专题3.8 函数、方程与不等式的关系(专题训练卷)(解析版)

专题3.8函数、方程与不等式的关系（专题训练卷）

一、 单选题

1．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若方程2(1)230k x x --+=有两个不相等的实数根，则实数k 的取

值范围是（ ） A ．4

3

k <

B ．43

k >

C ．4

3k <

，且1k ≠ D ．43

k >，且1k ≠ 【答案】C 【解析】

由方程有两个不相等的实数根可知，此方程为一元二次方程且判别式大于零，即可得

()1041210

k k -≠??

?=-->? ，解得4

3k <，且1k ≠. 故选:C.

2．（2019·江门市第二中学高一月考）若12x x ，是方程2560x x -+=的两个根，则

12

11

+x x 的值为（ ） A ．1

-2

B ．13

-

C ．16

-

D ．

56

【答案】D 【解析】

解方程2560x x -+=，即可求得12==3x x ，2，

代入可得：1211115=+=236

x x +， 故选：D.

3．（2020·河北省鹿泉区第一中学高二月考）已知函数()2

1f x x x =+-，则函数()y f x =的零点的个数

是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

【答案】B 【解析】

函数()2

1f x x x =+-的零点个数即为y x =与2

1y x =-的交点个数

在同一坐标系内作出两函数图象如图所示：

由图象可知y x =与2

1y x =-有2个交点，

即函数()2

1f x x x =+-的零点有两个．

故选：B

4．（2020·浙江省台州一中高三开学考试）若函数2()|2|f x x x a =--有三个零点，则实数a 的值的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

【答案】C 【解析】

函数2()|2|f x x x a =--有三个零点?方程2

|2|x x a =-的有三个根?函数2y

x 与函数|2|

y x a =-有三个不同的交点， 作出函数2y

x 与|2|y x a =-的图象，如图所示，

（1）当0a =时，显然有三个交点，∴0a =成立，

（2）当2

a

x ≥

时，2y x a =-与2y x 相切时，则220x x a -+=，此时

4401a a ?=-=?=，如图所示

（3）当2

a

x <

时，2y x a =-+与2y x 相切时，则220x x a +-=，此时

4401a a ?=+=?=-，如图所示，

∴a 的值有3个，

故选：C.

5．（2020·浙江省高三其他）已知关于x 的方程2

0(,)x ax b a b R ++=∈在[0,1]上有实数根，且

322a b -≤+≤-，则2+a b 的最大值为（ ）

A ．1-

B ．0

C ．

1

2

D ．1

【答案】B 【解析】

由题意，关于x 的方程20x ax b ++=(),a b ∈R 在[0,1]上有实数根，即函数2()f x x =-与()g x ax b =+在

[0,1]x ∈上的图象有交点，作出函数()f x ，()g x 的大致图象如图所示.

因为322a b -≤+≤-，所以3(2)2g -≤≤-.又1122222a b a b g ????+=+=

? ?????

， 所以求2+a b 的最大值可以转化为求12g ??

???

的最大值. 数形结合可知，当()y g x =的图象经过点(2,3)B -且和()y f x =的图象在[0,1]x ∈上相切时，12g ??

???

大.易求得切点为(1,1)-，且()21g x x =-+，此时102g ??

= ???

， 所以2+a b 的最大值为0. 故选：B.

6．（2020·浙江省高三其他）已知函数()2

1f x ax bx =++有两个零点1x ，2x ，则“1a ≥”是“122x x +≤”

的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】

由题意得0a ≠，且1x ，2x 是方程()0f x =的两个根，故121

x x a

=

，所以2

1212121

2x x x x x x a ?+?==?≤ ???

，当且仅当12x x =时等号成立.若122x x +≤，则1a ≥，反之，若1a ≥，则121x x ?≤，当12x =，213

x =时，12213x x ?=<，但127

23x x +=>故“1a ≥”是

“122x x +≤”的必要不充分条件， 故选：B .

