平行四边形的判定定理培优讲解及练习

平行四边形的判定定理

【要点梳理】

要点一、平行四边形的判定

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

要点诠释：

（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个

行四边形时，应选择较简单的方法.

（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 【典型例题】

类型一、平行四边形的判定

例1、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形．

【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG ∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．

【答案与解析】

证明：∵四边形AECF为平行四边形，

∴ AF∥CE．

页1

∵四边形DEBF为平行四边形，

∴ BE∥DF．

∴四边形EGFH为平行四边形．

【变式】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．

【答案】

证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E，

∴∠1=∠2，

∵AB∥CD，

∴∠1=∠F，

∵CE=CF，

∴∠F=∠3，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴AD∥BC，

∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

例2、如图，在?ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：

（1）DE=BF；

（2）四边形DEBF是平行四边形．

【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△ADE≌△CBF，即可推得DE=BF．

页2

（2）首先判断出DE∥BF；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得四边形DEBF 是平行四边形即可．

【答案与解析】

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥CB，AD=CB，

∴∠DAE=∠BCF，

在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF，

∴DE=BF．

（2）由（1），可得△ADE≌△CBF，

∴∠ADE=∠CBF，

∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF，

∴∠DEF=∠BFE，

∴DE∥BF，

又∵DE=BF，

∴四边形DEBF是平行四边形．

【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，以及全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．

例3、已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．

求证：四边形PBQD是平行四边形．

页3

页 4

【思路点拨】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题可由对角线互相平分来证明． 【答案与解析】

证明：连接BD 交AC 与O 点，

∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO ， 又∵AP=CQ， ∴AP+AO=CQ+CO， 即PO=QO ，

∴四边形PBQD 是平行四边形．

【总结升华】本题主要考查平行四边形的判定，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明．

举一反三：

【变式1】如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于F ，且AF=DC ，连接CF ．试说明：D 是BC 的中点.

【答案】

证明：∵AF

∥

BC

，

∴∠AFE=∠DBE ， ∵E 是AD 的中点， ∴AE=DE ，

页 5

在△AEF 和△DEB 中，

∵ ∴△AEF ≌△DEB （AAS ）， ∴AF=BD ， ∵AF=DC ， ∴BD=DC ， ∴D 是BC 的中点.

【变式2】如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 及等边△ABE ，已知：∠BAC=30°，EF ⊥AB ，垂足为F ，连接DF ． （1）试说明AC=EF ；

（2）求证：四边形ADFE 是平行四边形．

【答案】

证明：（1）∵Rt △ABC 中，∠BAC=30°， ∴AB=2BC ，

又∵△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ， ∴AB=2AF ∴AF=BC ，

在Rt △AFE 和Rt △BCA 中，

，

∴Rt △AFE ≌Rt △BCA （HL ），

,,,＝＝＝AFE DBE AEF DEB AE DE ∠∠?

?

∠∠???

页 6

∴AC=EF ；

（2）∵△ACD 是等边三角形， ∴∠DAC=60°，AC=AD ， ∴∠DAB=∠DAC +∠BAC=90° 又∵EF ⊥AB ， ∴EF ∥AD ， ∵AC=EF ，AC=AD ， ∴EF=AD ，

∴四边形ADFE 是平行四边形．

例4、如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O ，分别与AB ，CD 的延长线交于点E ，F ．求证：四边形AECF 是平行四边形．

【思路点拨】平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为四边形ABCD 是平行四边形，可证OF=OE ，OA=OC ，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决． 【答案与解析】

证明：∵四边形ABCD

是平行四边形，

∴OD=OB ，OA=OC ， ∵AB ∥CD ，

∴∠DFO=∠BEO ，∠FDO=∠EBO ， ∴在△FDO 和△EBO 中，

,＝＝＝DFO BEO FDO EBO OD OB ∠∠??

∠∠???

∴△FDO≌△EBO（AAS），

∴OF=OE，

∴四边形AECF是平行四边形．

类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用

例1、如图，在平行四边形ABCD 中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．

（1）猜想探究：BE与DF之间的关系： ________________.

