专题3.3 数列与函数、不等式相结合问题(解析版)

一．方法综述

数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题，难度较大，求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.

二．解题策略

类型一数列中的恒成立问题

【例1】【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】

由题意得，则，等差数列的公差，

.

由，

得，

则不等式恒成立等价于恒成立，

而，

问题等价于对任意的，恒成立.

设，，

则，即，

解得或.

故选:A.

【指点迷津】对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解，解答本题的关键是由等差数列通项公式可得，进而由递推关系可得

，借助裂项相消法得到，又

，问题等价于对任意

的

，

恒成立.

【举一反三】已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2

142,n n S S n n n N -++=≥∈，若

对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．()3,5 B ．()4,6 C ．[)3,5 D ．[)4,6 【答案】A

类型二 数列中的最值问题

【例2】【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知数列满足

，

，则使

的正整数的最小值是（ ） A ．2018

B ．2019

C ．2020

D ．2021

【答案】C

【解析】

令,则,所以，从而，

因为,所以数列单调递增，

设当时, 当时,

所以当时，，，

从而,

因此,

选C.

【指点迷津】本题利用数列的递推公式,确定数列的单调性，令,利用裂项相消法得，再根据范围求正整数的最小值.在解题时需要一定的逻辑运算与推理的能力，其中确定数列单调性是解题的关键【举一反三】【河南省许昌市、洛阳市2019届高三三模】已知数列，的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值为（）

A．B．C．49 D．

【答案】B

【解析】

当时，，解得.当时，由，得，两式

相减并化简得，由于，所以，故是首项为，公差为的等差数列，所以.则，故

，

由于是单调递增数列，，.

故的最小值为，故选B.

类型三 数列性质的综合问题

【例3】【江苏省扬州中学2019届高三下学期3月月考】已知等差数列的前n 项和为，若1≤≤3，

3≤≤6，则的取值范围是_______． 【答案】

【解析】 在等差数列中，

，

∴，

又，

∴．

由得

．

∴，即，

∴

．

即的取值范围是．

故答案为：．

【指点迷津】1.本题先根据

求出的取值范围，然后根据不等式的性质可得所求结果.

2.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）累加法（相邻两项的差成等差、等比数列）；累乘法（相邻两项的积为特殊数列）；（3）构造法，形如()10,1n n a qa p p q -=+≠≠的递推数列求通项往往用构造法，即将()10,1n n a qa p p q -=+≠≠利用待定系数法构造成()1n n a m q a m -+=+的形式，再根据等比数例求出{}n a m +的通项，进而得出{}n a 的通项公式. 【举一反三】【广东省汕尾市2019年3月高三检测】已知数列的首项

为数列的前项和若

恒成立，则的最小值为______．

【答案】 【解析】 数列

的首项

，

则：常数

故数列是以为首项，3为公差的等差数列．

则：首项符合通项．

故：，

，

，

由于数列的前n项和恒成立，

故：，

则：t的最小值为，

故答案为：．

类型四数列与函数的综合问题

【例4】已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，，

恒成立，若数列满足（）且，则下列结论成立的是（）A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】

对任意的实数x，y∈R，f（x）f（y）＝f（x+y）恒成立，

取x＝y＝0，则f（0）f（0）＝f（0），解得f（0）＝0或f（0）＝1．

当f（0）＝0时，，得余题意不符，故舍去.

所以f（0）＝1．

取y＝﹣x＜0，则f（x）f（﹣x）＝1，∴f（x），

设x1＜x2，则f（x1﹣x2）＝f（x1）?f（﹣x2）1，∴f（x1）＞f（x2）．

∴函数f（x）在R上单调递减．

∵数列{}满足f（a n+1）f（）＝1＝f（0）．

∴0，∵a1＝f（0）＝1，

∴，＝﹣2，＝1，，……．

∴＝．

∴＝，＝＝1．＝，＝＝﹣2．

∴f（）1，f（）＝f（1）＜1．

∴f（）＞f（）．

而f（）＝f（），f（）＜1＜f（），

f（）＝f（）＜f（）＝f（﹣2），

因此只有：C正确．

故选：C．

【指点迷津】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.

