二〇〇七年河南省高中数学竞赛
二〇〇七年河南省高中数学竞赛
获奖通报
各高中：
2007年河南省高中数学竞赛（即2007年全国高中数学联赛河南省预赛）的考试、评卷、复评工作已经结束。现将我市获得一等奖的学生及优秀辅导员名单发给你们（见附件），并推荐高中二年级获得一等奖的学生参加2007年全国高中数学联赛，望各校积极做好获奖学生的竞赛辅导工作，以期在今年十月举行的全国高中数学联赛中取得优异成绩。
请各校到市教研室数学组领取获奖学生证书和优秀辅导员证书。
平顶山市教育局教研室
二○○七年七月五日
附件:平顶山市获一等奖学生及优秀辅导员名单（获二等奖、三等奖学生名单略）
获奖名单
高中一年级
高中二年级
历年全国高中数学联赛试题及答案
历年全国高中数学联赛试题及答案 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题。 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效,考试时不 能使用计算器。 参考公式：二次函数图象的顶点坐标是。 温馨提示：请仔细审题，细心答题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”。 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1．2的相反数是（▲） A．-2 B．2 C．- D． 2．下列计算正确的是（▲）A．Ｂ．9 =3 Ｃ．3-1= -3 Ｄ．2 +3= 5 3．据交通运输部统计，2013年春运期间，全国道路、水路、民航、铁路运送旅客总量超过了3400000000人次，该数用科学记数法可表示为（▲） A．B．C． D． 4．如图是由个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（▲） 5．使分式无意义的的值是（▲） A. B. C. D. 6．如图，已知,若, ，则等于（▲） A．B．C．D． 7．市委、市政府打算在2015年底前，完成国家森林城市创建．这是小明随机抽取我市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表： 小区绿化率（%） 20 25 30 32 小区个数 2 4 3 1 则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是（▲） A．中位数是25% B．众数是25% C．极差是13% D．平均数是26．2% 8．将一个半径为R，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r，则R与r的关系正确的是（▲） A．R＝8r B．R＝6r C．R＝4r D．R＝2r 9．甲、乙两车分别从相距的两地同时出发，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，则下列结论不正确的是( ▲) A．甲车的平均速度为； B．乙车行驶小时到达地,稍作停留后返回地； C．经小时后,两车在途中相遇； D．乙车返回地的平均速度比去地的平均速度小。 10．如图，为等边三角形，点的坐标为，过点作直线交于点，交于，点在反比例函数＜的图象上，若和（即图中两阴影部分）的面积相等，则值为（▲）A．B．C．D． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11．分解因式：= ▲。 12．一个不透明的袋中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个黄球，从中随机摸出一个
2020年全国高中数学联合竞赛一试B卷
2020年全国高中数学联合竞赛一试B 卷 试题参考答案及评分标准〔B 卷〕 讲明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次． 2．假如考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划 分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、选择题〔此题总分值36分，每题6分〕 1．函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 〔 B 〕 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 [解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---2≥2=，当且仅当1 22x x =--时上式取等号． 而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2． 2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，假设B A ?，那么实数a 的取值范畴为 〔 A 〕 A ．[0,3) B ．[0,3] C ．[1,2)- D ．[1,2]- [解] 因240x ax --=有两个实根 12a x =22a x = 故B A ?等价于12x ≥-且24x <，即 22a ≥-且42a ， 解之得03a ≤<． 3．甲乙两人进行乒乓球竞赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，竞赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 23，乙在每局中获胜的概率为1 3 ，且各局胜负相互独立，那么竞赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 〔 C 〕 A. 670243 B. 27481 C. 266 81 D. 24181 [解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.
