正定矩阵及其应用
矩阵的正定性及其应用论文
矩阵的正定性及其应用 摘 要：矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,本文主要讨论主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用.本文在介绍实矩阵的正定性的定义及其判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用.全文分两章,在第一章,矩阵的正定性的定义．在第二章,正定性矩阵的判别方法,在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例． 一、二次型有定性的概念 定义1 具有对称矩阵A 之二次型,AX X f T = (1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0
正定矩阵的性质及其应用_____
如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！ 正定矩阵的性质及其应用 姓名： 学号： 指导教师： 摘 要；矩阵是数学中的一个重要基本概念，是代数学中的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类特殊的矩阵，固然有它与其它矩阵不同的性质和应用。本文主要是给出了正定矩阵的若干等价条件，对正定矩阵的一些重要性质进行了归纳整合并给出部分性质的证明过程，最后给出了正定矩阵在不等式证明问题、多元函数极值问题、最优化的凸规划问题以及解线性方程组问题中的应用。 关键词：矩阵；正定矩阵；性质；应用 The Properties of Positive Definite Matrix and Its Applications Abstract: Matrix is one of the important basic concepts and it is one of the main research object in math . Positive definite matrix is a kind of special matrix, no doubt it has its properties and applications different from other matrix. This paper states some equivalent conditions on how to determine a positive definite matrix, integrates some important properties, then puts forward several applications of the positive definite matrices on inequation problems, multiple function extreme problems, the optimization of convex programming problem and solving linear equations. Key Words: matrix; positive definite matrix; property; application 1. 引言 矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具实用价值、应用广泛的数学理论。矩阵是矩阵理论中一个重要基本概念，是代数学的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类常用矩阵，其在计算数学、数学物理、运筹学、控制论、数值分析等领域中都具有着广泛的应用。本文主要介绍正定矩阵的等价定理及其一些重要的性质，最后给出正定矩阵在数学及其它学科中的若干应用。 2. 正定矩阵的等价定理 首先我们给出正定矩阵的定义。 定义1[1] 设()T f x X AX =为一个实二次型，若对任意一组不全为零的实数12,,,n c c c ，都有 12(,,,)0n f c c c >,
正定矩阵和半正定矩阵的性质及应用
摘要 本文主要针对正定矩阵和半正定矩阵进行讨论，归纳和总结了正定矩阵和半正定矩阵的性质，通过实例介绍了正定矩阵（半正定矩阵)的判别方法诸如：定义法、主子式法、特征值法等，并且给出了它们在不等式的证明问题中以及多元函数极值问题中的一些应用. 关键词：正定矩阵；半正定矩阵；二次型；主子式；特征值
ABSTRACT This paper mainly discusses positive definite matrices and positive semi-definite matrix,the properties of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are summarized.Through examples, the judgment methods of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are introduced, such minor method, master type method, eigenvalue method, etc. Some applications of positive definite matrices and semi-positive definite matrix in the proof of inequality extreme value problems of multivariate functions are given. Keywords：positive definite matrix; positive semi-definite matrix; quadratic form; principal minor determinant;characteristic value
正定矩阵的性质和判定方法及应用
内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用 作者郝芸芸 系别统计与数学学院 专业信息与计算科学 年级10级 学号102093113 指导教师高菲菲 导师职称讲师 答辩日期 成绩
内容提要 矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用． 关键词：二次型正定矩阵判定方法应用 Abstract Matrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices. Key words:Quadratic form Positive definite matrix Determination method Application
