高中物理 电磁感应现象中的能量问题

电磁感应现象中的能量问题

能的转化与守恒，是贯穿物理学的基本规律之一。从能量的观点来分析、解决问题，既是学习物理的基本功，也是一种能力。

电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到安培力的作用,因此,要维持感应电流的存在,必须有“外力”克服安培力做功。此过程中,其他形式的能量转化为电能。当感应电流通过用电器时,电能又转化为其他形式的能量。“外力”克服安培力做了多少功,就有多少其他形式的能转化为电能。同理,安培力做功的过程,是电能转化为其它形式能的过程。安培力做了多少功,就有多少电能转化为其它形式的能。

认真分析电磁感应过程中的能量转化、熟练地应用能量转化和守恒定律是求解较复杂的电磁感应问题的常用方法,下面就几道题目来加以说明。

一、安培力做功的微观本质

1、安培力做功的微观本质

设有一段长度为L、矩形截面积为S的通电导体，单位体积中含有的自由电荷数为n，每个自由电荷的电荷量为q，定向移动的平均速率为v，如图所示。

所加外磁场B的方向垂直纸面向里，电流方向沿导体水平向右，这个电流是由于自由电子水平向左定向运动形成的，外加磁场对形成电流的运动电荷（自由电子）的洛伦兹力使自由电子横向偏转，在导体两侧分别聚集正、负电荷，产生霍尔效应，出现了霍尔电势差，即在导体内部出现方向竖直向上的横向电场。因而对在该电场中运动的电子有电场力f e的作用，反之自由电子对横向电场也有反作用力-f e作用。场强和电势差随着导体两侧聚集正、负电荷的增多而增大，横向电场对自由电子的电场力f e也随之增大。当对自由电子的横向电场力f e增大到与洛伦兹力f L相平衡时，自由电子没有横向位移，只沿纵向运动。导体内还有静止不动的正电荷，不受洛伦兹力的作用，但它要受到横向电场的电场力f H的作用，因而对横向电场也有一个反作用力-f H。由于正电荷与自由电子的电量相等，故正电荷对横向电场的反作用-f H和自由电子对横向电场的反作用力-f e相互抵消，此时洛伦兹力f L与横向电场力f H相等。正电荷是导体晶格骨架正离子，它是导体的主要部分，整个导体所受的安培力正是横向电场作用在导体内所有正电荷的力的宏观表现，即F=(nLS)f H=(nLS)f L。

由此可见，安培力的微观本质应是正电荷所受的横向电场力，而正电荷所受的横向电场力正是通过外磁场对自由电子有洛伦兹力出现霍尔效应而实现的。

当导体在安培力的作用下以速度v d 从位置1变到位置2微小一段位移时，导体切割磁感线而产生纵向电场，正电荷没有纵向运动，只有横向运动，因而受到瞬间的洛伦兹力f 洛和纵向电场力f 2不做功。正电荷所受横向电场力f H 做正功。但自由电子既有横向位移又有纵向位移，受到横向洛伦兹力f d 和纵向洛伦兹力f m ，这两个力的合洛伦兹力为f L ，与v 和v d 的合速度v 合方向垂直，还受到纵向电场力f 1。

L f 沿纵向对自由电子做功功率：合

纵v v v f v f v f P d L L m ??-=?-=?-=θsin L f 沿横向对自由电子做功功率：合

横v v v f v f v f P d L d L d d ??