(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去“f”，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系. 【举一反三】【浙江省杭州第十四中学2019届高三9月月考】已知数列中，

，若对于任意的，不等式恒

成立，则实数的取值范围为（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】

由题，

即

由累加法可得：

即

对于任意的，不等式

恒成立

即

令

可得

且

即

可得或

故选B

类型五 数列与其他知识综合问题 【例5】将向量12,,

,n a a a 组成的系列称为向量列{}n a ，并定义向量列{}

n a 的前n 项和

12n n S a a a =++

+．若()*1,n n a a R n N λλ+=∈∈，则下列说法中一定正确的是（ ）

A. (

)111n

n a S λλ

-=

- B. 不存在*

n N

∈，使得0n S =

C. 对*m n N ?∈、，且m n ≠，都有m n S S

D. 以上说法都不对

【答案】C

【解析】 由()

*1,n n a a R n N λλ+=∈∈，则

1

n n

a a λ+=，所以数列{}

n a 构成首项为1a ，公比为λ的等比数列，所以(

)11

,1

{ 1,11n

n na S a λλλλ

==-≠-，又当1λ=-时，

20n S =，

所以当*m n N ?∈、，且m n ≠时， m n S S 是成立的，故选C.

【例6】斐波那契数列{}n a 满足： ()

*12121,1,3,n n n a a a a a n n N --===+≥∈.若将数列的每一项按照下

图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则下列结论错误的是（ ）

A. 2

111·

n n n n S a a a +++=+ B. 12321n n a a a a a +++++=-

C. 1352121n n a a a a a -++++=-

D. ()1214?n n n n c c a a π--+-=

【答案】C

12331131...1121n n a a a a a a a --?++++=-??=-?=- ,所以B 正确；对于C, 1n = 时，

121a a ≠- ；C 错误；对于D, ()()()22211112144?

4

4n n n n n n n n n n a a c c a a a a a a ππππ-----+??

-=-=+-= ???,D 正确.故选C.

【指点迷津】这类题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.

【举一反三】1.如图所示，矩形n n n n A B C D 的一边n n A B 在x 轴上，另外两个顶点,n n C D 在函数

()1

(0)f x x x x =+>的图象上.若点n B 的坐标为()(),02,n n n N +≥∈，

记矩形n n n n A B C D 的周长为n a ，则2310a a a +++=（ ）

A. 220

B. 216

C. 212

D. 208 【答案】B

2.将正整数12分解成两个正整数的乘积有112?， 26?， 34?三种，其中34?是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34?为12的最佳分解.当p q ?（p q ≤且*

,N p q ∈）是正整数n 的最佳分解时，

我们定义函数()f n q p =-，例如()12431f =-=.数列(){}3n

f 的前100项和为__________．

【答案】5031-

【解析】当n 为偶数时， ()3

0n

f =；当n 为奇数时， ()111

2

2

233

3

23

n n n n

f +--=-=?，

(

)

500149

50

10031233 (3)

23131

S -∴=+++=?=--，故答案为5031-.

类型六 数列与基本不等式结合的问题

【例7】【山东省济宁市2019届高三一模】已知正项等比数列满足：

，若存

在两项使得

，则

的最小值为

A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】A 【解析】 因为数列是正项等比数列，

，，

所以，，， 所以，

，，

，

， 因为

，所以

，

，

，当且仅当时“=”成立，

所以的最小值为，故选A.

【指点迷津】本题考查了等比数列的相关性质以及基本不等式的相关性质，等比数列的通项公式是，等比中项，基本不等式有，考查公式的使用，考

查化归与转化思想.

【举一反三】【甘肃省白银市靖远县2019届高三第四次联考】已知函数，若

，则的最小值为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

由题可知：

令

又

于是有

因此

所以

当且仅当时取等号

本题正确选项：

三．强化训练

一、选择题

1．【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（）

A．B．C．3 D．

【答案】C

【解析】

解：设等比数列的公比为q（q＞0），

∵a9＝a8+2a7，

∴a7q2＝a7q+2a7，

∴q2﹣q﹣2＝0，

∴q＝2或q=-1（舍），

∵存在两项a m，a n使得，

∴，

∴

故选C.

2.【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】已知数列的前项和为，，且满足

，若，，则的最小值为（）

A．B．C．D．0

【答案】B

【解析】

由，得，且，

所以数列是以为首项、2为公差的等差数列，

则，

即，

令，得，又，，由，

则的最小值为.

故选：B．

3.【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】在正项等比数列中，，．则满足

的最大正整数的值为（）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】C

【解析】

解：∵正项等比数列中，，，

∴.

∵，

解可得，或（舍），

∴，

∵，

∴.

整理可得，，

∴，

经检验满足题意，

故选：C．

4.若数列的通项公式分别为，且，对任意恒成立，则实数的取值范围是( )

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

，故

当n为奇数，-a<2+,又2+单调递减，故2+，故- a2，解a

当n为偶数，又2-单调递增，故2-，故，综上a

故选：D

5．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

，

时，，

化为：，．

，即，

时，，解得．

数列为等差数列，首项为1，公差为1．

．

.

记，.

.

所以为增数列，,即.