正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用汇编
正定矩阵的判定方法及正定矩阵 在三个不等式证明中的应用 作者：袁亮（西安财经大学） 摘要: 本文从正定矩阵的的定义出发，给出了正定矩阵的若干判定定理及推论，并给出了正定矩阵在柯西、Holder、Minkowski三个不等式证明中的应用. 关键词: 正定矩阵，判定，不等式，应用 Abstract: In this paper, we mainly introduce some decision theorem and inference based on the definition of positive definite matrices and give the application of positive definite matrices in the proving on Cauchy、Holder、and Minkowski inequality. Keywords: positive definite matrix,determine,inequality,application
目录 1 引言 (4) 2 正定矩阵的判定方法 (4) 2.1 定义判定 (5) 2.2 定理判定 (6) 2.3 正定矩阵的一些重要推论 (11) 3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 (15) 3.1 证明柯西不等式 (15) 3.2 证明Holder不等式 (16) 3.3 证明Minkowski不等式 (18) 结束语 (21) 参考文献 (22)
1 引言 代数学是数学中的一个重要的分支，而正定矩阵又是高等代数中的重要部分．特别是正定矩阵部分的应用很广泛， n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中，占有十分重要的地位．它在物理学、概率论以及优化控制理论[]2中都得到了重要的应用，而本文只提供解决正定矩阵判定问题的方法，并阐明它在数学分析中三个重要不等式证明中的应用. 正定矩阵的一般形式是,设A是n阶实对称矩阵，若对任意n x∈，且0 R x， ≠ 都有0 Mx x T成立[]2.本文从正定矩阵的定义，给出正定矩阵的判定定理，并给> 出正定矩阵的重要推论，这些重要推论对计算数学中的优化问题有着重要的作用，并在矩阵对策，经济均衡，障碍问题[]3的研究中具有很实用的价值.同时还介绍正定矩阵在三个不等式证明中的应用，其一是用正定矩阵证明著名的柯西不等式，其二是用正定矩阵的性质给出Holder不等式的一个新的证明，其三是运用正定矩阵的两个引理证明Minkowski不等式，这三个应用说明正定矩阵运用的广泛性和有效性.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘. 2 正定矩阵的判定方法 2.1 定义判定 设A=()ij a,(其中ij a∈C,i,j=1,2,…，n),A的共轭转置记为*A=()ji a 定义1[]1对于实对称矩阵A=()ij a,（其中ij a∈R,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有T X A X>0,则称A是正定矩阵. 定义2[]1对于复对称矩阵A=()ij a,（其中ij a∈C,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有* X A X>0,则称A是正定矩阵． 例1设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，T B为B的转置矩阵，试证AB B T为正定矩阵的充要条件是B的秩r（B）=n. 证 [必要性] 设AB B T为正定矩阵，则对任意的实n维列向量0 x， ≠
正定矩阵
5.4 正定矩阵 5.4.1 正定矩阵 [1] 二次型的分类 n 个变数的二次型∑=== n j i T j i ij n x A x x x a x x q 1 ,1),,( ，其实就是定义在n R 的一个二次齐次函数，对n R 的每个特定向量q x ,0 对应一个函数值)(0 x q ，依据)(x q 值的符号，在教 材184页上给出了二次型的分类定义： 1．正定二次型。若对一切n R x ∈，当0)(0>=?≠Ax x x q x T 称二次型)(x q 正定。 显然，正定二次型也就是函数值定正的二次型（当然有唯一的例外，0=x 时，0=q ）。 2．正半定（或半正定）二次型。若对一切n R x ∈，皆有0)(≥=Ax x x q T ，且至少有一 00 ≠x 能使0)(0 =x q . 3．负定。对二次型Ax x x q T =)(，当(-q )为正定时，称q 为负定二次型。 4．负半定（或半负定）。对二次型Ax x x q T =)(，当(-q )为正半定时，称q 为负半定二次型。 5．不定二次型。若二次型Ax x q T =既能取正值，又能取负值，称为不定二次型。 容易明白，对标准形的二次型（以下给出的均为充要条件）。 若系数全正为正定二次型； 若系数全为非负，且至少有一为0，则为正半定二次型； 若系数全负为负定二次型； 若系数全为非正，且至少有一为0，则为负半定二次型； 若系数有正、有负，则为不定二次型。 对于不是标准形的二次型，为确定其类型，可通过化成标准形，并依据惯性律而作出判断。 例19 设n a a a ,,,21 是n 个实数，问它们满足什么条件时，二次型 2 12322221121)()()(),,,(x a x x a x x a x x x x q n n n ++++++= 是正定二次型。 解 乍一看，这是n 个带正系数1的平方项之和，应明显是正定的。但与定义一对照，发现这并非是二次型的标准形，每一项都是线性型而非单独变换的平方。 在这样考虑下，可对其作线性变换 n n n x x a y x a x y x a x y +=+= +=1 3 2222 111 而将q 化成标准形，2 2221n y y y q +++= 这样不就可断定q 必是正定二次型了吗？但又发现这样的问题：这个线性变换是否是满秩线性变换呢？若是，则可肯定q 为正定，若否，则还是无法肯定q 为正定二次型。 现从定义出发考察此二次型，显然0),,(1≥n x x q , 只要有字距？ 0021====?=n x x x q ，就能说明q 是正定二次型了。 若q =0, 则必有
正定矩阵的性质及应用