=?=?=θcos L f 对自由电子做功的总功率：0=+横纵P P 所以洛伦兹力对自由电子不做功。f e 对电子做负功，f 1对电子正功，由于f e =f d 和f 1=f m ，所以这两个力对电子做的总功也为零。

综上所述，安培力对通电导体做功的微观本质是由于横向电

场对正电荷的电场力做正功的宏观表现，但这一宏观表现，必须

通过洛伦兹力来实现。

2、安培力做功与能的关系

如图所示，在竖直平面内，固定着框架abMN ，ab 之间是直

流电源，导体棒cd 可在光滑导轨aM 、bN 上滑动，并不脱离导轨。

导体棒cd 的质量为m ，acdb 构成一个闭合回路，产生如图所示的

电流。cd 棒受重力作用要竖直向下运动，切割磁感线产生如图所

示感应电流，受到如图所示的安培力，安培力做负功，cd 棒的机

械能减少，减少的机械能通过安培力做功转化为电路中的电能，再转化为线路中的内能。

因而cd 棒机械能的增减要通过安培力做功来实现，安培力做功起传递能量的作用。 综上所述，从微观上，安培力是导体内正电荷所受的横向电场力，安培力做功的本质是该横向电场力做功的宏观表现；从宏观上，安培力做功与路径有关，起传递能量转化的作用。

二、 恒定的安培力做功问题

例1、（94年上海高考题)如图1所示,两根光滑的金属导轨,平行放

置在倾角为θ斜角上,导轨的左端接有电阻R,导轨自身的电阻可忽路

不计。斜面处在一匀强磁场中,磁场方向垂直于斜面向上。质量为m,

电阻可不计的金属棒ab,在沿着斜面与棒垂直的恒力作用下沿导轨匀

速上滑,并上升h 高度,如图所示。

在这过程中

（A ）作用于金属捧上的各个力的合力所作的功等于零

（B ）作用于金属捧上的各个力的合力所作的功等于mgh 与电阻R 上发

出的焦耳热之和

（C ）恒力F 与安培力的合力所作的功等于零

（D ）恒力F 与重力的合力所作的功等于电阻R 上发出的焦耳热

解析：在金属棒匀速上滑的过程中,棒的受力情况如图2所示。

弹力N 对棒不做功，拉力F 对棒做正功,重力G 与安培力F 安对棒做负

功。棒的动能不变,重力势能增加,电阻R 上产生焦耳热,其内能增加。

依动能定理,对金属棒有 W F +W G +W 安=△E k =0

即作用在捧上各个力作功的代数和为零。

以上结论从另一个角度来分析,因棒做匀速运动,故所受合力为

零,合力的功当然也为零。故选项A 正确,选项B,C 错误。因弹力不做功,

故恒力F 与重力的合力所做的功等于克服安培力所做的功。而克

服安培力做多少功,就有多少其他形式的能转化为电能,电能最终

转化为R 上发出的焦耳热,故选项D 正确。

例2、如图3所示，拉动电阻为R 的长金属框，当线框的右边缘

与磁场边缘平齐时速率为认并以这一速率离开磁场区域。已知磁

场是均匀的，磁感应强度为B ．线框宽为a ，长为b 。试求线框右

边缘刚出磁场至左边缘刚出磁场这一过程中，外力的功，安培力

的功、电流的功、电路中产生的焦耳热?

分析与解： 题设过程中包含着四种能量形式的转化，涉及到

三个做功过程。用简图表示如下：

据能的转化与守恒定律，在题设全过程中，其它形式的能、机械能、电能、内能四种能量在数值上应是相等。我们只需求出这四个量中的任意一个，就可推知另外三个。 在题设过程中，线框回路的感应电动势ε=Bav 。

感应电流I=ε/R =Bav/R 。

电路中电流作功W 电 =I εt= Bav/R ?Bav ?b/v=B 2a 2bv/R ·

据能的转化与守恒定律，W 外=Q=W 电=B 2a 2bv/R

W 安=-W 外=-B 2a 2bv/R

三、变化的安培力做功问题

例3：位于竖直平面内的矩形平面导线框abcd,ab 长为l 1,是水平的,bd

长为l 2,线框的质量为m,电阻为R,其下方有一匀强磁场区域,该区域的

上、下边界PP'和QQ'均与ab 平行,两边界间的距离为H, H>l 2

，磁场

图

1 图

3

的磁感应强度为B ，方向与线框平面垂直,如图4所示。

令线框的dc 边从离磁场区域上边界PP'的距离为h 处自由下落,已知在线框的dc 边进入磁场以后,ab 边到达边界PP'之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最大值,问从线框开始下落到dc 边刚刚到这磁场区域下边界QQ'的过程中,磁场作用于线框的安培力所作的总功为多少?