（2）请证明你的猜想．

【思路点拨】（1）BE平行且等于DF；

（2）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质得出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF即可．

【答案与解析】

（1）解：BE和DF的关系是：BE=DF，BE∥DF，

故答案为：平行且相等．

（2）证明：连接BD交AC于O，

∵ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，

∵AE=CF，

∴OE=OF，

∴BFDE是平行四边形，

∴BE=DF，BE∥DF．

【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理是你解决本题的关键，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．

举一反三：

【变式】如图，在ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．请你猜想BE与DF的关系，并说明理由．

Y

页7

页 8

【答案】

解：猜想BE 与DF 的关系是BE=DF ，BE ∥DF ，

理由是：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD=BC ， ∵AE=CF ， ∴AD-AE=BC-CF ， 即DE=BF ， ∵DE ∥BF ，

∴四边形BFDE 是平行四边形， ∴BE=DF ，BE ∥DF ．

例2、如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ，过点P 作直线交AD 于点E ，交BC 于点F ．若PE=PF ，且AP+AE=CP+CF ． （1）求证：PA=PC ．

（2）若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD 的面积．

【思路点拨】（1）首先在PA 和PC 的延长线上分别取点M 、N ，使AM=AE ，CN=CF ，可得PN=PM ，则易证四边形EMFN 是平行四边形，则可得ME=FN ，∠EMA=∠CNF ，即可证得△EAM ≌△FCN ，则可得PA=PC ；

（2）由PA=PC ，EP=PF ，可证得四边形AFCE 为平行四边形，易得△PED ≌△PFB ，则可得四边形ABCD 为平行四边形，由AB=15，AD=12，∠DAB=60°，即可求得四边形ABCD 的面积． 【答案与解析】

（1）证明：在PA 和

PC 的延长线上分别取点M 、N ，使AM=AE ，CN=CF ． ∵AP+AE=CP+CF ， ∴PN=PM ． ∵PE=PF ，

∴四边形EMFN 是平行四边形．

∴ME=FN ，∠EMA=∠CNF．

又∵∠AME=∠AEM，∠CNF=∠CFN，

∴△EAM≌△FCN．

∴AM=CN．

∵PM=PN，

∴PA=PC．

（2）解：∵PA=PC，EP=PF，

∴四边形AFCE为平行四边形．

∴AE∥CF．

∵∠PED=∠PFB，∠EPD=∠FPB，EP=PF，

∴△PED≌△PFB．

∴DP=PB．

由（1）知PA=PC，

∴四边形ABCD为平行四边形．

∵AB=15，AD=12，∠DAB=60°，

∴四边形ABCD的面积为90．

【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质等知识．此题图形比较复杂，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．

例3、如图，△ABC中AB=AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已点知D、E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F．

（1）如图1，当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G，连接CD、GE，判定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；

（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论．

【思路点拨】（1）由题意得出BD=CE，由平行线的性质得出∠DGB=∠ACB，由等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB，得出∠B=∠DGB，证出BD=GD=CE，即可得出结论；

（2）由（1）得：BD=GD=CE，由等腰三角形的三线合一性质得出BM=GM，由平行线得出

GF=CF，即可得出结论．

【答案与解析】

解：（1）四边形CDGE是平行四边．理由如下：如图1所示：

3

页9

∵D、E移动的速度相同，

∴BD=CE，

∵DG∥AE，

∴∠DGB=∠ACB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠DGB，

∴BD=GD=CE，

又∵DG∥CE，

∴四边形CDGE是平行四边形；

（2）BM+CF=MF；理由如下：如图2所示：

由（1）得：BD=GD=CE，

∵DM⊥BC，

∴BM=GM，

∵DG∥AE，

∴GF=CF，

∴BM+CF=GM+GF=MF．

【总结升华】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．

举一反三

【变式】如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．

（1）求证：BE=DF；

（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形

MENF的形状（不必说明理由）．

【答案】

页10

∴ AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∴△ABE≌△CDF（AAS），

∴BE=DF；

（2）四边形MENF是平行四边形．证明：由（1）可知：BE=DF，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠MDB=∠NBD，