正定矩阵的性质及应用 摘要：正定矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，深入探讨其基本性质对于其他科研领域的研究有着重要的意义。基于此，本文首先对正定矩阵的定义进行了描述，其次研究了正定矩阵的性质与判定方法，最后简单介绍了其具体应用。 关键词：正定矩阵；基本性质；推论；判定；应用 前言：矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的。这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的一种特殊类型，正定矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具。本文就此浅谈一下正定矩阵的各种性质和应用。 1.正定矩阵的基本性质 1.1 正定矩阵的定义 设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x1，……，xn) 都有X′MX＞0，就称M正定(Positive Definite)。正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵，正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵。 1.2 正定矩阵的性质 当矩阵A为正定矩阵的时候，则必有以下几个性质，即： （1）aii＞0，i=1，2，……，n； （2）A的元素的绝对值最大者，必定为主对角元； （3）≤annAn-1 ，其中，An-1是A的n-1阶主子式； （4）≤a11a22……ann，当且仅当A为对角阵的时候成立； 而除了以上这几个性质外，还有若干个推论也是比较重要的，在很多应用中
正定矩阵及其应用
正定矩阵及其应用
本科毕业论文(设计) 正定矩阵及其应用 学生姓名：学号： 专业：指导老师： 答辩时间：装订时间：
A Graduation Thesis (Project) Submitted to School of Science，Hubei University for Nationalities In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree In the Year of 2016 Positive definite matrices and their applications Student Name: Student No.: Specialty:s Supervisor: Date of Thesis Defense: Date of Bookbinding:
摘要 矩阵是高等代数里的一个基本概念，是代数知识的基础，是矩阵代数的一个主要研究对象. 它不仅是数学的一个重要分支，而且已经成为现在科技领域处理有限维空间形式与数量关系的强有力的工具. 而正定矩阵是从矩阵延伸出来的具有特殊性质的矩阵，是研究二次型的基础，在函数、不等式中都有应用，因此正定矩阵的特殊性质和广泛应用得到了许多学者关注，进而对此进行了大量的研究. 本文从矩阵最基本的概念和性质出发，由浅入深，层层递进. 从矩阵的性质出发，给出了正定矩阵定义及其等价定义，归纳整理了正定矩阵的性质及其部分证明，总结了正定矩阵的判定定理，最后研究正定矩阵在理论证明和在函数极值中的应用. 关键词：矩阵正定二次型正定矩阵极值
实正定矩阵的判定及其重要结论
摘要:本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识，给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明，并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论. 关键词:实对称正定矩阵;等价定理;充分条件 Decision of Real Positive Definite Matrix and Its Important Conclusion Abstract:This paper provide a series of matrix theory knowledge of higher algebra ，give some of the equivalence theorem of real symmetric matrix and its proof and obtain some of the important conclusions of real symmetry positive definite matrix . Keywords:real symmetry positive definite matrix, equivalence theorem , sufficient condition
禄 鹏 （天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水，741000） 摘 要: 本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识，给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明，并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论. 关键词: 实对称正定矩阵; 等价定理; 充分条件 1 引言 矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具有使用价值、应用广泛的数学理论[]2,1，现已成为处理有限维空间形式和数量关系的强有力的工具. 正定矩阵作为一类常用矩阵，其在数学学科和其他学科技术领域的应用也非常广泛[]4,3，因此它的判断问题一直倍受关注.虽然个别判定条件已被人们所熟知，但缺少系统的总结，本文将尽可能给出多个实对称正定矩阵的判定定理和重要结论，从而使人们能够更好地使用正定矩阵这个工具. 2 实正定矩阵的等价定理 定义1[]5 实二次型()n x x x f ,,,21 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数 n c c c ,,,21 都有()n c c c f ,,,21 0>. 定义2[]5 实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型AX X T 正定. 引理1[]5 n 元实二次型()n x x x f ,,,21 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于 n . 引理2[]5 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的. 引理3[]6 设A 是n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵T 使得 ()n T diag AT T AT T λλλ,,,211 ==-， ()1 其中n λλλ,,,21 为A 的特征值. 引理4 [] 7 任何可逆实方阵都可以分解为正交矩阵Q 和上三角矩阵R 的乘积,其中R 的 主对角元均为正. 定理1 实对称矩阵n n R A ?∈为正定矩阵的充要条件是对于任意的n 维非零列向量X ,即10?∈≠n R X ，使0>AX X T .