概率统计-历届全国高中数学联赛真题专题分类汇编
概率统计 1、（2009一试8）某车站每天8 00~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 一旅客820∶【答案】27 【解析】旅客候车的分布列为 候车时间的数学期望为10305070902723361218 ?+?+?+?+?= 2、（2010一试6）两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 【答案】 12 17 3、（2012一试8）某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示） 【答案】 61 243 【解析】用k P 表示第k 周用 A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为 1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14k P ? ?-???? 是首项为34，公
比为13-的等比数列.所以1131()443k k P --=-，即1311()434k k P -=-+，故761243 P = 4、（2014一试8）设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以 2 1 的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________. 【答案】 3 4 2221219B C D -?-=点相连，且与，中至少一点相连，这样的情况数为（）（） 22(3)AB AD DB 无边，也无CD 边，此时AC,CB 相连有2种情况，，相连也有2种情况， ,,,,AC CB AD DB A B 但是其中均相连的情况被重复了一次，故可用折线连接的情况数为 222+2-1=7. 483++==.644以上三类情况数的总和为329748，故A,B 可用折线连接的概率为 5、（2015一试5）在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为. 【答案】 2 55 【解析】设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有3 12C =220种. 下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH. 由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为82 22055 =.
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总汇总
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007 联赛二试 类似九点圆 如图，在锐角?ABC 中，AB 2015年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题 （5月10日8:30至11:00） 一．填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1．若集合{}*54,A a a x x ==+∈N ，{}*76,B b b y y ==+∈N ，将A B 中的元素从 小到大排列，则排在第20个的那个元素是 ． 2．已知实数x ，y 满足：33(3)2015(3)(23)2015(23)0x x y y -+-+-+-=，则()22min 44x y x ++= ． 3．设线段BC α?，AB α⊥，CD BC ⊥，且CD 与平面 α成30?角，且 2A B B C C D c m ===，则线段AD 的长度为 ． 4．若直线l 与直线3100x y -+=，280x y +-=分别交于点M ，N ，若MN 的中点为(0,1)P ，则直线l 的方程是 ． 5．设k ，m ，n 都是整数，过圆222(31)x y k +=+外一点33 (,)P m m n n --向该圆引两 条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 上满足横坐标与纵坐标均为整数的点有 个． 6．若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称，则a b += ． 7．（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分） （必修3）执行如图所示的算法，则输出的结果是 ． （必修4）已知函数sin ()x f x x =在区间π(0,)2上是减函数，若01x <≤，2sin ()x a x =，sin x b x =，2 2 sin x c x =，则a ，b ，c 的大小关系是 ． 8．如果实数a ，b 使得21x x --是201520152 1211ax bx ++++的因式，则a 的个位数字 为 ． 二（本题满足16分） 求2232x y -=的整数解． 三（本题满足20分） 如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上且满足AC BC <，在线段BC 上取一点D ，使BD AC =，在AD 上取一点E 使45BED ∠=?，延长BE 交CA 于F ，求证：CD AF =． 第1届I M O 1.求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。 2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.a、b、c都是实数，已知cosx的二次方程 acos2x+bcosx+c=0, 试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。 4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.)求证AF、BC相交于N点； （b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S； (c.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。 6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q 上。 第2届IMO 1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。 2.寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1-√(1+2x))2<2x+9 3.