7．（2020·全国高三月考（文））已知函数()f x ，()g x 的定义域为R ，(1)f x +是奇函数，(1)g x +是偶函数，若()()y f x g x =?的图象与x 轴有5个交点，则()()y f x g x =?的零点之和为（ ）． A ．5- B ．5 C ．10- D ．10

【答案】B 【解析】

由题意，(1)(1)f x f x -+=-+?(2)()f x f x -=-，又(2)()g x g x -=，

所以(2)(2)()()f x g x f x g x -?-=-，所以函数()()y f x g x =?的图象关于点(1,0)对称. 设()()y f x g x =?的零点为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，易知31x =，设12451x x x x <<<<，则

15242x x x x +=+=，所以123455x x x x x ++++=.

故选：B .

8．（2019·涡阳县萃文中学高一月考）函数y =|x 2-1|与y =a 的图象有4个交点，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(0，+∞ ) B ．(-1，1) C ．(0，1) D ．(1，+∞)

【答案】C 【解析】

作函数2

1y x =-图象，根据函数图像得实数a 的取值范围为（0，1），选C.

9．（2018·浙江省杭州四中高三月考）已知函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R 在（0，1）内有两个零点，则3a b +的取值范围是（ ） A ．(4,0)- B ．(5,0)-

C ．（0，4）

D ．（0，5）

【答案】B 【解析】

由函数2

()f x x ax b =++在（0，1）内有两个零点得2(0)0,

(1)10,40,

01,2f b f a b a b a =>??=++>???->?

?<-

即20,

10,40,20,

b a b a b a >??++>??->??-<

界），

由图易得目标函数3z a b =+在点（0，0）处取得最大值max 3000z =?+=，在点(2,1)-处取得最小值

min 3(2)15z =?-+=-，

所以3z a b =+的取值范围为(5,0)-， 故选：

B.

10．（2020·贵州省高三其他（文））已知函数2

2,0,

(),0,

x a x f x x ax x +

C ．10

D ．12

【答案】A 【解析】

易知，当0a ≤时，方程()0f x =只有1个实根， 从而()(())g x f f x =不可能有8个零点， 则0,a >()0f x =的实根为2,a -0,a . 令()f x t =，则(())()0f f x f t ==， 则2,0,t a a =-数形结合可知，

直线y a =与()f x 的图象有2个交点， 直线0y =与()f x 的图象有3个交点，

所以由题意可得直线2y a =-与()f x 的图象有3个交点，

则必有2

24

a a ->-，又0a >，

所以8a >. 故选：A 二、多选题

11．（2019·山东省高一期中）狄利克雷函数()f x 满足：当x 取有理数时，()1f x =；当x 取无理数时，()0f x =.则下列选项成立的是（ ） A ．()0f x ≥

B ．()1f x ≤

C ．3()0-=f x x 有1个实数根

D ．3()0-=f x x 有2个实数根

【答案】ABC 【解析】

因为()f x 的值域为{}0,1，故AB 成立

3()0-=f x x 只有一个根1，故C 成立

故选：ABC

12．（2020·化州市第一中学高二月考）（多选）已知函数()22

11x f x x

-=+，则下列对于()f x 的性质表述正确的是（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()1f f x x ??

=-

???

C ．()f x 在[]2,3上的最大值为

3

5

D ．()()g x f x x =+在区间()1,0-上至少有一个零点 【答案】ABCD 【解析】

因为()2

2

11x f x x -=+，所以其的定义域为R ，

A 选项，()22

22

1()1()1()1----===+-+x x f x f x x x

，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确； B 选项，2

22

21111()111??- ?

-????===- ?+????

+ ???

x x f f x x x x ，故B 正确； C 选项，因为()22212111-==-+++x f x x x

，当[]2,3x ∈，2

1y x =+单调递增，所以()2211=-++f x x 单调递减，因此()()max 23

21145

==-+

=-+f x f ，故C 正确； D 选项，因为()()g x f x x =+，所以()()1111-=--=-g f ，()()0001=+=g f ，

即()1(0)0-?

g ，由零点存在性定理可得：()()g x f x x =+在区间()1,0-上存在零点，故D 正确；

故选ABCD

13．（2019·辽宁省高一月考）（多选题）已知函数()f x ，()g x 的图象分别如图1，2所示，方程(())1f g x =，

(())1g f x =-，1

(())2

g g x =-的实根个数分别为a ，b ，c ，则（ ）

A ．a b c +=

B ．b c a +=

C ．b a c =

D ．2b c a +=

【答案】AD 【解析】

由图，方程(())1f g x =，1()0g x -<<，此时对应4个解，故4a =； 方程(())1g f x =-，得()1f x =-或者()1f x =，此时有2个解，故2b =； 方程1

(())2

g g x =-

，()g x 取到4个值，如图所示：

即2()1g x -<<-或1()0g x -<<或0()1g x <<或1()2g x <<，则对应的x 的解，有6个，故6c =. 根据选项，可得A ，D 成立. 故选：AD ．

14．（2020·枣庄市第三中学高二月考）已知函数()22

21,0

21,0

x x x f x x x x ?++≥=?-++

B ．对任意1x ,2x R ∈,则有()()()12120x x f x f x --≤????