正定矩阵及矩阵数值特征的研究
正定矩阵及矩阵数值特征的研究 摘要：矩阵计算和矩阵分析在计算数学，经济学，控制理论，计算机图形图像处理等领域有着广泛的应用。本文主要研究了矩阵数值特征的估计和正定矩阵的性质及判别法，主要内容如下：（1）基于一些线性代数的基本理论，得到了矩阵最小奇异值的两个估计。（2）基于一些正定矩阵的理论，推广或改进了一些经典的正定矩阵的性质，给出了正定矩阵谱半径，特征值实部，行列式的估计。 关键词：特征值奇异值正定矩阵算法数值特征 1 引言 对于矩阵特征值和最小奇异值的估计，相关的研究开始较早，已经较为成熟。最近，部分学者采用新的思路对矩阵 A 的奇异值也获得了类似的结论。本文将依然对矩阵特征值和最小奇异值的估计作深入的研究，最终获得了矩阵特征值和最小奇异值的几个估计。 另一方面，正定矩阵的研究一直是矩阵分析领域的宠儿。它在实际中有广泛的应用，如在投入产出的经济数学模型以及多种统计线性模型理论中，都得到了很好的应用，正定矩阵的研究起源于对二次型和Hermitian型的研究。本文在所列参考文献的基础之上，对正定矩阵的性质做进一步的研究，得到了正定矩阵对称积，实部的估计，谱半径的估计以及行列式估计的一些新结果。 2 矩阵数值特征 2.1矩阵特征值的估计 众所周知，在稳定性理论中，系数矩阵A的特征值分布对于常系数线性系统和非线性自治系统平稳位置的稳定性起着极重要的作用。若A仅有负实部的特征值，则称A为稳定的，反之，则称A为不稳定的。判断A是否是稳定矩阵的方法有很多，如Routh-Hurwitz，李亚普诺夫等方法。然而对于阶数较大的矩阵，上面的方法是比较复杂的，故寻求A是稳定矩阵的简捷判据是有必要的。在这一节中，我们先给出TD 矩阵的定义，在此基础之上我们得到了TD矩阵特征值的估计。 定理2.1.1设M∈Mn（C），并且M被写成如下形式 M=Ak×kBkx（n-k） C（n-k）×kD（n-k）×（n-k），（1≤k≤n-1） 令H=（M+M·）∈TDn，则我们有 -≤Reλ≤+
矩阵的判定条件汇总
关于矩阵正定的若干判别方法 数学学院数学与应用数学（师范）专业2010级赵明尖 指导教师吴春 摘要:矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,研究矩阵的正定性一直都是矩阵分析领域中非常热门的课题。本文主要讨论了矩阵的定义、性质以及正定性。全文一共分为两章,第一章,主要阐述矩阵的正定性的定义以及性质；第二章,主要讨论了正定性矩阵的定义判别法和定理判别法。 关键词:正定矩阵；定义；性质；判定 Abstract: The positive definiteness of matrix is an important concept in theory of the matrix, Studying positive definiteness of the matrix is always a very popular topic in the area of analysis of the matrix. We mainly discuss the definition, property and positive definiteness of matrix in this paper .The text is divided into two chapters, and the first chapter, we mainly expound the definition and property of the positive definiteness of the matrix; the second chapter, we mainly discuss discriminating method of the definition and the theorem of the positive definiteness of matrix. Key words: positive definiteness of the matrix；definition；property；discrimination 1 引言 代数学是数学中的一个重要分支，矩阵是高等代数中的重要组成部分，而正定矩阵在矩阵论中占有十分重要的地位。而且正定矩阵部分的应用非常广泛，n阶实正定矩阵在正定理论中占有非常重要的地位。正定矩阵在物理学，概率论以及优化控制论中都得到了重要的应用，另外在数值计算科学中也经常用到正定矩阵的知识。比如线性方程组的高斯-塞德尔迭代法就是在方程组的系数是正定矩阵的情况下对任意初始向量是收敛的。但是随着数学本身及应用矩阵的其他学科或领域（数学规划，现代控制等）的发展，普通矩阵越来越不能满足其应用需要，于是正定矩阵引起了国内外学者的广泛关注并做出了许多重要的研究工作，本文在
正定矩阵的性质及应用