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan=4nh/(an2-a). 1988年全国高中数学联赛试题 第一试(10月16日上午8∶00——9∶30) 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( ) A ．y=－φ(x ) B ．y=－φ(－x ) C ．y=－φ－1(x ) D ．y=－φ－ 1(－x ) 2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1 2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷） 一、（本题满分40分） 设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明： 2(1)(1)(1)1a b c d +++≥- 二、（本题满分40分） 给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A L ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=. 三、（本题满分50分） 如图，点D 是锐角ABC ?的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY . 四、（本题满分50分） 设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈L L ，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈L L ，集合 {(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值. 2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷） 一、（本题满分40分） 设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明： 2(1)(1)(1)1a b c d +++≥- 证明：当1d ≥时，不等式显然成立 以下设01d ≤<，不妨设,a b 不异号，即0ab ≥，那么有 因此222 (1)(1)(1)(1)(1)111a b c c c c c d +++≥-+=-=-≥- 二、（本题满分40分） 给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A L ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=. 证明：取1k m =+，令{(mod 1),}i A x x i m x N +=≡+∈，1,2,,1i m =+L 设,,,i a b c d A ∈，则0(mod 1)ab cd i i i i m -≡?-?=+， 故1m ab cd +-，而1m m +，所以在i A 中不存在4个数,,,a b c d ，满足ab cd m -= 三、（本题满分50分） 如图，点D 是锐角ABC ?的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY . 证明：首先证明//YX BC ，即证AX AY XC YB = 连接,BD CD ，因为ACQ ACQ ABC ABC ABP ABP S S S S S S ???????=， 所以111sin sin sin 222111sin sin sin 222 AC CQ ACQ AC BC ACB AC AQ CAQ AB BC ABC AB BP ABP AB AP BAP ?∠?∠?∠?=?∠?∠?∠， ① 由题设，,BP CQ 是圆ω的切线，所以ACQ ABC ∠=∠，ACB ABP ∠=∠，又 CAQ DBC DCB BAP ∠=∠=∠=∠（注意D 是弧BC 的中点），于是由①知AB AQ CQ AC AP BP ?=? ② 因为CAQ BAP ∠=∠，所以BAQ CAP ∠=∠， 第1届I M O 1.? 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。 2.??设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：? (a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.?a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程 a cos2x + b cos x + c = 0, 试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当 a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。 4.? 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.? 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， ??? (a.) 求证 AF、BC相交于N点； ?? （b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S； ??? (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。 6.? 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。 第2届IMO 1.? 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 2.? 寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1 - √(1 + 2x))2 ?< ?2x + 9 3.? 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令?为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan ? = 4nh/(an2 - a). 4.? 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。 5.? 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。 a.求XY中点的轨迹； b.求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。 