解析：线框的dc 边到达磁场区域的上边界PP'之前为自由落体运动。dc 边进入磁炀后,而ab 边还没有进入磁场前,线框受到安培力(阻力)作用,依然加速下落。这是一个变加速度运动,加速度越来越小,速度越来越大。设dc 边下落到离PP,以下的距离为Ah 肘,速度达到最大值,以vm 表示这最大速度,则这时线框中的感应电动势为ε=Btw',

线框中的电流为I=ε/R=B l ν/R

作用于线框的安培力为F=B l I=B 2l 12v m /R

速度达到最大的条件是F=mg

由此得v m =mgR/(B 2l 12) ……①

线框的速度达到v m 后,而线框的ab 边还没有进入磁场区前,线框作匀速运动。当整个线框进入磁场后,线框中的感应电流为零,磁场作用于线框的安培力为零,直至dc 边到达磁场区的下边界QQ',线框作初速度为v m ,加速度为g 的匀加速运动。可见磁场对线圈的安培力只存在于线框dc 边进入磁场之后到ab 边进入磁场之前这段时间内。对线框从开始下落到ab 边刚好进入磁场这一过程,设安培力作的总功为W,由动能定理有

mg(h+l 2)W=mv m 2/2

……②

联立①②两式得

W=-mg(l 2+h)+m 3g 2R 2/（2B 4l 14）

例4、如图5所示，倾角θ=30°，宽度L =1m 的足够长的U 形平行光滑金属导轨固定在磁感强度B =1T ，范围充分大的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面斜向上。用平行于导轨功率恒为6W 的牵引力，牵引一根质量m =0.2kg ，电阻R =1Ω放在导轨上的金属棒ab ，由静止沿导轨向上移动，棒ab 始终与导轨接触良好且垂直，当金属棒移动2.8m 时，获得

稳定速度，在此过程中金属棒产生的热量为5.8J （不计导轨电阻及一切摩擦，取g =10m/s 2）。

问：（1）金属棒达到的稳定速度是多大？（2）金属棒从静止达到稳定

速度所需时间是多少？

解析：（1）金属棒沿斜面作变加速运动，当匀速上升时，有稳定

速度。设所受的安培力为F 安，则：F = mgsin θ+ F 安 ； F 安= BIL =

B 2L 2v R ； F = P v

。联立解得金属棒达到的稳定速度是：v =2m/s （2）由能量转化和守恒定律，得：Pt = mgSsin θ+ 12 mv 2+ Q 代入数据解得：t =1.5s

对于电磁感应中的能量转化问题，应弄清在过程中有哪些能量参与了转化，能量的转化和守恒是通过做功来实现的，安培力做功是联系电能与其它形式的能相互转化的桥梁。利用能量观点来分析解题，可以避开复杂过程细节的分析，避开变力功的计算，抓住事物变化的本质规律。