正定矩阵的性质及应用 摘要： 正定矩阵是矩阵理论中的一类重要的矩阵，且在多个不同领域内均有重要的作用，本文回顾了正定矩阵的发展史、性质及应用。矩阵理论的应用愈来愈广，它在众多学科和领域中发挥着不可替代的作用，如在数学分析中用黑塞矩阵来判断函数的极值等。把矩阵理论应用到这些数学学科中时，使很多问题变得简单明了. 关键字： 正定矩阵；主子式；顺序主子式；特征值. 研究矩阵的正定性，在数学理论或应用中具有重要意义，是矩阵论中的热门课题之一.正定矩阵具有广泛的应用价值，是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类，其应用引起人们极大的研究兴趣.本文首先给出了正定矩阵的定义，然后研究了正定矩阵的一些等价条件和一些正定矩阵的若干性质，最后简单的列举了一些正定矩阵在数学其它方面的应用． 一、正定矩阵的定义 定义1.设),,,(21n x x x f 是一个实二次型，若对任意的一组不全为零的实数n c c c ,,, 21 都 有0),,,(21>n c c c f ,则称),,,(21n x x x f 是实正定二次型，它所对应的对称矩阵为正定对称矩阵，简称正定矩阵. 定义2.n 阶是对称矩阵A 称为正定矩阵.如果对于任意的n 维实非零列向量) ,,,(21n x x x f X =都有0>' A X X ，正定的是对称矩阵A 简称为正定矩阵. 注：二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定型，不具备有定型的二次型及其矩阵为不定. 二次型的有定型与其矩阵的有定型之间具有——对应关系.因此，二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性的判别. 二．正定矩阵的一些性质 1.正定矩阵的充分必要条 （1）n 元实二次型),,,(21n x x x f 正定?它的惯性指数为n .
正定矩阵及其应用
本科毕业论文(设计) 正定矩阵及其应用 学生：学号： 专业：指导老师： 答辩时间：装订时间：
A Graduation Thesis (Project) Submitted to School of Science，Hubei University for Nationalities In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree In the Year of 2016 Positive definite matrices and their applications Student Name: Student No.: Specialty:s Supervisor: Date of Thesis Defense:Date of Bookbinding:
摘要 矩阵是高等代数里的一个基本概念，是代数知识的基础，是矩阵代数的一个主要研究对象. 它不仅是数学的一个重要分支，而且已经成为现在科技领域处理有限维空间形式与数量关系的强有力的工具. 而正定矩阵是从矩阵延伸出来的具有特殊性质的矩阵，是研究二次型的基础，在函数、不等式中都有应用，因此正定矩阵的特殊性质和广泛应用得到了许多学者关注，进而对此进行了大量的研究. 本文从矩阵最基本的概念和性质出发，由浅入深，层层递进. 从矩阵的性质出发，给出了正定矩阵定义及其等价定义，归纳整理了正定矩阵的性质及其部分证明，总结了正定矩阵的判定定理，最后研究正定矩阵在理论证明和在函数极值中的应用. 关键词：矩阵正定二次型正定矩阵极值
Abstract The matrix is very important in advanced algebra. It is not only an important branch, but also have become a powerful tool for studying finite dimensional space and quantity r- elationship in the real of modern science and technology. However , extending from the m- atrices, the positive definite matrix is a special matrix, which is a foundation for studying quadratic form and apply properly to both functions and inequality. Thus, its special prop- erty and wide applications have drawn scholars' attention, and a lot of research have been done. This paper begins with the matrix' primary concept and properties, going from the e- asy to the difficult. We define the positive definite matrix and its equivalent one, the sum up its properties and partial evidence, and summarize the determined theorems. At last, we study its application in theory and the solution of the function extremum. Keywords: matrix，positive definite quadratic，positive definite matrix，extremum