6.? 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。 ??? (a).? 求证：V1不等于 V2； ??? (b).? 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。 7.? 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为 h。X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。 第3届IMO 1.? 设a、b是常数，解方程组 x + y + z = a; ? ? x2 + y2 + z2 = b2; ? ? xy=z2 并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？ 2.? 设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证： a2 + b2 + c2>= 4√3 A. 并求出等号何时成立。 3.? 解方程 cos n x - sin n x = 1, 其中n是一个自然数。 4.? P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD, 二试训练题（1） 1. （本题满分40分）实数a 使得对于任意实数12345,,,,x x x x x ，不等式 22222 1234512233445()x x x x x a x x x x x x x x ++++≥+++ 都成立，求a 的最大值． 2. （本题满分40分）在直角三角形ABC 中，90B ∠=?，它的内切圆分别与边BC ，CA ，AB 相切与点D ，E ，F ，连接AD ，与内切圆相交于另一点P ，连接PC ，PE ，PF ．已知PC PF ⊥，求证：PE ∥BC ． F C B A 3．（本题满分50分）对正整数n ，记()f n 为数2 31n n ++的十进制表示的数码和． (1) 求()f n 的最小值； (2) 是否存在一个正整数n ，使得()f n =100？ 4．（本题满分50分）求满足如下条件的最小正整数n ，在圆O 的圆周上任取n 个点 12,,,n A A A L ，则在2n C 个角(1)i j A OA i j n ∠≤<≤中，至少有2011个不超过120?． 二试训练题（2） 1、（本题40分）在△ABC 中，AB ＞BC ，K 、M 分别是边AB 和AC 的中点，O 是△ABC 的内心。设P 点是直线KM 和CO 的交点，而Q 点使得QP⊥KM 且QM∥BO，证明：QO⊥AC。 2、（本题40分）已知无穷数列{}n a 满足,,10y a x a ==()Λ,2,11 1 11=++= --+n a a a a a n n n n n . （1）对于怎样的实数x ，y ，总存在正整数0n ,使当0n n ≥时，n a 恒为常数？ （2）求数列{}n a 的通项公式. 2016年~2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编 10、计数问题、概率与统计部分 2018A 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 ◆答案：10 9 ★解析：先考虑def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=?种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=?种，从而def abc +为奇数的概率为 101!672=，故所求为10 91011=- 2018B 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 ◆答案：10 1 ★解析：由def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=?种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=?种，从而def abc +为奇数的概率为 101!672=。 2017A 6、在平面直角坐标系xOy 中，点集{}1,0,1,|),(-==y x y x K ，在K 中随机取出三个点，则这三个点中存在两点距离为5的概率为 ◆答案： 7 4 ★解析：由题意得K 有9个点，故从中取出三个点共有8439=C 种。 将K 中的点按右图标记为O A A A ,,,,821 ，其中有8对点之间的距 离为5，由对称性，考虑取41,A A 两点的情况，则余下的一个点有 7种取法， 这样有5687=?个三点组（不考虑顺序）。对每个i A （8,,2,1 =i ），K 中恰有53,++i i A A 2018年全国高中数学联合竞赛河南省预赛试题 一、填空题（共8小题，每小题8分，满分64分。） 1.已知函数f (x )=?1 2x 2+x,若函数f (x )的定义域为[m,n ](m 河南高中数学竞赛预赛 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2010年河南省高中数学竞赛预赛及郑州市高中数学竞赛获奖情况 通报 2010年河南省高中数学竞赛预赛及郑州市高中数学竞赛于2009年5月举行,我市在新密一高、新密二高、新密实验高中、新密中学、一高分校、京密高中分设六个考点，考试结束后，郑州市教研室统一组织了评卷，日前成绩已经揭晓，现将获奖情况通报如下：望获奖学生及辅导教师戒骄戒躁，在今后学习、工作中，加倍努力，为我市学科教学质量提升做出贡献。 一、高一年级数学竞赛获奖情况： 河南省一等奖（19人） 陈泽文实高张范一高尚元贺一高 黄尚臣一高秦艳艳新密中学王超峰新密中学 位二鹏一高魏帅飞新密中学赵留鹏一高 郭亚冰新密中学许言午一高赵启源二高 黄佳男实高申威实高王玉博实高 郑凯利一高申玉蕾一高危超杰一高 张园豪二高 河南省二等奖（60人） 高世浩一高李帅龙一高牛伟朋二高 陈博一高陈博文一高陈东晓二高 范瑞方实高贾凯歌新密中学李婉迪一高 李玉婕二高李志远新密中学梁昆新密中学 秦炎明二高任志飞新密中学慎志豪新密中学 宋浩阳新密中学王键新密中学王亚芳二高 杨亚杰二高张诚实高张星魁二高 赵金龙一高郑小冰二高王光耀二高 陈光豪二高陈现凯实高丁浩奇实高 纪路明一高申仁杰二高张磊磊新密中学甄鹏帅新密中学巴星原新密中学白晓丹实高 高永乾二高葛乾隆新密中学管焱一高 郭飞新密中学郭英旭二高贾梦迪一高 雷志超一高李超一高李东凯一高 李浩杰实高李晓伟新密中学李晓昱新密中学李宜高一高蔺玉琪一高刘纯莉实高 刘帅鹏一高刘旭东一高王程远一高分校谢婉莹实高尹建伟一高翟师冬二高 张腾飞新密中学张晓星二高张云鹏新密中学赵一帆实高甄政毅实高周英豪二高 河南省三等奖（74人） 崔广楠一高刘英豪二高邵梦旗二高 慎津进二高王亚青二高云晓瑜二高 张鹏杰新密中学安桂芳新密中学常旭东二高 樊颖颖二高付欣二高刘晓静一高 王宏元二高王琼一高张涛新密中学孙浩南一高黄亚萌新密中学李晓梦一高 苏跃京密高中王浩咏实高白云鹏一高 2010年全国高中数学联赛 一 试 一、填空题（每小题8分，共64分，） 1. 