对任意的，恒成立，

，解得

实数的取值范围为．

故选：C．

6．【吉林省吉林市实验中学2019届高三下学期第八次月考】已知等比数列的公比，其前n项的

和为，则与的大小关系是

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

根据等比数列的前n项和公式和数列的通项公式得到：两式作差

故选：A．

7．已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为

A．16 B．9 C．5 D．4

【答案】A

【解析】

解：根据题意，a＞0，b＞0，且，，成等差数列，

则21；

则a+9b＝（a+9b）（）＝1010+216；

当且仅当，即=时取到等号，

∴a+9b的最小值为16；

故选：A．

8．【贵州省2019年普通高等学校招生适应性】设，点，，，，设对一切都有不等式成立，则正整数

的最小值为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

由题意知sin，∴，

∴，随n的增大而增大，

∴,

∴，即，又f(t)=在t上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0，

∴正整数的最小值为3.

二、填空题

9.【河北省衡水中学2019届高三下学期一调】20．已知数列的前项和.若是中的最大值，则实数的取值范围是_____．

【答案】

【解析】

因为，

所以当时，；

当时，也满足上式；

当时，，

当时，，

综上，；

因为是中的最大值，

所以有且，解得.

故答案为

10．【2019届高三第二次全国大联考】已知数列的前项和为，，当时，，

若恒成立，则正数的取值范围为____________．

【答案】

【解析】

由可知，数列是一个公差的等差数列，首项为，所以，

所以．故当时，

．显然当时，也满足上式．所以．所以

，所以

，由题意

恒成立，所以，解得．又，所以的取值范围为．

11．【云南省2019年高三第二次检测】已知数列的前项和为，若，则使成立的的最大值是_____．

【答案】5

【解析】

因为可得：

两式相减可得：化简可得：

即

所以数列是以为首项，公比为2的等比数列

当n=1时，求得

所以即

所以即解得

所以成立的的最大值是5

故答案为5

12．【重庆市南开中学2019届高三第三次检测】在正项递增等比数列中，，记

，，则使得成立的最大正整数为__________．

【答案】9

【解析】

由题得，

因为数列是正项递增等比数,所以，

所以. 因为，所以

，

所以.

所以使得成立的最大正整数为9.

故答案为：9

13.已知数列{}n a 中， 12a =，点列()1,2,n P n =?在ABC ?内部，且n P AB ?与n P AC ?的面积比为2:1，若对*N n ∈都存在数列{}n b 满足()11

3202

n n n n n n b P A a P B a P C ++++=，则4a 的值为______. 【答案】80

【解析】在BC 上取点D ，使得2BD CD =，则n P 在线段AD 上．

()11

3202n n n n n n b P A a P B a P C ++++

=

11

32322

n n n n n n n n n n n a BP b AP a CP b BP BA

a BP BC +∴-=++=-++-（）（）（）（） ， 1133232)22n n n n n n a

b a BP b BA a BD +??

∴-

---=--+ ???

（

n A P D ，， 三点共线，

113

3232)22n n n n n a b a b a +∴----=--+（，即132n n a a +=+．

21324332832263280a a a a a a ∴=+==+==+=，，．

故答案为：80．

14.已知函数()1

2

f x x =+，点O 为坐标原点，点()()()

*,n A n f n n N ∈，向量()0,1i =，θn 是向量OAn 与i 的夹角，则使得

12

12

cos cos cos sin sin sin n

n

t θθθθθθ++< 恒成立的实数t 的取值范围为 ___________．

【答案】3,4??+∞????

【解析】根据题意得,

2

n π

θ- 是直线OA n 的倾斜角，则：

()()sin cos 11112tan sin 2222cos 2n n n n n f n n n n n n πθθπθπθθ??- ?

??????==-===- ? ?++??????- ?

??

，据此可得：

结合恒成立的结论可得实数t 的取值范围为3

,4??+∞????

.

15.【新疆2019届高三一模】已知数列为等差数列，，，数列的前n 项

和为，若对一切，恒有

，则m 能取到的最大正整数是______．

【答案】7 【解析】 解：设数列

的公差为，由题意得，

，解得

，

，且，

，

令，

则，

即

，

则随着的增大而增大，即在

处取最小值，

，

对一切，恒有成立，

即可，解得，

故能取到的最大正整数是7．

16. 【北京师大附中2019届高三4月模拟】设数列的前n项和为，，且，若，则n的最大值为______．

【答案】63

【解析】

由数列的前n项和为，，又，

故，则的偶数项成等差数列，

则,（n为偶数）

又，，

为等差数列，首项为3，公差为4，

当n为偶数时，设数列的前n项和为，

可得，，

则+若，无解舍去

当n为奇数时，-(=,又所以

解

则n的最大值为63，

故答案为：63．