正定矩阵的性质与应用
本科生学年论文（设计） 论文（设计）题目正定矩阵的性质及应用 作者 分院、专业理学分院数学与应用数学专业 班级 指导教师（职称） 字数 5488 成果完成时间
正定矩阵的性质及应用 摘要：我们在化二次型为标准型的过程中，得到了正定矩阵的定义，而关于正定矩阵的等价定理及其性质我们在本文中进行了详细的举例及证明．同时，本文也就正定矩阵的性质在矩阵、不等式和极值问题的应用进行了深刻的探讨． 关键词：正定矩阵；等价定理；性质；应用 The nature and application of positive definite matrices Abstract：We are of the two type is a standard process, obtained the positive definite matrix is defined, and on the positive definite matrix equivalence theorem and its properties in this paper we carried out a detailed examples and proved. At the same time, this paper also has the properties of positive definite matrix in matrix, inequalities and extremum problems for application of the profound discussion. Key words：Positive definite matrix; equivalence theorem; properties; application
对称正定矩阵与反对称矩阵性质
Science Bird改组为:
08中科大高代 232 3 23567A(4{111}A(008A(λλλλλλλλλλλ??+n -1一、填空 1、已知方阵A,求A 、已知方阵A,求A 、线性方程组 4、求以A(1,-2,1),B(2,3,0),C(0,-1,4),D(1,3,-1)为四顶点的四面体 的体积。、向量组线性相关 、求线性变换在某基下的矩阵 、已知四阶方阵)的秩为，初等因子组为，，，（）（），，则)的不变因子是____，行列式因子是___ 、)=220 0Smith ___0010100010109A=Jordon ______ 00101000100000110λλλλ?? +?? ????????????? ?????????? ，求它的标准形、的标准形是、求实正交阵的正交相似标准形。 n n 1212F P FA=AF A 12 :112x-y+z=0 2 (1)l l 2l l y x z ππ×∈+?= =???1二、若对任意可逆，，则为数量矩阵。三、证明：酉矩阵的特征值的模长是。四、已知直线l 和平面：、求在上的投影直线的方程 ()、求绕旋转所得的旋转曲面的方程 222123123122331123123A B A+B A B A+B Q(x ,x ,x )x x x 4x x 4x x 4x x 1Q(x ,x ,x )2Q(x ,x ,x )1n A B A+B P P P P P P =++?+?=≥五、已知二次型（ ）用正交变换将化为标准形（）判断曲面的类型 六、阶实对称方阵，，的正惯性指数分别是，，证明：+
1s 1s 2s 1n 2s 1n n A B *****0****00B ***B=,B B ,,000***000000000λλλλ???????????????????? %""%++七、证明：阶实方阵正交相似于一个准上三角阵 其中，，为二阶实方阵;为实数。 A B A B 八、设实方阵，相似且相合，问，是否正交相似，试证之。
正定矩阵的应用