函数x x x f 3245)(---= 的值域是 . 2. 已知函数x x a y sin )3cos (2 -=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 . 3. 双曲线12 2 =-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 . 4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中 3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ， 则=+βα . 5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f x x 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区 间上的最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin . 8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 . 二、解答题（本题满分56分） 9. （16分）已知函数)0()(2 3 ≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值. 10.（20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且 421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ?面积的最大值. 11.（20分）证明：方程02523 =-+x x 恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得 +++=3215 2 a a a r r r . 2009年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共8小题，每小题7分，共56分） 1． 若函数( )f x ()()()n n f x f f f f x ??=??????，则() ()991f = ． 【答案】 1 10 【解析】 ()()( )1f x f x == ， ( ) ()( )2f x f f x ==???? …… ( ) ( )99f x = 故()()991 110f =． 2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点， 在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ． 【答案】 []36， 【解析】 设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =?，由直线AC 与圆M 相交， 得d 解得36a ≤≤． 3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ?? ??-? ≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1 t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ． 【答案】 212 t t -++ 【解析】 由题意知 ()f t S =阴影部分面积 A O B O C D B S S S ???=-- ()22111122 t t =--- 2 12 t t =-++ 4． 使不等式1111 200712213 a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ． 【答案】 2009 【解析】 设()1111221f n n n n =+++ +++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1 120073 f a <-，可得2009a =． 全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编 专题20函数真题汇编与预赛典型例题 1．【2019年全国联赛】已知正实数a满足，则的值为. 【答案】 【解析】 由. . 2．【2018年全国联赛】设f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上严格递减，且满足，则不等式组的解集为. 【答案】 【解析】由f（x）为偶函数及在[0，1]上严格递减知，f（x）在[-1，0]上严格递增，再结合f（x）以2为周期可知，[1，2]是f（x）的严格递增区间. 注意到. 所以. 而，故原不等式组成立当且仅当. 3．【2017年全国联赛】设为定义在R上的函数，对任意实数x有.当0≤x＜7时，.则的值为____________。 【答案】 【解析】 由题得，所以函数的周期为7， . 故答案为： 4．【2016年全国联赛】设正实数u、v、w均不等于1.若，则 的值为________. 【答案】 【解析】 令 .则: . 故. 从而， . 5．【2015年全国联赛】设为不相等的实数.若二次函数 满足 ，则 的 值为______. 【答案】4 【解析】 由已知条件及二次函数图像的轴对称性得 . 故答案为：4 6．【2014年全国联赛】若正数a ，b 满足2362log 3log log ()a b a b +=+=+，则11 a b += ． 【答案】108 【解析】 试题分析：设2 32362log 3log log ()2 ,3,6t t t a b a b t a b a b --+=+=+=?==+=? 11a b a b ab ++= 23610823 t t t --==?． 考点：指数与对数运算． 7．【2014年全国联赛】设集合中的最大、最小元素分别为M 、m ，则 的值为 ___________. 【答案】 【解析】 由 ，知 . 加试模拟训练题（79） 1 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证 ：∠GAC=∠EAC。 2. ?数列y1，y2，y3，…满足条件y1=1，对于k＞0， 证明：数列y1，y2，y3，…能取遍每个正整数并且恰好一次． 3.