )0()()(22020>=-+-r r y y x x 2．椭圆的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的和等于常数(大于21Z Z )的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为长轴长的椭圆的上任意一点, 则a ZZ ZZ 221=+ )2(21Z Z a > （1）该椭圆向量形式的方程是什么a 2=+ )2(21Z Z a > （2）该椭圆复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a > 变式:以),(211y x Z ),(222y x Z 为端点的线段（1）向量形式的方程是什么a 2=+ )2(21Z Z a = （2）复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a = 3．双曲线的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的差的绝对值等于常数(小于21Z Z ) 的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为实轴长的双曲线的上任意一点,

(完整word版)复数的概念与几何意义

第三章第一节数系的扩充与复数的概念学习目标 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会数与现实世界的联系。 2.理解复数基本概念以及复数相等的充要条件。自学探究问题1. 在实数集中方程x 2-1=0是什么？方程x 2 +1=0有实数解吗？联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？问题2.复数的概念是什么？问题3.若复数a+bi=c+di ，则实数a 、b 、c 、d 满足什么条件？问题4.你能对复数集进行恰当地分类吗？并举出相应例子。练习题：（一）完成课本104页1，2，3 （二）1.实数m 取何值时，复数z=m+1+(m-1)i 是实数？虚数？纯虚数？ 2.已知i 是虚数单位，复数Z=(m 2 -4)+(m+2)i ，当m 取何实数时，Z 是：（1）实数（2）纯虚数 3. 如果222(32)z a a a a i =+-+-+为实数,求实数a 的值。 4.若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，则,x y 的值是？ 5.已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程x 2 -4x+3=0的两根，试求：,,a b k 的值。 [思考]：你能得出判断一个数是实数、虚数，纯虚数的方法吗？第三章第二节复数的几何意义学习目标 1.通过复数与从原点出发的向量的对应关系了解复数的几何意义，从中体会数形结合的思想； 2.从复数几何意义的引入过程中体会用几何研究代数问题的方法。自学探究问题1.在直角坐标系中，有序实数对与点一一对应，类比此种对应，复数能与什么建立一一对应？问题2.复数Z= (,)a bi a b R +∈（可以与复平面的向量对应吗？复数的几何意义是什么？问题3.怎样求一个复数的模？练习题：（一）完成课本105页1，2，3；106页A 组全做（二） 1. 若复数1z =，求z 的模。 2.若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上，求实数m 的取值，并求z 的模。 3.在复平面内指出与复数112z i =+ ，2z = ，3z =，42z i =-+对应的点1Z ，2Z ，3Z ，4Z . 试判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.

复数的几何意义及应用

复数的几何意义及应用一、教学目标： (一)知识与技能: 通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系。 (二)过程与方法:1、通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力; 2、提高数形结合能力；培养对应与运动变化的观点； 3、提高知识之间的理解与综合运用能力。 (三)情感、态度、价值观:通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。二、教学重点：复平面内两点间距离公式的应用三、教学难点：复平面内两点间距离公式的应用四、教学工具：计算机、投影仪五、教学方法：探究式教学法、问题解决教学法六、教学过程： (一)设置情境，问题引入问题1：复数z 的几何意义？设复平面内点Z 表示复数z= a+bi （a ，b ∈R ），连结OZ ，则点Z ，OZ ，复数z= a+bi （a ，b ∈R ）之间具有一一对应关系。直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应一一对应复数z=a+bi 问题2：∣z ∣的几何意义？若复数z= a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量是OZ ，则向量是OZ 的模叫做复数z= a+bi （a ，b ∈R ）的模，|z|==| a+bi |=2 2 b a +（a ， b ∈R ）。问题3：∣z 1-z 2∣的几何意义？两个复数的差z z z =-21所对应的向量就是连结21Z Z 并且方向指向（被减数向量）的向量, 2 212 2121)()(y y x x z z d -+-= =-= 一一对应向量 O Z

(二)探索研究根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程： 1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 以),(000y x Z 为圆心， )0(>r r 为半径的圆上任意一点, 则r ZZ =0 )0(>r （1）该圆向量形式的方程是什么? )0(>=r r （2）该圆复数形式的方程是什么? r z z =-0 )0(>r （3）该圆代数形式的方程是什么? )0()()(22020>=-+-r r y y x x 2．椭圆的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的和等于常数(大于21Z Z )的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为长轴长的椭圆的上任意一点, 则a ZZ ZZ 22 1=+ )2(21Z Z a > （1）该椭圆向量形式的方程是什么? a 2=+ )2(21Z Z a > （2）该椭圆复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a > 变式:以),(211y x Z ),(222y x Z 为端点的线段（1）向量形式的方程是什么? a 2=+ )2(21Z Z a = （2）复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a = 3．双曲线的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的差的绝对值等于常数(小于21Z Z ) 的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为实轴长的双曲线的上任意一点,

复数的几何意义

3.1.2 复数的几何意义 1．理解复平面、实轴、虚轴等概念． 2．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．(重点) 3．理解复数模的概念，会求复数的模．(难点) [基础·初探] 教材整理复数的几何意义及复数的模阅读教材P 52～P 53内容，完成下列问题． 1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ――――→一一对应平面向量OZ →. 为方便起见，我们常把复数z ＝a ＋b i 说成点Z 或说成向量OZ → ，并且规定，相等的向量表示同一个复数． 3．复数的模向量OZ → 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，且r ＝a 2＋b 2(r ≥0，

且r∈R)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．() (2)复数的模一定是正实数．() (3)复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|.() 【解析】(1)正确．根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2. (2)错误．复数的模一定是实数但不一定是正实数，如：0也是复数，它的模为0不是正实数． (3)错误．两个复数不一定能比较大小，但两个复数的模总能比较大小．【答案】(1)√(2)×(3)× [小组合作型] 的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)． (1)在实轴上； (2)在第三象限； (3)在抛物线y2＝4x上．【精彩点拨】解答本题可先确定复数z的实部、虚部，再根据要求列出关于a的方程(组)或不等式(组)求解．【自主解答】复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i的实部为a2－1，虚部为2a－1，在复平面内对应的点为(a2－1,2a－1)． (1)若z对应的点在实轴上，则有 2a－1＝0，解得a＝1 2. (2)若z对应的点在第三象限，则有

最新复数的几何意义及应用

复数几何意义的应用学案.

第二讲 复数的模及其几何意义

复数的概念与几何意义