C ．对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=

D ．若函数()y f x mx =-有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞

【答案】CD 【解析】

对于A 选项，当0x >时，0x -<，则 (

)

2

2

()()2()2() 11 f x x x x x f x -=--+-+-≠-+=- 所以函数()f x 不是奇函数，故A 错误； 对于B 选项，221y x x =++的对称轴为1x =-，221y x x =-++的对称轴为1x =

所以函数221y x x =

++在区间[0,)+∞上单调递增，函数221y x x =-++在区间(,0)-∞上单调递增，并

且2202010201+?+=-+?+ 所以()f x 在R 上单调递增

即对任意()1122,,x x x x R <∈，都有()()12f x f x <

则()()()()()121212120,00x x f x f x x x f x f x -<-时，0x -<，则 2

2

()()2(2 )11f x x x x x -=--+--+=-+ 则2

2

()()21212f x f x x x x x +-=++--+= 当0x =时，(0)(0)1f f -==，则(0)(0)2f f -+=

当0x <时，0x ->，则2

2

()()2()121f x x x x x -=-+-+=-+ 则2

2

()()21212f x f x x x x x +-=-+++-+= 即对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=，故C 正确；

对于D 选项，当0x =时，()010y f ==≠，则0x =不是该函数的零点

当0x ≠时，()()0f x f x x

m x m -=?

=

令函数()()g x f x x

=

，函数y m =

由题意可知函数y m =与函数()()g x f x x

=

的图象有两个不同的交点

因为()0f x ≥时，)12,x ?∈-+∞?，()0f x

<时，()

,12x ∈-∞-

所以12,012,122)01

,12(x x x x x x x x x g x ?

++>??

?

-++-≤

=?

当0x >时，设1

201x x ，()()()()121212121212

111x x x x g x g x x x x x x x ---=+

--= 因为12120,10x x x x -<-<，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x > 设121x x <<，()()

()()12121212

10

x x x x g x g x x x ---=<，即()()12g x g x <

所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增

同理可证，函数()g x 在区间)12,0?-?上单调递减，在区间()

,12-∞-上单调递增

1

1241)1

(g ++==

函数()g x 图象如下图所示

由图可知，要使得函数y m =与函数()()g x f x x

=的图象有两个不同的交点

则实数m 的取值范围是()

()–,04,∞+∞，故D 正确；

故选：CD 三、填空题

15．（2019·合肥一六八中学高三其他（理））方程220ax bx ++=的一根在区间()0,1上，另一根在区间()1,2上，则2a b -

的取值范围是 ． 【答案】()5,+∞

【解析】由题意得，方程220ax bx ++=的一根在区间()0,1上，另一根在区间()1,2上，

令()2

2f x ax bx =++，则()()10

{20 0f f a <>>，即20{210 0

a b a b a ++<++>>，画出不等式组表示的平面区域，如图所示，

设2z a b =-，当2z a b =-经过点()1,3A -点时，目标函数由最小值，此时最小值为()min 2135z =?--=，所以2a b -的取值范围是()5,+∞．

16．（2020·北京大峪中学高二期中）设函数()2,0

2,0

x bx c x f x x ?++≤=?>?，若()()40f f -=，()21f -=-，

则方程()f x x =的解的个数是______． 【答案】1 【解析】

()2,02,0x bx c x f x x ?++≤=?>?，由()()()4021f f f ?-=??-=-??

，即164421b c c b c -+=??-+=-?，解得43b c =??=?， ()243,0

2,0

x x x f x x ?++≤∴=?>?.

当0x ≤时，由()f x x =，可得2330x x ++=，

30?=-<，此时方程()f x x =无解；

当0x >时，由()f x x =，可得2x =，合乎题意. 综上所述，()f x x =的解的个数是1. 故答案为：1.