∵DM=BN，

∴△DMF≌△BNE，

∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，

∴∠MFE=∠NEF，

∴MF∥NE，

∴四边形MENF是平行四边形．

例4、如图，已知在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．

（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；

（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）

【思路点拨】（1）先由平行四边形的性质，得AB=CD，AB∥CD，根据两直线平行内错角相等得∠GBE=∠HDF．再由SAS可证△GBE≌△HDF，利用全等的性质，证明∠GEF=∠HFE，从而得GE∥HF，又GE=HF，运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证．

（2）仍成立．可仿照（1）的证明方法进行证明．

【答案与解析】

Y

页11

页 12

∴AB=CD ，AB ∥CD ，∴∠GBE=∠HDF ． 又∵AG=CH ，∴BG=DH ． 又∵BE=DF ，∴△GBE ≌△HDF ．

∴GE=HF ，∠GEB=∠HFD ，∴∠GEF=∠HFE ， ∴GE ∥HF ，∴四边形GEHF 是平行四边形．

（2）解：仍成立．（证法同上）

【总结升华】本题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 举一反三

【变式】如图，ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，BG ⊥AG 于G ，DH ⊥AC 于H ．求证：四边形GEHF 是平行四边形．

【答案】

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴BO=DO ，AO=CO ，AB=CD ，AB ∥CD ， ∴∠ABD=∠CDB ，

∵AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，

∴∠AEB=∠CFD=90°， 在△ABE 和△CDF 中,

∴△ABE ≌△CDF （AAS ）， ∴BE=DF ， ∴BO-BE=DO-DF ， 即：EO=FO ，

同理：△ABG ≌△CDH ， ∴AG=CH ， ∴AO-AG=CO-CH ， Y ,＝＝＝AB CD ABE CDF AEB CFD ∠∠∠∠??

???

即：GO=OH，

∴四边形GEHF是平行四边形．

【课堂练习】

一.选择题

1.点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点，点M是平面内任意一点，若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点M有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝

CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( ).

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

3. 下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比, 其中能识别四边形ABCD为平行

四边形的是( ).

A. 1:2:3:4

B. 2:3:2:3

C. 2:2:3:3

D. 1:2:2:1

4. 如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画

弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形

5. 已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a、b、c、d，且a2+ab-ac-bc=0，b2+bc-bd-cd=0，

那么四边形ABCD是（）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形

页13

6. 如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图（箭头表示行进的方

向）．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为（）

A．甲＜乙＜丙 B．乙＜丙＜甲 C．丙＜乙＜甲 D．甲=乙=丙

二.填空题

7. 如图，E、F是Y ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形AECF是平行四边形．

8.

如图，平行四边形

ABCD的对角线交于点O，直线EF过点O且EF∥AD，直线GH过点O且GH∥AB，

则能用图中字母表示的平行四边形共有______________个．

9．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E在AB边上从A向B以1cm/s的速度移动，同时点F在CD边上从C向D以2cm/s的速度移动，若AB=7cm，CD=9cm，则

秒时四边形ADFE是平行四边形．

页14

10. 如图，已知等边△ABC的边长为8，P是△ABC内一点，PD∥AC，PE∥AD，PF∥BC，点D，E，

F分别在AB，BC，AC上，则PD+PE+PF=______________.

11．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．

12．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD 的中点．有下列结论：①AD=BC，②△DHG≌△BFE，③BF=HO，④AO=BO，⑤四边形

HFEG是平行四边形，其中正确结论的序号是．

三.解答题

13．如图，在口ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的

延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：

（1）△BEG≌△DFH；

（2）四边形GEHF是平行四边形．

14.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为边AB、BC的中点，点F在边AC的延长线上，∠FEC=∠B，求证：四边形CDEF是平行四边形．

页15

15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四

边形ACEB的周长.

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】C；

【解析】解：如图，连接PQ、QR、PR，分别过P、Q、R三点作直线l∥QR、m∥PR、n∥PQ，分别交于点D、E、F，

∵DP∥QR，DQ∥PR，

∴四边形PDQR为平行四边形，

同理可知四边形PQRF、四边形PQER也为平行四边形，

故D、E、F三点为满足条件的M点，

故选C．

页16

2.【答案】C；

【解析】①②③能判定平行四边形.