图5

例5： n 匝线圈包围的面积为S,总电阻为R 置于匀强磁场B 中，从中性面开始，以角速度ω匀速转动，求外力做功的平均功率．

分析与解: 此题属于正弦交流电问题，无论是外力、安培力，还是电流都呈周期性变化。此类问题包含的能量转化过程如下：

电流热功率可由电流的有效值求得, P 热=I 2R=（Im/2）·R=(εm/2R)2R

且εm=nB ωS 外力的功率等于热功率 P 外= P 热= （nB ωS ）2/2R

四、简单连接体

例6 两金属杆ab 和cd 长均为l ，电阻均为R ，质量分别

为M 和m ，M>m ，用两根质量和电阻均可忽略的不可伸

长的柔软导线将它们连成闭合回路，并悬挂在水平、光滑、

不导电的圆棒两侧。两金属杆都处在水平位置如图6，整

个装置处在一与回路平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度

为B ，若金属杆ab 正好匀速向下运动，求运动的速度。

分析与解：两棒运动时，因电磁感应，回路中出现感应电流使两棒发热，而ab 向下、cd 向上匀速运动时动能不变

而总重力势能减少。所以此过程中机械能转化为内能(有能量转化)，且参与转化的能量数值可用未知量。及已知量表示(见下面解答过程)，所以可用能量守恒求解。在运动过程中取一段时间

由能量守恒：

(M-m)gvt ＝I 22Rt (1)

又由电磁感应规律：

I ＝2Blv ／(2R) (2)

解(1)、(2)得

v ＝(M-m)gR ／2B 2L 2

例7 、 如图7所示，金属棒a 从h 高处自静止沿光滑弧形

轨道下滑，进入轨道的水平部分以后，在自上而下的匀强磁场

中运动，水平轨道也是光滑的，磁场的磁感应强度是B 。在轨道

的水平部分原来静止地放着一根金属棒b ，已知两棒质量相等且

等于m ，如果a 棒始终没有跟b 棒相碰，求整个过程中导轨及

两棒组成的回路消耗的内能。

解析 a 棒切割磁感线在回路中产生感应电流，a 棒减速，b 棒加速，当两棒速度相等时，它们与导轨构成的回路不再有感应电流，a 、b 棒以同样的速度运动。视a 、b 两金属棒为一系统，由于系统在a 棒从斜面底端（设速度为v 0）开始运动至a 、b 棒有共同速度（设为v ）的过程中，水平方向上不受外力，动量守恒。设a 、b 棒的质量均为m ，则有mv mv 02=

又由于a 棒在下滑的过程中机械能守恒，则有mgh mv =022/

根据能量转化与守恒定律，系统在在a 棒开始运动至a 、b 棒有共同速度的过程机械能（通图 6

图7

过安培力作功）部分转化为内能，故回路消耗的内能为

Q m v m m v mgh a a b =-+=022222/()//

从以上的习题解答可以看出，伴随有安培力做功过程，一定有其他形式的能量与电能（内能）间转化。所以在求解这些问题时，只需把握住能量的转化途径，复杂的问题也就变得简单了。

例8、如图8所示，abcd 为静置于水平面上的宽度为L 而长度足够长的U 型金属滑轨，bc 边接有电阻R,其它部分电阻不计．ef 为一可在滑轨平面上滑动、质量为m 的均匀金属棒． 一均匀磁场B 垂直滑轨面。金属棒以一水平细绳跨过定滑轮，连接一质量为M 的重物． 今重物M 自静止开始下落，假定滑轮无质量，且金属棒在运动中均保持与bc 边平行．忽略所有摩擦力，

(1)求金属棒作匀速运动时的速率v （忽略bc 边对金属棒的作用力）。

(2)若重物从静止开始至匀速运动之后的某一时刻下落的总

高度为h ，求这一过程中电阻R 上产生的热量Q ．

分析与解 视重物M 与金属棒m 为一系统，使系统运

动状态改变的力只有重物受到重力与金属棒受到的安培

力．系统在开始一段时间里处于加速运动状态，后一段时间

里处于匀速运动状态，其安培力做功的过程相应地也从变力

做功变为恒力做功．但不管运动情况如何复杂，做功的过程

如何繁琐，题设情况涉及到的能量转化过程可用简图表示如

下；

由能的转化和守恒定律，有：

Mgh=(m+M)v 2/2 +Q

只需求得系统匀速运动速度即可．据平衡条件；

Mg ＝F 安，得v ＝MgR ／B 2L 2。将v 代入上式得

Q=Mg[h-(m+M)MgR 2／2B 4L 4]

图8