17．（2020·天津大钟庄高中高二月考）已知函数2

,0

(){21,0

x x f x x x x >=--+≤若函数()()2g x f x m =+有三

个零点，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】1

(1,]2

-- 【解析】

画出函数f(x)图像如上图所示，而函数()()2g x f x m =+有三个零点，即()20f x m +=有三个根，所以

()2f x m =-有三个根，也就是说函数()y f x =与函数2y m =-的图像有三个交点，利用数形结合的方法

可知：122m ≤-<，解得112

m ≤-<-

.

四、双空题

18．（2019·浙江省嘉兴一中高三期中）我国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺.绳长，井深各几何？”其大意为：“用绳子测量井的深度，若将绳三等分，则绳比井的深度长四尺：若将绳四等分，则绳比井的深度长一尺.”则绳长________尺，井深________尺. 【答案】36 8 【解析】

设绳长为x 尺，井深为h 尺，依题意有：

3(4)4(1)x h x h =+??=+?，解得36

8

x h =??

=?， 所以绳长为36尺，井深为8尺. 故答案为：36；8.

19．（2019·浙江省高二月考）已知函数()2

1,2

2,2x x f x x x +≤?=?->?

，则()=f f ________，()2

y f x =-的零点有________．

【答案】1+ 1个 【解析】

由函数()21,2

2,2x x f x x x +≤?=?->?

，得1f

=

，

所以，()))

2

1121f

f f ==

-=+

当2x ≤时，由()2120y f x x =-=+-=，解得1x =； 当2x >时，由()2

2220y f x x =-=--=，解得2x =±（舍）. 所以，()2y f x =-的零点有1个.

故答案为：1+1个.

20．（2020·安达市第七中学高一月考）已知函数2

()(2)f x x x =+，则函数()f x 的零点是_______；不等式

()0f x ≤的解集为_______.

【答案】2-,0 (]

{}--20∞?，

【解析】

解：令2

(2)0x x +=，即0x =或20x +=，即0x =或2x =-， 即函数()f x 的零点是-2,0，

解不等式()0f x ≤，即2

(2)0x x +≤，即0x =或20x +≤，即0x =或2x -≤，

即不等式()0f x ≤的解集为(]

{}--20∞?，， 故答案为(1).2-，0 (2).(]

{}--20∞?，

.

21．（2018·浙江省高考真题）已知λ∈R ，函数f (x )=2

4,43,x x x x x λ

λ

-≥??

-+

【解析】 由题意得240x x ≥??

-

?-+

，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，不等式f (x )<0的解集是

(1,4),

当4λ>时，()40f x x =->，此时2

()430,1,3f x x x x =-+==，即在(,)λ-∞上有两个零点；当4

λ≤时，()40,4f x x x =-==，由2

()43f x x x =-+在(,)λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的

取值范围为(1,3](4,)+∞.

点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 五、解答题

22．（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）已知函数

()2()23f x x ax a a R =-+-∈．

（1）若1a =时，求()f x 在区间1

[,3]2

上的最大值和最小值； （2）若()f x 的一个零点小于0，另一个零点大于0，求a 的范围. 【答案】（1） max 5y =；min 1y = ；（2）3a > 【解析】

（1）当1a =时，函数的对称轴为11[,3]2

x =∈，

∴

min ()(1)1f x f ==，15

(),(3)524

f f ==， ∴max ()5f x =。

（2）由题意得(0)0f <，∴30a -<，解得：3a >。

23．（2019·营口市第二高级中学高二月考（文））已知函数2

1()(0)ax f x a x b

+=≠+是奇函数，并且函数()