3.【答案】B；

【解析】平行四边形对角相等.∠A与∠C为对角，∠B与∠D为对角.

4.【答案】A；

【解析】∵分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，

∴AD=BC AB=CD

∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．故选A．5.【答案】A；

【解析】由a2+ab-ac-bc=0，可知（a+b）（a-c）=0，则a-c=0，即a=c；

由b2+bc-bd-cd=0，可知（b+c）（b-d）=0；则b-d=0，即b=d．

（其中a，b，c，d都是正数，a+b、b+c一定不等于0）

由a=c；b=d知四边形ABCD的两组对边分别相等，则四边形ABCD是平行四边形．

故选A．

6.【答案】D；

【解析】图1中，甲走的路线长是AC+BC的长度；

延长AD和BF交于C，如图2，

∵∠DEA=∠B=60°，

∴DE∥CF，

同理EF∥CD，

∴四边形CDEF是平行四边形，

∴EF=CD，DE=CF，

即乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长；

延长AG和BK交于C，如图3，

与以上证明过程类似GH=CK，CG=HK，

即丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长；

即甲=乙=丙，故选D．

页17

页 18

二.填空题 7.【答案】BE=DF ；

【解析】添加的条件是BE=DF ，

理由是：连接AC 交BD 于O ， ∵平行四边形ABCD ， ∴OA=OC ，OB=OD ， ∵BE=DF ， ∴OE=OF ，

∴四边形AECF 是平行四边形． 故答案为：BE=DF ．

8.【答案】18；

【解析】图中平行四边形有：AEOG ，AEFD ，ABHG ，GOFD ，GHCD ，EBHO ，EBCF ，

OHCF ，ABCD ，EHFG ，AEHO ，AOFG ，EODG ，BHFO ，HCOE ，OHFD ，OCFG ， BOGE ．共18个．故答案为：18．

9.【答案】3；

【解析】解：设t 秒时四边形ADFE 是平行四边形；

Y Y Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y

理由：当四边形ADFE是平行四边形，则AE=DF，

即t=9﹣2t，

解得：t=3，故3秒时四边形ADFE是平行四边形．

故答案为：3．

10．【答案】8；

【解析】过E点作EG∥PD，过D点作DH∥PF，

∵PD∥AC，PE∥AD，

∴PD∥GE，PE∥DG，

∴四边形DGEP为平行四边形，

∴EG=DP，PE=GD，

又∵△ABC是等边三角形，EG∥AC，

△BEG为等边三角形，

∴EG=PD=GB，

同理可证：DH=PF=AD，

∴PD+PE+PF=BG+GD+AD=AB=8．．

11．【答案】平行四边形；

12.【答案】①，②，③，⑤；

【解析】解：平行四边形ABCD中，

∴AD=BC，故①正确；

∵平行四边形ABCD，

∴DC∥AB，DC=AB，OD=OB，

∴∠CDB=∠DBA，

∵E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点，

∴DG=BE=AB，DH=BF=OD，

∴②△DHG≌△BFE，故②正确；

∵HO=DH，DH=BF，

∴BF=HO，故③正确；

平行四边形ABCD，OA=OC，OB=OD，故④错误；

E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点，

∴HG∥OC，HG=OC，EF∥OA，EF=OA，

∴HG∥EF，HG=EF，

HEFG是平行四边形，故⑤正确；

故答案为：①，②，③，⑤．

三.解答题

页19

13.【解析】

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥DC，

∴∠ABE=∠CDF，

∵AG=CH，

∴BG=DH，

在△BEG和△DFH中，

，

∴△BEG≌△DFH（SAS）；

（2）∵△BEG≌△DFH（SAS），

∴∠BEG=∠DFH，EG=FH，

∴∠GEF=∠HFB，

∴GE∥FH，

∴四边形GEHF是平行四边形．

14.【解析】

证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为边AB、BC的中点，∴DE∥AC，CD=AB=AD=BD，

∴∠B=∠DCE，

∵∠FEC=∠B，

∴∠FEC=∠DCE，

∴DC∥EF，

∴四边形CDEF是平行四边形．

15.【解析】

解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，

页20