设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一；若在5次之内跳到D点 ，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从A点出发跳动到停止为止，可能出现的不同跳法共有多少种？ 4.求都能使成立的最大的 加试模拟训练题（79） 1 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证 ：∠GAC=∠EAC。 证 如图，连接BD交AC于H， 过点C作AB的平行线交AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE的延长线于J。 对△BCD用塞瓦定理，可得 ① 因为AH是∠BAD的角平分线， 由角平分线定理知。 代入①式得 ② 因为CI∥AB，CJ∥AD，则，。 代入②式得. 从而CI=CJ。又由于∠ACI=180°－∠BAC=180°－∠DAC=∠ACJ， 所以△ACI≌△ACJ，故∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC. 2. ?数列y1，y2，y3，…满足条件y1=1，对于k＞0， 证明：数列y1，y2，y3，…能取遍每个正整数并且恰好一次． 【题说】第二十五届（1993年）加拿大数学奥林匹克题5． 【证】用二进制表示．设 n=（amam-1…a1a0）2 其中am=1，ai=0或1，i=0，1，…，m-1． 我们用归纳法证明 yn=（bmbm-1…b1b0）2 其中bm=1，b2≡ai+ai+1（mod2），i=0，1，…，m-1． （1）n=1时，显然． （2）假设对于小于n的正整数结论成立．对于n=（am…a1a0）2， 其中b0=0≡a1+a0（mod2）． （ii）若a1=1，a0=0，则 其中b0=1≡a0+a1（mod2）． （iii）若a1=0，a0=1，则 其中b0=1≡a0+a1（mod2）． （iv）若a1=a0=1，则 其中b0=0≡a0+a1（mod2）． 因此，命题对任意正整数n也成立． 反之，对任意数（bm…b1b0）2，可以唯一确定n=（amam-1…a1a0）如下： am=bm=1，ai≡bi-ai+1（mod2） 所以，yn→n是N+→N+的一一对应．? 3.设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一；若在5次之内跳到D点 ，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从A点出发跳动到停止为止，可能出现的不同跳法共有多少种？ 【题说】 1997年全国联赛一试题2(5)． 【解】 如果跳5次才停，那么由于在每一点都有2种跳法，共有25种跳法．其中3步跳到D的有2种，跳到D后继续再 历年全国高中数学联赛《平面几何》专题真题汇编 1、如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE =∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等． 2、如图：⊿ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N 。求证：（1）OB ⊥DF ，OC ⊥DE ；（2）OH ⊥MN 。 【解析】证明：(1)∵A 、C 、D 、F 四点共圆 ∴∠BDF ＝∠BAC 又∠OBC ＝21 (180°－∠BOC )＝90°－∠BAC ∴OB ⊥DF ． (2)∵CF ⊥MA ∴MC 2－MH 2＝AC 2－AH 2 ① ∵BE ⊥NA ∴NB 2－NH 2＝AB 2－AH 2 ② ∵DA ⊥BC ∴BD 2－CD 2＝BA 2－AC 2 ③ ∵OB ⊥DF ∴BN 2－BD 2＝ON 2－OD 2 ④ ∵OC ⊥DE ∴CM 2－CD 2＝OM 2－OD 2 ⑤ ①－②＋③＋④－⑤，得 NH 2－MH 2＝ON 2－OM 2 MO 2－MH 2＝NO 2－NH 2 ∴OH ⊥MN ∵1-=DF OB k k ∴OB ⊥DF 同理可证OC ⊥DE ． 在直线BE 的方程 ) (b x a c y -= 中令x ＝0得H (0，a bc -) ∴ ac ab bc a c b a bc a a bc k OH ++= ++ +=32222 直线DF 的方程为 x bc a ac ab y +-= 2 2018年全国高中数学联赛一试 一、填空题 1. 设集合{1,2,3,...,99},{2|},{|2},A B x x A C x x A ==∈=∈ 则B C 的元素个数为 __________. 2. 设点P 到平面α 点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60，则这样的点Q 所构成的区域的面积为__________. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,,a b c d e f 则abc def +是偶数的概率为________. 4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、， 椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P .已知线段,,,PU PS PV PT 的长分别为1,2,3,6，则12PF F 的面积为_________. 5. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]0,1上严格递增，且满足 ()1,(2)2f f ππ== ，则不等式组121()2 x f x ≤≤??≤≤?的解集为________. 6. 设复数z 满足1z =，使得关于x 的方程2 220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和 为__________. 7. 设O 为ABC 的外心，若2,AO AB AC =+ 则sin BAC ∠的值为__________. 8. 设正整数数列1210,,...a a a 满足1012853,+2,a a a a a ==且 1{1,2},1,2,...,9i i i a a a i +∈++=， 则这样的数列的个数为__________. 二、解答题 9.已知定义在R + 上的函数()f x 为3log 1,09()49x x f x x ?-<≤?=?>?? ，设,,a b c 是三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ==，求abc 的取值范围2015年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题含答案
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