f x 的图像经过点(1,3). （1）求实数,a b 的值；

（2）若方程()f x m x =+在区间1

[,3]2

上有两个不同的实根，试求实数m 的取值范围. 【答案】（1）20a b ==，（2）5(2,]2

m ∈ 【解析】

（1）因为函数()f x 的图像经过点(1,3)，所以

13321a

a b b

+=∴=++ 因为函数2

1()ax f x x b

+=+是奇函数，

所以22

11()()0ax ax f x f x x b x b b x b x b

++-=-∴=-∴-+=--∴=-++

因此 2.a =

（2）因为()f x m x =+，所以2121

x m x m x x x

+=+∴=+，

当13x <≤时，1y x x =+

单调递增，10

(2,]3

y ∈ 当112

x ≤≤时，1y x x =+单调递减，52,]2y ∈[

因此若方程()f x m x =+在区间1[,3]2上有两个不同的实根，则5

(2,]2

m ∈

24．（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）设()2243,30

33,0165,16x x x f x x x x x x ?++-≤

=-+≤

,

（1）画出函数()f x 的图像； （2）求()f x 的单调增区间；

（3）集合{|M m R x =∈的方程()f x m =有三个不等实根},求?M =

【答案】（1）图见解析（2） []2,0-及[]1,3； （3）{|3m m =或}10m -<<. 【解析】

(1)由()2243,3033,0165,16x x x f x x x x x x ?++-≤

=-+≤

可画出图像：

(2)由(1)中图像可知,()f x 在区间[]2,0-及[]1,3上单调递增. (3)由(1)中图像可知,()()()2

224231f -=-+-+=-,. 故当方程()f x m =有三个不等实根时,3m =或10m -<<. 故{|3M m m ==或}10m -<<.

25．（2020·南昌市八一中学高一开学考试）已知函数2

()21f x x ax =-+.

（1）若函数()f x 的增区间是(2,)-+∞，求实数a ；

（2）若函数()f x 在区间(1,1)-和(1,3)上分别各有一个零点，求实数a 的取值范围.

【答案】（1）2a =-；（2）51,3?? ???

【解析】

（1）二次函数2

()21f x x ax =-+，对称轴x a =，由题意2a =-

（2）(1)01210(1)01210(3)09610f a f a f a ?->++>???

>-+>??

所以：51,3a ??

∈ ???

26.（2020·广东省湛江二十一中高二开学考试）已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）

＝x 2﹣2x ．

（1）求f （0）及f （f （1））的值； （2）求函数f （x ）的解析式；

（3）若关于x 的方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围，

【答案】（1）f （0）＝0，f （1）＝﹣1（2）()222,02,0

x x x f x x x x ?-≥=?+

【解析】

（1）根据题意，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ； 则f （0）＝0， f （1）＝1﹣2＝﹣1，

又由函数f （x ）为偶函数，则f （1）＝f （﹣1）＝﹣1， 则f （f （1））＝f （﹣1）＝﹣1； （2）设x ＜0，则﹣x ＞0，

则有f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣2（﹣x ）＝x 2+2x ， 又由函数f （x ）为偶函数， 则f （x ）＝f （﹣x ）＝x 2+2x ， 则当x ＜0时，f （x ）＝x 2+2x ，

∴()22

2,0

2,0

x x x f x x x x ?-≥=?+

分析可得﹣1＜m ＜0； 故m 的取值范围是（﹣1，0）．

27．（2020·浙江省高一开学考试）已知函数

()224f x x x x a x =+--，其中a R ∈．

（1）当1a =时，方程()f x b =恰有三个根，求实数b 的取值范围；

（2）若关于x 的不等式()1f x ≥-在区间1,22??????

上恒成立，求实数a 的取值范围．

【答案】（1）()3,1-；（2）(

,32?-∞-?或11,4??+∞????

【解析】

（1）当1a =时，()22

236,1

2142,1x x x f x x x x x x x x ?-≥=+--=?--

，

可得()f x 图象如下图所示：

方程()f x b =恰有三个根等价于()f x 与y b =恰有三个不同的交点， 由图象可知：当31b -<<时，()f x 与y b =恰有三个不同的交点，

∴实数b 的取值范围为()3,1-；

（2）当1,22x ?∈?????

时，()1f x ≥-等价于11122222x x a x x x ??

-≥-+-

=-++ ???，

当1,22x ?∈?????时，152,2x x ??+∈????，1132,124x x ????∴-++∈ ???????

，即11202x x ??

-++> ???，

1122x a x x ??∴-≥-++ ???或1122x a x x ??

-≤+- ???，

11322a x x ??∴≤

+- ???

或1122a x x ??

≥-+ ???

. 当1,22x ?∈?????

时，min 13333

x x ??+=?= ???，max

113222x x ??-=-= ???，

2a ∴≤或114

a ≥

，即实数a

的取值范围为(

2?-∞?或11,4??

+∞????.