关于正定矩阵应用的综述 数学与应用数学专业 数学1201班 XXX 指导老师 XXX 摘 要：对正定矩阵的一些性质，给出了正定矩阵的几个应用，并对这些应用中结论的证明作了进一步的补充. 关键词：正定矩阵；可逆矩阵；正交矩阵； 1. 引言 矩阵的思想很早就已经有了，至少可以追溯到汉代中国学者在解线性方程组时的应用上.而经过近几年的发展，矩阵论已经是代数学中的一个重要分支了，而正定矩阵因其特有的性质及应用也受到了人们的广泛关注. 正定矩阵是一类重要的矩阵，在二次型和欧式空间等方面有着较为广泛的应用，研究它的性质对拓展欧式空间有着极其重要的意义. 由正定矩阵的一些基本性质 , 并且运用这些性质从而得出正定矩阵的新性质. 二次齐次多项式是一类重要的多项式，在实际工作和理论研究中占据重要地位.它在数学的许多分支以及物理学中会经常用到，尤其是对于实二次型中的正定二次型，更占有特殊的地位.我们把正定二次型的系数矩阵叫做正定矩阵.因此，对于正定矩阵的讨论在矩阵理论方面或实际应用方面都有着极其重要的意义.本文主要是从正定矩阵的一些性质出发，并结合已有的知识将正定阵的性质作了进一步扩充及应用. 2. 正定矩阵的应用 2.1. 矩阵正定在运算中的性质应用 定理1:若A 与B 都 是同阶正定矩阵,则矩阵AB 的特征根都大于零. 证明：AB 都是正定矩阵,故有非奇异矩阵P Q 、,使,T T A P P B Q Q ==,于 是,()()1T T T T T T T T A B P PQ Q Q QP PQ Q Q PQ PQ Q -?===因为T PQ 非奇异,故 () ()T T PQ PQ 是正定阵,从而与它相似的矩阵AB 的特征值都是正数. 应注意的是,定理1中仅指A B ?的特征值是大于零的,而由于AB 不一定是对称阵,所
正定矩阵的判定
泰山学院 毕业论文材料汇编 正定矩阵的判定 所在学院 专业名称 申请学士学位所属学科 年级 学生姓名、学号 指导教师姓名、职称 装订日期 2015 年 6 月 30 日.
材料汇编目录 一、开题报告 二、任务书 三、论文 1. 封面 2. 中文摘要 3. 英文摘要 4. 目录 5. 正文 6. 参考文献 7. 致谢 四、成绩评定书 泰山学院 毕业论文开题报告.
题目正定矩阵的判定 学院 年级 专业 姓名 学号 指导教师签字 学生签字 2014 年 12 月 15 日 .
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. 方法二（标准形法）实对称矩阵A 正定的充要条件是A 与单位矩阵E 合同。 方法三（顺序主子式法）对称矩阵A 正定的充要条件是A 的所有顺序主子式全大于零。 方法四（特征值法）对称矩阵A 正定的充要条件是A 的特征值全大于0。 方法五（矩阵分解法）如果矩阵A 有分解式：C C '=A ,则C 列满秩时， A 正定。 （二）研究方法 主要运用理论知识与举例相结合的方法、经验总结法来研究求一元函数极限的方法。 三、进度安排 1. 调研、收集资料务必于2014年12月10日前完成。 2. 写作初稿务必于2015年4月10日前完成。 3. 修改、定稿、打印务必于2015年5月30日前完成。 四、主要参考文献 [1] 王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1996. [2] 王品超.高等代数新方法[M].济南：山东教育出版社，1989. [3] 毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳[M].武汉：华中理工大学出版社，1993. [4] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002. [5] 北京大学数学系几何与代数教研室. 高等代数( 第三版)[M].北京：高等教育出版 社，2003. [6] 于增海.高等代数考研选讲[M].北京：国防工业出版社，2012. [7] 杨子胥.高等代数习题集[M].济南：山东科技出版社，2003.
正定矩阵的判别及其应用
毕业论文 题目正定矩阵的判别方法及其应用学院数学与统计学院 专业数学与应用数学 姓名周永辉 班级11级数应1班 学号20111010148 指导教师董芳芳讲师 提交日期2015/5/12
原创性声明 本人郑重声明:本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名: 年月日论文指导教师签名:
正定矩阵的判别及其应用 摘要本文从正定矩阵的定义出发，给出了矩阵正定性的一些判别方法，并得到了正定矩阵的一些应用. 关键词矩阵；正定性；判别；应用 Methods and the applications of the judgment of positive definite matrix Yonghui zhou (School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741000,China) Abstract In this paper, Some Methods of judgement matrix are given by the definite and some application are obtained. Key Words matrix；positive definiteness；method；application 目录